拓展现有的手性光子超表面的机器学习优化技术：神经网络与遗传算法方法的对比研究

《Advanced Physics Research》：Advancing Machine Learning Optimization of Chiral Photonic Metasurface: Comparative Study of Neural Network and Genetic Algorithm Approaches

　　**摘要**

手性光子超表面提供了独特的功能，可以定制光与物质的相互作用，这对于下一代光子器件至关重要。在这里，我们报告了一个先进的优化框架，该框架结合了深度学习和进化算法，显著提高了手性光子纳米结构的设计和性能。在之前利用三层感知器、强化学习和具有衰减变化和质量灭绝的随机进化算法进行手性光子优化的基础上，我们的研究引入了一个改进的流程，采用了双输出神经网络架构，以减少高手性二向色性（CD）和反射率之间的权衡。此外，我们使用了改进的适应度函数和高效的数据增强技术。我们对基于神经网络（NN）的方法和遗传算法（GA）在不同界面图案深度、材料组合和几何复杂性方面的性能进行了比较分析。由于优化的卓越性能，在GaP/空气和PMMA/空气超表面的例子中，我们展示了高达两倍的手性二向色性，并且还强调了角数量和折射率对比度的影响。此外，我们在有限的计算资源内探索了更多的结构数量，我们的电磁模拟表明了定制的光谱反射率，为适用于偏振选择性光与物质相互作用的手性镜的研究铺平了道路。

**1 引言**

具有定制光学特性的纳米光子结构已成为成像、光电子学、量子信息和生物医学等高级应用的基石[1-3]。一个特别感兴趣的领域是手性光子超表面的设计，这类超表面对左旋和右旋圆偏振光（LCP和RCP）表现出不同的响应。这样的结构在Valleytronics[4]、手性分子检测[5]和光学角动量控制[6]中起着关键作用。由于复杂的几何关系和电磁相互作用，手性超表面的手动设计仍然极具挑战性。已经开发出算法优化技术，例如基于自动微分[9, 10]的逆向设计[7, 8]或神经-伴随方法[11]来应对这些挑战。机器学习（ML）和深度学习（DL）通过用预测模型替代耗时的迭代模拟，展示了加速光子结构优化的巨大潜力[12-16]。这些DL技术被用作计算成本高昂的光学模拟的替代品，同时也用于近似所需输出与几何/材料输入参数之间的逆关系[17, 18]。一旦在由有限数量的光学模拟组成的数据集上进行了训练（尽可能使用数据增强），这些算法就可以以更低的成本探索设计空间。这些算法通常涉及自编码器来处理简化的潜在空间表示，UNets用于2-D映射转换[19]和/或对抗性技术来改进候选解的生成[8, 20]。最近的趋势是在这些算法中结合物理信息模块，以限制探索到符合相关物理方程的解[21-23]。大型语言模型最终也被用于设计具有按需特性的超材料[24]。我们之前的研究[25]表明，人工神经网络（ANN）和进化算法（EA）都可以应用于优化手性超表面，从而实现增加的圆二向色性。然而，这一初步的原理验证留下了一些未解决的问题，即如何提高神经网络的准确性和泛化能力以适应复杂的几何形状，比较神经网络和遗传算法方法时会出现哪些计算权衡，以及混合策略是否能够有效地结合两种方法的优势。在这里，我们通过引入一个先进的ML优化流程来探讨这些关键问题。我们的流程旨在实现低计算成本、高可扩展性和快速验证非直观手性结构的可能性。为了评估该框架在不同实验反射器平台上的多功能性，我们研究了两种不同的材料 régimes：高折射率（）GaP和低折射率PMMA。在这里，半导体GaP（在目标波长下具有透明性，折射率为）代表了实现Valleytronics中所需的高反射率共振所需的高折射率电介质 régime。相比之下，聚合物PMMA（具有类似玻璃的光学性质）被选用来展示该框架在优化通常通过成本效益高的3D纳米打印或两光子聚合制造的低折射率结构时的鲁棒性。通过探索这两种材料，我们证明我们的优化流程可以适应标准的自上而下的光刻约束和新兴的自下而上的增材制造技术，或其他表面图案化技术，如激光烧蚀或离子铣削。

