深度神经网络模拟用于分析Ag+Au/血液Casson-Williamson混合纳米流体在旋转盘面上的流变特性：在靶向药物递送中的应用

《South African Journal of Chemical Engineering》：Deep neural networks simulation for analysing rheological characteristics of Ag+Au/Blood Casson-Williamson hybrid nanofluid flow over a rotating disk: An application to targeted drug delivery

　　Gunisetty Ramasekhar | Pooja Mahendrakar Nagaraj | Abbaireddy Divya | P.D. Selvi | Thandra Jithendra | Hijaz Ahmad | Waleed Mohammed Abdelfattah
数学系，Rajeev Gandhi Memorial College of Engineering and Technology（自治），Nandyal，518501，安得拉邦，印度

摘要
深度神经网络（DNN）处理高度复杂和困难数学问题的显著能力是其具有广泛吸引力的主要原因之一。本研究应用了计算机深度神经网络方法，旨在分析磁流体动力学Casson-Williamson混合纳米流体在旋转盘上流动的现象，同时考虑了多孔介质和非线性热辐射的影响。通过使用相似变量，将高度非线性的控制方程转换为常微分方程（ODE）。本文以血液作为基础流体，相应的纳米颗粒为金（Au）和银（Ag）。随后，通过生成图表和表格运用微分变换方法进行了分析。比较结果表明，混合纳米流体（R2=0.98126）的性能优于纯纳米流体（R2=0.97824）。通过将半解析解与深度神经网络结合使用，进一步提高了其准确性，从而增强了其在生物科学、生物计算和流体力学等领域的预测建模应用中的实用性。

本研究展示了以下关键点：
• 旋转盘上Casson-Williamson混合纳米流体流动的非线性动力学分析；
• 研究了磁流体动力学效应、多孔介质和非线性热辐射的影响；
• 展示了用于求解所考虑纳米流体和混合纳米流体问题的高效深度神经网络（DNN）。

1. 引言
旋转盘是流体研究的一个基本主题，因其直观性而成为众多研究的对象。这种流动配置为数学界和实际应用带来了双重效益。研究旋转盘运动对现代科学家、医学专家和数学家来说具有重大挑战性。自然界中存在许多现象可以说明这一自然现象，例如星团、飓风、旋转的海水以及由杯子搅拌产生的漩涡。旋转运动不仅仅是测量问题，它是一个涵盖了广泛领域的研究领域。自微观流体存在以来，就一直受到广泛关注，并被应用于生物科学、生物计算和流体力学等多个领域（Alnahdi等人，2025；Gunisetty等人，2025；Ganjih等人，2025；Al-Bossly，2025）。美国数学家Choi（1995）提出了一种新型流体——纳米流体，为传热研究做出了重要贡献。提高传热效率是当前的技术挑战，促使大量研究者采用现代方法寻找解决方案。纳米流体是一种新型的液体传热技术，需要将颗粒混合到初始流体中。本研究应用计算机深度神经网络方法来分析边界区域的运动，涉及生理信息学、流体力学到纳米技术等多个领域（Bartwal等人，2026；Jakeer等人，2025；Naeem等人，2025；Sharma & Jindal，2024；Abbas等人，2025）。
磁场对不同流体运动的影响在工程和医学领域都有重要意义。磁场有多种应用，如药物输送的微泵、电机、肿瘤化疗的磁流体动力（MHD）微混合器以及恶性热治疗等。许多研究探讨了磁场特性如何影响不同几何形状的流体流动。热辐射产生的热量传递适用于多种用途，包括电子芯片制造、石油提取和金属物品冷却等（Vijay & Sharma，2023；Kumar等人，2024；Ramasekhar & Bala Anki Reddy，2023；Rafiq等人，2024）。许多科学和工程分支利用熵分析来确定系统的混沌程度。系统的总体熵反映了其中散发的热量，以及系统随时间趋向平衡的温度倾向。
Casson流体在旋转盘上的流动是流体力学研究的一个有趣主题，特别是在研究非牛顿流体运动时。Casson流体概念可以很好地描述流体的复杂流变特性。在存在屈服应力的情况下，这种流体在低应力下表现出固体的性质，而在高应力下则变为液体。例如，在生产和热管理活动中可以很容易观察到Casson型特性（Anwar等人，2025）。Williamson混合纳米流体结合了混合纳米流体的优异传热性能和Williamson流体的剪切稀化弹性特性，使其成为一种非牛顿流体。血液、聚合物溶液和悬浮颗粒等许多商业和生物流体都表现出随剪切速度增加而降低的表观粘度，符合Williamson数学模型的预测（Jindal & Sharma，2025）。

