在稳定流动中，交错排列的两个圆柱体之间的振动同步现象

《Ocean Engineering》：Synchronization between the vibrations of two cylinders in a staggered arrangement in steady flow

　　雷扎·阿贝迪|明·赵|阿德南·穆尼尔|海伦·吴
西悉尼大学工程、设计与建筑环境学院，新南威尔士州，澳大利亚

**摘要**
本研究对交错排列的圆柱体的涡流诱导振动（VIV）进行了两自由度（2-DOF）数值分析。模拟在质量比为2.54、雷诺数为150的条件下进行，研究了不同流向（Lx = 3–5）和横向（Ly = 0–2）间距以及减速度（Vr = 2–16）范围内的振动行为。结果表明，上游圆柱体（C1）在Vr = 4–6附近表现出典型的VIV现象，并且出现一致的锁定现象；而下游圆柱体（C2）则表现出更复杂的、依赖于具体配置的响应，包括双频振动，在某些情况下还出现不规则的振动轨迹。根据两个圆柱体之间的频率和相位关系，识别出三种不同的振动模式：同步模式、具有拍动现象的同步模式以及不同步模式。不同步模式出现在特定的配置中，其特点是相位差在-180°到180°之间变化。涡度分析和轨迹分析表明，增加间距可以减少对C2的尾流干扰。对流动状态的分类（包括涡旋配对和包络（VPE）、诱导分离（IS）以及涡旋冲击（VI）的研究表明，流动模式的变化与两个圆柱体之间的同步（S）、具有拍动现象的同步（SB）以及不同步（DS）振动模式直接相关。这些发现填补了关于交错排列系统中不同步VIV理解的关键空白，并为间距和减速度如何影响振动动力学提供了新的见解。

**1. 引言**
涡流诱导振动（VIV）在许多工程应用中普遍存在，包括热交换器、海上平台、烟囱和输电电缆（Nakamura等人，2013；Sarpkaya，2004）。当这些结构暴露在空气或水流中时，可能会发生严重的共振振荡，导致疲劳损伤、性能下降甚至灾难性故障（Prasanth和Mittal，2009）。为了提高这些系统的可靠性和性能，深入理解外部流动与圆柱体结构之间的相互作用机制至关重要。在这种情况下，流动诱导振动（FIV），包括VIV和尾流诱导振动（WIV），已成为研究的重点，因为它们对结构安全和设计优化具有关键作用（Williamson和Govardhan，2004）。主要的VIV参数包括减速度（Vr，即流动速度与结构固有频率的比值）和锁定范围，在此范围内涡旋脱落与结构频率同步，从而产生大幅振动。

当存在多个圆柱体时，例如并排排列、串联排列或交错排列时，流动-结构相互作用比单个圆柱体的情况要复杂得多（Xu等人，2022；Zdravkovich，1988）。在实际应用中常见的交错排列引入了独特的干扰机制，这些机制涉及邻近效应、尾流相互作用或两者的结合，具体取决于相对间距和雷诺数（Re）（Griffith等人，2017；Zdravkovich，1988）。下游圆柱体特别容易受到WIV的影响，通常表现出更大的振幅和更宽的激励速度范围，而上游圆柱体通常经历典型的VIV现象（Assi，2014；Xu等人，2022）。这些复杂的流固相互作用突显了研究具有两自由度（2-DOF）的交错圆柱体配置的必要性，因为这样的系统能够更准确地捕捉流向和横向的响应，从而为涡旋脱落、尾流干扰和振动抑制策略提供有价值的见解（Li和Ishihara，2021）。

在串联圆柱体排列中，下游圆柱体位于上游圆柱体产生的尾流区域内，其振动响应强烈依赖于间距和Vr（Huera-Huarte和Bearman，2011）。Borazjani和Sotiropoulos（2009）在Re = 200、Lx = 1.5D的条件下识别出两种振动状态：状态1（Vr ≤ 4）时上游圆柱体占主导，状态2（Vr ≥ 7）时下游圆柱体的响应幅度明显更高。中间范围（4 < Vr < 7）后来被描述为一种独特的准周期脱落模式，适用于2-DOF和1-DOF情况。多项研究进一步将流动状态分类为扩展体、再附着和共同脱落涡旋（Zhou和Alam，2016），并基于振幅和频率响应提出了额外的振动模式（Qin等人，2019）。在尾流干扰区域可能发生WIV现象，振幅随Vr增加而增大，这种现象通常称为尾流奔马（Li和Ishihara，2021）。Assi等人（2010）研究了Lx = 4–20、Vr高达32的串联圆柱体（m? = 2.6，ζ = 0.007），发现Lx = 4–8时出现奔马现象，Lx > 10时出现共振。耦合效应也很显著；刚性连接的圆柱体与自由振荡情况相比，横向振幅减少了约15–30%（Zhu等人，2023）。其他研究还表明，间距、直径比和雷诺数强烈影响涡旋脱落和动态响应（Bao等人，2012；Qin等人，2019；Xu等人，2018）。

