两种用于求解不规则域中一般四阶偏微分方程（PDEs）的新型无网格方法：在板弯曲问题中的应用

《Mathematics and Computers in Simulation》：Two novel meshless methods for solving general fourth-order PDEs in irregular domains: Applications to plate bending problems

　　林旭波|谢尔盖·雷乌茨基|林姬|卢俊
中国南京河海大学力学与工程科学学院，210098

摘要
本文提出了两种基于径向基函数（RBF）的无网格技术，用于求解复杂几何形状中的四阶椭圆型偏微分方程（PDE）。第一种方法将给定的方程分解为两个泊松方程。如果分解方法不适用，第二种方法则直接求解给定的四阶PDE。这两种技术的核心思想是将两个问题分开处理：1）边界条件（BC）的近似；2）解域内控制PDE的满足。此外，这两种技术都使用所谓的改进径向基函数（MRBF）来近似解域内的解。直接方法具有更高的精度，并可应用于广泛的板弯曲问题。本文通过不同配置和边界条件的示例验证了所提方法的有效性。

引言
我们考虑用于四阶PDE的数值技术：
D??x??ux?x? + D??x??ux?x???x?2 + D??x??ux?x?? + Fu + Gu = fx，
其中x = x?, x? ∈ Ω ? R2，D_ijx是保证方程（1.1）为椭圆型的光滑函数，Fu表示低阶导数的线性项，Gu表示非线性项。该方程受边界条件（BC）约束：B?ux = g?x, B?ux = g?x，x ∈ ?Ω，这里考虑了三种类型的边界运算符：Bi = I, ??n = ??x?n? + ??x?n?，以及拉普拉斯算子?2，ni是外法向量的分量。

此外，我们还研究了具有双调和算子??ux + Fu + Gu = fx的方程（1.1）的特殊情况。这类方程在科学和工程领域有广泛的应用，包括弹性板分析、图像去噪、最优控制系统、流体动力学等[1]、[2]、[3]、[4]。

求解问题（1.1）、（1.2）的数值技术可分为两类：基于网格的方法和无网格方法。基于网格的方法包括有限差分法（FDM）和有限元法（FEM），它们仍是解决这类问题的主要工具。FEM将解域离散为小元素，每个元素中的解可以用一组近似值表示。Jirousek[5]使用改进的Treffertz变分方法开发了一种强大的FEM公式。同一作者在[6]中提出了混合Treffez FEM模型。Ma[7]使用缩放边界FEM研究了这一问题。一些研究人员主要关注理论分析。Huang为板弯曲问题的自适应混合FEM提供了收敛性估计[8]。Johnson证明了板弯曲问题的混合FEM解的误差估计[9]。有关相关研究的广泛调查，请参阅[10]。边界元法（BEM）是另一种常用的基于网格的数值方法，通常用于解决包括板弯曲问题在内的工程问题。与FEM不同，BEM需要通过引入基函数来离散物理边界。由于其降维能力和处理复杂高维问题的有效性，BEM被广泛应用于许多研究中。Jeon[11]为双调和方程提供了间接BEM解。在此工作基础上，[12]中提出了新的BEM公式。[13]中为双调和Cauchy问题开发了交替BEM。随后[14]研究了边界数据有噪声的情况。Christodoulou[15]将BEM应用于具有一个边界奇点的双调和问题。BEM也有其独特的局限性和挑战，例如基本函数的奇异和超奇异积分在其实际应用中会造成困难[16]、[17]。一般来说，可积奇异情况可以通过坐标变换来处理[18]。BEM的有效性很大程度上取决于其网格离散的质量。在Burton–Miller公式中，基于波的问题会出现非唯一解[19]。有限差分法（FDM）及其版本——广义有限差分法（GFDM）是求解工程问题的流行数值方法[20]、[21]。[22]中提出了适用于三维双调和方程的两种紧凑型FD近似方法，具有Dirichlet边界条件。FDM非常简单，适用于求解规则域问题[23]。另一方面，GFDM采用泰勒级数展开与移动最小二乘（MLS）近似结合。FDM和GFDM由于其对高阶导数的鲁棒处理和对不规则几何形状的适应性，成为板弯曲问题的重要方法。尽管表现优异，FDM和GFDM仍然是基于节点的方法，依赖于节点配置。在处理非均匀边界和非凸边界时，情况变得具有挑战性。此外，FDM和GFDM的稳定性和收敛性严重依赖于节点间距配置，特别是对于三维工程问题。其他一些流行的基于网格的方法也用于板弯曲问题，例如有限体积法[24]、缩放边界有限元法[7]和虚拟元素法[25]。

