用于代谢网络分析的量子算法

《Machine Learning with Applications》：Quantum algorithm for metabolic network analysis

　　阿希什·乔希 | 高山隆彦
人类生物学-微生物组-量子研究中心（WPI-Bio2Q），庆应义塾大学，东京，日本

**摘要**
生物系统，如细胞代谢，涉及成千上万的反应，这些反应共同决定了细胞的生长、对环境的响应以及能量的产生。对这些系统的建模和分析需要解决非常庞大的数学问题，这很快就会变得在计算上变得不可行。为了解决这一挑战，我们提出了一种量子算法来分析代谢网络，重点关注通量平衡分析作为一个代表性案例。我们使用了一种包含量子矩阵求逆子程序的量子内点法。具体来说，我们利用量子奇异值变换重新制定了代谢优化问题，以便在量子计算机上高效执行，从而能够快速解决通量平衡分析中出现的复杂系统。这种量子方法在处理大型且条件良好的网络时，相比经典内点方法具有潜在的计算优势。我们通过对糖酵解和三羧酸（TCA）循环网络的数值模拟展示了该方法的实际适用性，并证明量子解能够收敛到正确的生物目标（目标误差<10^-3，可行性误差<10^-5）。这项工作代表了量子算法在代谢途径分析中的首次应用，为量子计算生物学开辟了新的方向，并为大规模生物优化铺平了道路。

**1. 引言**
生命系统由大量相互作用的分子过程组成，它们的集体行为决定了细胞的功能和表型。虽然对这些系统的实验表征是必要的，但往往耗时、昂贵且技术上受到限制。因此，生物系统的数学建模被证明是一种重要的补充方法。然而，与理想化的物理系统不同，生物系统通常不是隔离的，在非平衡条件下运行，并且有许多相互作用的部分，这些部分导致了无法从其单个组成部分轻易预测的新兴特性。因此，人们正在投入大量努力来开发先进的计算工具来研究这些系统，包括像AlphaFold这样的蛋白质折叠预测算法（Jumper等人，2021年）、用于药物-靶点相互作用的分子动力学模拟（De Vivo等人，2016年，Durrant和McCammon，2011年）、基因组规模的代谢网络重建（Heinken等人，2023年），以及用于预测酶动力学和调控网络的机器学习方法（Kroll等人，2021年）。这些进展共同推动了个性化医学（Chen等人，2016年，Goetz和Schork，2018年）、药物设计和合成生物学（Hill等人，2024年，Yan等人，2023年）、生物燃料生产（Pasha等人，2021年）、抗生素发现（Oselusi等人，2024年）以及工业和制药制造的优化（Ranganathan等人，2010年）的应用和发展。
细胞代谢提供了一个大规模生物复杂性的明确例子，它包含了生物体中所有的生化反应（Palsson，2006年）。在数学上，通过通量平衡分析（Orth等人，2010年）、基本模式分析（Trinh等人，2009年）和动态模拟（Dr?ger等人，2009年，Mahadevan等人，2002年）等工具，我们对这些系统的理解已经取得了进展。尽管像通量平衡分析这样的稳态方法有高效的算法可以研究基因组规模的网络，但将这些方法扩展到更大或更现实的系统（如多物种群落或动态模拟）在计算上仍然具有挑战性，这突显了新算法创新的必要性。

近年来，量子计算作为一种替代计算范式出现，具有指数级加速某些在经典计算机上难以处理的问题的潜力（Dalzell等人，2025年，Deutsch和Jozsa，1997年，Grover，1996年，Harrow等人，2009年，Nielsen和Chuang，2010年，Shor，1997年）。目前我们处于噪声中等规模量子（NISQ）设备的时代，但随着硬件的快速进步，容错量子计算机（FTQC）预计在未来几年内将成为可能（Bharti等人，2022年，Katabarwa等人，2024年，Preskill，2018年）。然而，在量子软件方面类似的进步仍然不足，特别是在生物学领域，即使识别出适合量子计算机解决的问题也很具有挑战性。不过，代谢网络分析问题通常由常微分方程构成，在通量平衡分析（FBA）的情况下，可以简化为线性程序（Feist和Palsson，2008年，Orth等人，2010年，Palsson，2006年，Varma和Palsson，1994年）。这使得它们非常适合量子计算框架，特别是在问题规模增大时，相比当前的经典方法有潜在的速度提升（An和Lin，2022年，Augustino等人，2024年，Dalzell，2024年，Lin和Tong，2020年，Martyn等人，2021年，Morales等人，2025年）。