1.1 本研究的创新之处
许多 current studies 都在研究微流体和混合微流体的传热特性，尤其是不同类型颗粒的应用。虽然对改进的传热过程了解不多，但混合纳米流体在旋转盘循环中的行为和效率仍不清楚。本研究提出了应用深度神经网络（DNN）来分析和优化混合纳米流体通过旋转盘的传热过程，填补了现有文献中的研究空白，考虑了非线性热辐射、多孔介质和粘性耗散对MHD Casson-Williamson混合纳米流体流动的影响。通过合适的自相似变量将计算方程转换为常微分方程，并采用微分变换方法（DTM）进行数值求解，同时使用深度神经网络（DNN）进行改进的预测分析。结果表明，Au-Ag/血液组合的传热性能优于纯血液或纯Au组合，动量和传热性质也有显著提高。

1.2 本研究的主要亮点
• 对旋转多孔盘上MHD Casson-Williamson混合纳米流体流动的传热特性进行了定量分析；
• 研究了非线性热辐射、粘度和多孔介质以及Casson-Williamson流体对流动的影响；
• 展示了用于求解所考虑纳米流体和混合纳米流体问题的高效深度神经网络（DNN）；
• 通过改进的数学框架，使从Casson-Williamson Au-Ag/血液模型得到的数学问题的计算解更加准确；
• 所提出的方法具备可靠性、稳定性和性能一致性。
• 使用多种统计指标（包括直方图分析和均方误差（MSE）分析）验证了算法的准确性。

2. 数学描述和流动模型
1. 考虑的流体是不可压缩且具有导电性的。
2. 非线性热辐射效应通过Rosseland近似进行建模，确保旋转盘上的辐射热通量线性。
3. 本研究中以血液作为基础流体，金和银作为纳米颗粒，并在表1中列出。
表1. 血液/Ag-Au纳米颗粒的热物理性质（Aziz等人，2025）
| 物性 | | |
|-------------------|------------|-----------|
| 密度 | ρ | 10?3 | 10?? |
| 比热容 | Cp | 359 | 235 |
| 热导率 | kf | 0.492 | 293 |
| 电导率 | σ | 6.3×10? | 4.1×10? |
| 压力 | Pr | 14 | |
4. 本研究分析了Casson和Williamson流体在多孔介质中朝向旋转盘的稳定、不可压缩、混合对流3D磁流体动力（MHD）边界层流动，同时考虑了焦耳加热和非线性热辐射的影响。
如图1所示，旋转盘在磁场作用下产生连续、不可压缩的辐射运动。盘在圆柱坐标系（r,φ,z）中描述问题，由于盘位于z=0位置并以相同的角速度Ω沿z轴旋转，因此能够产生方向一致的均匀磁场Bo。

5. 为简化问题，在开始之前建立了以下假设：
- 对于不可压缩流动，Casson流体和Williamson模型的流变方程如下（Akolade & Tijani，2021；Ali等人，2021；Aman等人，2018；EL-Zahar等人，2022；Khan等人，2020；Divya & Bala Anki Reddy，2022）：
(1) ?w/?z + 1/r ??r = ur
(2) w/?u + u/?r - v2/r = υhnf(1 + 1/α)
(3) ?2u/?z2 - σhnfB?2/ρhnfu + υhnf[2Γ/?u/?z]
(4) uv/r + w/?v + u/?v = υhnf(1 + 1/α)
(5) ?u/?T + w/?T = khnf(ρcp)hnf(?2T/?z2) + μhnf(ρcp)hnf(1 + 1/α)[(?u/?z)2 + (?v/?z)2]
5. 在Rosseland近似框架下，辐射热流可以表示为：
q_r = -4σ*3k*?T/?z3
边界层是指靠近流体表面的流体层。当流体在表面移动时，会在表面附近形成边界层。需要注意的是，边界条件的建立基于Turkyilmazoglu和Andersson等人的研究（Turkyilmazoglu，2010；Andersson & De Korte，2002）。

