一种基于Andre Jeannin多项式的可靠光谱方法，用于求解具有Caputo-Hadamard导数的非线性分数阶Rosenau-Hyman方程

《Mathematics and Computers in Simulation》：A reliable spectral method based on Andre Jeannin polynomials for solving a nonlinear fractional-order Rosenau-Hyman equation with Caputo–Hadamard derivative

　　帕努马特·萨旺通（Panumart Sawangtong）|梅赫兰·塔吉普尔（Mehran Taghipour）|阿里雷扎·纳贾菲（Alireza Najafi）
泰国曼谷北蒙固技术大学应用科学学院数学系

**摘要**
Rosenau–Hyman方程是一种Korteweg–De Vries（KdV）型方程，它允许存在紧凑子解。该方程以菲利普·罗森瑙（Philip Rosenau）和詹姆斯·M·海曼（James M. Hyman）的名字命名，他们在1993年的研究中首次提出了这一概念。在本文中，我们考虑了带有Caputo–Hadamard导数的分数阶Rosenau–Hyman方程，该方程用于模拟分散性介质中的非线性波动动力学。我们基于André Jeannin多项式开发了一种高效的光谱方法。为此，将未知解的最高阶偏导数表示为多变量André Jeannin多项式的截断级数，并据此近似原方程的各项。经过必要的积分运算后，我们得到了原方程近似解的表达式。通过对这个表达式应用Caputo–Hadamard导数，基于André Jeannin基多项式得到了分数阶导数的近似值。随后我们证明了该数值方案能够收敛到精确解。为了验证所提出的方法，我们将数值结果与其他方法在代表性测试问题上的结果进行了比较。

**引言**
分数阶微积分是数学的一个重要分支，吸引了众多研究人员和工程师的关注。在过去三个世纪里，包括黎曼（Riemann）、刘维尔（Liouville）、哈达玛德（Hadamard）、里斯（Riesz）、魏尔斯特拉斯（Weierstrass）、欧拉（Euler）和米塔格-莱弗勒（Mittag-Leffler）等著名数学家都对它进行了研究。如今，分数阶微积分被广泛认为是模拟复杂系统、长期记忆效应和非局部现象的强大工具。从根本上说，它将整数阶导数和积分的概念推广到了任意（分数）阶的导数和积分。这一领域在物理学、工程学、控制理论、经济学和社会科学等多个学科中有着广泛的应用[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]。

力学和生命科学等领域的数学现象可以通过包含分数阶导数的常微分方程和偏微分方程来建模。此外，分数阶微分算子本身也是重要的数学对象。众所周知，求解含有分数阶导数的偏微分方程的解析解极具挑战性。因此，人们开发了多种数值方法来近似这些方程的解[9]、[10]。
迄今为止，已经引入了许多分数阶算子，包括黎曼-刘维尔（Riemann–Liouville）、卡普托（Caputo）、格林瓦尔德-莱特尼科夫（Grünwald–Letnikov）、基尔巴斯（Kilbas）、塔拉索夫（Tarasov）、里斯（Riesz）、费勒（Feller）、理查森（Richardson）、科伯（Kober）、卡图甘波拉（Katugampola）和哈达玛德（Hadamard）算子[11]。由于这些算子的分数特性和记忆效应，它们得到了广泛的研究；尽管如此，它们的实际应用性已经得到了充分的证实。其中，卡普托导数是最重要且应用最广泛的算子之一，因为它特别适合模拟各种物理现象，并且在数值计算方面具有优势[12]。因此，许多研究都集中在涉及卡普托导数的数学模型上。下面我们简要回顾了几项最近的研究成果。在[13]中，研究了一种用于二维（2D）四阶次扩散模型数值解的正交高斯配置方法（OGCM）。[14]的作者提出了一种基于三变量雅可比多项式的伪运算配置方法，用于求解二维多项时间分数阶扩散波方程（TFDWEs）。[15]介绍了一种混合配置方法，用于数值研究多项时间分数阶偏微分方程。此外，[16]提出了一种用于多项时间分数阶扩散问题的鲁棒有限元技术，而[17]则开发了一种拉盖尔小波光谱方法，用于求解粘弹性柱体建模中出现的分数阶偏微分方程。

