用于表征各向异性弹性常数和刚度退化的弹性动力学编码循环神经网络

《Ultrasonics》：Elastodynamics-encoded recurrent neural networks for characterization of anisotropic elastic constants and stiffness degradation

　　郭子业|周若华|高艳|白宇|白煜馨
北京土木建筑工程大学，中国北京

**摘要**
基于物理信息的神经网络（PINNs）已被应用于弹性动力学逆问题。然而，通过损失函数对物理规律的软约束导致了收敛困难以及可解释性受限，尤其是在具有耦合弹性常数的各向异性材料中。本文提出了一种物理编码的循环神经网络（ERNN），它将弹性动力学偏微分方程直接编码到网络架构中。我们建立了各向异性弹性波传播与标准循环神经网络（RNN）操作之间的显式映射关系，证明这种时间循环模型在数学上等同于一个具有六个独立弹性常数物理定义权重的RNN。与通过黑箱函数拟合来近似解的PINNs不同，ERNN将精确的控制方程嵌入到其结构中，确保每个时间步骤的物理一致性。训练过程最小化了预测超声波场与观测值之间的差异，从而实现了材料特性和刚度退化成像的精确反演。数值验证表明，ERNN能够准确反演正交各向异性和一般各向异性材料的弹性常数，相对误差低于2%。进一步针对单一、双重和复杂刚度退化场景的实验表明，ERNN能够定位、成像并定量评估各种退化模式。此外，该框架还扩展到了Kirchhoff–Love板理论，展示了其在薄板结构健康监测中的通用性和实用性。这种物理可解释的ERNN框架为超声波无损评估和结构健康监测开辟了新的可能性。

**引言**
弹性动力学研究的是弹性介质中波传播的理论，为材料科学[1]、[2]、无损检测[3]、[4]、[5]和地震学[6]、[7]的科学发现和工程应用奠定了基础。科学问题包括正向问题和逆问题：前者关注弹性波的建模，后者旨在确定未知量，如材料参数、几何边界和波场分布。有限差分法（FDM）[8]、[9]、有限元法（FEM）[10]和谱元方法[12]等数值方法已广泛应用于正向问题，为弹性动力学方程提供了可靠的近似解。优化算法与数值正向模型的结合使得逆问题的求解成为可能，包括材料属性的反演和完整波场的重建[13]、[14]。这对于理解材料力学行为和通过检测和量化弹性属性的变化来实现结构健康监测至关重要。

近年来，基于波场数据的反演方法在弹性常数识别方面受到了广泛关注。Nakahata等人[15]通过三维波场可视化数据结合大规模FEM模拟反演了碳纤维增强塑料（CFRP）材料的弹性参数。Adil等人[16]利用扫描激光多普勒振动测量（SLDV）获得的速度波场数据，通过半解析有限元和粒子群优化方法反演了正交各向异性材料的弹性刚度，并进一步提出了一种两阶段反演方案[17]，以确定宽带振动激励下正交各向异性粘弹性板的完整刚度属性。基于机器学习的方法[18]被提出用于从全场导波数据中重建木材和CFRP的完整弹性参数。这些方法展示了从波场数据准确反演弹性参数的潜力。然而，这些迭代算法的复杂性以及监督学习的 数据依赖性限制了其在工业场景中用于结构健康监测的可能性。

基于物理信息的神经网络（PINNs）[19]、[20]、[21]为偏微分方程提供了一种计算效率高且无监督的参数逆解方案。Xu等人[22]通过整合有限元方法和PINNs开发了一个高效的逆分析框架，用于反演材料的杨氏模量和外部载荷。对于二维线性弹性异质层，Vahab等人[23]使用域分解方法反演了二维土层的弹性模量。在弹性动力学方面，现有研究主要集中在正向求解和波场重建上。Rao等人[24]提出了一种具有混合变量输出的PINN架构，用于在无标记数据的情况下模拟弹性波的前向传播。随后，Liang等人[25]将PINNs扩展到频域，用于在多频率载荷条件下求解弹性动力学偏微分方程（PDEs）。除了逆问题外，Ashraf等人[26]还证明PINNs可以从稀疏传感器数据中重建导波散射场景下的完整波场，有助于结构健康监测中的冲击诊断。Zhou等人[27]进一步开发了一种将Kirchhoff–Love板理论纳入损失函数的PINN框架，利用弯曲导波数据检测薄板中由损伤引起的局部异常。然而，PINNs采用的完全连接网络架构面临收敛困难[28]、[29]。PINNs本质上存在频谱偏差问题[30]、[31]，导致网络倾向于学习低频成分而无法逼近高频函数。这一缺点在高频弹性动力学场景中尤为关键。即使采用迁移学习等先进技术，现有基于PINN的波模拟能够可靠实现的最高频率也仅为约60 Hz[32]，远低于超声波无损检测（UDT）所需的激励频率。此外，PINNs的黑箱性质限制了物理可解释性，这引发了人们对安全关键结构健康监测中损伤评估可靠性的担忧。