6. 为了求解方程，引入了流函数和相似变换：
(7) u = rΩf′(η)，v = rΩg(η)，w = -2υΩ
(8) f′(η) = Ωυz，θ(η) = T - T?
(9) (ζ?/ζ?)(1 + 1/α)f″′ + [(ζ?/ζ?)λf″f″′] + (g? + 2ff″ - f′2) - (ζ?/ζ?)Mf′ - (ζ?/ζ?)βf′ = 0
(10) 1/ζ?(ζ? + 4/3Rd)θ″ + (4/3)Rdζ?{(θw - 1)3(3θ2θ′2 + θ3θ″) + 3(θw - 1)2(2θθ′2 + θ2θ″) + 3(θw - 1)(θ′2 + θθ″)} + 2Pr(fθ′ - f′θ) + ζ3ζ?MPrEc(f′2 + g2) + (ζ?/ζ?)EcPr[(1 + 1/α)(f″2 + g′2) + λ2(f″3 + g′3)] = 0
(11) 在η→∞时，f = 0，f′ = 0，g = 1，θ = 0
(12) 将尺寸数据转换为无量纲数据，得到常数的数学形式：ω = cΩ（旋转参数），M = σfB?2/ρfΩ（磁场参数），λ = UwΓ2Ωυ（Williamson流体参数），Rd = 4σ*T?3k*f（辐射参数），Pr = μf(Cp)fkf（Prandtl数），Ec = Uw2(ΔT)(Cp)f（Eckert数），β = υk*Ω（孔隙率参数），Rex = Uw2υΩ（局部雷诺数），ζ? = μhnf/μf，ζ? = σhnf/σf，ζ? = ρhnf/ρf，ζ? = khnfkf，ζ? = (ρCp)hnf(ρCp)f（常数的数学表达式）。

3. 工程应用量
下面给出了剪切摩擦系数和努塞尔特数的定义（Yahya等人，2021）：
Cfr = τw?/ρf(rΩ)2，Cgr = τw?/ρf(rΩ)2
Nur = rqwkf(Tf - T∞)
其中，τw? = μhnf[(1 + 1/α)?u/?z + Γ2(?u/?z)2]，τw? = μhnf[(1 + 1/α)?v/?z + Γ2(?v/?z)2]，qw = -khnf(?T/?z)
利用无量纲变量和参数估算剪切摩擦系数和努塞尔特数（Divya & Bala Anki Reddy，2023）。

