高雷诺数Blasius边界层流动在加热平板上的影响

《Materials Today Communications》：Effects on High Reynolds Number Blasius boundary layer Flow Over a Heated flat plate

　　Mair Khan|T. Salahuddin|M. Awais|Raym. M. Hafez|Jomana A. Bashatah|Gafur Abdulakimov
巴基斯坦Zhob 85200，BUITEMS，UCZ数学系

**摘要**
本文研究了在具有熵产生的平加热板上流动的Blasius边界层流的高雷诺数现象。与具有恒定传输系数的经典Blasius解不同，当前工作考虑了粘度、热导率和比热随温度变化的实际情况。热物理性质的影响被纳入了温度、动量和浓度方程的考虑中。我们分析了修改后的粘性模型的解，并进行了熵优化。Blasius首次提出了相似性变换，该变换被用于当前的修改粘性流体、温度、浓度和熵产生方程，以将其转换为常微分方程。我们正确地重新制定了问题，并使用RK-five Fehlberg积分方案和射击法求解了这些常微分方程。我们评估了平均流动剖面，并通过图表讨论了物理方面的内容。结果表明，随着热导率和溶质扩散参数的增加，温度和浓度剖面也随之增加。由于扩散参数和Brinkman数的影响，流动系统内的熵产生也有所增加。本文还对结果进行了比较分析，发现与已发表的研究趋势一致。本研究的结果在工程和生物系统、电子设备冷却（包括热交换器优化）、聚合物加工以及生物医学领域（如动脉中的血流分析、医疗器械设计以及人体组织中的热调节，例如人工泵和微流控系统）中具有重要的应用价值。

**1. 引言**
自20世纪Blasius边界层理论发展以来，它在流体力学中获得了广泛关注[1]。Blasius流动是流体力学和热传输中的一个基本概念，代表了在平板上形成的典型层流边界层。已经采用了多种技术来解释平板的直接反驳和流动的简单解。它结合了接近表面的速度分布和摩擦特性，并提供了边界层方程的第一个解析解。文献中广泛研究了不同类型流动通过平板对Blasius边界层的影响。尽管Blasius流动很简单，但在科学和工程中有很多应用。它被用于海洋工程中，以帮助理解船体和海底车辆的流动阻力；在空气动力学和航空航天工程中，用于估算飞机机翼和涡轮叶片的摩擦阻力。Blasius解为热科学中的质量传输和对流热分析提供了基础，这对于设计冷却系统、热交换器和太阳能集热器至关重要。Wall和Wilson[2]使用通过冷却或平加热板流动的Blasius流动来确定线性稳定性。Mingliang等人[3]描述了流过平板的流体动力学Blasius边界层流动。Miller等人[4]研究了包含Blasius边界层的流动的计算。Opanuga等人[5]阐述了Sakiadis和Blasius流动的熵产生和化学反应的物理方面。Khan等人[6]考虑了温度依赖的粘度，以分析流过加热平板的Blasius边界层流动的数值意义。Khan等人[7]提出了Carreau流体模型，用于数值分析流过加热平板的广义牛顿流体。在热物理特性和热辐射下分析了基本的流动分布。

Ludwing Prandtl在1904年首次提供了边界层的物理解释。这一概念通过使高雷诺数流动的分析变得更加容易，为现代空气动力学奠定了基础。针对某些情况，数学模型和解析关系已经得到了改进。理解热量和质量传输机制、流动分离以及摩擦阻力都依赖于边界层理论。尽管边界层理论已被发现，但其改进却未受到足够重视。例如，对飞机机翼或风力涡轮叶片效率或阻力的研究。边界层流动在许多不同领域被用作实用工具和基本理论基础。流体力学领域的许多文献都分析了边界层理论，Rosenhead[8]和Schlichting[9]提供了全面的处理。Khan[10]提出了一项研究，旨在考察存在混合对流效应且流动受到拉伸圆柱影响的纳米流体的二维生物对流流动。Gowtham和Gireesha[11]提出了一种新的小波配置方法，用于解决非线性边界值和奇异初值问题。最近的相关文章还包括[12]、[13]、[14]。

