《Ultrasonics》：Analytical framework for modelling body-wave scattering and diffusion in concrete
郝成 | 卡特琳·勒尔 | 马克斯·A·N·亨德里克斯 | 杨玉光
荷兰代尔夫特理工大学土木工程与地球科学学院工程结构系，2628 CN 代尔夫特
摘要
本研究提出了一个针对混凝土的特定分析框架，通过将多散射理论明确调整以适应混凝土的微观结构特性来模拟体波散射。该框架不是将散射参数视为抽象的统计量，而是根据物理可测量的混凝土属性（包括粗骨料尺寸、体积分数以及基体与主要散射相之间的材料属性差异，无论是粗骨料还是界面过渡区）来参数化散射理论的关键输入。通过将这些基于微观结构的参数嵌入到两相空间统计公式中，推导出总散射截面和传输散射截面的封闭形式表达式，并通过扩散波理论与超声扩散率直接联系起来。使用地质聚合物混凝土构件和已发布的普通混凝土数据进行的实验验证表明，理论预测与实验测量在广泛的频率范围内具有一致性。因此，所提出的框架可以从材料组成定量计算混凝土中的体波散射，为扩散波传输、能量平衡和尾波速度变化的定量解释提供了物理基础，而无需依赖特定的拟合参数。
1. 引言
近年来，利用超声技术监测混凝土结构受到了越来越多的关注，这是因为波速与材料力学性能之间存在内在关系[1]。传统的超声方法依赖于测量纵波或横波的速度（通过超声脉冲的飞行时间推断）来评估材料的完整性[2]。然而，这种方法存在局限性，例如只能检测沿波路径的变化，并且需要高频波来识别早期缺陷。作为一种有前景的替代方案，使用扩散波进行混凝土结构监测引起了极大的兴趣[3][4][5][6]。
扩散波是指在扩散状态下的弹性波，由于多次散射，波场在传播和极化方向上变得大致随机化，从而丢失了原始入射波的相位信息和传播方向[7][8]。由于这种随机化需要大量的散射事件，扩散波通常不会出现在信号的早期部分，因为最初的到达波主要由从源直接传播到接收器的相干波组成，散射较少[9]。随着信号后期的能量积累，扩散波在尾波部分变得占主导地位[10][11]。在扩散极限下，扩散波的波场通常被视为随机化的，这意味着波能在统计意义上在纵波和横波模式之间大致均匀分配，来自所有方向的纵波和横波具有大致相等的强度[12]。尽管扩散波场具有随机性，但其能量传输[13][14][15][16]仍可以使用扩散方程[17]在扩散状态的常规假设下描述。此外，扩散体波中横波能量与纵波能量的比率会收敛为一个常数，这一现象称为能量平衡[18][19][20]。
扩散波的实际相关性在于它们对介质微妙变化的高敏感性以及它们能够采样大范围区域的能力[21]。前者源于它们长的多次散射路径，这使得介质中的微小扰动得以累积；后者则是因为这些扩展的轨迹使波能够探测比弹道波更大的空间体积。这些能力推动了扩散波在混凝土无损检测（NDT）和结构健康监测（SHM）中的广泛应用，例如早期损伤表征[22][23][24][25][26][27]、应力变化检测[28][29][30][31]、热效应[32][33][34][35]，以及使用稀疏传感器网络进行裂纹成像[36][37][38][39][40]。然而，尽管有这些成功的应用，基于扩散波的研究大多仍然是定性的而非定量的，部分原因是控制扩散波行为的底层散射机制在混凝土中的理解还不够充分。
在扩散状态下，关键的可观测量（如扩散率[41]、扩散晕的传播速度以及平衡后的纵波-横波能量比率）不是独立参数；当前的散射理论表明，它们由介质的总散射截面和传输散射截面决定[14][20][42][43]。据我们所知，目前还没有一个既考虑可测量的微观结构输入，又能计算体波散射截面并将它们与扩散率联系起来的混凝土分析框架。因此，扩散率的变化不能直接与微观结构属性相关联。此外，混凝土中的能量平衡过程（包括其最终平衡比率和达到平衡所需的时间）仍然难以定量预测。这种对能量平衡的定量知识的缺乏特别限制了基于尾波的应力评估：在尾波中观察到的速度变化本质上是纵波和横波速度的加权平均值，其权重为它们的能量比率[15]。没有平衡后的能量比率，这些速度变化无法转换为有意义的应力变化，使得当前的基于尾波的成像结果仅限于重建速度变化场而非应力变化场[36]。
尽管有这些成功的应用，但基于扩散波的研究仍然大多局限于定性分析，部分原因是混凝土中控制扩散波行为的散射机制尚未得到充分理解。在扩散状态下，关键的可观测量不是独立参数；当前的散射理论表明，它们由介质的总散射截面和传输散射截面决定[14][20][42][43]。据我们所知，尚未有既考虑可测量的微观结构输入，又能计算体波散射截面并将它们与扩散率联系起来的混凝土分析框架。因此，扩散率的变化不能直接与微观结构属性相关联。此外，混凝土中的能量平衡过程（包括其最终平衡比率和达到平衡所需的时间）仍然难以定量预测。这种对能量平衡的定量知识的缺乏特别限制了基于尾波的应力评估：在尾波中观察到的速度变化本质上是纵波和横波速度的加权平均值。
2. 异质固体中体波多散射的分析表达式
为了建立混凝土所需的分析基础，我们首先从异质介质中多散射的一般理论开始。当弹性波通过异质介质传播时，它们会反复与嵌入的异质性相互作用。这些相互作用将部分波能重新导向新的方向，这一过程称为散射，也可能触发波模式之间的转换[15]。这里讨论的散射特指弹性散射[42][47][48]，在整个散射过程中能量守恒。为了量化散射能量的角度分布，引入了散射角θs，定义为入射单位波矢p（表示入射波的传播方向）与散射单位波矢p’（表示散射波的传播方向）之间的角度。它们的点积提供了cosθs。散射平面由p和p’确定，散射的球形波可以局部视为平面波[49]。散射截面定义为散射到由θs指定的方向的能量通量的度量[50]，总散射截面是通过将此量积分到所有solid角度得到的[20]。因此，总散射截面提供了一个紧凑的定量度量，反映了波在异质固体中经历的累积散射强度，因此是多散射过程的关键分析描述符[51][52]。
为了考虑波-散射体相互作用过程中可能发生的模式转换，给定入射波模式的散射截面被细分为保持原始模式的组分和将其转换为其他模式的组分。对于纵波，这些分别表示为σPP和σPS，其中第一个字母表示入射模式，第二个字母表示散射模式。相应的总散射截面，也称为纵波衰减[46]，分别表示为ΣPP和ΣPS。横波也使用类似的符号表示。异质固体中总散射截面的显式表达式需要严格的推导。在这项工作中，采用了Turner和Anugonda[46]给出的公式。与模式转换相关的总散射截面表示为：