4. 微分变换方法的基本概念
微分变换方法（DTM）是一种半解析技术，用于在给定域D内近似解析函数的解。假设该域中有一个任意点y?和以y?为中心的幂级数表示的函数v(y)。v(y)的微分变换定义如下：
V(k) = 1/k![dkv(y)dy/k]
通过逆变换可以得到原函数：
v(y) = ∑k=0∞(y - y?)kV(k)
这表明DTM与泰勒级数展开密切相关，但在计算方法上有所不同。与泰勒级数不同，DTM将微分方程转换为代数递归关系，简化了计算过程。在实际应用中，无限求和在有限项数后截断（例如N项），得到近似解：
v(y) ≈ ∑k=0?(N - y?)kV(k)
截断级数意味着高阶项的贡献可以忽略，从而提高计算效率。保留的项数取决于级数的收敛速度和所需的解的精度。为了进一步分析，这里假设 y0=0 作为参考点，意味着所有的微分变换都以这一点为中心。表 2. 微分变换方法的基本操作规则。原始函数 v(y) 变换后的函数 V[k] v(y)=p(y)±r(y) V[k]=P[k]±R[k] v(y)=cp(y) V[k]=cP[k] v(y)=ap(y)±br(y) V[k]=aP[k]±bR[k] v(y)=dp(y)dy V[k]=(k+1)P[k+1] v(y)=d2p(y)dy2 V[k]=(k+1)(k+2)P[k+2] v(y)=dmp(y)dym V[k]=(k+1)…(k+m)P[k+m] v(y)=p(y)r(y) V[k]=P[k]×G[k]=∑m=0kP[m]R[k?m] v(y)=sin?(ωy+α) V[k]=ωkk!sin(πk2+α) v(y)=cos(ωy+α) V[k]=ωkk!cos(πk2+α) v(y)=eλy V[k]=λkk! v(y)=ym V[k]=δ(k?m)={1,k=m0,k≠m} 5. 使用微分变换方法的解析近似 将表 1中的一维微分变换应用于方程 (11)-(13)，得到以下变换后的方程 (Rafiq 等人, 2024; Anwar 等人, 2025; Jindal & Sharma, 2025): (18)ζ1ζ3(1+1α)(k+1)(k+2)(k+3)F[k+3]+ζIζ3λ∑m=0k(m+1)(m+2)F[m+2](k?m+1)(k?m+2)(k?m+3)F[k?m+3]+∑m=0k{G[m]G[k?m]+2F[m](k?m+1)(k?m+2)F[k?m+2]?(m+1)F[m+1](k?m+1)F[k?m+1]}?(ζ2ζ3)M(k+1)F[k+1]?(ζ1ζ3)β(k+1)F[k+1]=0, (19)F[0]=0,F[1]=ω,F[2]=a1, (20)ζ1ζ3(1+1α)(k+1)(k+2)G[k+2]+[(ζ1ζ3)λ∑m=0k(m+1)G[m+1](k?m+1)(k?m+2)G[k?m+2]]+2∑m=0k{F[m](k?m+1)G[k?m+1]?G[m](k?m+1)F[k?m+1]}?(ζ2ζ3)MG[k]?(ζ1ζ3)βG[k]=0, (21)G[0]=1,G[1]=a2, (22)(23)Θ[0]=1,Θ[1]=a3. 这里，F[k]、G[k] 和 Θ[k] 分别表示函数 f(η)、g(η) 和 θ(η) 的变换后的对应函数。常数 a1、a2 和 a3 是通过满足方程 (14) 中指定的边界条件来确定的。可以使用以下程序求解此问题，F[0]=0,F[1]=ω,F[2]=a1,F[3]=α(Mζ2ω+βωζ1+ω2ζ3?ζ3)6ζ1(2a1αλ+α+1),F[4]=α((?18F32λ+a1β)ζ1+Mζ2a1?a2ζ3)(24a1αλ+12α+12)ζ1, (24)F[5]=3α(((?72λα((?18F32λ+a1β)ζ1+Mζ2a1?a2ζ3)(24a1αλ+12α+12)ζ1+β)ζ1+Mζ2?2ωζ3)α(Mζ2ω+βωζ1+ω2ζ3?ζ3)6ζ1(2a1αλ+α+1)?2ζ3(a222+G2)3)(120a1αλ+60α+60)ζ1G[0]=1,G[1]=a2,G[2]=α(Mζ2+βζI+2ωζ3)2ζ1(a2αλ+α+1),G[3]=α(?4λζ1(α(Mζ2+βζI+2ωζ3)2ζ1(a2αλ+α+1))2+Mζ2a2+a2βζ1+4a1ζ3)6ζ1(a2αλ+α+1),G[4]=α(((?18λG3+β)ζ1+Mζ2?2ωζ3)G2+6ζ3(a1a23+F3))12ζ1(a2αλ+α+1), (25)G[5]=((?32G2G4λ?18G32λ+G3β)ζ1+(Mζ2?4ωζ3)G3+4ζ3(F3a2+2F4))α20ζ1(a2αλ+α+1).