具有平行四边形截面的压电棒中的引导波传播：一种改进的双正交多项式方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：Guided wave propagation in piezoelectric bars with parallelogram cross-section: an improved double orthogonal polynomial approach

　　崔桥 | 王显辉 | 张晓明 | 任伟宏
河南工程职业技术学院机械与动力工程学院，焦作 454003，中国

**摘要**
在这项研究中，我们提出了一种改进的双勒让德多项式级数方法（IDLPSA），用于分析具有平行四边形截面的压电杆中的弹性波传播特性。与传统矩形截面相比，这种新型几何结构显著增强了机电耦合和能量分布。IDLPSA引入了两项关键创新：（1）通过部分积分和局部坐标变换直接施加边界条件，将问题转化为一个稳定且易于求解的线性特征值系统；（2）开发了一种解析积分技术，取代了耗时的数值积分，大幅提高了计算效率。与COMSOL模拟相比的验证证实了所提出方法的准确性和效率。值得注意的是，在特定频率下，平行四边形截面设计使机电耦合系数提高了100%以上。此外，在低频时，增加平行四边形的倾斜角度可以增强准E0模式的能量比例，同时保持较高的机电耦合系数，为优化声学器件性能提供了一种有前景的方法。这项工作不仅为研究复杂的压电结构提供了一个高效且准确的解析框架，还为设计具有更好能量转换效率的高性能声学器件开辟了新的途径。这些发现对于推进压电技术具有重要的实际应用价值，并对探索非传统几何形状中的波传播具有学术研究意义。

**引言**
在工程领域，由于压电材料能够将机械能转化为电能，因此被广泛研究和应用。压电杆中弹性波的传播特性对于理解和优化压电效应至关重要[1]。压电杆中弹性波的特性与能量转换效率密切相关，并直接影响声学器件的性能。例如，Meesala等人[2]开发了一个降阶模型来研究声电相互作用，这对于设计高效的声学系统非常重要。因此，研究压电杆中弹性波的传播机制及其工程应用具有重要的理论和实际意义。

在压电杆中，弹性波的传播受到多种因素的影响，包括压电系数、几何形状、边界条件等[3]，[4]。这些因素共同决定了弹性波的传播模式和特性，进而影响压电杆的性能。例如，在压电传感器中，弹性波的传播速度决定了信号的响应时间[5]；在能量收集设备中，弹性波的能量转换效率直接关系到能量收集的效率[6]。因此，具有不同截面形状的压电杆中的弹性波受到了广泛关注。对于压电圆形杆，Ponnusamy[7]分析了浸入流体中的杆中的波传播；Xue和Pan[8]讨论了梯度因素和压电效应对波特性的影响。对于压电矩形杆，Serey等人[9]提出了有限时间激励下的谐波区域模式的选择性生成方法。Yu等人[10]提出了一种双正交多项式方法来揭示波特性。此外，还有基于简化理论对圆柱壳[11]和一维杆[12]等结构的研究。现有研究主要集中在具有圆形和矩形截面的杆上，而非矩形几何形状（如平行四边形）的相关研究相对较少。具有平行四边形截面的压电杆可以通过倾斜角度引入可控且连续可调的不对称性。这种不对称性显著改变了机电耦合特性和内部能量分布。在纵向激励下，平行四边形几何形状会引起矩形截面中缺失的剪切变形分量。这种修改后的应变场可以更有效地利用特定的压电系数，从而有可能提高能量转换效率。值得注意的是，随着倾斜角度的增加，几何不对称性进一步放大，导致在某些频率下机电耦合系数显著提高。应该强调的是，具有不同截面形状和边界条件的压电杆中，弹性波的传播速度、压电效应和截面能量分布存在显著差异[13]。因此，设计不同的截面几何形状为提高声学器件中压电杆的性能提供了一条可行的途径。特别是对于具有平行四边形截面的杆，波传播特性随截面形状的变化而显著变化，这为智能结构的设计和优化提供了有价值的指导。