(1a) ΣPP = ∫_(-1)^+1 σPP χ dχ
(1b) ΣSS = ∫_(-1)^+1 σSS χ dχ
(1c) ΣPS = ∫_(-1)^+1 σPS χ dχ
(1d) ΣSP = ∫_(-1)^+1 σSP χ dχ
其中ω表示角频率；vP和vS表示平均纵波和横波速度；ρ表示平均密度。参数χ定义为散射角cosθs，即入射波矢kK=(ω/vK)p与散射波矢kL=(ω/vL)p’之间的余弦值，上标K和L（K, L∈{P,S}表示入射波和散射波模式。材料属性波动R～ijKLχ的功率谱密度（PSD）在方程(1)中定义为：
R～ijKLχ := R～ijKL kK - kL
其中下标i和j可以是密度ρ、拉梅第一参数λ和拉梅第二参数μ。例如，R～λλ是λ的波动的PSD，R～λμ是λ和μ的波动的交叉功率谱密度（CPSD）。方程(1)中的表达式对应于波能量，因此是位移相关表达式的两倍[46]。
尽管这些分析表达式严格描述了异质固体中的多散射，但在实验室或现场实验中直接测量总散射截面极具挑战性。因此，地球物理研究通常间接推断散射特性，例如从尾波衰减Qc[53]或从地震能量包络的演变[54][55]中推断。在扩散状态下，包络可以使用扩散方程建模，从而可以估计扩散率作为散射强度的有效度量。这种扩散率不是一个特设参数；它与底层散射截面的联系由Weaver[42]和Turner[20]提供了分析上的证明。这种理论联系使得散射截面可以作为扩散状态下波传输的基本参数。基于此，一旦知道总散射截面，就可以得到纵波和横波的传输长度，即波失去其初始传播方向的特征距离[56]，通常称为传输平均自由路径[20][46]：
(3a) lP* = ΣSS + ΣSP - ΣSS′ + ΣPP + ΣPS - ΣPP′ + ΣSS + ΣSP - ΣSS′ - ΣPS′
(3b) lS* = ΣPP + ΣPS - ΣPP′ + ΣPP + ΣPS - ΣPP′ + ΣSS + ΣSP - ΣSS′ - ΣPS′
其中Σ’是传输散射截面[42]，是总散射截面的加权版本，权重由cosθs确定。然后，体波的扩散率表示为：
(4) D = vS / (3√(vP* + 2vP3 + 2vS3))
3. 将分析框架应用于混凝土的参数识别
尽管第2节中的分析表达式为描述异质固体中的多散射和能量传输提供了完整的框架，但将其应用于混凝土需要尚未指定的量。特别是，评估方程(1)中的总散射截面需要材料属性波动的PSD和CPSD。这些量在一般理论中是抽象的描述符，但在实际应用之前必须根据混凝土的特性明确定义。因此，第3节的目的是通过建立这些特定于材料的参数，将一般分析框架与混凝土联系起来。为了简化计算，我们将混凝土建模为包含均匀随机分布在空间中的单分散球形散射体的二元材料。简化两相混凝土的统计表示，用于PSD/CPSD的推导
直接在傅里叶域获得方程(1)中所需的材料属性波动的PSD/CPSD是不可行的。因此，一种更可行的方法是首先获取材料属性波动的空间相关函数，然后通过傅里叶变换操作将其转换为PSD或CPSD。空间相关函数用于量化非均质介质中材料属性的空间统计特性，从而将弹性参数的空间波动与弹性波的动态特性联系起来[57]。为了简化以下推导中的混凝土，这种材料被视为两相或二元材料：散射体和基体。研究这种材料的空间相关函数并不是一个新课题。最早的尝试可以追溯到1949年，由Debye和Bueche提出[58]。从那时起，相关理论得到了进一步的发展[59]，并已广泛应用于随机介质的构建中[60]、[61]、[62]。
对于假设的两相混凝土，完全占据的三维空间可以分为两个不相交的部分：散射体Κs和基体Κm。两相材料中散射体的随机场表示为：
(5)
Isx = 1, 如果 x ∈ Ks
否则 Isx = 0。
这里Is(x)表示散射体相的二元值指示函数，定义在连续的空间域上。因此，基体的随机场表示为Im(x) = 1 - Is(x)。Is(x)和Im(x)的集合平均值得到散射体的体积分数?s和基体的体积分数?m[63]、[64]：
(6a) Isx = ?s
(6b) Imx = ?m = 1 - ?s
介质中材料属性波动的相关函数形式如下[65]：
(7) Rijr = Aim - AisAjm - AjsAiAjIsx1Isx2 - ?s2
其中r表示两个位置x1和x2之间的距离。参数Ai(s)和Ai(m)分别表示散射体和基体的材料属性i的量（i和j可以是密度ρ、拉梅第二参数μ和拉梅第一参数λ）。参数
表示平均材料属性，可以使用以下公式表示：
(8) Ai = ?sAis + ?mAim
方程(7)的推导可以在附录A中找到。
通过引入一个归一化的相关函数R(r)，可以定义方程(7)中波动的二阶统计特性[66]、[67]：
(9) Isx1Isx2 - ?s2 = ?s?mRx1 - x2 = ?s?mRr
将方程(9)代入方程(7)得到：
(10a) Rijr = Aij?s?mRr
其中Aij定义为两相属性的对比度：
(10b) Aij := Aim - AisAjm - AjsAiAj
附录A中给出了一个使用密度ρ作为Aρρ的例子。归一化相关函数R(r)的形式被假设为指数函数，这能够很好地描述连续和离散材料的相关性[58]、[68]：
(11) Rr = e^-rH
其中H是特征相关长度。在方程(11)所示的指数相关模型中，特征相关长度H量化了相位指示器保持相关的空间尺度。这个参数通常用于估计材料的非均质性尺度[69]、[70]、[71]。在具有单分散且随机分布的散射体的二元材料中，非均质性尺度主要由散射体的空间排列决定。在这种情况下，特征长度H可以解释为有效的散射体间距[44]，因为这两个量都反映了材料从一个相转变为另一个相的典型距离。
在计算总散射截面时，应将空间相关函数转换为傅里叶域。结合方程(7)、(9)和(11)，材料属性波动的PSD或CPSD表示为：
(12) R～ijk = Aij?s?mH^(3π/2) / (1 + H^2k^2)