**2 方法**

为了模拟超表面的行为，本研究始终使用了Khepri软件[26]。Khepri实现了傅里叶模态方法[27, 28]，该方法能够高效计算具有平面周期性结构的分层电介质材料的透射和反射光谱。在这种方法中，相对介电常数的二维周期分布通过几何形状的傅里叶级数展开来近似。因此，随着包含的傅里叶项数量的增加，模拟的准确性会提高，但计算要求也会增加。因此，必须在准确性和计算效率之间取得平衡。在这项工作中，使用了傅里叶阶数来在精度和计算成本之间获得适当的折中。此外，所选择的傅里叶阶数使得模拟的准确性与参考文献[25]相当，后者使用了S4软件[29]实现的傅里叶模态方法。

**2.1 仿真框架**

结构被建模为具有每个象限包含3个、4个和5个角（顶点）的周期性超表面，以研究几何复杂性的作用（假设对称性）。由于GaP的高折射率（在615 nm时为）和在可见范围内的低吸收，因此选择了这种半导体材料作为基底材料。模拟的结构必须遵守两个物理约束：边缘连接之间的角度不能低于45度，且边缘之间不能有交点。整个仿真保持无量纲，以简化设计空间。中心设计频率和波长，即要实现高CD和高反射率的频率和波长，都设为1。单元格的晶格常数定义为，结构深度也定义为或的倍数。首先优化的目标量是圆二向色性积分，定义为

其中分别表示左旋和右旋圆偏振光的反射率。该积分在频率范围内进行评估，步长为0.002。第二个目标量是所需偏振的反射率，定义为

在接下来的优化中，我们实际上通过定义的有效目标函数来最大化和的绝对值。

**2.2 基于神经网络的优化**

最初，神经网络流程是以一种特别紧凑且计算成本低廉的格式建立的。因为使用Khepri[26]而不是S4[29]得到的参考文献[25]的结果是一致的，因此在接下来的研究中，集成的仿真为神经网络和遗传算法流程的优化结果提供了高效快速计算和可比性的基础。神经网络（NN）方法使用了一个由输入神经元、一个包含16个神经元的隐藏层、一个包含8个神经元的隐藏层和2个输出神经元组成的架构，以同时预测和。NN架构有意保持紧凑，以最小化计算开销，优先考虑快速推理和迭代优化流程所必需的训练周期。隐藏层中使用的激活函数是LeakyRELU函数，斜率为0.01。训练使用了在每次迭代时线性增长的数据集，总共进行了15次迭代。在第一次迭代中，使用了64个训练示例。对于接下来的迭代，选择了64个额外的训练示例并添加到数据集中，最终在最后一次迭代中达到960个。用于训练的优化器是RMSprop，学习率为0.001，损失函数是均方误差（MSE）。为了提高收敛性和与遗传算法的兼容性，我们使用了改进的适应度函数

这个适应度函数用于神经网络优化，以选择在每次迭代中添加到训练数据集的结构。与GA在算法上不稳定的加权和线性组合相比，适应度函数中的乘法耦合对GA和NN都有效，无需手动调整权重，并支持在不同材料系统和结构几何形状中预测可行的设计。这种不稳定性的原因是，当的幅度通常比手性响应大一个数量级时，优化会一致地收敛到最大化反射率但牺牲手性的无图案表面。通过使用方程式（3）中的乘法耦合，我们确保发现过程需要来自两个指标（和）的非零贡献，从而防止算法被单一指标主导，并使适应度函数尽可能通用。与之前的研究相比，优化程序中引入了几项关键改进，包括使用几何数据增强来提高模型的鲁棒性，以及为了确保每次优化迭代时模型的最佳泛化能力，我们实现了一个自动化的训练持续时间策略。训练周期的数量是通过8折交叉验证程序动态确定的，并结合了提前停止机制（耐心=10）。通过平均所有折叠的终止周期，该框架确定了整个数据集最合适的值（“最佳点”），有效地防止了过拟合和欠拟合，同时适应了训练池的线性增长大小。