**物理编码的神经网络（PeNNs）**致力于将基础物理规律直接编码到神经网络架构中[33]、[34]。Rao等人[35]通过编码反应-扩散方程，建立了一种物理编码的循环卷积神经网络，能够在稀疏数据下实现速度场反演。后续进展将这一范式扩展到了更广泛的时空动态范围。Wang等人[36]提出了P2C2Net，这是一种保持偏微分方程（PDE）特性的粗校正网络，利用多尺度时间步进实现高效预测。Ren等人[37]开发了一种高阶PeNN，采用Runge–Kutta方法等高级时间积分方案来提高稀疏数据学习的准确性。Wang等人[38]引入了一种物理编码的卷积注意力网络（PECAN），用于解决具有不连续异质性的抛物线动力学问题。这些研究表明，先进的时间步进策略对于一阶时间抛物线偏微分方程非常有效，可以充分利用更大稳定时间步进的计算优势。然而，弹性动力学PDEs是二阶时间导数的双曲PDEs，选择时间积分格式涉及不同的计算权衡。对于这类双曲系统，显式中心差分方法是经典且广泛使用的时间积分器[39]、[40]，它能够直接处理二阶时间导数，单步计算成本低且波传播问题的相位精度较高。此外，中心差分时间步进的递归结构与循环神经网络（RNNs）自然对应。Hughes等人[41]展示了波方程与RNNs之间的相似性，利用波传播的自然动态进行元音分类。Sun等人[42]开发了一种理论设计的RNN，可以编码波方程，实现地震波速度和完整波场的反演。基于此，Lu等人[43]采用时间延迟反演方法，确保了后续波场计算的准确性并减轻了速度反演中的非唯一性问题。在弹性动力学中，偏微分方程（PDEs）与波方程具有相似的数学结构。不同之处在于，弹性动力学PDEs描述的是矢量波场，并且需要通过本构关系耦合应力和应变。在各向异性材料中，这种复杂性进一步加剧，即使在二维条件下，刚度张量也包含六个独立的弹性常数，使得该逆问题的解决更具挑战性。

鉴于上述问题，我们开发了一种弹性动力学编码的循环神经网络（ERNN）来解决各向异性弹性常数反演问题。推导出了各向异性材料中弹性波传播的正向模型与RNN计算之间的映射关系，使得弹性动力学PDEs能够直接编码到网络架构中。该模型是一个时间循环网络，根据先前一步的波场预测下一步的波场，所有时间步骤共享相同的弹性常数参数。与通过黑箱函数拟合近似解的PINNs不同，ERNN将精确的控制方程嵌入到其结构中，确保每个时间步骤的物理一致性。训练过程最小化了基于超声波场数据构建的损失，从而实现了弹性常数的反演以及材料特性和刚度退化的表征。数值研究表明，ERNN能够准确反演正交各向异性和一般各向异性材料的弹性常数，相对误差低于2%。进一步针对单一、双重和复杂刚度退化情况的实验表明，ERNN能够定位和成像不同的退化模式，并定量评估退化速率。此外，ERNN框架还扩展到了Kirchhoff–Love板理论，表明相同的物理编码策略自然适用于四阶弯曲波方程，使得在薄板中的刚度退化表征成为可能，从而增强了其在实际结构健康监测中的可行性。这种物理可解释的ERNN模型为复杂各向异性结构中的高级超声成像和损伤表征提供了可能性。

**本文的贡献有三个方面：**
(1) 提出了一种弹性动力学编码的RNN，其中弹性波传播过程被直接编码到网络中，因此模型具有高度可解释性。
(2) 该网络能够反演空间变化的各向异性弹性常数，从而在一个统一的框架内实现弹性常数和刚度退化的表征。
(3) 数值实验表明，ERNN能够准确反演弹性常数，并可靠地定位、成像和量化刚度退化，为实验实现提供了理论和计算基础。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了方法论，包括弹性动力学理论、时间循环模型和ERNN的架构。第3节展示了数值结果，涵盖了计算设置、弹性常数的反演识别以及刚度退化损伤的反演识别。最后，第4节总结了主要发现并讨论了未来的发展方向。

**方法论**
本节详细描述了弹性动力学理论、关键公式推导以及所提出方法的网络架构。通过将弹性动力学PDEs与有限差分方法结合，我们推导出了一种与RNN计算过程形式相同的向前差分公式。通过这种公式，可以将弹性波传播的基本原理嵌入到RNN中，并建立数据损失函数，从而确定...

**数值实验和结果**
为了验证和确认所提出的方法，进行了一系列数值实验。ERNN被用来反演正交各向异性和一般各向异性材料的弹性常数。此外，还研究了涉及单一、双重和复杂刚度退化的场景，以评估该方法在解决空间变化材料属性方面的能力。

**结论和未来发展**
本文提出了一种用于解决各向异性弹性常数反演问题的弹性动力学编码循环神经网络。推导出了各向异性材料中弹性波传播的正向模型与标准RNN操作之间的映射关系，从而将弹性动力学方程直接编码到神经网络架构中。与通过损失函数软约束控制方程的PINNs不同，ERNN定义了循环权重...

**作者贡献声明**
郭子业：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、资源、项目管理、方法论、研究、概念化。
周若华：撰写——审阅与编辑、验证、监督、项目管理、方法论、研究、资金获取、概念化。
高艳：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、研究、资金获取。
白宇：撰写——审阅与编辑、验证、项目管理、方法论。

**AI和AI辅助技术的使用与声明**
在准备本文期间，作者使用了Claude Opus 4.1工具来提高可读性和语言表达。使用该工具后，作者根据需要对内容进行了审阅和编辑，并对出版物的内容负全责。

**利益冲突声明**
作者声明以下可能的潜在利益冲突/个人关系：郭子业、周若华、白煜馨拥有待申请的专利。如果有其他作者，他们声明没有已知的可能影响本文报告工作的利益冲突或个人关系。