其中i和j可以是密度ρ、拉梅第一参数λ和拉梅第二参数μ。空间傅里叶变换的推导细节可以在附录B中找到。然后，方程(2)可以写为：
(13) R～ijKLχ = R～ijKLkK^-kL = Aij?s^(1 - ?sH^(3π/2)) / (1 + H^2kK^-kL^2) = Aij?s^(1 - ?sH^(3π/2)) + xK^2 + xL^2 - 2xKxLχ^2
其中xK或xL是无量纲频率，定义为xK = ωH/vK或xL = ωH/vL。在考虑可能的波模式转换后，方程(13)可以表示为：
(14a) R～ijPPχ = Aij?s^(1 - ?sH^(3π/2)) + 2xP^2
(14b) R～ijSSχ = Aij?s^(1 - ?sH^(3π/2)) + 2xS^2
(14c) R～ijPSχ = Aij?s^(1 - ?sH^(3π/2)) + 2xP^2 + xS^2 - 2xPxSχ^2
如方程(14)所示，评估总散射截面所需的关键参数包括纵向和横向波速度(vP和vS)、角频率(ω)、特征相关长度(H)、散射体的体积分数(?s)以及两相之间的材料属性对比度(Aij)。在上述参数中，波速度和角频率可以从接收信号中获得。在由单分散球形散射体组成的理想化二元介质中，?s和H并不是独立的。较高的散射体体积分数会减小散射体之间的平均间距，从而缩短相关长度。在这个假设下，一旦知道散射体的体积分数和直径，特征相关长度就可以直接从其几何关系中得出。确定?s和H需要首先确定哪些混凝土成分应被视为基体，哪些应被视为散射体。这种识别是后续分析的基础，将在下一节中讨论。
3.2. 混凝土中的基体和可能的散射体
如第3.1节所讨论的，混凝土中体波的散射行为受五个参数的控制：波速度、波角频率、基体和散射体之间的材料属性对比度、散射体体积分数以及特征相关长度。在将混凝土理想化为具有均匀随机分布的单分散球形散射体的二元介质的情况下，特征相关长度成为散射体直径和体积分数的确定性函数。此外，波速度可以在实验中直接估计，入射波的角频率可以在测量过程中有意控制。考虑到这些依赖性，独立的材料相关参数减少到三个：材料属性对比度、散射体体积分数和散射体直径。
混凝土包含几种潜在的散射体，包括空气孔隙、钢筋和粗骨料。为了有意义地贡献于散射过程，一个相必须满足以下条件：(i) 相对于基体有显著的材料对比度；(ii) 有不可忽视的体积分数；(iii) 相对于所考虑的波长有足够大的直径。尽管空气孔隙的材料对比度很强，但它们的直径通常低于3毫米[72]，这限制了它们对500 kHz以下频率的散射贡献，因为混凝土中的横波波长大约为5.4毫米。钢筋的体积分数很小（例如，在梁中的最大纵向钢筋比为4%[73]），因此对体波散射的贡献理论上是有限的。对于粗骨料，散射可能来源于骨料本身或围绕它们的界面过渡区(ITZ)。在普通混凝土中，ITZ非常多孔且机械强度低于主体浆体[74]。其厚度通常小于0.15毫米[75]、[76]，远小于粗骨料的直径（大于4毫米）。据报道，ITZ的弹性模量是基体的20%到85%（如表1所总结）。相比之下，在碱激活或地质聚合物混凝土中，ITZ的弹性模量可以与基体相当甚至超过基体[77]、[78]。
表1. ITZ与基体之间的材料属性差异总结
| 材料 | ITZ与基体之间的材料对比度 | 密度比 ρITZ/ρmatrix | 泊松比 υITZ/υmatrix | 弹性模量 EITZ/Ematrix |
|------|-----------------|-----------------|-----------------|-----------------|
| 水泥砂浆 | ? | *10.6 | [80] | ? |
| 混凝土 | ?1.2 | 0.5 | [81] | ? |
| 混凝土 | ? | 0.7至0.85 | [82] | ? |
| 混凝土 | ?10.4 | 0.404和0.384 | [83] | ? |
| 混凝土 | ?10.5 | 0.9 | [84] | ? |
| 混凝土 | ?1.2 | 0.477 | [76] | ? | 从0.2到0.8 |
| 地质聚合物 | ? | ?1.015 | [86] | ? | 0.974和1.205 |
| 注：“-”表示论文中未提供此信息。 |
基于这些考虑，围绕粗骨料的ITZ是普通混凝土中体波的极有可能的散射源，Ramaniraka等人也强调了这一点[34]、[35]。在机械强度较高的ITZ混凝土系统中，如地质聚合物混凝土，主要的散射源更可能是粗骨料本身。在以下计算中，非均质介质始终表示为两相配置。根据分析的重点，可以将粗骨料或ITZ视为嵌入在均匀基体中的有效散射相。当将ITZ视为散射体时，其响应被建模为有效的界面非均质性，而不明确解析粗骨料核心的内部结构。明确解析基体、骨料和ITZ作为三个不同的相会显著增加模型的复杂性，因此通常在文献中使用数值模拟方法[34]、[35]。
3.3. 使用混凝土特性在分析框架中确定参数
在前两节中，我们讨论了简化两相混凝土的PSD/CPSD以及混凝土中可能的散射体。我们已经确定了评估总散射截面所需的关键参数，包括纵向和横向波速度、角频率、特征相关长度、散射体体积分数以及两相之间的材料属性对比度。在这些参数中，特征相关长度和散射体体积分数在当前假设下（包含在空间中均匀随机分布的单分散球形散射体的二元材料）是相关的，因此必须重新表述为独立的、可确定的变量。此外，还需要进一步的简化来为两相之间的材料属性对比度分配合理的值，否则很难量化。
遵循在雪和随机介质散射中常用的方法[87]、[88]，其中指数相关长度根据有效颗粒大小和体积分数进行参数化，我们采用了一个简化的几何模型，其中特征间距H表示为散射体特征半径rs和体积分数?s的函数。这与将微观结构长度尺度与两相随机介质中的包含体大小和体积分数相关联的一般做法一致，尽管具体形式应被视为针对当前球形理想化的模型选择，而不是普遍结果。这种转换将相关对(H,?s)转换为两个独立且可以直接控制的输入(rs,?s)。假设所有散射体都是半径为rs的单分散球体，并且在空间中均匀随机分布，考虑一个面积为A [m2]、厚度为dx [m]的差分板。该元素中的散射体总数为?sAdx / (4/3 × πrs3)。因此，这些散射体阻挡的总面积为：