在交错圆柱体配置中，下游圆柱体与上游圆柱体在中心到中心的流向（Lx）和横向（Ly）间距上都有分离，这比串联或并排排列产生了更复杂的尾流相互作用。倾斜的排列意味着下游圆柱体可能部分或完全暴露在上游圆柱体脱落的剪切层和涡旋中（Sumner等人，2000）。因此，流场高度不对称，下游圆柱体上的流体动力随着Lx和Ly偏移量的变化而显著变化。这种不对称性常常导致大幅振荡和不规则的振动模式，因为下游圆柱体会经历交替的屏蔽和直接涡旋冲击阶段（Sumner，2010）。实验和计算研究进一步表明，交错间距会产生不同的流动状态（Hu和Zhou，2008；Kim和Alam，2015；Sumner，2010；Zhou等人，2009）。由此产生的流动状态包括剪切层的部分再附着、不对称涡旋脱落和不规则共同脱落，每种状态都导致不同的振动特性（Sumner等人，2000）。Tong等人（2015）在Re = 103、俯仰比L = 1.5–4和对齐角α = 0–90°的条件下，对两个圆柱体周围的流动进行了数值研究，识别出四种脱落状态，并强调需要结合流动可视化和速度信号分析进行准确分类。Ali等人（2024）研究了Re = 100、固定俯仰比L = 6和对齐角从0°到90°的圆柱体的2-DOF VIV，发现下游圆柱体的振动幅度高度依赖于排列方式，串联排列产生最大的横向振动。Li等人（2023）分析了Re < 500、流向间距Lx = 4、横向间距Ly = 0–2的交错圆柱体，得出结论：下游圆柱体会根据间距经历VIV和WIV，相位滞后是WIV的主要驱动因素。Assi（2014）在Re = 2000–25000、固定间距Lx = 4和Ly = 3的条件下，实验研究了串联和交错配置中的2-DOF VIV，发现WIV在尾流中心线附近最强，并且随着横向偏移的增加而减弱。Janocha等人（2021）发现，在Re = 1.4 × 105、l/D1 = 3.22（其中D1是较大圆柱体的直径）的情况下，下游圆柱体的轨迹会随着对齐方式的变化而变化，横向偏移会导致串联响应的强烈放大。表1总结了关于交错圆柱体中WIV行为的研究参数。

**表1. 串联和交错圆柱体的研究参数**

| 发表物 | 方法论 | 参数 | 间距比 | 质量比（m*） | 减速度（Vr） |
|-------|---------|-----------------|---------------|-----------------|
| Huang和Herfjord（2013）| 实验 | Lx = 2-5 | Ly = 0-2 | 11.2 × 103 | 5.2 × 103 | 1.5 | 0.003 | 1-20 |
| Tu等人（2015）| 2-DOF数值 | Lx = 2.5-8.0 | 160 | 2.5π | 0.3-18 | |
| Griffith等人（2017）| 1-DOF数值 | Lx = 1.5 | Ly = 0.5 | 200 | 2.54 | 0.3-14 | |
| Wang等人（2017）| 2-DOF数值 | Lx = 2.5, 3.5, 10 | 500 | 100 | 4-10 | |
| Chung（2017）| 2-DOF数值 | L = 1.1-1.9 | α = 0,30,60,90 | 100 | 203-14 | |
| Ma等人（2019）| 实验 | Lx = 4-16 | 0.8 × 103 | 160 | 1.9 | 0.11-0.13 | 5-15 | |
| Sun等人（2019）| 实验 | Lx = 1.5 | 7, 2.0, 2.5 | 30 × 103 | 1.3 | 0.02-0.26 | 2.9 | 2-15 |
| Narváez等人（2020）| 2-DOF数值 | Lx = 2-10 | 200, 300 | 10.007 | 2-14 | |
| Gao等人（2020）| 2-DOF数值 | L = 2,4 | α = 0,30,60,90 | 150 | 2.60 | 1-30 | |
| Mousavisani等人（2022）| 实验 | Lx = 3, 5, 7 | 257 | 0-24 | 536 | 120 | 0.003 | 4.3-31.7 |
| Xu等人（2022）| 2-DOF数值 | L = 6 | α = 0,30,60,75 | 147 | 0-10 | 2.60 | 0.003 | 6 |
| Wang等人（2025）| 2-DOF数值 | Lx = 2 | Ly = 0-5 | 147 | 0-10 | 2.60 | 0.000 | 6 |
| 进一步研究（Chen等人，2024；Griffith等人，2017；Wang等人，2025；Xu等人，2022）确认质量-阻尼比、入射角和结构约束强烈影响锁定范围、振动轨迹和尾流模式。此外，结构和几何参数如雷诺数（Re）、直径比和频率比在交错圆柱体振动动力学中起着重要作用（Zhou等人，2009）。在Re = 1.5 × 103 - 2 × 10?的范围内，Zhou等人（2009）根据俯仰比（L）和对齐角（α）将流动状态分为四种类型：类型1在L（1–1.2）；类型2在L > 1.1–1.2且α < 10°时，过渡取决于Re；类型3在L（1.1–2.2）且α < 75°时；类型4在L > 2.2时，随α变化并包含多种具有不同流动结构的子类型。Zheng等人（2016）使用二维有限体积方法研究了低雷诺数（100和200）下等边三角形圆柱体周围的流动，分析了九种间距比和对齐角（α = 0-180°）下的流动模式变化。其他数值研究探讨了交错排列，在俯仰比L = 2.5–5.5和雷诺数Re = 100–1000时观察到强烈的非稳态相互作用（Mittal等人，1997），以及在更高亚临界雷诺数Re高达1.4 × 10?时的情况（Wu等人，2020），观察到不同的内升力和外升力取决于L和α。

尽管VIV在串联和并排圆柱体中已被广泛研究，但对于自由振动的交错配置及其如何导致不同的振动频率和行为的研究却较少。值得注意的是，不同间距配置对分析频率和不同步振动的复杂动力学的影响尚未得到充分探索。为了填补这些空白，本研究使用任意拉格朗日-欧拉（ALE）框架对Re = 150下的交错圆柱体进行了2-DOF数值模拟，研究了不同的流向（Lx = 3–5）和横向（Ly = 0–2）间距以及减速度（Vr = 2–16）范围内的振动行为，重点识别两个振动圆柱体的频率、相位移动和不同步振动模式。结果为尾流干扰在驱动不同步振动中的作用提供了新的见解，并丰富了对于交错多圆柱体系统中FIV的预测理解。