Θ[0]=1,Θ[1]=a3,Θ[2]=12(4Rdθw33+ζ5)ζ5α((((?Mζ3Ec(a23+ω2+1)+2ζ4ω)ζ5?4ζ4(a13λ+a12+14a22)Ecζ1)Pr?4Rda32ζ5θw2(θw?1))α?4PrζIEc(a12+a224)ζ4),Θ[3]=13ζ5(4Rdθw33+ζ5)α(2(((?4(θw?1)((θw?1)(θw+1)(Θ2+12)a322+(16θw2+16θw+76)Θ2a3+θw2Θ22?Θ22)Rd?(Mζ3(G2a22+a1ω+12a2)Ec?ζ4a1)Pr)ζ5?6ζ4PrEcζ1(λF3a12+a1F3+16a2G2))α?6ζ4(a1F3+a2G26)PrEcζ1)), (26)Θ[4]=12ζ5(4Rdθw33+ζ5)α(((?6(θw?1)((2Θ2+1)a329+(49Θ3+53Θ2Θ3)a3+Θ32+14Θ2227)θw2+2((29Θ3?23Θ2Θ3)a3+Θ2227)θw+(?2Θ2?1)a329+(?13Θ2Θ3+49Θ3)a3?Θ32+2Θ2227)Rd?Pr(?ζ4a1a33+ζ4Θ2ω3+ζ3(2a123+(G23+G3+16)a22+(?G?1G32+2G223)a2+ωF3+G23)MEc?ζ4F3))ζ5?6ζ4Pr(λ(F3+4F4)a123+(F32λ+4F43)a1+F32+G229+a2G36)Ecζ1)α?6(F32+4a1F43+G229+a2G36)ζ4PrEcζ1) 如上所述，该过程是一个连续的过程。通过微分变换方法 (DTM) 得出的基本方程如下，F[η]=F[0]+ηF[1]+η2F[2]+η3F[3]+η4F[4]+…G[η]=G[0]+ηG[1]+η2G[2]+η3G[3]+η4G[4]+… (27)θ[η]=θ[0]+ηθ[1]+η2θ[2]+η3θ[3]+η4θ[4]+… 将方程 (24)-(26) 代入方程 (27)，得到以下表达式，(28)F[η]=η{ω}+η2{a1}+η3{α(Mζ2ω+βωζ1+ω2ζ3?ζ3)6ζ1(2a1αλ+α+1)}+η4{α((?18(α(Mζ2ω+βωζ1+ω2ζ3?ζ3)6ζ1(2a1αλ+α+1))2λ+a1β)ζ1+Mζ2a1?a2ζ3)(24a1αλ+12α+12)ζ1}+… (29)G[η]=1+ηa2+η2{α(Mζ2+βζI+2ωζ3)2ζ1(a2αλ+α+1)}+η3{α(?4λζ1(α(Mζ2+βζI+2ωζ3)2ζ1(a2αλ+α+1))2+Mζ2a2+a2βζ1+4a1ζ3)6ζ1(a2αλ+α+1)}+… (30)Θ[η]=1+η{a3}+η2{12(4Rdθw33+ζ5)ζ5α((((?Mζ3Ec(a23+ω2+1)+2ζ4ω)ζ5?4ζ4(a13λ+a12+14a22)Ecζ1)Pr?4Rda32ζ5θw2(θw?1))α?4PrζIEc(a12+a224)ζ4)}+η3{ζ2(a12?a22)γ12+(?2a2ζ2+a1(Mζ3+ζ1β))γ1?ζ26ζ1}+η4{112ζ1{?4a13β1ζ2γ12?2γ1(Mζ3β1+ζ2γ1?ζ2)a12+(?2a22β1ζ2γ1+Mζ3+ζ1β)a1?(a2γ1+1)a2ζ2}}+… 将方程 (14) 中的边界条件施加到方程 (28)-(30) 上，当 η 趋向于无穷大时，可以确定 a1、a2 和 a3。所需的项数基于达到所需的数值精度，更高阶的近似提供更高的精度。6. 深度神经网络对混合纳米流体和纳米流体努塞尔数的建模 6.1. 深度神经网络 首先，McCulloch 和 Pitts (McCulloch & Pitts, 1943) 是 1943 年神经网络设计的先驱。然而，Minsky 和 Papert 在 1969 年通过提出智能假设大大扩展了该领域。Rumelhart 和 McClelland (Rumelhart 等人, 1988) 随后提出了并改进了反向传播算法。这项研究的结果使神经网络能够更快地训练，并最终随着其他进步而变得更加灵活。深度神经网络 (DNN) 的主要目标是复制人脑中的生物神经网络。DNN 能够检测出隐藏在极其复杂、动态和多样化数据中的某些复杂趋势 (Wang 等人, 2025)。DNN 是一种多层架构，包括输入层、隐藏层和输出层。这种架构类似于传统 ANN 的堆叠模型。DNN 通过反向传播策略来确保模型的准确性。这种监督训练阶段基于 Adam 优化器来减少错误。图 2 展示了 DNN 的设计，它包含三个隐藏层。DNN 结构的功能也在表 3 中进行了说明。下面提供了 DNN 的数学概述。下载：下载高分辨率图像 (373KB) 下载：下载全尺寸图像 图 2. 人工神经网络的设计。表 3. 训练配置。