(15) dA = -?sAdx / (4/3πrs3)πrs2 = -3?sAdx
方程(15)中的推导似乎只涉及体积分数和散射体特征半径，但实际上它来源于每个球形散射体的投影面积πrs2。当数密度(?sAdx除以球体体积)乘以投影面积时，几何常数相互抵消，最终表达式不再包含显式的面积项。得到的微分方程具有指数衰减的形式，其相关的衰减长度定义了相关长度：
(16) H = 4rs3?s
尽管方程(16)的数学形式类似于用于定义平均自由路径的指数衰减[89]，但物理意义根本不同。特征相关长度H纯粹来自相分布的空间统计特性，并不描述波幅或能量的衰减。
如第3.2节所述，ITZ是普通混凝土中可能的散射源，而在具有较强ITZ的材料中，粗骨料占主导地位。考虑到ITZ只形成薄壳，散射体的特征半径实际上由粗骨料的特征半径决定。估计这个骨料半径需要使用散射体尺寸分布。特征半径使用以下公式计算[90]：
(17a) 4/3πrs3 = V ∫rmin/rmaxvrc / (4/3πrc3drc)
其中V表示粗骨料的总体积，rc是单分散球形散射体的特征半径，v(rc)是与半径rc的骨料相关的体积。真实的骨料尺寸分布是连续的，方程(17a)遵循这种连续表示。为了提供工程估计的潜在连续散射体直径分布，采用方程(17a)的离散形式，使用基于筛分的等级间隔来近似这种连续分布，得到离散近似：
(17b) rs = ∑i=1^g ni ri^(3-1/3)
其中ni表示等级间隔i内的体积比，ri是该等级间隔内的特征半径。
在计算材料属性波动的PSD和CPSD时，对比因子Aij作为一个乘法幅度项，取决于密度ρ、拉梅第一参数λ和拉梅第二参数μ的绝对对比度。在实践中，在微观尺度上获得这些绝对对比度是具有挑战性的：所有这三个量都需要在ITZ和粗骨料内部进行局部测量，以定义不仅PSD，还有ρ、λ和μ之间的CPSD。这样的测量在实验中很少能够实现。此外，即使是现有的微观尺度弹性模量数据也表现出相当大的变异性，如表1所示，而且尚未有相应的微观尺度密度数据被报道。由于基于完整PSD/CPSD信息的数值实现在没有这些微观尺度对比度的情况下是无法进行的，因此在PSD/CPSD公式中，对比度因子Aij被归一化为1。这种简化保留了波动的空间统计特性，同时使该框架在实际应用中变得可行。第5.1节讨论了简化Aij=1的物理解释以及其适用条件。混凝土的总截面和传输截面的表达式在附录C.4中提供。
使用混凝土试样验证总散射截面
本节介绍了所提出的散射框架的实验验证。对地质聚合物混凝土梁和板进行了超声波测量，以获得频率依赖的扩散率，并将其与理论预测进行直接比较，同时通过与已发布的实验扩散率数据比较来进一步评估该框架对普通混凝土的适用性。
4.1. 使用地质聚合物混凝土梁的验证
总散射截面的实验验证涉及三个地质聚合物混凝土构件：两个梁和一个板。地质聚合物混凝土构件的几何形状和传感器布置以及实验细节在附录D中介绍。
扩散的控制方程可以写成以下形式[41]，[91]：
(18)?Ex,t?t=D?2Ex,t-σEx,t+E0δx-x0δt，
其中t表示时间，x是空间向量。E(x,t)是位置x和时间t处的传输能量，E0表示初始位置在时间t=0时沉积的脉冲能量[41]。参数D和σ分别代表描述能量传输特性的扩散率和耗散率。为了简化公式，图D2(a)、D3(a)和D4(a)中显示的截面被近似为矩形。如图所示，只有截面下角附近的小区域没有混凝土。这些区域的面积在梁的情况下约占总矩形截面的1.8%，在板的情况下占1.2%。鉴于它们的范围有限，将截面近似为矩形被认为是这种分析目的下的一个足够准确的假设。对于长方体三维介质，方程(18)的解如下[22]，[26]，[92]：
(19)EaS,aR,t=E0e-σt×1+2∑n=1∞cosnπxSLScosnπxRLSe-DnπL2t×1+2∑n=1∞cosnπySHScosnπyRHSe-DnπL2t×1+2∑n=1∞cosnπzSWScosnπzRWSe-DnπL2t，
其中aS和aR表示源和接收器的位置向量，其坐标分别为(xS,yS,zS)和(xR,yR,zR)，相对于附录D中显示的坐标系定义。参数LS、HS和WS分别表示混凝土梁或板的长度、高度和宽度。对于图D2和D3中显示的配置，LS、HS和WS分别设置为7.35、0.42和1.10。对于图D4中显示的配置，LS、HS和WS分别取为7.35、0.42和3.19。在拟合扩散率和耗散率时使用了方程(19)的对数形式。
扩散率是通过以下步骤从实验结果中估计的：
•基于CWT的频率分解：首先使用连续小波变换（CWT）系数的平方模值将记录的信号分解为频率依赖的能量，其中使用的是解析Morlet小波。完整的分析频率范围是50 Hz到1 MHz（采样率为3 MHz），每个八度有10个频率分量。对于实验扩散率分析，选定的频率范围是从50 kHz到400 kHz，间隔为50 kHz。对于50、100、150和200 kHz的频带，能量是通过平均中心频率和两个相邻频率尺度上的CWT系数获得的；而对于250、300、350和400 kHz的频带，仅使用中心频率尺度，因为相应的CWT频带已经足够宽。
•时间窗口集合平均：然后在一系列重叠的时间窗口内对每个频率的能量进行集合平均。前11个窗口的持续时间为40 μs，从25 μs开始，相邻窗口之间的重叠时间为20 μs。从第12个窗口开始，窗口长度增加到100 μs，从225 μs开始，随后的10个窗口之间的重叠时间为50 μs。
•最小二乘扩散率拟合：通过对测量和对数能量演化之间的差异进行无权最小化，拟合得到的时间依赖能量的对数，以估计最佳拟合的扩散率D、耗散率σ和初始沉积能量E0。使用箱形图表示不同构件和传感器位置上提取的扩散率值的分布。这提供了变异性的实际表征，尽管应将其与严格的不确定性传播分析区分开来。
混凝土构件中使用的粗骨料的干密度为2630 kg/m3。粗骨料在混凝土中的体积分数可以直接从混合物组成中推断出来，如表2所示。粗骨料的体积分数为25.7%。粗骨料的特征半径使用方程17(b)计算，粗骨料的筛分结果在表3中提供。在每个分级区间内，存在两个特征半径：最大半径和最小半径，它们与可以有效分离的颗粒大小范围有关。为了探索特征半径选择对理论框架预测的扩散率的影响，在各自的计算中使用了分级区间内的最大和最小半径作为粗骨料的特征半径。估计的粗骨料的特征最大和最小半径分别为4.45 mm和3.12 mm。相应特征相关长度H分别为23.07 mm和16.18 mm。在地质聚合物混凝土构件中测量的平均纵波速度为4544 m/s。平均横波速度使用0.61的因子估计为2772 m/s。