在这项工作中，我们提出了第一个专门为代谢网络的FBA设计的量子算法。给定一个代谢网络，我们使用量子内点方法（QIPMs）来找到最优通量（Augustino等人，2023年，Dalzell等人，2023年，Kerenidis和Prakash，2020年，Mohammadisiahroudi和Fakhimi等人，2025年，Mohammadisiahroudi和Wu等人，2025年）。QIPM的核心部分是一组线性方程的求解，我们使用量子奇异值变换（QSVT）来完成这一任务。由于QSVT的运行时间与被求逆矩阵的条件数成比例，我们使用零空间投影来降低这个条件数，从而使算法适用于FBA。通过对碳循环的数值模拟，我们展示了我们的方法能够收敛到正确的最优解。由于这一基础 formula 直接适用于一般的基于约束的代谢模型，该方法自然可以扩展到经典扩展变得不可行的基因组规模网络。具体来说，我们解决了以下文献空白：
- 尽管在量子优化方面取得了进展，但尚未有任何量子算法应用于生物代谢网络分析。虽然QIPM最近已被用于优化问题（Augustino等人，2023年，Dalzell等人，2023年，Kerenidis和Prakash，2020年），但在本工作中我们将其适配用于通量平衡分析。
- 由于条件数κ过高，直接应用QIPM于FBA是不可行的。我们引入了一种带有正则化的零空间投影策略，将κ减少了几个数量级。
- 基于QSVT的线性求解器在真实生物系统中的实际适用性尚未得到验证。我们对糖酵解和TCA循环网络进行了数值模拟，证明了其能够收敛到经典最优解。

我们的工作为量子增强的代谢网络分析奠定了基础，并为研究当前计算方法无法处理的复杂生物系统开辟了新的途径。

**2. 方法**
**2.1. 通量平衡分析**
代谢网络描述了细胞代谢中涉及的所有反应和酶，为数学分析和优化提供了框架（Duarte等人，2007年，Fondi和Liò，2015年，Kanehisa和Goto，2000年，Thiele和Palsson，2010年）。在这里，我们关注通量平衡分析（FBA），它假设在稳态条件下代谢物的浓度不会随时间变化（Feist和Palsson，2008年，Orth等人，2010年，Palsson，2006年，Varma和Palsson，1994年）。我们的目标是确定最大化特定生物目标的通量向量，例如ATP生成或生物量增长。稳态假设将常微分方程组简化为一组线性方程，可以表述为线性规划问题：
\[ \begin{align*}
c_t &= \sum_{v \in \mathbb{R}^n} v \cdot S_{v} \\
s_t &= b, \quad b, l, u \in \mathbb{R}^n, \quad l \leq v \leq u.
\end{align*} \]
其中 \( v \in \mathbb{R}^n \) 表示代谢通量速率，\( S \in \mathbb{R}^{m\times n} \) 表示具有质量平衡约束的化学计量矩阵，\( c \in \mathbb{R}^n \) 是要最大化的生物目标，\( b \in \mathbb{R}^m \) 是代谢物的产生或消耗速率（在稳态假设下 \( b = 0 \)，\( l, u \in \mathbb{R}^n \) 分别是通量速率的下限和上限。在我们的数值模拟中，选择 \( c \) 为生物量生成，即在给定约束下最大化细胞生长率。我们使用了内点法（IPM），因为它们是广泛用于解决凸优化问题（如FBA的线性规划问题）的高效经典算法（Gondzio，2012年，Nocedal和Wright，2006年）。在通过IPM寻找解时，首先需要在线性约束的凸多面体内找到一个初始点。然后，迭代生成后续步骤以收敛到最优点。这还保证了可行性条件 \( Sv = b \) 得到满足，因为多面体内的所有点都满足该条件（见图1）。