另一种分数阶导数是哈达玛德分数阶导数，由哈达玛德在1927年提出。这种定义使用了对数核来替代黎曼-刘维尔和卡普托导数中的核，并且使用了德尔塔导数（delta derivative）而不是卡普托定义中的普通导数。尽管这种表述相对较旧，但它近年来受到了越来越多的研究关注[11]、[12]。一般来说，常数的哈达玛德分数阶导数不等于零[12]。
卡普托-哈达玛德分数阶导数是另一种与哈达玛德导数类似的分数阶导数，其重要区别在于常数的导数为零。下面我们简要回顾了几项使用卡普托-哈达玛德分数阶导数的研究。[18]研究了涉及卡普托-哈达玛德导数的分数阶微分方程的有限差分方法。[19]的作者研究了一种用于带有卡普托-哈达玛德导数的时间分数阶Allen–Cahn方程的局部不连续伽辽金（LDG）有限元方法。[20]提出了一种基于映射雅可比对数正交函数（MJLOFs）的光谱配置方法，用于高效求解哈达玛德型分数阶微分方程。[21]的作者提供了数学分析，并开发了一种用于卡普托-哈达玛德分数阶偏微分方程的局部不连续伽辽金方法。[22]中，Saeed提出了一种基于广义经典CAS小波的方法，用于近似求解非线性分数阶卡普托-哈达玛德初边值问题。最后，[23]的作者介绍了一种新的基于小波的方法，称为Krawtchouk小波方法，用于在半无限域上求解卡普托分数阶和卡普托-哈达玛德分数阶微分方程。

在本文中，我们考虑了以下带有卡普托-哈达玛德导数的分数阶Rosenau–Hyman方程：
$$
aCHDt^{\alpha}V(x,t) - V(x,t) = \frac{\partial^3V(x,t)}{\partial x^3} - \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} - \frac{\partial^3V(x,t)}{\partial x^2} = G(x,t),
$$
其中 $x, t \in (0, d) \times (a, T)$，初始条件为 $V(x, a) = f_1(x)$（$0 \leq x \leq d$），边界条件为 $V(0, t) = f_2(t)$，$V(d, t) = f_3(t)$（$a \leq t \leq T$），以及 $|\frac{\partial V(x,t)}{\partial x}|_{x=0} = f_4(t)$（$a \leq t \leq T$）。这里 $aCHDt^{\alpha}V(x,t)$ 是阶数为 $0 < \alpha \leq 1$ 的卡普托-哈达玛德分数阶导数，$G(x,t)$ 是一个光滑函数。我们假设给定的初始和边界数据满足必要的兼容性和规则性假设，以确保问题的适定性。

本研究旨在使用基于非对数基多项式的高效光谱方法求解非线性分数阶Rosenau–Hyman方程。我们证明了对数基函数并没有比多项式基函数更多的优势，并且可以使用比[24]中报道的更少的多项式基函数获得更高的精度。为此，我们采用了André Jeannin多项式作为基函数。这些多项式是Morgan-Voyce多项式的推广。接下来，将未知函数的最高阶导数表示为具有未知系数的双变量André Jeannin多项式的有限级数，然后通过对原方程和解进行重复积分来近似这些项。为了近似卡普托-哈达玛德分数阶导数，将导数应用于近似解的两侧。最后，在问题域内的足够样本点评估近似解，从而得到一组非线性方程。求解这组方程即可得到近似解。

**本文的主要贡献如下：**
- 使用André Jeannin基多项式求解问题（1.1）–（1.4）。
- 基于André Jeannin基多项式推导出新的分数阶卡普托-哈达玛德导数运算矩阵，使用了下不完全伽马函数（lower incomplete gamma function）。
- 通过数值示例证明了所提出方法求解问题（1.1）–（1.4）的有效性。
- 将得到的结果与[24]中报告的结果进行了比较。