**2.3 遗传算法优化**

本研究使用的遗传算法（GA）在之前的工作中有详细描述[31-34]。其思想是利用一个代表结构角的可能坐标值的个体种群=50个。因此，GA考虑的变量数量为。在这项工作中，我们使用7位来表示每个变量（0到1之间的128个可能值）。初始种群由随机个体组成，这些个体遵守施加的约束（角度不低于45度）。然后使用Khepri计算每个个体的适应度。适应度较低的个体被新的随机个体替换为下一代（其中是进展指标，是遗传相似性，表示种群中值与最佳个体相同的比特比例；根据种群的收敛程度，的范围是从0.5到1）[31]。对于种群中的其余个体（个体），使用基于排名的轮盘选择来选择最佳个体（一个给定的个体可以被选择多次）[35]。对于每对选定的个体（父母），我们应用交叉操作符来定义下一代的子代（概率为70%），或者我们保持这些个体不变（概率为30%）。通过交叉获得的子代进一步受到二元突变（突变率=0.95/，其中）。这些突变包括随机翻转用于表示角坐标的二进制编码[31]。我们确保通过这些交叉和突变操作获得的个体遵守施加的约束（如果需要，这些操作会重复进行，直到找到可接受的解决方案）。在每一代中，GA收集的数据用于在最佳个体附近的邻域建立适应度的二次近似。然后将该近似的最佳值注入下一代[31]。最后我们应用精英主义，以确保从一代到下一代时不会丢失最佳解决方案。这些不同的步骤从一代重复到另一代，直到满足以下终止标准之一：（i）在耐心次迭代后最佳解决方案没有进展；（ii）遗传相似性；（iii）过去耐心次迭代的遗传相似性的平均值。图1, 2中给出了这个工作流程的示意图。图1：在图形查看器中打开（PowerPoint）

简要说明了手性超表面优化任务：(a) 极化选择性反射率，(b) 几何结构（顶部视图单元格、晶格和截面），以及(c) 两种不同的算法用于推断具有高圆二色性（CD）和适当光谱反射性能的图案化空气-基底界面（上图：神经网络算法；下图：进化算法）。图纸参考文献[25]。

图2：在图形查看器中打开（PowerPoint）

遗传算法的工作流程。对于每种情况（给定的材料组合和给定的角数），遗传算法（GA）运行了五次，以评估独立运行之间的一致性。然后我们考虑了额外的两次运行，在这些运行中，将之前运行中确定的最佳解决方案注入初始种群中。这最后一步旨在给这些解决方案改进的机会（可能是通过结合五次独立运行中确定的解决方案）。

3 结果与讨论

通过改进的流程，我们将每次优化运行的分析结构数量从140万个增加到750万个，这大约代表了计算效率的五倍提升（每次优化的Khepri模拟数量为960次）。神经网络（NN）方法在五次迭代后表现出了强大的性能。此后，网络的预测能力没有显著提高。

3.1 神经网络能力的提升与效率

在单输出神经元神经网络的情况下，第一次迭代中找到的最佳结构的圆二色性（CD）约为-0.0032（见图3）。这一结果在优化过程中迅速改善，最佳结构的CD达到了约-0.0056，这代表了显著的提升。然而，最后一次迭代后的网络显示出高达0.5的验证损失，对于这种类型的优化问题来说被认为是相当大的。尽管如此，平均CD值（这是此阶段唯一优化的量）在15次迭代中持续增加，而平均反射率则呈现相反的趋势。这些结果与之前在[25]中报告的结果相当。在这种配置中观察到的高验证损失归因于欠拟合，因为网络过于简单，无法有效地学习角坐标与结构CD值之间的非线性关系。此外，在如此紧凑的网络中使用ReLU激活函数可能会导致一些隐藏神经元的失活，进一步降低模型的响应性。