表2. 地质聚合物混凝土的混合物组成。
材料 含量（kg/m3）
高炉矿渣 550.0
NaOH溶液（50.0 wt%） 36.9
硅酸钠溶液（48.0 wt%） 80.4
水 191.0
外加剂/缓凝剂 1.375
砂：0–4 mm 762.0
砾石：4–16 mm 676.0
表3. 地质聚合物混凝土中粗骨料的筛分。
粗骨料直径 12–16 mm 8–12 mm 5.6–8 mm 4–5.6 mm
体积比 22.6% 38.9% 28.1% 10.4%
图1展示了通过将每个分级区间内的最小和最大骨料半径作为特征半径来分配时，实验扩散率与理论预测的比较。两条理论曲线在整个频率范围内保持接近，表明由分级区间离散化引入的散射体尺寸不确定性仅导致预测响应的有限分布。为了量化理论和实验扩散率之间的一致性，表4报告了每个频率的实验中值、平均值±标准差、95%置信区间、相对误差、标准化误差和MAPE。在低频范围（50–150 kHz）内，实验扩散率显示出相当大的分散，尽管理论预测仍在整体实验变异范围内，但与测量值略有偏差。在100 kHz处，相对误差达到31.39%，这可能是因为在所有频率分量上使用了单分散散射体的理想化。当分别考虑低频和高频带时，推断的特征半径可能会有所不同。这表明不同的频率优先采样散射体尺寸分布的不同部分，这是当前理想化无法完全捕捉到的效应。
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图1. 通过实验中的扩散率验证总散射截面。箱形图用于直观展示实验中测量的扩散特性的分布。箱形图涵盖了第一和第三四分位数（Q1和Q3），箱内的线标记了中位数， whiskers延伸到Q1和Q3的1.5四分位距（IQR）范围内的最极端非异常值。异常值，用圆圈表示，是超出箱顶或箱底1.5倍IQR的值。
表4. 不同频率下理论和实验扩散率的比较，以及相应的误差指标。
频率 [kHz] 理论扩散率 [mb/s] 实验扩散率 [mb/s]
D 中值 D 均值±标准差 95%置信区间 相对误差 标准化误差 MAPE
50 10 4.73 90.0 0.0 106.2 2?±?60.18 [92.47,119.97] 1.40%
100 52.17 73.4 6.0 4?±?22.52 [70.89,81.19] 31.39%
150 38.58 39.1 39.9 ±?8.03 [38.16,41.83] 3.53%
200 32.25 38.3 38.1 ±?6.82 [36.55,39.67] 15.38%
250 28.51 38.3 38.1 ±?6.73 [36.56,39.64] 15.38%
300 26.01 34.3 33.6 ±?6.20 [32.22,35.05] 22.68%
350 24.2 30.3 29.5 ±?5.23 [28.31,30.70] 17.99%
400 22.8 12.7 26.9 ±?4.75 [25.85,28.02] 15.33%
a 使用公式计算：Dmean?±?1.992?×?Dstd/sqrt(Nsample)，其中Nsample表示样本总数，等于76。
b 相对误差（RE）使用公式计算：|Dtheoretical-Dmean|/Dmean。
c 标准化误差（SE）使用公式计算：|Dtheoretical-Dmean|/Dstd。
d 平均绝对百分比误差（MAPE）使用公式计算：100?×?sum(|Dtheoretical-Dexperimental|/Dexperimental)/Nsample。
在更高频率（200–400 kHz）下，理论预测与实验结果相当一致，尽管它们系统地低于实验平均值。如表4所示，这一范围内的相对误差在15.33%到25.17%之间，而标准化误差的范围从0.860到1.425，表明偏差与实验扩散率数据的内在散布相当。这种定量比较表明该框架捕捉到了地质聚合物混凝土中扩散率的整体频率依赖性和数量级，进一步表明所提出的分析框架成功再现了由粗骨料和基质之间的对比度引起的频率依赖性散射。此外，这一观察结果加强了在推导过程中采用的简化假设的有效性，包括使用特征散射体半径和材料对比度因子的归一化。尽管有这些简化，模型仍能以令人满意的准确性再现实验观察结果，表明已经适当地纳入了混凝土中多次散射的基本机制。
4.2. 使用Anugonda等人[44]报告的混凝土棱柱的验证
为了检验所提出的分析框架对普通混凝土的有效性，我们进一步使用Anugonda等人[44]报告的扩散率数据来测试该框架。应当注意的是，Ahn等人[94]、[95]也报告了普通混凝土的扩散率测量结果。然而，他们的测量是使用基于表面的传感器获得的，因此可能反映了体波和表面波扩散率的综合效应。由于当前框架主要基于体波，因此这些数据不能直接在这里使用。
在Anugonda等人[44]报告的实验中，频率范围是从100 kHz到900 kHz，间隔为100 kHz。他们计算中使用的粗骨料体积分数为58.8%。然而，这个值没有考虑水的贡献。在他们的论文中，水灰比为0.5，水泥/砂/粗骨料的体积比为1:2.5:5。考虑到水泥的绝对密度约为3.1 g/cm3[96]，水/水泥/砂/粗骨料的体积比为1.55:1:2.5:5。因此，包括水在内的粗骨料的更准确体积比约为49.75%，略低于原始值。报告的平均纵波和横波速度分别为4240 m/s和2450 m/s。由于论文中只提到了最大粗骨料尺寸12.7 mm，并未提供进一步信息，我们在计算中考虑了三个特征粗骨料半径，分别为3 mm、4.5 mm和6 mm，对应的特征相关长度分别为8.04 mm、12.06 mm和16.08 mm。