我们定义松弛变量将不等式约束转换为等式约束：
\[ \begin{align*}
s_l &= v - l, \quad s_u &= u - v, \quad s_u \geq 0.
\end{align*} \]
使用松弛变量，我们将方程（1）中的受限问题转换为无约束的对数障碍形式，通过对每个约束添加惩罚项：
\[ \begin{align*}
c_t &= \max_{v \in \mathbb{R}^n} \left( S_{v} - v - l \right) + \sum_{i=1}^m \lambda_i S_{vi} - \mu \sum_{j=1}^n \log(s_{jl} + \log(s_{ju}), \quad \lambda_i, \mu > 0.
\end{align*} \]
其中 \( \lambda_i \) 是等式约束的拉格朗日乘数。不等式约束被转换为对数障碍，\( \mu \) 是障碍参数。由于线性规划的解位于多面体的边缘，因此在优化过程中 \( \mu \to 0 \)。方程（3）也称为拉格朗日函数 \( L(v, \lambda) \)。从生物学角度来看，对数障碍形式确保通量保持在生理可行的范围内，例如酶容量限制和热力学约束（例如，不可逆反应受限于非负通量）。随着 \( \mu \to 0 \)，解接近可行区域的边界，意味着某些反应在其限制下运行，例如当营养物摄取速率或酶容量变得受限时。关于初始化受限约束并获得初始可行点的完整程序在附录A中有描述。

**图1. 量子内点法用于通量平衡分析的概述。**
代谢网络使用化学计量矩阵 \( S \) 和通量的下限和上限（\( l, u \) 被表述为一个线性规划问题。目标是最大化给定的目标 \( c \)。这个FBA问题被重新表述为一个障碍问题，并投影到 \( S \) 的零空间中。使用QSVT求解得到的新的牛顿系统。算法迭代直到收敛，之后返回最优通量。蓝色框表示经典步骤，红色框表示量子步骤。

任何线性规划的最优解都必须满足Karush-Kuhn–Tucker（KKT）条件（Nocedal & Wright，2006）：
1. **稳定性：**
\[ \n\Delta v^T L(v, \lambda) = -c + \mu s_l - \mu s_u + S^T \lambda = 0, \]
2. **可行性：**
\[ \nS_v - b = 0. \]
虽然方程（1）中的原始问题不是严格凸的，但在方程（3）中添加对数障碍项后，对于 \( \mu > 0 \)，障碍问题变为严格凸的。这使得KKT条件既是障碍问题的必要条件，也是充分条件。

我们使用牛顿法来求解非线性KKT系统（Nocedal & Wright，2006）。为了求解方程组 \( F(x) = 0 \)，其中 \( F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) 是一个向量值函数，我们可以在点 \( x_i \) 附近展开 \( F \) 为：
\[ \nF(x_i + \delta x) \approx F(x_i) + J(F(x_i)) \delta x, \]
其中 \( J(F(x_i) \) 是雅可比矩阵。我们可以通过将方程（6）设为零来求解 \( \delta x \)。因此，可以使用 \( x_{i+1} = x_i + \delta x \) 迭代求解。对于我们的情况，方程（4）和（5）构成了非线性方程组（7）：
\[ \nF(v, \lambda) = \Delta v^T L(v, \lambda) S_v - b = 0. \]

经过泰勒展开后，我们得到：
\[ \nJ(F(\delta v, \delta \lambda)) \delta v \delta \lambda = -F(v, \lambda), \nHSTS_0 \delta v \delta \lambda = -\Delta v^T L(v, \lambda) S_v - b, \]
其中 \( H \) 是仅对角线元素为 \( H_{ii} = \mu / (s_i l)^2 + \mu / (s_i u)^2 \) 的赫西矩阵，使得它对于 \( n \times n \) 矩阵来说是非常稀疏的，只有 \( n \) 个非零元素。由于 \( S \) 也是稀疏的，通常每列有2-5个非零元素，\( J(F(\delta v, \delta \lambda)) \in \mathbb{R}(n+m) \times (n+m) \) 也是一个稀疏矩阵。需要求逆矩阵 \( J \) 来求解 \( \delta v \)，这是求解牛顿方程中最昂贵的步骤（Trefethen & Bau，1997年）。在经典方法中，反转一个密集的 \( n \)-维矩阵的成本大约是 \( O(n^3) \)。现代经典求解器可以利用方程（8）中矩阵的稀疏性，直接稀疏分解的时间复杂度为 \( O(n^z) \)，其中 \( nz \) 是非零元素的数量；迭代方法如共轭梯度法的时间复杂度为 \( O/ns\kappa \)，其中 \( s \) 是稀疏度，\( \kappa = \|A\| \|A^{-1}\| \) 是条件数（Davis，2006年，Saad，2003年）。在模拟非常大的系统（即群体规模或多生物体系统）时，矩阵求逆步骤可能是经典方法中的瓶颈。在下一节中，我们提出了一个量子计算程序来改进这一瓶颈，其中的核心部分是使用量子奇异值变换进行矩阵求逆，其时间复杂度为 \( O(\kappa^2 \log(\kappa/\epsilon) \)，其中 \( \epsilon \) 是误差。关于端到端计算复杂性的更详细讨论在第四节中给出。