3.2 几层感知器强化学习流程的改进：从单个输出神经元（a）到两个输出神经元，并增强了适应度评估函数（b）。插图：绿色显示的结构代表第一次迭代后确定的最佳候选者（左侧），在此期间评估了64个随机生成的配置。蓝色显示的结构（右侧）对应于完整优化过程结束时获得的优化设计。为了获得高CD值而不过度损失反射率，神经网络中增加了一个输出神经元。该网络的架构在第2.2节中有描述。在这种配置下，优化结构的CD约为-0.0061，优选的反射率约为0.0159，从而提高了这两个指标。验证损失也减少到大约0.1，这比之前的单输出架构低五倍。这些改进的结果直接来自于对网络架构和训练过程的增强。实施了一种利用手性平面超表面之间镜像对称性的数据增强策略，使得训练数据集无需额外模拟即可翻倍，该策略对数据集的影响在附录的图A2中有报告。反转手性结构的手性会产生一个镜像对称的响应：在左旋和右旋圆偏振照明下反射的强度保持不变，但由于偏振旋转方向的逆转，相关的偏振标签被交换了[36]。这种对称性使得每个模拟样本可以简单地通过交换LCP和RCP标签与其对映体对应物配对，从而提供一个与底层物理完全一致的数据集。这种方法在保持总计算时间的同时，产生了在设计空间中更均匀分布的数据集，确保了偏好左旋和右旋圆偏振光的结构的平衡表示。此外，引入了一种自适应的训练周期选择策略，以自动确定每次迭代中的最佳训练周期数量，减轻了长时间训练期间可能出现的过拟合现象，这一效应在较大的网络中变得越来越重要。总的来说，应用于基于NN的优化的改进在实现更优的性能和效率方面取得了成功。图3和附录的图A1总结了使用改进后的神经网络架构在最小化CD和反射率之间的权衡方面的成就，并比较了两种机器学习方法之间的获胜结构。

3.2 结构厚度变化与几何复杂性

改进的基于神经网络的优化框架被用来分析具有不同厚度和材料成分（GaP/空气和PMMA/空气）的手性结构。对于每种成分，评估了10种不同的厚度，以确定最大化最佳结构适应度函数的值。如图2所示，GaP/空气组合的最优厚度被确定为[值未提供]，而PMMA/空气的最优厚度被确定为[值未提供]。在所有厚度上，PMMA/空气结构的适应度值几乎比其GaP/空气对应物低两个数量级。两种材料之间的适应度差异主要归因于它们不同的折射率对比。PMMA在615纳米处的折射率约为1.5，而GaP在同一波长处的折射率要高得多，约为3.34。这种对比导致PMMA/空气界面的反射率显著降低。本研究确定的最佳厚度随后被用于分析结构复杂性。结果在图4、图5以及表1和表2中呈现。如图左侧面板所示，遗传算法（GA）的一致性能优于基于神经网络的优化（NN）。平均而言，GA产生的结构的适应度分数比基于NN的优化高出约30%（对于Air/GaP组合高出50%）。

表1：遗传算法（GA）和神经网络（NN）在Air/GaP系统上找到的最佳解决方案的性能，以及它们各自的迭代次数和模拟次数。

表2：遗传算法（GA）和神经网络（NN）在Air/PMMA系统上找到的最佳解决方案的性能，以及它们各自的迭代次数和模拟次数。

注：对于每种情况，遗传算法（GA）运行了五次（独立运行，括号内为每次运行达到最终解决方案所需的次数）。另外考虑了两次运行，在这些运行中，初始种群包含了之前运行中确定的最佳解决方案。括号内的值是每次运行达到最终解决方案所需的次数。确定最佳解决方案的运行被标出。神经网络（NN）管道每种情况也运行了五次，训练迭代次数设置为15次，每次迭代向训练数据集中添加64个结构。四个指标是：左旋圆偏振反射率（LCP）、右旋圆偏振反射率（RCP）、标准化圆二色性（Circular Dichroism）和增强后的适应度函数（enhanced fitness function）。标准化圆二色性可以解释为反射中的相对手性程度。