**2. 数值方法**
考虑了如图1所示的交错排列中两个弹性安装的圆柱体的VIV。定义了一个笛卡尔坐标系，其原点位于两个圆柱体静态平衡位置的中点，x轴指向流动方向，y轴垂直于流动方向。圆柱体可以自由振动，具有两自由度（2-DOF）。Lx和Ly表示两个圆柱体之间的无量纲中心到中心间距，定义为Lx = lx/D和Ly = ly/D，其中lx和ly分别是圆柱体在x方向和y方向上的实际中心到中心间距，D是圆柱体的直径。流动动力学由非稳态的二维不可压缩纳维-斯托克斯（NS）方程控制。在本研究中，为了解决由于圆柱体运动引起的计算域变化，使用任意拉格朗日-欧拉（ALE）方案求解NS方程，将网格速度纳入方程的对流项中。

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**图1. 交错排列的圆柱体示意图。**
无量纲坐标、时间、速度和压力定义为xi = x′i/D，t = Ut′/D，ui = u′i/U，p = p′/ρU2，其中带撇号的符号表示无量纲变量，不带撇号的符号表示有量纲变量。这里，x1 = x和x2 = y，U是来流速度，ui是xi方向上的速度分量，t、ρ和p分别是时间、流体密度和压力。根据这些无量纲定义，不可压缩NS方程表示为：
(1) ?ui/?xi = 0
(2) ?ui/?t + (uj ? u?j)?ui/?xj = ??p/?xi + 1/Re?2ui/?xi2
其中u?i是网格移动的无量纲速度，Re是雷诺数，定义为Re = UD/ν，ν是分子运动粘度。NS方程通过Zhao等人（2007）开发的Petrov–Galerkin有限元方法（PG-FEM）离散化。

