研究Boiti–Leon–Manna–Pempinelli方程在更高维度下的动力学特性，以模拟流体系统中复杂的波际相互作用

《Ocean Engineering》：Investigating the higher-dimensional dynamical perspective of the Boiti–Leon–Manna–Pempinelli equation for modeling complex wave interactions in fluid systems

　　沈江龙|Jan Muhammad|Usman Younas
宜宾大学数学与物理学院，中国宜宾644000

摘要
本研究探讨了（3+1）维Boiti–Leon–Manna–Pempinelli方程的非线性动力学特性。该方程描述了不可压缩流体系统中的非线性波动传播，与发生此类波动行为的质量传递和热量传递过程密切相关。本研究旨在推导出新的精确孤子解和相互作用解，以揭示这一高维系统的丰富非线性动力学特性。在方法论上，本文应用了三种分析技术：改进的Riccati扩展简单方程方法、改进的F-展开方法和广义投影Riccati方程方法，并结合了对数变换。主要研究发现包括多种波动结构：亮孤子、暗孤子、亮-暗孤子及其组合形式，以及多波解、呼吸波、周期性交叉扭结解和块状周期性波。图形示例展示了关键参数如何影响波动传播特性。使用Mathematica软件获得了这些解及其图形表示。研究结果为高维系统中的复杂非线性动力学提供了宝贵的见解，并证实了所提出的分析方法在科学和工程应用中求解非线性方程的有效性。

引言
非线性偏微分方程（NLPDEs）如今被认为是描述科学和工程中自然现象的重要工具（Liu和Yang, 2004; Mohan和Kumar, 2024b）。为了对现实世界中的问题进行建模，我们经常使用常微分方程、NLPDEs、积分方程以及随机方程（Gai等人, 2024; Gao等人, 2026）。波动的非线性行为越来越受到科学家和工程师的关注。在实际科学中，数学建模有助于工程师和其他科学家分析和理解物理现象（Mohan等人, 2023; Muhammad等人, 2026a）。它还帮助我们了解和构建自然和工程中的复杂系统模型（Kumar和Mohan, 2022）。没有非线性方程，很难预测和理解大型系统，因为微小变化可能导致截然不同的结果（Shen等人, 2026b）。此外，源于非线性方程的孤子理论已扩展到多种模型，并研究了其拓扑和非拓扑孤子（Muhammad等人, 2026b; Kumar和Mohan, 2023）。孤子的稳定性表征和谱分析用于展示精确结构的固有动态特性（Shen等人, 2026a）。在实际应用中，它们通过数值验证和渐近分析为实验验证提供了坚实的数学基础，从而在许多不同的非线性领域取得了重大进展（Mohan和Kumar, 2024a）。不可压缩流体中的孤立波及其相互作用在许多工程系统中具有重要性，包括海洋工程、海岸工程和生物医学工程。准确预测海洋结构上内部孤立波的载荷对于海洋和海岸工程至关重要。研究表明，传统的线性波动理论可能会严重低估大振幅内部孤立波对水下结构（如圆柱桩）的作用力。这在分层水体（如具有温跃层的海洋）的安全结构设计中提出了强非线性模型的问题。同样，对于沿海设施而言，应仔细研究孤立波撞击垂直墙面（如海堤和防波堤）的影响。研究表明，在理解许多分析问题时，不可压缩流体假设的有用性并不排除需要更通用的求解器来获得高度充气冲击事件期间的准确峰值压力，以确保防御结构能够承受显著的波浪事件（Ko?等人, 2024）。在生物力学和管道工程中，孤立波动力学的应用超出了海岸防护的范围。流体中的弹性管模型已被用于研究动脉中的血流和柔性管道中的碳氢化合物输送，表明非线性压力波可以以孤立波的形式传播。这些波动解对于理解这些流体-结构相互作用系统的形成和相互作用以及预测这些系统中的应力至关重要。研究这些现象的理论基础通常涉及非线性方程，即控制弱非线性波及其孤子解动态发展的方程。