表2：遗传算法（GA）和神经网络（NN）在Air/PMMA系统上找到的最佳解决方案的性能，以及它们各自的迭代次数和模拟次数。

3.3 结构厚度变化与几何复杂性

改进的基于神经网络的优化框架被用来分析具有不同厚度和材料成分（GaP/空气和PMMA/空气）的手性结构。对于每种成分，评估了10种不同的厚度，以确定最大化最佳结构适应度函数的值。如图2所示，GaP/空气组合的最优厚度被确定为[值未提供]，而PMMA/空气的最优厚度被确定为[值未提供]。在所有厚度上，PMMA/空气结构的适应度值几乎比其GaP/空气对应物低两个数量级。两种材料之间的适应度差异主要归因于它们不同的折射率对比。PMMA在615纳米处的折射率约为1.5，而GaP在相同波长处的折射率要高得多，约为3.34。这种对比导致PMMA/空气界面的反射率大幅降低。本研究确定的最佳厚度随后被用于分析结构复杂性。结果在图4、图5以及表1和表2中呈现。如图左侧面板所示，遗传算法（GA）的一致性能优于基于神经网络的优化（NN）。平均而言，GA产生的结构的适应度分数比基于NN的优化高出约30%（对于Air/GaP组合高出50%）。

图4：两种测试组合（GaP/空气为蓝色，PMMA/空气为绿色）的厚度优化结果。每个点代表在特定厚度下找到的最佳单个结构。GaP/空气组合在[厚度值未提供]时获得了最高的适应度值，而PMMA/空气组合在[厚度值未提供]时获得了最高的适应度值。

图5：结构复杂性增加：比较了神经网络（NN）和遗传算法（GA）优化得到的对偏振敏感的结构性能。

表3：遗传算法（GA）和神经网络（NN）在Air/GaP系统上找到的最佳解决方案的性能，以及它们各自的迭代次数和模拟次数。这种顺序方法在保持准确性的同时加快了整个设计过程。此外，来自两个流程的结果可以作为一个早期数据库，用于进一步的深度学习研究或在相关优化任务中进行迁移学习。结合的NN–GA框架可以扩展到光子学中的其他逆向设计问题，包括全息超表面和非线性光学设备，为先进的光子结构设计提供了一条可扩展且高效的路径。我们的工作建立在之前研究的基础上，并显著扩展了这些研究，这些研究探索了使用ANN和EA/GA来优化手性纳米结构的方法。例如，虽然先前的文献已经成功展示了ANN和EA实现介电超表面目标手性响应的能力[37]，但本文提供了一个更加严谨和系统的比较框架，详细说明了这种特定应用中精细的深度学习和随机EA方法的实际优势和局限性。关键的是，虽然其他最先进的方法关注的是复杂的三维超材料[38-41]，通常需要大量的初始数据集或复杂的网络架构，但我们的主要贡献在于开发了一个精细的优化流程。因此，我们的工作不仅提供了优化方法的全面比较，而且还为高性能手性超表面提供了一种高效、稳健且可制造的设计方案，验证了系统优化机器学习框架在这一领域的力量。在未来的研究中，有了实验数据，可以检查从模拟数据到测量数据的迁移学习的效率，并进一步验证设计实际结构的能力。这些结构一旦生产并进行了表征（例如使用近场光学显微镜和远场光谱学的结合），就可以支持对手性反射器的物理研究。此外，人们还可以追求用于基于神经网络的优化流程的网络拓扑的遗传优化，作为一种混合方法，为这一优化任务提供一个紧凑和调整过的模型[42]。

4 结论

我们展示了一个基于机器学习的优化框架，用于手性光子超表面，该框架利用了两种方法在结构设计改进过程中的优势。通过将精细的神经网络流程与先进的遗传算法进行评估，我们展示了这两种方法都可以设计出具有高CD（手性依赖性）的结构，并且具有高效的计算扩展性，并展示了两者之间的权衡：虽然GA始终能识别出性能最佳的结构，但NN提供了一种更计算高效的途径来获得高性能设计，使得复杂系统的扩展性更好。这些结果为实际制造手性镜子或光学滤波器以及其他高级纳米光子设备铺平了道路，这些设备可以使用自上而下或自下而上的光刻结构定义来制造，适用于不同的光谱区域和特征尺度。