每个圆柱体的运动由以下无量纲方程描述：
(3) ?2Xi/?t2 + 4πζVr?Xi/?t + 4π2Vr2Xi = 2πCi/m*i = 1,2
其中X1 = X和X2 = Y分别是圆柱体在x和y方向上的无量纲位移，Vr是减速度，定义为Vr = U/(fnD)，fn是圆柱体系统的固有频率。无量纲振动频率fi* = fi′/fn，f′是圆柱体在xi方向上的有量纲振动频率。质量比定义为m* = m/md，其中md = ρπD2/4表示流体位移质量。力系数Ci定义为Ci = Fi/(ρDU2/2)，Fi是xi方向上的流体动力。使用四阶龙格-库塔方法积分方程（3），每个时间步长后，根据基于圆柱体位移的修改后的拉普拉斯方程重新定位网格节点，更新计算域。
(4) ?(γ?Si) = 0
其中Si是xi方向上的节点位移，γ控制网格变形，设置为γ = 1/A以确保圆柱体附近的小元素变形较小。方程（4）通过Galerkin FEM求解，并在所有边界节点指定位移。沿流动方向的域长度为100D，上游圆柱体位于入口边界后方30D处。圆柱表面光滑，具有无滑移条件，使流体速度与圆柱的运动相匹配。入口条件设置为u=1，v=0，而在出口处施加零速度梯度，并将压力设置为零。3. 数值结果与讨论3.1. 网格依赖性研究及数值模型的验证进行了网格依赖性研究，以评估网格分辨率对模拟结果准确性的影响。图2显示了两个圆柱周围的正常网格，每个圆柱表面沿周长划分为144个元素，最小的径向网格尺寸设置为0.0002D。下载：下载高分辨率图像（369KB）下载：下载全尺寸图像图2. 在Lx = 4和Ly = 1间距下，交错排列的圆柱附近的计算网格。测试了几种不同的网格分辨率，并比较了包括振动幅度和主导频率在内的关键响应参数。为了验证网格的独立性，在Lx = 3和Ly = 0处测试了三种不同密度的网格，此时振动幅度达到最大值。网格参数包括沿圆柱周长的元素数量（Nc）、最小径向网格尺寸（Δrmin）和总节点数（Nnode），这些参数列在表2中。y方向的无量纲响应幅度定义为Ay*=Ymax?Ymin2，其中Ymax和Ymin分别是圆柱在振动过程中的无量纲最大和最小位移。图3比较了所有四种网格在峰值响应幅度范围内Vr介于6到9时的下游圆柱的顺流和横流幅度。结果表明，正常网格的振动幅度与最密集网格的振动幅度仅相差4%。因此，结果证实所选网格密度在所有方向上都足以确保在Re = 150时的数值准确性。还进行了时间步长敏感性研究，结果显示使用更小的时间步长时结果仅有微小变化。这证实了所选的时间分辨率足以准确捕捉流体-结构相互作用。因此，认为结果与空间和时间离散化无关。表2. 网格依赖性研究中使用的网格参数。网格密度NcΔrminNnode非常粗糙960.00165947粗糙1200.000578919正常1440.000292137密集1600.0001104545下载：下载高分辨率图像（214KB）下载：下载全尺寸图像图3. 在Re = 150，m* = 2.54，ζ = 0条件下，对于Lx = 3，Ly = 0的交错排列圆柱，不同网格的下游圆柱幅度比较。为了验证两个圆形圆柱串联和交错排列的振动诱导激励（VIV）的数值模型，进行了与Bao等人（2012年）和Yu等人（2016年）报告的相同条件下的模拟。所有模拟均在固定的雷诺数Re = 150下进行，质量比m*=2.54，并且结构阻尼为零以捕捉最大振动响应。减速比Vr从Vr = 2-12变化，这与参考研究一致。图4比较了串联配置下Lx = 5时，当前2-自由度（2-DOF）模拟和Bao等人（2012年）及Yu等人（2016年）的数值结果得出的上游和下游圆柱的顺流（Ax*）和横流（Ay*）幅度。两个圆柱的横流幅度（图4(a和b)）与以往研究的数据非常吻合，特别是在锁定范围内和峰值幅度处。尽管顺流幅度存在这些变化，当前模型仍能捕捉到以往研究中观察到的幅度和趋势，证明了模型的准确性。下载：下载高分辨率图像（316KB）下载：下载全尺寸图像图4. 与Bao等人（2012年）和Yu等人（2016年）的数值研究相比，对于Re = 150，m* = 2.54，ζ = 0的串联排列，Lx = 5时不同网格的下游圆柱Ay*和Ax*幅度。图5比较了当前结果与Bao等人（2011年）对于中心间距为4D的交错排列的下游圆柱的横流幅度。在这种设置中，上游圆柱C1固定，而下游圆柱允许在1-自由度（1-DOF）下振荡。模拟了三种交错角度β = 0°（串联）、7.5°和30°的情况。对于0°和7.5°的配置，锁定行为和峰值幅度非常接近，最大响应发生在Vr=6附近。这些比较证实了当前数值模型能够准确预测串联和交错排列中的VIV行为，并有效捕捉到圆柱倾斜对动态响应的影响。下载：下载高分辨率图像（252KB）下载：下载全尺寸图像图5. 在Re = 150，m* = 2.54，ζ = 0的条件下，与Bao等人（2011年）的结果相比，交错排列的下游圆柱的振动幅度。3.2. 响应幅度和频率3.2.1. 响应幅度在固定的雷诺数Re = 150下，质量比m*=2.54，结构阻尼为零，Vr = 2-16的情况下，模拟了交错排列圆柱的VIV。模拟了顺流间距Lx = 3、4和5以及横向间距Ly = 0、0.5、1和2，以研究间距对两个圆柱在横流和顺流方向独立振动响应的影响。图6显示了Lx = 4和Ly = 1时，堆叠排列下C1和C2的x方向和y方向的时间历史，位移以Y/Ymax的形式无量纲化，以便更好地观察小幅度。与C1相比，C2的振动在大多数减速比下通常是非周期性的，这一趋势在所有检查的Lx和Ly中都是一致的。下载：下载高分辨率图像（2MB）下载：下载全尺寸图像图6. Lx = 4，Ly = 1时，C1和C2的振动位移时间历史，采用2-自由度VIV。图7和图8展示了具有2-自由度VIV的交错排列圆柱的Ax*和Ay*振动幅度作为Vr的函数，并结合了单圆柱的结果。对于图7中的C1，不同间距比之间的响应仅显示出微小差异，并且与单圆柱的响应非常接近。这表明C1的涡脱落行为主要由来流流动主导，没有受到C2的显著影响。C1的振动幅度显示出典型的VIV趋势，即随着振动与涡脱落之间的同步性增强，幅度在Vr=4附近达到峰值Ay*，然后稳步减小。同样，顺流幅度Ax*在所有情况下都保持较低，仅在Vr = 4–6附近的锁定区域出现峰值，表明流体-结构耦合较强。然而，当顺流间距进一步减小到Lx = 3时（图7(e和f)），C1和C2之间的间距干扰变得更强，C1的幅度与单圆柱情况显著不同。C1的尾流受到C2的影响，在这种小间距下，C1的振动响应被放大且更加不规则。下载：下载高分辨率图像（656KB）下载：下载全尺寸图像图7. 