热力学第二定律被广泛用于计算各种系统中的熵产生率。Bejan在1980年提出了测量系统性能的方法[15]。此后，发表了大量关于不可逆性、熵优化和热力学第二定律的研究。热力学不可逆性分析（通常称为第二定律分析或熵产生研究）提供了比传统的第一定律能量平衡更精确的能量损失测量。工程师和科学家可以通过确定熵产生的来源和大小来优化系统设计，减少能量损失并提高整体能源效率。这一概念特别适用于现代工程应用，包括太阳能集热器、热能存储、电子设备冷却、多孔介质传输、生物医学流动以及基于纳米流体的热传递系统。Erbay等人[16]测量了平行板之间流体运动产生的熵效应。Mahmud和Fraser[17]使用简化的解析公式研究了静止板和移动板上的流动场中的熵产生和分布。在另一项研究中，Esfahani和Jafarian[18]分析了热传输特性，然后计算了熵产生。Khan等人[19]研究了流过平加热板的Blasius流动的粘性耗散熵产生。Rani等人[20]分析了可变热通量和熵产生对磁流体Williamson纳米流体在垂直拉伸表面上的Darcy-Forchheimer流动的影响，其中Cattaneo-Christov热通量模型考虑了热松弛时间。Lakshmi等人[21]通过复杂建模研究了在磁场影响下三混合纳米流体行为的熵产生需求，以有效控制微尺度系统。Lakshmi等人[22]研究了铜氧化物和二氧化钛等混合纳米颗粒在倾斜通道上的流动产生的熵。Rani和Lakshminarayana[23]描述了在三维磁流体对流流动中，Casson纳米流体受到Darcy多孔介质和热辐射及非均匀热源/热沉的影响下的熵产生行为。MS等人[24]研究了扩散和熵优化对通过多孔介质的导电Casson和Maxwell纳米流体流动的影响。

尽管边界层流动中的熵产生是多项研究的主题，但大多数先前的评估都忽略了流体传输特性的显著温度依赖性，假设粘度和热物理性质是恒定的。此外，尚未对Blasius边界层背景下可变粘度、不可逆热传递和摩擦耗散之间的相互作用进行彻底分析。据作者所知，尚未有针对温度依赖粘度和可变热物理特性的Blasius型流动的全面熵产生研究。因此，本文的主要焦点是具有熵产生的加热平板上的边界层Blasius流动。我们研究了不同情况下平板上的Blasius边界层的物理解，探讨了粘度依赖于温度的气体和液体的平均流动剖面的影响，确定了速度的主要和次要影响。对于液体和气体，研究了热导率和质量扩散现象的熵、浓度和温度剖面。第2节计算了控制方程，使用相似变量将其转换为常微分方程，然后通过射击法求解。第3节详细分析了基于熵产生的方程，包括热物理特性和温度依赖粘度。第4节使用图表进行了物理解释和数值解。最后，第5节提出了结果的物理解释和主要结论。

**2. 基本流动控制方程**
我们考虑笛卡尔坐标系，其中平板位于平面??y?=x2?=0上，前缘与??x3?=z?轴重合，??x1?=x?轴平行于主流流动方向。我们通过以下方式对系统进行无量纲化：
?????????????????????????x=x?L?，y=y?εL?，z=z?εL?，u=u?U?，v=v?εU?，w=w?εU?，p=p?ρ?U?2，t=U?t?L?，μ=μ?M?，T=T??T∞?Tw??T∞?，C=C??C∞?Cw??C∞?。
其中?L?是特征长度尺度，U?是主流速度，?ρ?表示密度，???M?=μ?(T?)表示主流粘度，?p?表示压力，?t?是时间，?T∞?表示自由流温度，?Tw?是平板温度，ε是比例因子，ε=Re?12。速度分量变量???u?、v?、w?分别对应于???x?、y?、z?方向。我们基于边界层的位移?δ?提供的长度尺度?δ?来研究一些结果（用?δ?下标表示）：
???U?δ?=∫?∞(U??u?)dy?，因此
?δ*=L*∫?∞1?udy。

我们在平板参考系中使用笛卡尔坐标，控制方程如下：
???u*=0，
???ρ*?*?*t*+u*?*u*=??*p+?*μ*?*u*，
????????????(ρ?Cp?)(???*t*+u*?*)T?=??。(K?(T?)??T?)，
??????????(???*t*+u*?*)C?=??。(D?(C?)??C?)，
其中?T?表示温度，?C?表示浓度，?Cp?表示热容，?μ?是粘度。在本文中，我们假设粘度依赖于温度：
?????μ?=μ∞?/(1+χ?(T??T∞?))，其中?χ?是粘度变化参数，?μ∞?表示自由流体的粘度。对于等温平板（如本文所考虑的），?χ?>0表示液体的粘热行为，而?χ?<0表示气体。通过设置?χ?=0，我们回到了恒定粘度的情况。在上述方程(3)中，假设温度依赖的热导率为：
?????K?(T?)=k∞?[1+ε1?(T??T∞?)]，其中???ε1?=ε1Δ?T?，???Δ?T?=(Tw??T∞?)。壁温?Tw?用于加热表面，?T∞?表示自由流温度，????ε1?=Kw??K∞?Kw?表示一个小参数，?k∞?用于确定热导率对温度的影响。上述方程(4)假设浓度依赖性：
?????D?(C?)=Dm?[1+ε2?(C??C∞?)]。
在上述表达式中，???ε2?=ε2Δ?C?，这里???Δ?C?=(Cw??C∞?)。壁浓度为????Cw?，ε2?=Dw??D∞?D∞?是一个小参数，?Dm?表示质量扩散率。常数质量扩散率和热导率是通过简化能量和浓度方程??ε1?=ε2?=0得到的。当边界条件满足时，系统是封闭的：
??????????????u?=0，v?=0，T?=Tw?，C?=C∞?，?y?=0，u?→U∞?，T?→T∞?，C?→C∞?，as?→∞。