此外，在工程应用的流体力学研究中，所有流体在某种程度上都具有可压缩性。但在大多数液体实际情况下，正常工作压力下的密度变化非常小，可以安全地忽略不计。流体被视为不可压缩的，即流体粒子的体积在流场中通过时不会变化。这一假设的第一个效应是大幅简化了连续性方程（即质量守恒方程）。在不可压缩流动的情况下，该方程简化为速度场的散度等于零。简单来说，管道或通道任何部分的体积流量必须与其出口处的体积流量相同，这是系统设计中始终适用的基本原则（Akbar等人, 2023）。水、液压油、冷却剂和液体燃料是工程行业中典型的不可压缩流体。无数关键系统由这些流体构成。液压油的近似不可压缩性使得动力能在液压机械中传输，这在挖掘机、飞机控制面和汽车刹车中非常重要。这些系统基于帕斯卡定律，该定律指出封闭系统中对流体施加的压力是全部施加的。如果流体是可压缩的，系统将会变得松散，无法实现重型提升或脊髓控制所需的精确性和即时力传递。同样，市政提供的供水网络也是基于不可压缩流动原理来规划管道尺寸和泵的选择的。工程师应用简化的连续性方程来确保将所需的体积流量输送到家庭和工厂，通过计算所需的管道直径和泵容量来克服摩擦和高度变化（Jadaun, 2021）。

近年来，多种方法已被有效地应用，例如使用新的Jacobi椭圆函数展开方法来研究（2+1）维非线性电力传输线模型中的不同孤子解（Tala-Tebue和Zayed, 2018）。Younas等人（2024）描述了广义指数有理函数技术，用于研究超声模型的孤立波动力学和相互作用现象。广义辅助方程方法已应用于NLPDEs，如Whitham–Broer–Kaup系统、高阶非线性薛定谔方程和广义Zakharov方程（Abdou, 2008）。Younas等人（2025）研究了混沌和敏感性分析以及截断的分数电报方程的解。Riccati方程映射技术已用于研究复杂耦合的Kuralay系统（Kop?as?z, 2024）。Sardar子方程方法（Rahman等人, 2022）被用于分析Boussinesq方程的行波解。此外，Gai等人（2020）研究了（3+1）维Bogoyavlensky–Konopelchenko方程的块状解。Gai等人（2023）研究了（3+1）维广义破裂孤子系统的rogue波和周期性亮-暗孤子解。Mohan等人（2025）研究了多个rogue波解，Mohan和Kumar（2025）使用Hirota双线性方法研究了修正的非线性演化方程的精确解。

在这项工作中，我们研究了（3+1）维Boiti–Leon–Manna–Pempinelli（BLMP）方程孤子解的非线性动力学特性及其相互作用现象，以认识到它们在多个领域中的重要性。本研究的主要创新在于应用了创新技术，这些技术产生了以前未报告的解族，有效揭示了相互作用结构，并允许详细研究模型的相互作用现象。使用先进的积分技术提取了多种解，包括改进的Riccati扩展简单方程方法（MRESEM）（Xiao等人, 2024）、改进的F-展开方法（Ozdemir等人, 2023）、广义投影Riccati方程方法（GPREM）（Vivas-Cortez等人, 2024）和对数变换（Rehman和Ahmad, 2022）。随着一些强大技术的发明，非线性演化方程的分析工具包得到了显著扩展。其中，MRESEM特别有助于创建结构吸引人的小尺寸孤子解，从而更好地理解波动模式。这种方法通过将非线性PDEs转换为代数方程（通过Riccati类型的ODE），以最小的计算工作量计算出暗孤子、亮孤子、扭结孤子和反扭结孤子。它在流体力学、等离子体物理学和光纤通信中有着广泛的应用，这些领域需要对波动剖面有详细的了解。另一方面，改进的F-展开方法被认为是生成孤子族最通用和最广泛的机制之一。该方法通过扩展解来提供大量周期性和双曲解，包括亮孤子、暗孤子、组合孤子和奇异孤子，并且对振幅、宽度和速度有更详细的参数控制。它的重要之处在于它以算法的形式系统化，成功应用于各种非线性方程，并且对于希望全面了解问题解决方案的研究人员至关重要。同时，GPREM因其出色的揭示波相互作用复杂现象的能力而具有独特优势。与其他主要产生单个孤子的技术不同，这种方法尤其能够产生表明共振相互作用、束缚态和多波碰撞的解，这些在浅水系统和非线性光学以及玻色-爱因斯坦凝聚态的动力学中起着关键作用。它具有投影结构，可以在一个框架内获得包括周期解、孤立解和有理解在内的多种类型的解。最后，对数变换是一种有效的补充工具，可用于构建和研究更复杂的波相互作用现象。通过对非线性方程进行对数变换，可以系统地构建多孤子解、块状波和呼吸波以及rogue波。这对于发现高阶相互作用（如孤子分裂、孤子融合和共振行为）尤为重要，这些现象直接方法无法观察到。这些方法结合起来形成了一个强大的分析工具，既能增强对非线性波的理论理解，又能为工程实践提供预测工具，例如防波堤设计、预测管道中的压力激增、研究海上平台的稳定性以及实时监测波浪的发展（结合机器学习策略）。