**2.2. 量子内点法**
量子内点方法（QIPMs）旨在使用量子线性求解器（QLSs）来解决凸优化问题（An和Lin，2022年，Augustino等人，2024年，Augustino等人，2023年，Dalzell等人，2024年，Dalzell等人，2023年，Dalzell等人，2025年，Kerenidis和Prakash，2020年，Lin和Tong，2020年，Martyn等人，2021年，Morales等人，2025年）。对于一个 \( n \times n \) 的实数矩阵 \( A \)，虽然可以将其扩展到任何一般矩阵，以及一个 \( \mathbb{R}^n \) 的向量 \( b \)，量子线性求解器的目标是将方程 \( Ax = b \) 的解 \( x \) 返回。由于向量b和矩阵A是经典数据，它们需要被编码到量子计算机中。这是通过将b准备成一个量子态|b〉和一个能够访问矩阵A的幺正算符来实现的。然后，量子线性求解器返回一个状态|x〉=A^(-1)|b〉，其中|b〉=∑_i=1^n b_i|i〉，而|x〉=∑_i=1^n x_i|i〉⊥∑_i=1^n x_i|i〉⊥。我们使用基于量子奇异值分解（QSVT）的量子线性求解器（Gilyén等人，2019；Low，2017；Low和Chuang，2019；Martyn等人，2021）。由于量子计算机只能执行幺正操作，因此一般的非幺正矩阵需要嵌入到一个幺正矩阵中。这是通过块编码（Chakraborty等人，2019；Childs和Wiebe，2012；Gilyén等人，2019；Low，2017；Low和Chuang，2019）来实现的，其中一个幺正算符UA通过将其嵌入到一个更大的幺正矩阵中来表示一般矩阵A，使得左上角块代表A，见图2。经过这个过程后，我们得到了A的块编码UA，即(9)A=(?0_m|?I)UA(?0_m??I)，其中m表示块编码A所需的辅量子比特的数量。根据矩阵A的结构，有各种实现块编码的方法（Camps等人，2024；Gilyén等人，2019；Low和Chuang，2019；Sünderhauf等人，2024）。如果直接处理方程(8)中的稀疏雅可比矩阵，可以使用稀疏访问模型来创建块编码。在我们的案例中，我们处理的是一个密集矩阵（第2.3节），因此基于幺正线性组合（LCU）或格拉姆矩阵分解的一般块编码策略是适用的（Dalzell等人，2025；Gilyén等人，2019）。对于我们的数值模拟，我们使用了PennyLane的BlockEncode方法中的直接块编码（Bergholm等人，2022）。更多细节请参见附录A.2。

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图2. 将矩阵A作为幺正算符进行块编码在量子电路中。A被编码在左上角，其余块可以取任何值，以使UA保持幺正性。