**本文的后续部分安排如下：**
第2节介绍了卡普托-哈达玛德积分和分数阶导数的概念及其性质，并定义了André Jeannin多项式及其在函数近似中的应用。第3节提出了一种解决主要问题的配置策略。第4节分析了所提供数值方法的收敛性。第5节通过几个数值示例进行了验证，并将结果与[24]中的结果进行了比较，证明了我们的方法更为优越和准确。最后，我们将总结本文。

**分数阶微积分**
本小节简要概述了分数阶积分和导数的定义及其性质。1927年，哈达玛德引入了分数阶积分，表示为
$$
I_{\alpha} = \int_{a}^{x} \frac{f(t)}{(\ln(xt))^{\alpha-1}} dt, \quad 0 < \alpha < 1, \quad f(x) \in L^1(a, b),
$$
称为哈达玛德分数阶积分；分数阶导数定义为
$$
D_{\alpha} = \frac{d}{dx^n} \int_{a}^{x} \frac{f(t)}{(\ln(xt))^{\alpha+n-1}} dt, \quad n-1 < \alpha < n, \quad f(x) \in L^1(a, b),
$$
称为哈达玛德分数阶导数。

**数值方法**
在本节中，我们使用André Jeannin多项式开发了一种高效的光谱方法来求解问题（1.1）–（1.4）。基于前一节的内容，我们假设 $\frac{\partial^4V(x,t)}{\partial x^3}$ 可以用André Jeannin多项式表示为：
$$
\frac{\partial^4V(x,t)}{\partial x^3} = \sum_{k=0}^n \sum_{k'=0}^m r_k P_k(r) P_k'(r) = P_n(x) T A^m(t),
$$
其中 $A$ 是一个 $(m+1) \times (n+1)$ 的未知矩阵。

**收敛性**
本节研究了所提出数值方法的收敛性。我们证明了数值方案的余项趋于零。

**定理4.1**
假设 $V^{\hat}(x, t)$ 和 $V^{\tilde}(x, t)$ 分别是数值方案的解析解和近似解，则有
$$
\|V^{\hat}(x, t) - V^{\tilde}(x, t)\|_2 \leq \|\mathcal{R}^{\hat} - \mathcal{R}^{\tilde}\|_2 \int_{0}^d P_k(r) (x)^2 dx \int_{a}^t P_k'(r) (t)^2 dt \leq 1,
$$
其中 $\mathcal{R}^{\hat} = [r^{\hat}_0, 0, \ldots, r^{\hat}_n, m]^T$，$\mathcal{R}^{\tilde} = [r^{\tilde}_0, 0, \ldots, r^{\tilde}_n, m]^T$。

**示例**
在本节中，我们给出了几个数值示例。前两个示例来自参考文献[24]。这些示例表明，本文提出的方法比[24]中报告的方法具有更高的精度，并且所需的多项式基函数数量更少。所有计算均使用MATLAB 2020完成。评估数值结果时采用了以下误差范数：
$$
E_f = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M |V(x_i - V^{\hat}(x_i)|^2.
$$

**结论**
在本文中，我们开发了一种基于André Jeannin多项式的光谱配置方法，用于求解涉及卡普托-哈达玛德导数的非线性分数阶Rosenau–Hyman问题。这些多项式很少用于分数阶偏微分方程。通过使用连续积分和运算矩阵，原始问题被转化为一组非线性代数方程，可以使用优化技术求解。

**作者贡献声明**
帕努马特·萨旺通（Panumart Sawangtong）：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原始草稿、验证、方法论、研究、概念化。
梅赫兰·塔吉普尔（Mehran Taghipour）：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原始草稿、可视化、验证、监督、软件、资源、项目管理、方法论、研究、形式分析、概念化。
阿里雷扎·纳贾菲（Alireza Najafi）：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原始草稿、可视化、验证、软件、研究、概念化。

**资助**
作者声明在准备本手稿期间没有收到任何资金、资助或其他支持。

**未引用参考文献**
[32]

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能影响本文的研究结果。

**致谢**
本研究由国家科学、研究与创新基金（NSRF）和曼谷北蒙固技术大学资助，合同编号为KMUTNB-FF-69-B-37。