图2展示了使用三种不同特征半径（3 mm、4.5 mm和6 mm）对实验测量的扩散率与理论预测的比较。为了量化这种比较，表5总结了为这三个假设特征半径获得的理论扩散率，并报告了在整个研究频率范围内理论和实验扩散率之间的平均相对误差。如表5所示，平均相对误差从rs=3 mm时的28.81%下降到rs=4.5 mm时的15.19%，进一步下降到rs=6 mm时的11.88%。实验数据主要位于这个由半径引起的范围内，特别是在中间和高频区域（300–900 kHz）。这种一致性表明这些估计的特征半径与控制超声波散射的微观结构尺度一致。在较低频率（100–200 kHz）下，理论预测与实验扩散率存在偏差。这种差异也可能源于第4.1节讨论的单分散散射体理想化。尽管如此，偏差仍然适中，实验不确定性仍然在理论预测的范围内。表5还显示，将粗骨料的体积比从重新计算的49.75%改为最初报告的58.8%（对于rs=6 mm），平均相对误差仅略有变化，从11.88%变为11.33%。这表明体积分数的影响是显著的，但不是实质性的。总体一致性确认了分析框架捕捉到了基本散射机制，包括基质-界面（ITZ）对比度和特征散射体尺寸的选择。总体而言，这种一致性表明该框架能够描述普通混凝土中的波扩散，其中ITZ是散射事件的主要来源，进一步证实了分析框架中采用的假设和近似的有效性。
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图2. 使用Anugonda等人[44]的数据验证所提出框架对普通混凝土的适用性。
表5.在不同参数设置下，实验平均扩散率与理论扩散率的比较。频率 [kHz] 实验获得的平均扩散率 [m2/s] 理论扩散率 [m2/s] Anugonda等人[44]的理论预测 rs = 3 mm（体积比49.75%）rs = 4.5 mm（体积比49.75%）rs = 6 mm（体积比49.75%）rs = 6 mm（体积比58.8%）100 24.22 39.58 34.11 30.95 30.76 31.67 200 20.67 19.54 15.39 16.37 17.83 17.45 300 13.83 14.40 10.92 12.41 14.02 13.44 400 14.23 12.01 8.92 10.51 12.12 11.49 500 10.21 10.60 7.77 9.38 10.96 10.31 600 9.26 9.66 7.01 8.60 10.14 9.50 700 9.19 8.98 6.48 8.04 9.56 8.90 800 9.72 8.46 6.06 7.61 9.09 8.44 900 7.10 8.05 5.74 7.26 8.71 8.07 理论结果与实验结果之间的平均相对误差 13.93% 28.81% 15.19% 11.88% 11.33%
5. 讨论
5.1. 材料属性对比的简化
在第3.2节中，PSD/CPSD公式中的对比因子Aij被归一化为单位值。尽管这种归一化是为了计算方便而引入的，但它隐含了散射体与基体之间材料属性的有效对比程度。为了阐明这种归一化所代表的物理尺度，下面检验了不同材料系统中的对比情况。
对于土聚合物混凝土，其界面层（ITZ）可能与基体相当或更强，粗骨料是主要的散射体。在Aij = 1的归一化下，隐含的对比度Ai(s)/Ai(m) = 2.346，导致弹性模量比E(s)/E(m) = 2.346，这与报告的纳米压痕值大约2.5一致[86]。相应的泊松比对比度υ(s)/υ(m) = 1难以评估，因为关于土聚合物砂浆的数据有限。相比之下，密度对比度ρ(s)/ρ(m) = 2.346可能被高估了，因为现有研究[97],[98]表明粗骨料的密度仅略高于土聚合物砂浆。对于普通混凝土，其界面层比浆体弱，界面层是主要的散射体。在这种情况下，Aij = 1对应于Ai(s)/Ai(m) = 0.332。由此产生的弹性模量比E(s)/E(m) = 0.332和泊松比υ(s)/υ(m) = 1与表1中总结的值大体一致。由于界面层的密度难以通过实验直接测量，因此无法评估隐含的密度比ρ(s)/ρ(m) = 0.332。虽然这些隐含的对比有助于解释归一化的物理意义，但它们本身并不能显示模型预测对所采用的Aij值的依赖程度。
为了补充上述物理解释，本研究对两个验证案例中的Aij从0.50变化到1.50进行了专门的敏感性分析。结果预测的扩散率如图3所示，代表性数值总结在表6中。从这些结果中可以更清楚地看出：对于土聚合物和普通混凝土，将Aij从0.50变化到1.50会在它们各自的频率范围内产生系统性的扩散率变化。相对于基线情况Aij = 1，预测的扩散率与Aij成反比变化，表明Aij主要作为模型中的有效缩放因子。这是因为在当前的公式中，相同的归一化值Aij被赋予与密度和两个拉梅参数相关的对比项，因此Aij作为共同的乘法前因子进入PSD/CPSD表达式，而不是一组独立变化的物理对比。因此，改变Aij主要重新调整了整体散射强度和相应的扩散率水平，而预测曲线的频率依赖性基本保持不变。
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图3. 土聚合物混凝土和普通混凝土的预测扩散率对Aij的敏感性。
表6. 不同Aij值下土聚合物和普通混凝土在选定频率下的预测扩散率。
空单元格
扩散率 [m2/s]
空单元格
Aij = 0.50
Aij = 0.75
Aij = 1.00
Aij = 1.25
Aij = 1.50
土聚合物混凝土
50 kHz 209.45 139.63 104.73 83.78 69.82
200 kHz 64.50 43.00 32.25 25.80
300 kHz 52.02 34.68 26.00 20.81
400 kHz 45.62 30.41 22.21 18.25
普通混凝土
100 kHz 65.59 43.73 32.79 26.24
200 kHz 20.16 13.44 10.08 8.06 6.72
空单元格
600 kHz 16.25 10.83 8.13 6.50 5.42
900 kHz 13.55 9.04 6.78 5.42 4.52