近年来，无网格方法受到了广泛关注。无网格数值技术消除了传统的域离散化和离散元素，直接用散布的节点近似解。这些无网格方法大致可分为两类：使用特殊基函数的方法和适应一般基函数的方法。第一类中的典型代表方法是基本解方法（MFS）[26]，它使用控制方程的基本解（FS）。在MFS中，解是通过加权参数的FS线性组合给出的，这些参数需要通过配置或其他方法确定以满足边界条件。1987年，Karageorghis[27]首次尝试使用MFS求解双调和方程。Fan等人[28]为双调和方程开发了局部MFS（LMFS）方案以加快求解速度。Zeb等人[29]研究了与双调和问题相关的逆边界确定问题。Qu[30]开发了LMFS，用于对简支和固定薄弹性板进行弯曲分析。MFS在固体力学和热传递的数值分析中的基本概念及其他现有无网格方法的详细回顾见[31]。MFS的两个显著优点是实现相对简单，适用于任何具有基本解的方程。MFS的明显缺点包括：找到最佳源位置以规避奇点、密集系数矩阵带来的计算瓶颈，以及适用范围受限于涉及材料异质性或复杂边界的问题。与MFS类似，边界结点法[32]、边界分布源法[33]、奇异边界法[34]和边界粒子法[35]也属于这一类，它们也需要特定的基函数。在径向基函数配置方法（RBFCM）中，解是通过一般RBF的线性组合给出的，未知系数通过满足控制方程和边界条件来确定。Adibi和Es’haghi[36]使用多级RBF和域分解方法求解双调和方程。[37]中提出了用于双调和型方程的边界积分方程和RBF方法。[38]中将RBF用于弯曲、振动和屈曲分析的微分求积法。Van Do和Lee[39]使用改进的径向点插值方法分析了FGM板。Ferreira等人[40]使用RBF展示了对称层压复合板的自由振动分析。Nguyen等人[41]考虑了弯曲板结构中的断裂分析。

目前主流的无网格框架方法包括：直接无网格局部Petrov–Galerkin（DMLPG）方法[42]、再生核粒子法（RKPM）[43]、无元素Galerkin（EFG）方法以及局部径向基函数-有限差分（LRBF-FD）系列方法[44]、[45]。需要注意的是，上述所有局部方法都有多个版本，且都源自相应的全局方法。基于RBF的方法（如LRBF-FD）主要属于强形式方法，不需要数值积分，适用于各种类型的边界条件。然而，也存在弱形式RBF方法，其中仍存在积分问题。这种方法的最新发展见[46]。本文提出了两种基于RBF的技术。第一种方法将给定的四阶方程分解为两个二阶方程。第二种方法使用基于改进RBF（MRBF）的级数展开来构造近似解。这两种方法都基于一个通用方法：将边界条件的满足和解域内控制PDE的满足分开处理。这种做法与其他上述RBF无网格方法不同，使我们将这些方法结合在一篇文章中讨论成为可能。本文接下来将阐述这种方法的优点和缺点。

本文的结构如下：第2节阐述数学公式；第3节讨论带边界条件的分解方法；第4节讨论带边界条件的分解方法；第5节介绍直接方法的计算框架；第6节通过数值示例验证所提方法的精度；最后一节提供结论性评论。

数学公式
让我们简要说明本研究中使用双调和方程??ux = fx, x ∈ Ω的技术。
按照第一种方法，将其替换为方程组?2ux = vx, x ∈ Ω，
?2vx = fx, x ∈ Ω。
以下解算法取决于边界条件的类型：
(1) 如果边界条件为ux = g?x, ?2ux = g?x, x ∈ ?Ω，则可以分别求解泊松方程（2.3），从而得到右侧项并求解泊松方程（2.2）。

带边界条件的分解方法（2.4）
在本节中，我们研究如何将原始的四阶方程（1.4）转换为两个二阶方程组。这里方程（1.4）被替换为两个泊松方程?2ux = vx, x ∈ Ω，
?2vx =Cxvx + Hu + fx, x ∈ Ω。
我们考虑Gu = 0的线性情况，并从Fu中排除Cx?2ux = Cxvx项，记Hu = Fu ? Cxvx。现在，我们讨论具有不同边界条件的双调和方程的分解方法。

首先，考虑边界条件（2.4）给出的情况，可以写为
带边界条件的分解方法（2.5）
假设关系（3.4）仍然成立，那么原始系统（3.1）、（3.2）变为：
?2ux = vx = ∑?=?∞qm?φ?x，
?2vx = ∑?=?∞qm?φ?x = deff?x。
我们将McLaurin变换应用于带有边界条件（2.5）的系统（4.1）、（4.2）。根据原始工作[47]，得到的系统?2ux = vx = ∑?=?∞qm?φ?x, x ∈ Ω，
ux = g?x, x ∈ ?Ω，
?2vx = Cxvx + Hu + fx = ∑?=?∞qm?φ?x, x ∈ Ω，
vx = ?2ux ? CMC?ux?n ? g?x, x ∈ ?Ω，与原始系统等价。

直接方法
现在回到方程（1.1），将其写成紧凑形式Lu = fx, x ∈ Ω ? R2，边界条件为（1.2）。我们寻求形式的解：ux = urx + ucx，其中urx是满足边界条件（1.2）的初始近似解：B?urx = g?x, B?urx = g?x, x ∈ ?Ω。
因此，修正近似ux应该满足方程（5.1），修正源项Lucx = fx ? Lurx ≡ f?x, x ∈ Ω，以及齐次边界条件B?ucx = 0, B?ucx = 0, x ∈ ?Ω。

为了近似ux，我们使用MRBFs Ψmx =SKS-2022112）以及中国江苏省的青澜项目（项目编号：2025）。