具有2-自由度VIV的交错排列圆柱的C1振动幅度变化（a）、（c）和（e）Ax*以及（b）、（d）和（f）Ay*。下载：下载高分辨率图像（768KB）下载：下载全尺寸图像图8. 具有2-自由度VIV的交错排列圆柱的C2振动幅度变化（a）、（c）和（e）Ax*以及（b）、（d）和（f）Ay*。图8中的C2振动响应比C1更复杂且依赖于配置，因为受到C1尾流的干扰。如图8(a)所示，当Lx = 5和不同的Ly时，C2的Ay*在Vr = 3–4附近开始急剧上升，在Vr = 5–6附近达到峰值，尤其是在横向间距较小时（Ly = 0和0.5），尾流干扰最为强烈。这种行为归因于不稳定的上游尾流冲击（Assi等人，2010年），这增强了C2的动态激励。在Vr = 9–10之外，幅度通常在锁定区域之外减小，然而，与C1不同，C2在某些配置下在更高的减速比下显示出显著的异常或不规则响应。例如，在Lx = 4和Ly = 0.5时，在Vr = 13附近出现了一个意外的峰值，偏离了总体趋势（图8(c)）。这种行为将在下一节关于振动频率的部分中详细讨论。在图8(e, f)中，C2在更高的Vr下显示出逐渐增加的幅度，这与典型的锁定响应不同。这种行为发生在尾流干扰区域，其中C1的不稳定尾流持续激发C2。随着Vr的增加，尾流的激励增强，导致振动幅度增加而不是预期的锁定后衰减。这种现象通常被称为尾流驰豫（Assi等人，2010年；Li和Ishihara，2021年）。3.2.2. 振动频率图9显示了在不同Vr下，间距排列Lx = 4和Ly = 1，具有2-自由度VIV的两个圆柱的振动位移的FFT（快速傅里叶变换）谱。双频率响应来源于两个主要频率，一个接近自然结构频率，另一个接近Strouhal频率（Griffith等人，2017年）。对于第k个圆柱（k = 1或2），最高的和次高的FFT峰值分别定义为初级频率（fpk）和次级频率（fsk），以及相应的幅度Apk和Ask。在本研究中，当幅度比Ask/Apk >1/4时，识别出双频率振动。下载：下载高分辨率图像（413KB）下载：下载全尺寸图像图9. 间距配置Lx = 4和Ly = 1，具有2-自由度VIV时，y方向位移的FFT谱。在图9中，Vr = 4和8时，C1的初级频率（fp1）与C2的初级频率（fp2）相等，两个圆柱都显示单一频率。在图9(a)的Vr = 2.5时，C1的初级频率（fp1）和次级频率（fs1）与C2的初级频率（fp2）和次级频率（fs2）相等。在Vr = 6（图9(c)）时，C1显示单一频率，而C2显示双频率，两个圆柱的初级频率显著不同。在图9(f)的Vr = 12和15时，C1的初级频率与C2的次级频率（fp1 = fs2）相等。图11展示了两个圆柱的振动频率和Ask/Apk随Vr的变化。该图显示了Ask/Apk > 1/4情况下的圆柱k的次级频率。当振动幅度随Vr增加而增加时，通常会发生双频率振动（Govardhan和Williamson，2000年）。此外，图12显示了x方向的振动频率。对于C1，响应在其自然频率附近保持稳定，仅在锁定区域（Vr = 4–6）附近有轻微变化，表明顺流运动稳定。相比之下，C2显示出多个频率成分，经常偏离其自然频率，并与尾流诱导的激励一致。图10展示了两个圆柱的阻力系数（CD）和升力系数（CL）的FFT分析，以检查尾流动力学。从CL谱中提取了主导尾流频率，其中主要谱峰对应于基本涡脱落频率。在低Vr时，两个圆柱都显示出清晰的主导峰，表明稳定的周期性涡脱落。随着Vr的增加，C2的谱变宽并发展出多个频率成分，反映了来自C1的更强尾流干扰。在更高的Vr下，C1和C2的主导频率趋于一致，表明两个圆柱之间的尾流耦合增强。下载：下载高分辨率图像（480KB）下载：下载全尺寸图像图10. 在2-自由度VIV下，圆柱C1和C2（Lx = 4和Ly = 1）的阻力系数（CD）和升力系数（CL）的FFT谱。下载：下载高分辨率图像（1MB）下载：下载全尺寸图像图11. 在2-自由度VIV下，y方向（a-d）Lx = 5，（e-h）Lx = 4，以及（i-l）Lx = 3的振动频率和Ask/Apk幅度变化。下载：下载高分辨率图像（953KB）下载：下载全尺寸图像图12. 在2-自由度VIV下，x方向（a-d）Lx = 5，（e-h）Lx = 4，以及（i-l）Lx = 3的振动频率变化。在图8中，C2在某些配置下显示出显著的不规则响应。例如，在图8(c)中，对于Lx = 4和Ly = 0.5，Vr = 13附近出现了意外的峰值。C2在Vr = 13时的异常幅度峰值归因于在该特定减速比下的顺流（x方向）锁定事件。如图12(f)所示，C2的顺流振动频率在Vr = 13附近接近其自然频率，产生了集中的共振条件。这种x方向的锁定加剧了C2的尾流激励，并通过流体-结构耦合放大了横流响应，导致图8(c)中观察到的局部幅度峰值。这种行为是特定于配置的：对于横向间距较小或较大的配置（Ly = 0 或 Ly = 1–2），内联锁定要么在 Vr = 13 之后仍然存在，要么在这个降低的速度下不会发生，因此在 y 方向上没有出现类似的局部放大现象。在 Lx = 4, Ly = 0.5 时，x 方向的锁定在 Vr = 13 附近终止，在系统退出锁定之前将共振的顺流强迫集中在此点。这一点进一步得到了图 11（f）的支持，其中在 Vr = 13 时，一个由尾流引起的频率分量在 y 方向上变得占主导地位，表明 C2 的交叉流响应暂时跟随尾流引起的强迫，而不是其结构自然频率。这种行为与之前的研究（Bao 等人，2012 年）报告的次级锁定机制一致，在这种情况下，当尾流连贯性和结构频率接近时，会在更高的 Vr 处出现一个次级共振带。在 Vr = 4 且 Ly = 0-1 时，C2 显示出一个次级振幅峰值（图 8(c)）。在这一点上，C1 正在进入锁定状态，并开始在其自然频率附近共振（图 11），这增强了涡脱落的振幅。增强的尾流强迫放大了对 C2 的影响，在完全同步之前产生了一个暂时的共振响应。这种现象与早期关于串联圆柱的研究报告的机制一致（Prasanth 和 Mittal，2009 年；Tu 等人，2015 年）。总之，图 11 中 C1 和 C2 的频率比较可以分为三种情况：（1）C1 和 C2 的频率相同，表明两个圆柱的振动之间有良好的同步；（2）两个圆柱的主频率不匹配，但 C1 的主频率与 C2 的次级频率匹配，或者反过来；（3）两个圆柱的频率不匹配，即图 11 中的 Vr = 4.5 至 6 和 Lx = 5 以及 Ly = 2。这三种情况与两个圆柱响应之间的同步有关，我们将在下一节中讨论。