块编码后，可以通过应用幺正算符UA将矩阵A应用于一个量子态。然而，我们希望将矩阵A的逆应用于向量b。这是通过使用QSVT来实现的，它对A的奇异值应用一个多项式变换f(?)，给定其块编码UA。通过设计一个实现该多项式变换的量子电路，作为A的奇异值的逆，我们可以得到A^(-1)。我们定义UΦ为将UA转换为f(A)的块编码的QSVT电路，表示为(10)UΦ=Π_?_1UA∏_j=1^(d-1)/2Π_?_2^jUA?Π_?_2^j+1UA，如果d是奇数；∏_j=1^(d/2)Π_?_2^j^-1UA?Π_?_2^jUA，如果d是偶数，其中d是多项式f的次数，Π_?=ei?_Z是作用在m个量子比特上的控制旋转算符，Φ=(?_1,?_2,…
…,?_d)是经典获得的实现A奇异值多项式变换的角度序列（Dong等人，2023；Dong等人，2021）。QSVT的电路实现如图3所示。直观上，QSVT电路使用一系列简单操作来近似矩阵的逆。所需的操作数量取决于矩阵的逆运算难度。当条件数κ很大时，矩阵对小的变化非常敏感，需要更高的多项式次数d才能获得准确的近似。因此，需要更多的操作，也就是更深的量子电路，以达到所需的精度。在区间[1/κ,1]上近似1/x到精度?需要一个多项式次数为d=O(κlog(κ/?))并且电路深度为O(d)的迭代次数（Dong等人，2021；Gilyén等人，2019；Martyn等人，2021）。这激发了在第2.3节中使用零空间投影和正则化的动机，这些方法可以改善问题的条件数并使计算更高效。有关QSVT的更多详细信息，请参见附录A.3。

与经典的IPM不同，QIPM返回一个量子态|x〉=A^(-1)|b〉作为解。我们的数值实验使用了一个精确的模拟器，可以完全访问状态向量|x〉。对于量子计算机来说，在每次迭代后使用量子层析成像程序提取向量x是必要的（Cramer等人，2010）。

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图3. 表示QSVT的电路，通过将A的块编码UA转换为f(A)的块编码来实现所需的多项式变换f(?)。

2.3 零空间投影
在经典的IPMs中，一般矩阵A∈R^n×n的逆运算成本为O(n^3)。在QIPM中，块编码和QSVT的量子比特需求是对数级的n。然而，QSVT的查询复杂性为O(κ^2log(κ/?))（Morales等人，2025），其中?是所需的精度，κ是定义为(11)κ=‖A‖‖A^(-1)‖的条件数。尽管QSVT的依赖性仅是对数级的n，但κ通常会随着n的增加而增加。此外，众所周知，随着IPM接近最优解，κ→∞，这对QIPMs可能是不利的（Nocedal & Wright，2006）。因此，算法的扩展取决于问题特定的参数κ。

在这里，我们提出了一种通过向矩阵A的零空间投影添加正则化来减少κ的方法。正则化是一组广泛用于稳定数值算法的技术。由于大的κ是由于矩阵中特征值的差距造成的，一种正则化策略是在矩阵A中添加一个小的对角项λ，A≈A+λI。然而，这种做法在没有使用较大的λ的情况下无法将κ降低到一个可行的值，从而导致收敛精度降低。我们通过在化学计量矩阵S的零空间中工作来解决这个问题（Augustino等人，2023；Nocedal和Wright，2006）。这导致了一个更小但更密集的投影Hessian矩阵，其对正则化的响应更好，从而使得算法更加稳定和准确。

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图4. 我们在数值实验中使用的碳核心途径，展示了由可逆和不可逆反应组成的糖酵解和三羧酸（TCA）循环网络。代谢物用黑色表示，酶用红色表示。对于任何可行点x∈F（其中可行集定义为F={x∈R^n:Ax=b}），可行集的切空间是A的零空间
(12)TF(x)={d∈R^n:Ad=0}=null(A)。

投影器P到A的零空间满足对于任何d∈R^n，Pd∈null(A)，即我们希望P满足AP=0。假设P=I-A^TX对于某个矩阵X，我们有AP=A-A^ATX=0?X=(A^AT)^(-1)A，(13)这给出P=I-A^AT(A^AT)^(-1)A。P具有一些良好的性质：P^2=P且PT=P。

现在我们将这个通用框架应用于FBA问题，在化学计量矩阵S的零空间中工作。要将P应用于牛顿方程组，用S代替上述方程中的A。这给出了S的零空间投影器P=I-A^ST(SST)^(-1)S。将方程(8)重写为Hδv+STδλ=??vL(v,λ)Sδv=?Sv+b。应用P到上面的方程，PHδv+PSTδλ=?P?vL(v,λ)，由于PST=0，我们得到PHδv=?P?c+μsl?μsu，再次应用P并使用P^2=P，我们得到(14)(PHP)δv=?P?c+μsl?μsu。