我们寻求形式为[1]的自相似解：
????????????????????u?=?y?ψ?，v?=??x?ψ?，ψ?=U?x?ν?f(Y)，Y=y?U?ν?x，T=T??Tw?T∞??Tw?，C=C??Cw?C∞??Cw?。
我们将边界层的长度尺度描述为??????L?=2M?x?/ρ?U?，Re=(ρ?L?U?)/μ∞?。假设边界层内的压力是恒定的。我们使用相似解u=f′(Y)，v=Yf′(Y)?f(Y)2，T=g(Y)和C=h(Y)。使用上述相似解，将结果方程转换为常微分方程：
?μˉf″′+1/2ff″=0，
?1PrKˉg′′+1/2g′f′=0，
?1ScDˉh′′+1/2h′f′=0。
边界条件如下：
?f(Y)=0)=dfdY|Y=0=g(Y=0)?1=h(Y=0)?1=0，limY→∞dfdY?1=limY→∞g(Y)=limY→∞h(Y)=0。
其中，μˉ=1/[1+χg]表示无量纲粘度，???χ=χ?(Tw??T∞?)，K_=(1+ε1g(Y))是变量热传导系数，D_=(1+ε2h(Y))是变量质量扩散率，???Pr=Cp?μo?ko?表示Prandtl数，??Sc=ν?/Dm?是Schmidt数。

**3. 第二定律分析**
我们应用热力学第二定律来计算体积局部熵产生率：
?Sg′′′=k∞*T∞*1+ε1*T*?T∞*?*T*+Dm*Rm*C∞*1+ε2*C*?C∞*+Φ*k∞*T∞*，
其中?k∞?是热导率，?μ?是温度依赖的粘度，Rm是气体常数。上述方程中的?Φ?项可以写为：
?????Φ?=2[(?x?u?)2+(?y?v?)2+1/2(?x?v?+?y?u?)2]。
右侧的第一项描述了由于粘性耗散引起的摩擦不可逆性，第二项表示由于可变质量扩散引起的不可逆性，第三项表示由于可变热导率引起的不可逆性。为了简化熵优化，可以进行以下变换：
?????????????????????????x=x?L?，y=y?εL?，z=z?εL?，u=u?U?，v=v?εU?，w=w?εU?，p=p?ρ?U?2，t=U?t?L?，μ=μ?M?，T=T??T∞?Tw??T∞?，C=C??C∞?Cw??C∞?。
这里，我们不计算熵产生。然而，有兴趣的读者可以参考Wall和Wilson [2] 的著作。在方程(17)中使用方程(19)，无量纲熵生成量为 (20)Ng=γ11+ε1gg′2+Mdδγ11+ε2hh′2+βr1+χg?1f″2，其中，???γ1=Δ?T?/T∞? 表示温差，质量扩散率变量表示为 ?????Md=(Δ?C?Rm?Dm?)/k∞?，浓度比变量表示为 ???δ=Δ?C?/C∞?，????βr=(μ∞?U02)/k∞?Δ?T? 是Brinkman数，而 ????Ng=S?g/Δ?k∞?T∞?L?2 描述了局部熵生成。

4. 基本流动解的讨论
我们使用了射击法（shotting method），该方法结合了RK-five技术和牛顿-拉夫森法（Newton-Raphson method），并采用渐近边界条件来求解未知数 f″(Y=0)、g′(Y=0) 和 h′(Y=0)。远场 Y∞ 的计算设置为10，步长为0.01。

图1. 数值方法的流动示意图。
图2(a) 绘制了顺流坐标系中无量纲速度分量的基本流动解。
考虑顺流方向的 u/U0，它对应于无量纲速度分量 ?x? 的分布；Y 依赖于 ?x? 和 ?y?。研究发现，速度 u/U0 渐近地趋近于1，但二阶导数 f″ 趋近于0。当这些导数恒定时，f 的解变得线性。因此，随着 ?x? 的增加，边界层在垂直方向上会增厚，但在 Y 方向上保持相同的分布。这种结果被称为自相似解。图2(b) 显示了 ?0.75≤χ≤0.75 范围内的基本流动区域结果。我们看到，在温度独立的情况下（χ=0），μ_ 是线性地等于1。对于 χ≠0，由于 g→∞，粘度趋于 μ_(Y→∞)=1。我们观察到，温度依赖的粘度在整个边界层中单调增加或减少，并且根据 χ≥0 或 χ≤0 的不同而分别大于或小于1。