研究解决方法对于准确深入地理解压电杆的动态特性至关重要。理想的计算方法应在确保结果稳定可靠的同时具有较低的计算成本。在现有方法中，有限元方法（FEM）[14]，[15]和边界元方法（BEM）[16]，[17]可以模拟具有任意复杂几何截面形状的压电杆中的波特性。然而，这两种方法都存在较高的计算成本。解析方法[18]，[19]，[20]具有较小的特征矩阵规模，但目前仅适用于圆柱杆结构。此外，tanh函数方法也被用于解决波传播问题，在处理边界层问题、非线性波动方程等方面具有一定的优势[21]，[22]，[23]，[24]，[25]。然而，其在复杂截面几何形状和强耦合压电问题中的应用仍然相对有限。作为一种先进的解析方法，勒让德多项式级数方法（LPSA）[26]，[27]，[28]，[29]不仅可以解决圆柱杆[27]、矩形杆[10]和扇形杆[11]等结构，还具有特征矩阵尺寸小和计算效率高的优点。因此，它特别适合用于解决压电杆中的弹性传播特性。现有的LPSA可以通过两种方式施加边界条件。一种方法使用矩形窗函数[10]，该方法可以将原始问题转化为线性特征值问题，易于求解，但仅适用于直角截面结构；另一种方法减少左乘法正交多项式的数量，最初生成一个非完整的方程系统，然后通过独立边界条件将方程系统补充为完整矩阵[27]。这种方法有潜力解决平行四边形截面结构。首先根据正交多项式制定独立边界条件，然后通过将它们代入由正交多项式方法生成的一部分方程来完成任务矩阵。然而，代入边界条件方程可能会破坏最终方程系统的正交性，从而引发关于数值稳定性的理论担忧，因为解的唯一性本质上是由方程的正交性保证的。

**本文的主要贡献和创新如下：**
（1）为了克服现有多项式方法的局限性，提出了一种改进的双勒让德多项式级数方法（IDLPSA）。该方法采用部分积分和局部坐标变换技术，巧妙地将边界条件直接纳入数学模型，从而构建了一个稳定且易于求解的线性特征值问题。这为分析复杂结构中的波传播提供了一个强大的数学工具。
（2）将IDLPSA应用于计算具有平行四边形截面的压电杆中的导波，据作者所知，这一领域此前尚未有过研究。值得注意的是，随着技术的进步，这种结构及其对应的色散曲线的稳健生成在本文中首次得到研究。

**问题描述**
图1显示了一个位于笛卡尔坐标系中的具有平行四边形截面的杆。边长分别为a和b。波的传播方向为z方向。压电介质中波的传播受线性压电耦合场方程的支配。这些方程系统地综合考虑了三个基本物理原理：（a）弹性理论中的运动方程，（b）准静态条件下的静电方程。

**提出的算法中的积分方法**
在提出的算法中，积分对于解决动态问题至关重要。在Matlab中使用“int”命令时，CPU时间主要消耗在积分上。因此，需要开发一种高效的积分方法。

所有积分可以定义为以下5种形式：
\[
u(p,q,α,β,L) = \int_0^h \int_{-y}^t \tanθ_b^{-y}\tanθ \frac{\partial}{\partial x}\alpha \frac{\partial y}{\beta} [Q_j(x,y)R_s(y)]\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial q}[g_L(x,y)Q_n(x,y)R_m(y)] \, dx \, dy
v_1(p,q,L) = \int_0^h Q_j(b-tanθ,y)R_s(y) \left( \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial q}[g_L(x,y)Q_n(x,y)R_m(y) \right) \, dx \, dy
v_2(p,q,L) = \int_0^h Q_j(-tanθ,y)R_s(y) \left( \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial q}[g_L(x,y)Q_n(x,y)R_m(y) \right) \, dx \, dy
\]

**数值示例**
基于上述公式，编写了用于具有平行四边形截面的压电杆的程序。

**结论**
提出了一种双勒让德多项式级数方法，用于建立平行四边形压电杆中的导波模型。通过部分积分和局部坐标变换施加边界条件，解决了不同平行四边形压电杆中导波的色散特性，并研究了不同参数对超声导波色散曲线的影响。主要创新和结论如下：
1.

**未引用的参考文献**
[36] CRedi

**作者贡献声明**
王显辉：软件、调查、资金获取。
崔桥：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、验证、调查、数据整理。
任伟宏：撰写——审稿与编辑、形式分析。
张晓明：撰写——审稿与编辑、资金获取。

**利益冲突**
作者声明他们没有已知的利益冲突或个人关系可能影响本文所述的工作。

**致谢**
本工作得到了河南省高等教育机构关键研究项目（编号24A460015）、河南省科技创新团队支持计划（23IRTSTHN016）、河南省自然科学基金（242300420248）、河南工程职业技术学院双一流学科创建项目（AQ20240744和AQ20250710）以及河南省基础科研基金专项（NSFRF240816）的支持。