3.3 两个圆柱之间的同步
图 13(a) 中，Lx = 4, Ly = 1 和 Vr = 6 是一个例子，两个圆柱的振动并不总是同步的（见图 11(g)）。两个圆柱之间的振动频率略有不同，导致它们的振动周期性地在同相和反相运动之间切换。C2 的响应具有明显的拍频特征。图 13(b) 显示了两个圆柱垂直振动之间的相位差。圆柱 k 的局部周期（Tk）是通过零交叉方法定义的，每个周期从位移从负值变为正值时开始。振动周期定义为两个连续零交叉之间的时间。两个圆柱周期开始时间之间的时间差 Δt 被转换为相位差 Δφ=ΔtTavg·360°，其中 Tavg=(T1+T2)/2，T1 和 T2 分别是 C1 和 C2 的周期。从图 13(b) 可以看出，C1 的垂直振动频率 fy1 几乎保持不变，而 C2 的垂直振动频率 fy2 随时间周期性变化。fy1 和 fy2 之间的显著差异使得 Δφ 随时间周期性地在 ?180° 和 180° 之间变化，如图 13(b) 所示。

图 14 显示了 C1 和 C2 的横向位移以及它们之间相位差的变化情况。根据两个圆柱之间的频率和相位关系，本研究识别出三种不同的振动模式：同步（S）、带有拍频的同步（SB）和不同步（DS）模式。在同步模式（S）中，两个圆柱以相同的频率和恒定的相位差振动，表明有很强的流体动力耦合和对称运动（图 14(a)）。带有拍频的同步模式（SB）发生在 C2 由于间歇性尾流干扰而表现出相位调制或振幅拍频时，导致 C1 的交替运动（图 14(b)）。在这种模式下，两个圆柱之间的频率或相位的小但持续的差异导致交替的 constructive 和 destructive 干涉，产生振幅包络或拍频模式。在不同步模式（DS）中，两个圆柱以不同的主导频率振动，相位差 Δφ 在 ?180° 和 180° 之间连续变化，反映了不规则的运动和减弱的耦合，因为 C2 独立于自身的涡脱落和来自 C1 的不稳定尾流强迫（图 14(c)）。为了确保振动模式分类的可重复性，基于频率内容和相位关系定义了定量标准。下游和上游圆柱之间的频率比为：Rf=fC2/fC1

此外，使用峰值比来评估次级频率分量的相对强度：Rp=A2/A1，其中 A2=As2/Ap2 和 A1=As1/Ap1。基于两个圆柱之间相位差的时间变化来评估相位稳定性。根据这些参数，振动模式分类如下：
- 同步（S）模式的特点是有一个主导频率，满足 ∣Rf?1∣ < 0.1，∣Rp-1∣ < 0.25，并且相位关系稳定。
- 不同步（DS）模式的特点是 ∣Rf?1∣>0.1，∣Rp-1∣>0.25，存在多个频率分量并且相位变化不规则。
- 带有拍频的同步（SB）模式的特点是存在相当频率分量，对应于 ∣Rf?1∣ < 0.1 且 ∣Rp-1∣ > 0.25 或 ∣Rf?1∣ > 0.1 且 ∣Rp-1∣ < 0.25，并伴有周期性变化的相位差。

图 15 展示了振动模式图，并揭示了三个系统趋势。首先，S 模式在所有间距配置中的中间降低速度（Vr = 6–9）时最为普遍，对应于 C1 的涡脱落频率与 C2 的结构频率紧密对齐的锁定状态。其次，SB 模式在锁定区域的边缘（Vr = 4–5 和 Vr = 10–12）占主导地位，此时 C1 和 C2 之间的小但持续的频率差异产生振幅调制而不是完全同步。第三，DS 模式集中在两个不同的区域：（a）较大的横向间距（Ly = 1–2）在 Vr = 4–6 时，C2 位于直接尾流中心线之外，缺乏足够的强迫连贯性来跟随 C1 的脱落频率；（b）较大的顺流间距（Lx = 5）在更高的 Vr（Vr ≥ 9）时，C1 的涡街在到达 C2 之前失去连贯性。值得注意的是，当 Ly = 0 且 Lx = 3–4 时，DS 模式几乎从不发生，因为直接的涡流冲击足够强，至少可以部分带动 C2。因此，该图表明顺流和横向间距都控制着模式边界：增加 Ly 通过减少尾流-结构耦合来促进不同步，而增加 Lx 通过涡流连贯性的衰减也有类似的效果。

根据图 11 和图 15，在同步模式中，两个圆柱以相同的频率周期性振动，并且它们之间的相位差保持恒定，表明有很强的耦合。当系统进入带有拍频的同步模式或不同步模式时，振动频率会出现差异。C1 以自己的频率脱落涡旋，而 C2 受到自身脱落和来自 C1 的不稳定尾流的影响。在这些模式下，C2 通常表现出两个频率分量：一个对应于其自然脱落频率，另一个由 C1 的尾流诱导。根据流动条件，C2 的主频率（fp2）可能与 C1 的主频率（fp1）相同或不同，反映了部分或完全失去同步。

图 16 显示了在不同 Vr 下，C2 和 C1 的平均响应在横向（ΔYmean = Ymean,C2 - Ymean,C1）和顺流方向（ΔXmean=Xmean,C2- Xmean,C1）上的差异，作为各种 Lx 和 Ly 间距的函数。对于 Ly= 0，ΔYmean 接近于零，表明圆柱之间的运动相对对称且耦合较强。然而，当 Ly 增加到 1 或 2 时，流动对称性被打破，C2 遭受到不对称的尾流干扰，导致 ΔYmean 的偏差较大，特别是对于 Lx = 3。当 Vr 增加超过这个范围时，ΔYmean 变为负值，表明圆柱相互靠近。