投影后的Hessian矩阵被规范化为(PHP+λ_iI)，其中λ_i是第i次迭代的正则化项，它取决于优化过程的进展以及障碍参数μ_i。正则化平衡了两个相互竞争的目标：数值稳定性（需要较大的λ）和解决方案精度（需要较小的λ）。在我们的案例中，我们发现，在优化的早期阶段使用较大值的λ的自适应调度比使用恒定的λ效果更好。所提出算法的伪代码在算法1中给出。有关模拟中使用的数值参数的详细信息，请参见附录A.4。

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3. 结果
我们在碳核心途径上测试了我们的方法，该途径包括两个细胞能量代谢的中心途径：糖酵解和三羧酸（TCA）循环。这个网络如图4所示，其中代谢物用黑色表示，与反应相关的酶用红色表示。对于这个代谢网络，化学计量矩阵S的维度为(22×20)，我们在数值精确模拟中使用了6个量子比特。我们使用PennyLane python包（版本0.42.0）在配备36 GB RAM的Apple M3 MacBook Pro上进行了数值实验，运行Python 3.12.7（有关所有数值参数的更多详细信息，请参见附录A.4）。我们的目标是找到最大化生物量产生的通量向量。目标函数方程(1)的优化迭代次数如图5(a)所示。黑线显示了经典方法获得的精确解，蓝线显示了使用QIPM收敛的目标值。我们还在图5(b)中绘制了可行性误差，即方程(5)的等式约束的违反情况。因此，可行性误差保持在误差范围内（<10^-5），并且我们获得了相对误差约为10^-4的正确目标值。总体而言，这些结果确定了支持最大细胞生长的糖酵解和TCA循环的稳态通量分布。

在图6(a)中，我们展示了用于障碍参数μ和正则化λ的常规程序。随着μ→0，目标值达到最优值。为了数值稳定性，重要的是μ随i的减少不能太剧烈。这里，我们首先慢慢减少μ，即μ_i+1=0.999μ_i，然后μ_i+1=0.995μ_i。同样地，对于正则化λ，我们从非常高的值开始，然后随着优化的进行逐渐减少它以提高精度。μ和λ的选择对收敛行为至关重要（见附录A.4）。

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图5. 使用QIPM解决糖酵解和TCA循环代谢网络。(a) 目标值（即最大化生物量）的收敛情况。(b) 可行性误差，起初迅速增加，但随后保持几乎恒定。

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图6. 优化过程中的数值参数和条件数。(a) 优化过程中使用的正则化和障碍程序。(b) 原始矩阵和规范化Hessian的条件数。

我们在图6(b)中展示了正则化程序的结果。橙色图显示了方程(8)中原始矩阵的条件数κ，棕色图显示了零空间投影和正则化（第2.3节）后的κ。通过这个程序，我们看到可以将κ降低几个数量级。我们还看到，随着μ的减小，两个条件数都会迅速增加。对于较大的网络来说，这可能是一个问题，因为κ可能会达到非常大的值，影响通过QSVT进行矩阵逆运算的精度。通过提高数值稳定性，这个程序允许优化收敛于现实的代谢通量模式，确保预测的反应速率可以在细胞代谢的背景下有意义地解释。最后，为了进一步测试我们算法的可靠性，我们使用不同的生物量值进行了多次优化运行。在所有情况下，目标值不同，但都达到了相似的误差范围。详见附录A.4。