DNN 设置 理想值 隐藏层数量 4 隐藏神经元数量 6 最大迭代次数 500 学习率 0.0001 小批量大小 32 DNN 的输入结构为 Y=[y1,y2,...,yn]，输出为 z，第 n 层隐藏层的输出为 Hn=[hn1,hn2,hn3,...,hnmn]，其中 n=1,2,3,...,k。第 n 层隐藏层中的神经元总数表示为 mn。因此，第 n 层隐藏层中第 j 个神经元的输出可以表示为：(31)hn=g(∑k=1mn?1wkjhn?1k+bkj)这里，k=1,...,mn?1 是第 (n?1) 层隐藏层中的神经元数量，第 (n?1) 层隐藏层中第 k 个神经元的结果表示为 hn?1k。权重向量 wkj 是第 (n?1) 层隐藏层中的第 k 个神经元与第 n 层隐藏层中的第 i 个神经元之间的权重，而 bkj 表示第 n 层隐藏层和第 j 个神经元的偏置。g 是应用于 DNN 的 ReLU 函数，如方程 (32) 所示。 (32)f(z)=max(0,z) 因此，DNN 的最终输出使用方程 (3) 确定。 (33)Output=g(∑k=1nlwkhlk+b) 7. 结果和讨论 图 3、图 4 展示了磁参数 (M) 对速度图的影响。M 的增加会产生更强的洛伦兹力，这种力作为阻力，减少了径向和切向速度分量。由于电磁阻力的增加，在盘表面附近的抑制更为显著。由于洛伦兹力阻碍运动，流体速度显著减小，导致边界层变厚。这表明强度更高的磁场会导致动量传输减少，从而显著影响流动结构。下载：下载高分辨率图像 (171KB) 下载：下载全尺寸图像 图 3. M 对 f′(η) 的影响。下载：下载高分辨率图像 (154KB) 下载：下载全尺寸图像 图 4. M 对 g(η) 的影响。图 5、图 6 展示了孔隙率参数 (β) 的影响。随着 β 的增加，多孔介质的额外阻力导致速度减小。在靠近壁面的区域影响更为明显，因为多孔矩阵影响流体运动。多孔结构导致阻力增加，使流体难以自由流动，最终导致速度梯度减小。随着孔隙率的增加，观察到动量传输显著减少，表明多孔介质在控制流体运动中的作用。下载：下载高分辨率图像 (170KB) 下载：下载全尺寸图像 图 5. β 对 f′(η) 的影响。下载：下载高分辨率图像 (150KB) 下载：下载全尺寸图像 图 6. β 对 g(η) 的影响。图 7、图 8 展示了 (α) 的影响，表明 α 的增加导致两个速度图都减小。这种减小是由于 yield stress 的增加，阻碍了流体运动，使其更难流动。由于 Casson 流体表现出非牛顿特性，α 的增加意味着流体需要更大的应力来启动运动。因此，径向和切向速度都下降，导致边界层变厚。下载：下载高分辨率图像 (165KB) 下载：下载全尺寸图像 图 7. α 对 f′(η) 的影响。下载：下载高分辨率图像 (157KB) 下载：下载全尺寸图像 图 8. α 对 g(η) 的影响。同样，图 9、图 10 展示了 Williamson 参数 (λ) 对流场的影响，其中 λ 的增加导致径向和轴向速度都减小。这种现象的原因是 λ 的增加延长了松弛时间，从而增加了流动阻力。结果，粘性力增强，导致液体运动，因此速度减小。下载：下载高分辨率图像 (204KB) 下载：下载全尺寸图像 图 9. λ 对 f′(η) 的影响。下载：下载高分辨率图像 (194KB) 下载：下载全尺寸图像 图 10. λ 对 g(η) 的影响。图 11 展示了旋转参数 (ω) 对流动行为的影响，其中 ω 的增加导致径向速度增强。这是由于旋转引起的离心效应将流体向外推，增加了径向速度。旋转效应引入了更强的向外运动，促进了流体在径向方向的流动。随着旋转参数的增加，离心力超过了阻力，使流体向外加速，从而导致径向速度增加。下载：下载高分辨率图像 (174KB) 下载：下载全尺寸图像使用DNN分析努塞尔数
同样地，该研究通过利用深度神经网络来评估流体的物理属性之间的关系。这项研究的目的是通过开发一种创新的预测模型来提高物理特征建模的准确性和效率。因此，该研究采用了一个使用Adam算法优化器的深度神经网络来预测混合纳米流体和纳米流体的努塞尔数。如图20和图21所示，DNN模型在500次迭代后收敛，用于预测混合纳米流体和纳米流体的努塞尔数。根据图1和图2，DNN在预测混合纳米流体和纳米流体的努塞尔数时收敛得更快、更有效。图22和图23展示了使用设计的DNN模型确定的混合纳米流体和纳米流体的估计努塞尔数。结果表明，DNN能够以极高的准确性获得混合纳米流体和纳米流体的努塞尔数。此外，还实施了误差分析以评估DNN在预测混合纳米流体和纳米流体努塞尔数方面的性能，如图24和图25所示。同样，图26和图27展示了混合纳米流体和纳米流体的预期努塞尔数与DNN计算的实际值的回归评估结果。因此，对混合纳米流体和纳米流体努塞尔数的实证评估表明DNN模型产生了优异的结果。混合纳米流体和纳米流体的敏感性分析如图28和图29所示。