图 17 显示了交错圆柱在不同 Lx 和 Ly 配置下的振动模式图，使用 2-DOF VIV。根据 Sumner 等人（2000 年）和 Zhou 等人（2009 年）的框架，图 17 对交错圆柱的流动模式进行了分类。在 VPE 模式（图 17(a)）中，逆向旋转的涡旋对在圆柱之间的间隙中形成，并被一个较大的外部涡旋包围。在 IS 模式（图 17(b)）中，C1 的内部剪切层偏转到间隙中，并在 C2 的前表面产生不稳定的涡度。这种相互作用产生周期性但调制的响应，因为诱导的分离与上游脱落部分同步。由此产生的振幅拍频，由于略微变化的涡脱落频率之间的接近共振耦合，对应于振动图中的 SB 模式，并与当前模拟中的双频率行为一致。在 VI 模式（图 17(c)）中，从 C1 剥落的 Kármán 涡旋直接冲击 C2，产生强烈的不对称强迫，可能导致任何振动模式（S、SB 或 DS），具体取决于间距和瞬时相位对齐。

图 18 对应于 Lx = 4, Ly = 1 且 Vr = 6 的情况，显示了两个圆柱在 SB 模式下振荡时的涡度等值线。在这种模式下，圆柱的振动频率接近但不完全相同，产生交替的同相和反相运动周期。这种配置的流动属于 IS 模式，其中 C1 的内部剪切层偏转到间隙中并在 C2 的上游表面产生不稳定的涡度。图 18(d, e) 显示了反相响应，其中交替的涡脱落发生，从 C1 剥落的涡旋以抑制 C2 的振动幅度的方式冲击 C2。相比之下，图 18(f) 表示同相响应，两个圆柱朝相同方向移动，尾流相互作用变得更加建设性。在图 18(b) 的时间点，圆柱朝相反方向移动，从 C1 的两侧脱落了一对强涡旋。随着系统发展到图 18(b) 和 (c)，C1 产生的涡旋与 C2 的尾流区域相互作用，增强了其振荡并产生了扭曲的涡结构。当圆柱反向运动时，如图 18(d) 和 (e) 所示，释放了新的涡旋，C2 后面的尾流变得高度不对称。最后，在图 18(f) 中，流动恢复到类似于图 18(a) 的状态，完成了一个完整的周期。

图 19 显示了在 Vr = 8 时，对于 Lx = 3–4 和不同 Ly 的间距配置，两个圆柱的涡度等值线、位移时间历史和轨迹响应。对于 Ly = 0（图19(a–d)），C2位于强尾流干扰区域内，流动明确处于VI区域，其中从C1脱落的涡旋直接撞击C2。这产生了不对称的涡旋结构以及强烈的周期性激励，与同步（S）响应或在轻微尾流畸变时出现的弱同步-拍动（SB）响应一致。相应的轨迹显示出具有轻微变形的紧凑环路，但保持了大致可重复的模式，反映了S或弱SB模式的有限相位变化特性。随着横向间距增加到Ly = 1–2，尾流之间的相互作用减弱，流动向IS区域过渡。在这些更宽的配置中，C1的尾流以更有组织且不那么侵入性的方式到达C2，形成了更清晰的交替涡旋街，并减少了撞击的强度。因此，振动响应变得更加规律：位移时间历史显示出几乎周期性的振荡，轨迹演变为平滑、连贯的环路。这些特征对应于同步（S）模式，其中C2的脱落频率与C1的频率紧密对齐，相位差异保持有限。

图19. 在Vr = 8时，不同间距配置下的涡度等值线，2-DOF VIV：a-c）Lx = 4，d-f）Lx = 3。

图20显示了不同配置下交错圆柱体的流动区域图，说明了随着间距参数Lx和Ly的变化，涡旋模式如何在涡旋配对（VPE）、诱导分离（IS）和涡旋撞击（VI）之间转换。需要注意的是，图20中的流动区域分类和图15中的振动模式图描述了系统的不同方面。图20描述了瞬时涡旋拓扑结构，特别是涡旋是如何形成、配对以及从C1传递到C2的，主要取决于几何间距（Lx, Ly）和Vr。相比之下，图15描述了两个振荡圆柱体的动态卷入状态，这不仅取决于涡旋拓扑结构，还取决于在给定Vr下C1的脱落频率与C2的结构响应之间的频率失谐程度。例如，在Lx = 5, Ly = 0时，图20(c)表明配置始终处于涡旋撞击（VI）区域，因为C2位于C1的尾流中心线上。然而，图15(c)显示振动模式从低Vr时的同步状态转变为高Vr时的不同步状态。这表明VI区域仅描述了激励机制（直接尾流撞击），但不保证同步。在较大的横向间距（Ly = 2）下，流动主要处于VPE区域，两个剪切层保持良好的组织性，并以几乎相同的频率脱落。这产生了稳定的涡旋配对，通常与S或SB响应相关。然而，对于最小的流向间距（Lx = 3），在高Vr时会出现轻微的相位偏差，导致间歇性调制，并在VPE范围内偶尔出现弱DS行为。这种行为与Sumner等人（2000年）报告的混合频率脱落和间歇性调制一致。

随着Ly减小到0.5–1，流动转变为IS区域，在该区域中，C1的内剪切层与C2的前表面间歇性相互作用。在这种模式下，C2可能以部分独立于上游尾流的频率脱落涡旋。这种较弱的流体动力学耦合产生了SB响应，与调制涡度相关，在某些情况下，当失谐足够强时，C2会几乎独立地脱落涡旋，导致DS行为。在最小的横向间距（0 < Ly < 1）下，流动进入VI区域，从C1脱落的涡旋直接撞击C2。对于Lx = 3–4，撞击的涡旋足够连贯，从而强制周期性锁定，产生S或SB响应。相比之下，对于最大的流向间距（Lx = 5），涡旋在到达C2之前失去连贯性，减少了有效耦合，并在VI区域内导致DS响应。流动区域与振动模式之间的对应关系在表3中总结。