致谢

感谢德国研究基金会（Deutsche Forschungsgemeinschaft，资助编号：DFG RA2841/12-1）——项目编号456700276（项目ID）和中德科学促进中心（Chinesisch-Deutsches Zentrum für Wissenschaftsf?rderung，资助编号：CDZ GZ1580）的财务支持。A.M.由比利时的科学研究基金（F.R.S.-FNRS）资助。这项研究使用了位于比利时纳慕尔大学的“Plateforme Technologique de Calcul Intensif (PTCI)”的计算资源，该平台得到了F.R.S.-FNRS根据协议号2.5020.11的支持。PTCI是“Consortium des Equipements de Calcul Intensif (CECI)”的成员。本研究还受益于瓦隆-布鲁塞尔联邦（Federation Wallonie-Bruxelles）的一级超级计算机上的计算资源，该基础设施由瓦隆大区根据协议号1117545提供资助。作者感谢O. Mey在开发最初的强化监督学习算法和改进现有神经网络模型方面提供的技术支持。作者还感谢访问学者X.F. Luo（来自浙江大学）在吉森进行的光学结构聚合物纳米打印实验方面的技术支持和讨论。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

附录

图A1通过比较两种不同网络架构的平均验证损失和每次迭代的平均周期数，展示了神经网络（NN）优化流程的收敛行为。左侧面板显示了使用初始的1输出神经元NN的优化结果。在这种情况下，平均验证损失仍然很高，接近0.5。这种高损失归因于欠拟合，因为简单的网络无法有效地学习复杂的非线性关系，并且平均周期数是固定的。右侧面板显示了使用改进的2输出神经元NN的优化结果，该网络同时预测了两个输出。这种改进的网络架构的验证损失显著下降，在最后一次迭代时稳定在大约0.1——减少了五倍，表明模型具有更好的准确性和泛化能力。这种改进部分归功于自适应的周期选择策略，它调整了训练持续时间，以防止过拟合和欠拟合，这反映在变化的平均周期数上。

图A2提供了数据探索和增强策略的可视化分解。顶部面板显示了最后一个迭代的推理结果，表明即使在每次迭代500,000个结构中，也只有很少一部分结构显示出高的预测CD值。底部面板展示了最终训练数据集的组成和几何数据增强效果。这种策略利用了对手性超表面镜像的对称性。通过简单地交换每个模拟样本的LCP和RCP标签（这种方法与潜在的物理一致），无需任何额外的、计算成本高昂的模拟，就有效地加倍了训练集。原始的模拟结构用蓝色显示，而增强的（对映异构）结构用橙色显示，确保了在两个输出上都有更平衡的表示。

图A1展示了使用1输出神经元神经网络（左）和具有改进的周期选择方法、适应度函数和几何增强的2输出神经元神经网络（右）的15次迭代优化流程的验证损失。每个图表都显示了相对于左侧轴的验证损失和相对于右侧轴的平均周期数。图A2提供了数据探索和增强策略的可视化分解。顶部面板显示了最后一个迭代的推理结果，表明即使在每次迭代500,000个结构中，也只有少量结构显示出高的CD值。底部面板展示了最终训练数据集的组成和几何数据增强效果。这种策略利用了手性超表面之间的镜像对称性。

在顶部，展示了最后一个迭代的推理结果（左：半对数图，CD值与预测指数；右：双对数图，CD值已排序），显示只有少数结构显示出高的CD值。在底部，展示了优化结束时的数据集，显示了对称增强效果（蓝色：原始结构；橙色：通过增强获得的结构）。在验证了NN和GA优化器之间结果的可比性之后，应用了第三种材料配置，即PMMA/GaP界面（折射率对比为...）。从图A3中显示的数据来看，确定了最合适的厚度...与其它情况类似（参见图4）。图A4和表A1总结了GA和NN优化对于厚度优化的PMMA/GaP结构的结果，以便进行比较。