4. 讨论
在这项工作中，我们展示了量子内点方法（QIPMs）在复杂生物系统中的首次实现，特别是细胞代谢网络的优化。使用通量平衡分析（FBA），这是一个广泛采用的预测基因和环境变化对代谢反应的反应的框架，我们展示了量子算法如何识别最大化生物学相关目标（如生长或能量产量）的最优通量分布。使用糖酵解和三羧酸（TCA）循环的化学计量矩阵表示，我们的量子方法准确地再现了经典结果，同时为未来研究更大、更复杂的网络奠定了基础，在这些网络中，对整个细胞或社区规模的代谢建模在计算上是禁止性的。FBA假设稳态条件，并且可以使用经典的IPMs或单纯形方法高效解决基因组规模的代谢网络重建。如第2.1节所述，对于维度为n的矩阵，经典IPMs的每次迭代成本对于密集矩阵为O(n^3)，对于稀疏矩阵使用共轭梯度方法为O(nsκ)，其中s是稀疏度，κ是条件数。相比之下，QSVT的查询复杂度按O(κ2log(κ/?))的规模增长，其中?是误差。然而，量子方法的端到端复杂性包括了超出QSVT规模增长的几个额外成本。这些成本包括状态准备、块编码以及从量子状态中提取解的过程。特别是，完整的量子态层析成像（full quantum state tomography）的复杂度与量子比特数呈指数级增长，这可能会抵消QSVT所带来的任何量子优势。更有效的解向量提取方法（例如Mohammadisiahroudi, Augustino等人，2025年；Mohammadisiahroudi, Wu等人，2025年）可能有助于缓解这一限制。另一个重要的考虑因素是块编码的成本，对于密集矩阵来说，块编码的成本会显著增加，并且通常需要使用量子随机存取存储器（QRAM）（Chakraborty等人，2019年；Dalzell等人，2025年；Gilyén等人，2019年；Sunderhauf等人，2024年）。在我们的方法中，通过零空间投影和正则化来降低条件数κ对于提高QSVT的效率至关重要。然而，这样做会导致矩阵变得较小但更密集，从而增加了块编码的复杂性。此外，尽管QSVT并不直接依赖于矩阵的大小，但κ往往会随着问题规模的增加而增加，这可能会影响准确性和性能。最近在量子线性求解器方面的进展改善了对κ的依赖性（Costa等人，2022年；Dalzell，2024年；Morales等人，2025年），这可能有助于缓解这一限制。因此，我们的正则化策略对大型生物相关网络的有效性仍然是一个未解决的问题。综合以上因素来看，任何潜在的量子优势可能只有在非常大规模的问题中才会显现出来，例如涉及多个生物体的群落级代谢网络。

通过放宽稳态假设，并通过常微分方程系统或动态FBA来建模代谢物浓度，可以实现对代谢更加真实的表示。这样的模型能够捕捉到调控和随时间变化的行为，例如细胞在生长、压力或营养变化期间如何调整其代谢。然而，这种增加的真实感是以巨大的计算复杂性为代价的。经典优化方法难以处理这些大型动态网络，使得量子加速成为了一个有前景的应用领域。将现有框架扩展到动态通量平衡分析和复杂的微生物组模型将需要进一步的算法开发，包括将代谢物动态的微分方程系统映射到量子线性求解器上（Berry等人，2017年；Krovi，2023年；Liu等人，2021年）。在这些情况下，可能还需要在整个模拟过程中更新化学计量约束和通量界限，这需要根据问题数据的变化重复进行QIPM求解。虽然这些扩展引入了潜在的算法挑战，但解决这些问题对于推进量子方法在生物相关代谢建模中的应用至关重要。

通过展示一种量子方法进行代谢优化，我们的工作为在生理学上更真实的背景下建模代谢奠定了基础，有可能实现目前经典计算无法触及的细胞适应性、代谢调控和群落级相互作用的研究。量子算法可以帮助识别替代的通量路径，并通过高效探索高维生物设计空间来模拟微生物群落中的复杂代谢相互作用，最终实现个性化干预，如微生物组优化和通过代谢生物标志物早期检测疾病。

5. 结论

在这项研究中，我们展示了一种量子算法，用于代谢途径分析，该算法可以在具有适度量子比特数和电路深度的早期容错量子计算（FTQC）设备上实现。虽然我们在此演示中使用了通量平衡分析（FBA），但我们的方法可以扩展到这一框架之外。对于多物种群落的更真实模拟，需要利用微分方程系统来捕捉系统向平衡状态演变过程中的连续代谢物交换。随着量子计算机在量子比特数、电路深度和门保真度方面的进步，这些机制性生物模型可以在经典方法无法实现的运行时间内进行模拟。这项工作代表了首批专门为近期FTQC实现设计的生物相关量子算法之一，为随着容错硬件的出现而发展的量子计算生物学奠定了实际基础。

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在准备这项工作时，作者使用了CLAUE工具来完善手稿、绘制图表并提供编码帮助。使用该工具/服务后，作者对内容进行了必要的审查和编辑，并对发表文章的内容负全责。