表3. 流动区域、频率行为和振动模式之间的关系。

流动区域 | 相应的振动模式 | 物理特性
---------|-------------|-----------
VPE | •S，有时SB | •当Lx = 3且Vr较高时为DS | •配对被较大的外涡旋包围 | •产生稳定的、有组织的脱落和圆柱体之间的强耦合 |
IS | •SB，有时S | •当Ly = 2且C2几乎独立脱落时为DS | •C1的内剪切层偏转到间距中 | •在C2的前表面产生不稳定的涡度 |
VI | •对于Lx = 3–4为S或SB | •对于Lx = 5为DS | •从C1脱落的涡旋直接撞击C2 | •对于Lx = 3–4具有强烈的周期性激励 |

图21和图22展示了在不同减速度下交错圆柱体的轨迹，这些轨迹对应于不同的间距配置。每个轨迹对应于C1和C2的独特排列，由不同的Lx和Ly间距定义。轨迹模式不仅反映了几何干涉，还反映了相关的流动区域和由此产生的振动模式。对于C1（图21），由于在大多数配置中C1经历几乎均匀的来流，其轨迹相对简单。在较大的间距（Lx = 4-5和Ly = 1-2）下，C1遵循近乎椭圆形或八字形的对称路径，表明典型的经典VIV同步（S）模式。然而，随着间距减小（Lx = 3和Ly = 0-0.5），C2的干涉导致C1的轨道出现可见的扭曲。在这些情况下，C1在锁定区域（Vr = 4–6）附近形成倾斜的椭圆形或弱八字形，反映了相位连贯性的轻微中断。在Vr ≥ 10时，当系统超出主要锁定区域，C1的轨迹缩小并变得更加紧凑，表明振动幅度减小和流体动力学干涉减弱。

图21. 在2-DOF VIV下，不同Vr下C1的x-y轨迹，下游圆柱体的位置以及每个子图中的振动模式由（Lx, Ly, mode）表示。

相比之下，C2（图22）显示出广泛的轨迹形状，这是由于其对C1的尾流和底层流动区域的敏感性。在较低的Vr（4和5）下，当C2受到VI或IS的强烈影响时，C2形成紧凑的、倾斜的环路，这是由C1的相干周期性激励产生的S模式的特征。在这些情况下，C1的脱落主导了C2的振动，流动要么是强烈的撞击（VI），要么是诱导周期性分离（IS）。在Vr = 6时，根据间距的不同，轨迹扩大并变得扭曲，产生多环或振幅调制的路径。这些反映了同步-拍动（SB），其中两个圆柱体的频率略有不同，上游尾流间歇性地增强或抵消C2的振动。对于较大的间距（Lx = 5或Ly ≥ 1），轨迹变得不规则、不对称或非闭合，表明不同步（DS）行为。在这种DS状态下，C2以与C1不同的频率脱落涡旋，且来流不再足够连贯以强制同步。在最高的Vr（10和13）下，一些配置显示轨迹缩小并变得规则化，因为锁定减弱，而其他配置则由于持续的干涉涡旋而保持大的、不规则的环路。轨迹模式直接展示了VI如何在（Lx = 3–4）中促进同步，IS如何在较低间距（Lx = 3）中引入拍动，以及VPE如何在较低间距下导致不同步。C2的运动对间距的敏感性突显了尾流撞击、涡旋相位差和流动再附着在决定其振动行为中的重要性。

4. 结论

本研究使用2-DOF模拟，在Re = 150和质量比m? = 2.54的情况下，对交错圆柱体中的VIV进行了详细的数值研究，涵盖了各种间距比和减速度。结果表明，C1的振动响应与单个圆柱体的响应相似。然而，在较小的流向间距（Lx = 3）下，C1表现出更大的流向振幅和明显的振动频率和轨迹偏差。相比之下，由于尾流干扰，C2显示出更高的振幅和更复杂的动态行为。C2表现出配置敏感的响应，包括：
- 双频振动，结合了C2的自然频率和来自C1尾流的额外频率。
- 根据圆柱体之间的相位和频率关系，识别出三种振动模式：同步、同步-拍动和不同步。

在较小的横向间距（Ly ≤ 0.5）下，由于尾流再附着和涡旋撞击，C2经历放大的横向振动。随着间距的增加（Ly ≥ 1），振幅减小，但不同步响应和不同步响应变得更加明显。同步-拍动模式代表一种中间状态，其中频率和相位的小差异产生振幅调制和交替的尾流干涉。不同步模式的特点是双频响应和大的相位漂移。涡度等值线和轨迹图证实，更紧密的间距（Lx = 3）导致更强的尾流干扰、不规则的涡旋脱落和C2的扭曲振动环路。识别的流动区域（VPE、IS和VI）为观察到的振动模式提供了清晰的解释，展示了间距和涡旋相互作用的变化如何决定同步、同步-拍动和不同步响应之间的转换。较小的横向间距促进了强烈的尾流撞击，而较大的间距导致了更独立的脱落和较弱的相互作用。这些发现增强了对于交错配置中流体-结构相互作用机制的理解，并为工程应用中的多圆柱系统优化提供了基础。

Reza Abedi的贡献：撰写——原始草稿、可视化、验证、方法论、调查、形式分析、概念化。
Ming Zhao的贡献：撰写——审阅与编辑、监督、资源管理、项目管理、方法论、概念化。
Adnan Munir的贡献：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、方法论、概念化。
Helen Wu的贡献：撰写——审阅与编辑、监督。