图2. (a) 在零攻角下，自相似速度分布的Blasius解；(b) 当 ?0.75≤χ≤0.75 且 Pr=0.72, Sc=0.1, ε1=0.3, ε2=0.5 时，平均流动粘度分布 μ_ 的变化情况。
图3. (a) 显示了从静止板表面到自由流速度处的平均流动速度分布 u/U0 随 χ 增加而变化的情况。如图3(b) 所示，这种排列导致更高的速度梯度。我们分析了 χ 的正负值时的各种平均流动分布曲线。进一步分析表明，如果 χ<0，则平均流动会远离平板表面偏移；如果 χ>0，则平均流动会朝向平板偏移。图3(b) 更详细地展示了这种差异。对于 χ≥0 的情况，最大的速度梯度 f″ 出现在平板表面附近。相反，当 χ<0 时，速度梯度在距离平板表面的一定距离处达到最大值。当 χ=0 时，速度分布在靠近平板的区域均匀增加，即 f″ 是恒定的。对于 χ<0 的情况，分析表明该区域从壁面向边界层中心移动；而当 χ>0 时，没有显示出具有恒定速度梯度的区域。图3(c) 进一步展示了随着 χ 增加，流体向平板表面的位移，我们将其解释为热边界层的减小。图3(a) 和 (b) 表明这种减少表示温度梯度上升，而上升的效果不那么明显。表1显示，当壁面剪切应力增加时，热传递率也随之增加。

表1. 当 Pr=0.72, ε1=0.3, ε2=0.5 时，不同温度依赖性范围内的平均流动结果。

图4. 显示了不同 ε1 值下的温度和浓度分布。当 Pr=0.72, ε2=0.5, Sc=0.1, χ=0.5 时，图4(a) 展示了多种输入条件下的平均流动解 g。我们注意到，随着 ε1 的增加，温度区域上升。研究还发现，随着 ε1 的增加，热边界层厚度也会增加。观察表明，ε1 参数的增加提高了流体的动能，从而改变了热性质。图4(b) 显示了当 Pr=0.72, ε1=0.5, Sc=1.0,?=0.5 时，质量扩散参数变化对应的平均流动浓度分布。

图5. (a) 不同 βr 数值输入下的熵分布 Ng；(b) 不同 Md 数值输入下的熵分布 Ng。

5. 结论
在本研究中，我们研究了带有熵优化的流体在加热平板上的修正粘性边界层流动的热物理特性。本研究的主要目标是分析热物理性质、熵优化和温度依赖粘度的影响。通过使用大雷诺数和尺度变换，然后采用Falkner-skan方法，将边界层方程转换为常微分方程（ODEs）。转换后的边界层方程通过RK-five积分和牛顿-拉夫森技术进行数值求解。从当前研究中可以总结出以下重要发现：
- 对于负值的 χ，平均流动温度分布实现了稳定的收敛。
- 随着 χ 值的增加，边界层厚度减小。
- 随着热导率 ε1 的增加，流体可能更有效地传导热量，因此观察到平均流动温度分布的增加。同样，由于热扩散 ε2 的作用，平均流动浓度分布也得到改善。
- 质量扩散 Md 通过浓度梯度引入了额外的不可逆性，因此熵分布上升。
- 当 βr 增加时，粘性耗散变得显著，因为流动的机械能永久转化为内能，这是熵生成增加的来源。

6. 应用
本研究在许多工程系统中具有实际意义，这些系统中边界层动力学、热传递和热力学效率至关重要。在航空工程中，通过考虑温度引起的粘度波动，有助于减少飞机机翼和涡轮叶片的阻力和热损失。在能量转换和热管理系统（包括热交换器、冷却电子设备和太阳能集热器）中，熵生成框架有助于减少不可逆性并提高整体性能。同样，在聚合物加工和润滑技术中，由于流体经常表现出高度的温度依赖粘度，这些发现有助于制定或选择减少磨损和摩擦热的流体。通过整合可变的热物理特性和熵产生，这项研究促进了更可靠、可持续和节能的热流体系统的发展。

7. 局限性
当前工作存在一些局限性，这些局限性源于数学模型中的简化假设。研究假设了平板上的稳态二维层流，忽略了非稳态效应、湍流和复杂几何形状。粘度和热导率的温度依赖性是使用简化的函数关系来建模的，这可能无法完全表达实际情况下观察到的复杂非线性变化。此外，没有考虑辐射、化学反应、磁场和压力梯度等现象，限制了模型在复杂环境中的适用性。

Mair Khan 的贡献声明：
- 验证、监督、方法论、数据整理、概念化。