图A3展示了PMMA/GaP结构的厚度优化情况。

图A4和表A1总结了GA和NN优化对于PMMA/GaP配置的结果。

附录中最后讨论的一个问题是如何评估所提出解决方案的稳健性。计算出的性能确实应该对其几何参数的小变化保持稳定（理想情况下的最优值范围较广）。我们将本工作中找到的最佳解决方案（由GA确定的解决方案，具有Air/GaP组成，在单位晶胞的右上象限有五个角）作为一个示例。该解决方案的适应度得分为2.580E-04。为了评估该解决方案的稳健性，可以插值优化算法收集的数据，并围绕最优值建立适应度的2D切片。图A5提供了一个示例，展示了与第二个角相关联的坐标的2D切片适应度。该图显示了某些区域的约束没有得到遵守。

图A5展示了与第二个角坐标相关的2D切片中的插值适应度得分。黑色区域代表计算该切片平均适应度得分的窗口。在10维散布数据点的空间中，使用scipy.interpolate的griddata例程的“nearest”方法进行插值。黑色区域对应于违反角坐标约束的坐标。对于每个切片，我们可以在以最优值为中心的窗口内计算平均适应度值（只考虑遵守约束的网格点）。这个窗口的宽度（每个坐标0.1）反映了角位置可能的变化。表A2给出了不同角坐标获得的平均适应度值。

表A1显示了遗传算法和神经网络方法在PMMA/GaP系统上找到的最佳解决方案的性能，包括它们各自的迭代次数和模拟次数。

GA在PMMA/GaP上的运行结果（5次）：
NN在PMMA/GaP上的运行结果（5次）：

LCP 4.718E-03 4.734E-03
RCP 8.439E-03 8.194E-03
3.721E-03 4.460E-03
0.566 0.535 3.140E-05
515 5960

GA在PMMA/GaP上的运行结果（4次）：
NN在PMMA/GaP上的运行结果（4次）：
LCP 8.057E-03 5.183E-03
RCP 1.129E-02 8.364E-03
3.234E-03 3.181E-03
0.334 0.470 3.652E-05
515 5960

GA在PMMA/GaP上的运行结果（5次）：
NN在PMMA/GaP上的运行结果（5次）：
LCP 1.126E-02 4.878E-03
RCP 7.990E-03 7.215E-03
3.266E-03 2.337E-03
0.339 0.386 3.677E-05
515 5960

注意：每种情况GA分别运行了五次（独立运行，用括号表示）。还考虑了两次额外运行，在这些运行中，初始种群包含了前几次运行中确定的最佳解决方案。括号中的值是每次运行达到最终解决方案所需的值。确定了最佳解决方案的运行被标出了。NN流程在每种情况下也运行了五次，每次训练迭代次数设置为15，每次迭代向训练数据集中添加64个结构，因此每次运行产生了960个模拟结构。

表A2显示了GA为Air/GaP和单位晶胞右上象限的5个角确定的最佳解决方案的稳健性分析。最佳解决方案的适应度得分为2.580E-04。

在...部分中的平均适应度得分为2.178E-04；
在...部分中的平均适应度得分为2.579E-04；
在...部分中的平均适应度得分为2.395E-04；
在...部分中的平均适应度得分为2.474E-04；
在...部分中的平均适应度得分为2.541E-04；
空间平均适应度得分为2.434E-04。

注意：平均适应度得分是针对角坐标在最优值周围的最大变化（对于遵守坐标约束的网格点）计算的。空间平均适应度得分是这些量的平均值。可以通过计算这些平均适应度得分的平均值来获得“空间平均适应度得分”。对于所考虑的示例，我们得到了2.434E-04的值，仅比最优值处的2.580E-04低5.6%。这种分析可以应用于本研究中提供的所有解决方案，以评估它们对其参数变化的稳定性。如果打算制造原型，这一点非常重要。

数据可用性声明

支持本研究发现的数据可以从相应作者处获得，如有合理请求。此外，还可以参考Filippozzi等人发布的数据库：“Advancing Machine Learning Optimization of Chiral Photonic Metasurface: Comparative Study of Neural Network and Genetic Algorithm Approaches”。Zenodo，2026年4月22日，19667817，https://doi.org/10.5281/zenodo.19667817。