综上所述，这些观察结果表明，从Aij = 1得出的隐含对比度应被视为散射体-基体不匹配的有效度量，而不是每个弹性或密度参数的物理精确比率。归一化产生的模量对比度对于土聚合物和普通混凝土都在现实范围内，而由于直接实验数据有限，泊松比和密度对比度不应被过度解读。更重要的是，分析框架已经包含了理想化的假设，即单分散球形散射体，这简化了混凝土的真实异质性。在这种近似下，归一化Aij的目的是捕捉与主要异质性相关的有效散射强度，而不是恢复个别材料参数的精确对比度。因此，理论扩散率与实验测量扩散率之间的密切一致表明，尽管预测的扩散率对采用的Aij值敏感，但基线选择Aij = 1为这里考虑的两种混凝土系统提供了一个合理的有效近似。
从这个角度来看，该框架最好被解释为量化关键微观结构相的有效散射贡献的工具，而不是为每个参数分配详细物理值的手段。这一视角也为将框架扩展到评估普通混凝土中界面层属性变化提供了基础。如前所述，几百千赫范围内的体波散射受到普通混凝土中粗骨料周围界面层的强烈影响。然而，目前的实验表征方法主要是纳米压痕[99],[100]，通常是破坏性的，只能提供局部测量结果，其变化范围从基体模量的20%到85%，如表1所示。相比之下，弹性体波探测的是米级的三维区域，它们的总散射截面整合了界面层在更大体积内的响应。因此，我们未来的工作将侧重于使用所提出的框架，通过直接拟合实验确定的扩散率来推断统计上有效的界面层属性对比度，而不是假设Aij = 1。需要强调的是，这里的目标不是提取界面层的绝对材料属性，这在上述框架的范围内是不现实的。相反，目的是从扩散波测量中检索有效的界面层属性对比度，并将这些对比度作为损伤过程（如热降解）期间界面层属性相对变化的定量指标。这种能力特别重要，因为使用现有的实验表征技术无法非破坏性地监测界面层属性的演变。
5.2. 重新审视总散射截面推导中的假设
方程（1）中总散射截面的推导基于三个假设[46],[47]：
1. 介质在统计上是各向同性的且均匀的；
2. 散射过程中相速度保持不变；
3. 异质性的空间波动较弱。
假设1意味着介质中的异质性均匀分布。对于地球物理材料和混凝土[46]，这个假设是合理的。假设2是玻恩近似[101]，它假设散射事件只改变传播方向和波模式，而纵波和横波的相速度保持不变。这种简化允许将散射场表示为每个单独散射体发射的散射波的总和[13]。通过采用玻恩近似，可以使用三维傅里叶变换直接计算散射幅度，该变换基于入射波和散射波矢量之间的差异[102]。在统计上各向同性和均匀的固体中弹性波散射的背景下，势能函数与拉梅常数λ和μ以及密度ρ的空间波动有关[47]，这些因素控制着这些介质中弹性波的传播。使用玻恩近似还解释了方程（1）中表达式涉及的功率谱密度：当应用玻恩近似时，空间波动被转换为傅里叶域中的功率谱密度[47]。
玻恩近似的适用性由波数k与散射体特征直径ds之间的关系决定。当波长远小于散射体直径时[42]，这种近似就不适用了。换句话说，在瑞利范围[103]（kds小于1）或瑞利-甘斯范围[13]（kds与1的数量级相同）内，基于先前的研究[101]，玻恩近似是有效的。Calvet和Margerin[57],[104]指出，基于玻恩近似的预测在kds约为10的范围内仍然是可靠的。因此，这里采用kds < 10作为玻恩近似适用性的实际上限，而不是严格阈值。图4显示了在kds = 10时普通混凝土和土聚合物混凝土中频率与粗骨料直径之间的关系。对于土聚合物混凝土，使用分级区间内的最大半径估计的ds为8.90 mm，相应的kSds和kPds在400 kHz（本文研究的土聚合物混凝土的最大频率）分别为4.93和8.07，两者都小于10。
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图4. 普通混凝土和土聚合物混凝土中P波和S波的频率与粗骨料直径之间的关系（kds = 10）。每条曲线以上的区域满足kds > 10，而每条曲线以下的区域满足kds < 10。
对于普通混凝土，ds取为9.00 mm，相应的500 kHz、700 kHz和900 kHz下的横波kSds分别为11.54、16.16和20.77。这些值都超过了这里采用的实际上限kSds < 10。因此，目前基于玻恩近似的处理在400 kHz以下有更坚实的理论基础，而在更高频率下的应用应谨慎解释。尽管如此，如图2所示，理论预测与400 kHz以上的实验扩散率仍然吻合良好。这一观察的一个可能解释是，本研究中比较的量是传输级别的可观测量，即扩散率，它主要由集合平均能量重分布控制，而不是由单个散射事件的详细相位演变控制。虽然玻恩近似可能无法准确描述几何范围内的单个散射事件的相位和幅度，但在多散射框架内使用它仍然可以为宏观能量传输提供近似预测，当强随机性、模式转换和重复散射迅速消除方向和相位记忆时。
5.3. 改进理论框架性能的可能方法
如前几节所讨论的，理论框架依赖于几个简化假设，这些假设可能会影响其性能。下面概述了两种可能的改进方法以使其与实验数据更吻合。
第一种方法侧重于增强归一化相关函数。在本文中，我们假设归一化相关函数R(r)遵循指数形式。然而，这个假设可能不适用于这里考虑的两相混凝土。为了更准确地估计相关函数，需要一个特定于混凝土的数值模型。有关更多细节，请参阅Liu和Turner[65]发表的文章。
第二种方法涉及通过纳入更现实的多尺度散射体描述来改进框架，而不是采用单分散散射体的理想化。低频和高频预测之间的差异可能源于当前框架用单一特征散射体大小来表示粗骨料。混凝土包含广泛且连续的粗骨料尺寸分布，不同频率成分优先与这种分布的不同部分相互作用。因此，单一的有效半径无法在整个频率范围内一致地再现散射行为。允许特征半径随频率变化可能无法以物理上有意义的方式解决这个问题。散射体大小是材料的几何属性，应独立于频率；根据不同频率调整它将使其成为频率依赖的拟合参数，并引入选择频率范围的强烈主观性，从而削弱了框架的预测性质。因此，一致地表示低频和高频行为需要扩展当前的公式，以考虑多分散或多尺度散射体群体。提出的框架在混凝土中体波能量平衡方面的潜在应用