第2节内容概述
高维可积非线性问题的研究领域正在增长，结合了广泛的应用和复杂的理论。毫无疑问，这些数学框架有助于更好地理解非线性动力学，因为它们具有可积性。然而，它们也为解决各种科学领域中的复杂问题提供了有趣的机会。为了理解复杂的物理现象，精确解是必要的。

逐步描述方法
考虑Q(f,ft,fn1,fn2,…)=0，其中f=f(t,n1,n2,…,nr)。为了解决问题（2），采取以下步骤：
1. **解的提取**
可以使用变换来分析方程（1），以获得多种解析解：V=V(x,y,z,t)=Φ(ξ)，ξ=α1x+α2y+α3z+θt；其中α1,α2,α3,θ是实数常数。将方程(30)应用于方程(1)得到 α2+α3α13Φ(4)(ξ)+α2+α3θΦ′′(ξ)?6α2+α3α12Φ′(ξ)Φ′′(ξ)=0。对方程(31)进行积分时，如果积分常数为零，则得到以下结果：?α2+α3θ212α12+α2+α3α13Φ(3)(ξ)+α2+α3θΦ′(ξ)?3α2+α3α12Φ′(ξ)2=0。通过使用方程(32)中的齐次性原理，我们得出 N=1。

本节解释了模型中观察到的不同类型波的动力学特性。所得到的孤子模式被拆解出来，并通过三种不同的方法在三维（3D）、二维（2D）和等高线表示中清晰地展示了这些模式。需要学习这些波形，以便了解相应物理现象的行为。

kink孤子是单调且无振荡的波结构。

本节利用对数变换 Φ=lnfξ（Seadawy等人，2024年）来说明各种动态波现象。因此，可以将这种变换应用于方程(32)，得到 α2+α3f4θ2?72α142α1+1ffξ2fξξ+36α142α1+1fξ412f3α12θfξξ?α15fξξξξ?12f2?α154fξfξξξ+3fξξ2+α12θfξ2?3α14fξξ2=0。

图13展示了当α1=1.99,α2=0.9,δ1=0.99i,δ2=0.98,δ3=0.2,δ4=2.5,θ=0.09,y=0.6,z=0.59,δ5=0.95,δ6=0.85,H1=0.95,H2=0.4565,H3=0.5,H4=1.9时，解(65)的模的图形表示。3D图显示波随时间保持其形状，而2D图则捕捉到了不同时间点的波形。这类波可以用来模拟海啸或渠道流动。图14用参数α1=2.2,α2=0.9,δ1=0.91i,δ2=0.88,δ3=0.12,δ4来解释解(73)的模。

本研究的创新之处有很多。首先，在BLMP模型的背景下，首次系统地应用并比较了三种分析技术，即改进的Riccati扩展简单方程方法、改进的F-expansion方法和广义投影Riccati方程方法。这种比较方法揭示了每种技术在生成不同类型孤子解方面的相对优势。其次，得到了多样化的精确解谱。

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