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图20. 使用DNN预测混合纳米流体努塞尔数的错误率。
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图21. 使用DNN预测纳米流体努塞尔数的错误率。
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图22. 使用DNN预测的混合纳米流体的实际努塞尔数与预测努塞尔数对比。
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图23. 使用DNN预测的纳米流体的实际努塞尔数与预测努塞尔数对比。
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图24. 使用DNN分析混合纳米流体努塞尔数的误差。
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图25. 使用DNN分析纳米流体努塞尔数的误差。
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图26. 使用DNN预测混合纳米流体努塞尔数的回归图。
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图27. 使用DNN预测纳米流体努塞尔数的回归图。
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图28. 混合纳米流体案例下DNN的敏感性分析。
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图29. 纳米流体案例下DNN的敏感性分析。

8. 结论
本研究调查了在金和银纳米颗粒存在的情况下，以血液为基础流体时Casson-Williamson混合纳米流体在旋转盘上的流动和传热特性。通过相似性变换将高度非线性的偏微分控制方程转化为常微分方程组，并使用微分变换技术半解析地求解。分析了关键参数对混合纳米流体和单成分纳米流体的速度、温度和摩擦力的影响。
主要结果如下：
- 随着磁场参数和孔隙率参数的增加，径向和切向速度剖面均减小，因为阻力阻碍了流体的运动。
- Casson参数和Williamson参数由于非牛顿剪切稀释效应和屈服应力的增加而降低了径向和切向速度。
- 旋转盘的旋转参数提高了流体速度，因为离心效应使流体向外运动。
- 随着温度比参数、辐射参数和Eckert数的增加，温度剖面得到改善，表明热量的保留和热能生成增加。
- Casson参数改善了热场分布，而Williamson参数由于其对粘度和能量耗散的影响而削弱了这一效果。
- 随着Casson参数和Williamson参数的增加，径向和切向表面摩擦系数也增加，这表明它们对表面剪应力的影响。
- 努塞尔数（代表传热率）随Casson参数和Williamson参数的增加而增加，但随着辐射参数的增加而减少，这突显了非牛顿特性和热辐射之间的竞争效应。
- 血液混合纳米流体在传热和流动效率方面优于纯血液。
- 设计的深度神经网络能够有效预测努塞尔数，并提供高精度结果。

数据可用性：不适用。
临床试验编号：不适用。
资金支持：本研究没有获得资金支持。
伦理批准：不适用。
利益冲突：作者声明他们没有已知的可能影响本文工作的财务利益或个人关系。
出版同意：所有作者均同意发表。

作者贡献声明：
Gunisetty Ramasekhar：撰写——初稿、监督、软件开发、项目管理、方法论、数据分析、数据整理、概念构建。
Pooja Mahendrakar Nagaraj：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、软件开发、资源管理、数据分析、概念构建。
Abbaireddy Divya：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、数据分析、数据整理、概念构建。
P.D. Selvi：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、资源管理、概念构建。
Thandra Jithendra：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、项目管理、方法论、数据分析、数据整理、概念构建。
Hijaz Ahmad：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、项目管理、数据分析、概念构建。
Waleed Mohammed Abdelfattah：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、项目管理、数据分析、概念构建。