除了预测混凝土中体波的散射和扩散特性外，该多散射框架还能够估计混凝土中体波的能量平衡过程。由于该框架明确考虑了散射过程中的模式转换，因此可以将其纳入波能传输模型中，以预测体波的平衡时间和平衡后的能量比。平衡时间是一个关键指标，表明扩散方程何时适用于波能传输的建模[47]，这对于使用尾波进行基于扩散的灵敏度核成像至关重要[36]、[38]、[107]、[108]、[109]、[110]。正如Seher等人[111]所指出的，据我们所知，目前还没有广泛采用的模型能够预测混凝土中的这种平衡时间。值得注意的是，灵敏度核可以通过辐射传输方程构建[112]，其中平均自由路径是一个关键输入参数，可以直接从当前框架中获得。从该框架得出的平衡能量比还可以用来解释从尾波中检索到的应力引起的速度变化，这些速度变化代表了纵波和横波速度变化的能量加权组合。更全面地理解这种加权机制有助于将测量的尾波速度变化与潜在的应力变化联系起来，即使只有稀疏的传感布局可用[21]。这些潜在应用表明，提出的框架可能有助于未来基于尾波的SHM（结构健康监测）的发展，我们打算在后续工作中继续探索这一方向。
5.5. 模型假设、有效范围和不确定性预算
为了提高所提出框架的透明度，表7总结了本研究中采用的主要建模假设和简化措施及其相应的适用性或有效性条件。该总结旨在明确说明在哪些条件下，分析公式能够合理描述混凝土中的波散射和扩散波传输。
表7. 主要假设和简化措施及其适用性条件的总结
假设/简化措施 | 适用性/有效性条件
-----------------|-------------------
单分散球形散射体 | 一级理想化，当散射可以通过一个主导的有效骨料尺寸来表示时更为合适
Aij = 1 的归一化 | 作为此处考虑的混凝土系统的有效对比度近似，而不是每个单独材料参数的精确比率
玻恩近似 | 通常在较低频率下更可靠（例如，在普通混凝土中低于约400 kHz）；使用 kSds < 10 可以评估更广泛的实际适用性
指数相关函数 | 当材料属性波动的空间相关性可以通过具有单一特征相关长度的单调衰减来合理表示时适用
弹性波传输的扩散区假设 | 当多散射足够强，方向记忆基本丧失，并且源-接收器间距和分析时间窗口使得记录的信号主要由扩散尾波而不是相干或弹道波组成时有效
矩形截面近似 | 当忽略的角空隙只占总截面面积的一小部分时适用
表8列出了影响预测扩散率或实验提取扩散率的主要不确定性来源。在模型方面，材料属性的不确定性被列为高，因为图3和表6中展示的敏感性分析表明，有效对比度参数Aij的变化会导致预测扩散率的显著变化。骨料尺寸的不确定性被列为不确定，因为使用单一特征尺寸可能会影响预测的频率依赖性，但其定量贡献在当前框架内尚无法严格估计。波速的不确定性被列为中等，因为尽管采用的纵波和横波速度确实会影响散射计算，但它们的影响目前不如有效对比度归一化那么明显。在实验方面，传感器/间距不确定性和处理/拟合不确定性都被列为中等。前者反映了源-接收器间距、传感器耦合以及样品间变异对测量尾波能量和拟合扩散率的影响，而后者反映了频率带选择、时间窗口定义和拟合选择的影响，特别是在高频下，还应检查玻恩近似的适用性。
表8. 预测扩散率和实验提取扩散率的不确定性预算
不确定性来源 | 受影响量 | 主要影响 | 相对影响
-----------------|------------|------------|
材料属性不确定性 | 有效对比度通过 Aij = 1 的归一化表示，而不是独立测量的 ρ、λ 和 μ 的对比度 | 预测扩散率 | 改变 PSD/CPSD 幅度、散射截面和扩散率水平 | 高 |
波速不确定性 | 在散射和扩散计算中使用了代表性的 P 波和 S 波速度 | 预测扩散率 | 影响波数、无量纲频率和传输截面 | 中等 |
骨料尺寸不确定性 | 用分级得到的单一特征尺寸表示粗骨料 | 预测扩散率 | 控制特征散射尺度和频率依赖性；单分散理想化无法完全表示多尺度散射 | 不确定（可能从中等到高） |
传感器/间距不确定性 | 包括了不同的成员和传感器位置；使用箱形图显示了分布 | 提取的扩散率 | 影响测量的尾波能量和拟合扩散率；过短的源-接收器间距可能会阻止信号完全处于扩散区 | 中等 |
处理/拟合不确定性 | 使用基于CWT的分解、重叠时间窗口和未加权最小二乘法提取扩散率 | 提取的扩散率 | 频率带选择、窗口定义和拟合选择影响拟合的扩散率和耗散；在高频下，还应检查玻恩近似的适用性 | 中等 |
6. 结论
在这项工作中，通过将多散射理论明确地适应混凝土的微观结构特性，开发了一个特定于混凝土的体波散射分析框架。该框架没有将散射参数视为抽象的统计量，而是将散射理论的关键输入重新表述为在两相统计表示中的物理可测量混凝土属性。这种方法建立了混凝土微观结构、散射截面和超声扩散率之间的直接和定量联系。本研究的一个关键贡献是对散射理论进行了参数化。在这种表述中，特征相关长度和材料属性波动用几何和组成描述符来表示，如散射体尺寸、体积分数和基质-散射体属性对比度。这种转换使得实际混凝土结构的总散射截面和传输散射截面可以实际计算，并将以前抽象的统计描述符转换为物理上可解释的微观结构量。结合采用的材料属性对比度归一化策略，该框架提供了对控制扩散波传输的有效散射强度的可行且基于物理的表示。
在两种混凝土材料上的验证证明了所提出框架的稳健性和通用性。对于地质聚合物混凝土，预测的扩散率再现了50–400 kHz范围内实验观察到的频率依赖性，表明粗骨料主导的散射被准确捕捉。对于普通混凝土，与已发布数据的比较证实，该框架也描述了100至900 kHz范围内的界面过渡区（ITZ）主导的散射。跨材料和频率范围的一致性表明，无论是由粗骨料还是界面过渡区控制的混凝土中的主导散射机制，都可以定量捕捉到，而无需依赖特设的拟合参数。总体而言，这项工作将混凝土微观结构几何、多散射理论和扩散波传输统一到一个可计算的框架中。通过使体波散射参数直接从材料组成计算出来，该框架为混凝土中能量传输和平衡的定量分析提供了理论基础。这种能力对于将基于尾波的无损检测（NDT）和SHM从定性监测提升到对混凝土结构中速度变化和应力变化的定量解释至关重要。
未引用的参考文献[116]。
CRediT作者贡献声明
Hao Cheng：撰写——原始草稿、可视化、验证、方法论、调查、形式分析、数据管理。
Katrin L?er：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、资金获取。
Yuguang Yang：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、资金获取、形式分析、概念化。
