**关于在直流偏压下交流电流作用下堆叠REBCO带材的电磁热特性的研究** 作者：陈伟、白阳、金荣、池飞、杨新生

《Materials》：Study on Electromagnetic Thermal Characteristics of Stacked REBCO Tapes Under Alternating Current with DC Bias Wei Chen, Yang Bai, Rong Jin, Fei Chi and Xinsheng Yang

　　摘要 在实际应用中，高温超导（HTS）电缆或磁体可能会携带带有直流偏置的交流电，例如在超铁磁体中，这会增加电缆或磁体的交流损耗。当直流偏置电流较大时，由此产生的高损耗可能导致电缆或磁体温度显著升高，甚至可能引起磁体失超。此外，不同波形的交流电也会导致不同的损耗和温度升高。因此，使用电磁-热耦合方法研究不同电流波形和直流偏置水平下电缆的交流损耗是非常必要的。本文采用电磁-热耦合模型来研究四种典型电流波形和各种直流偏置水平下四种堆叠REBCO带材的交流损耗和温度升高特性。在数值模拟中考虑了REBCO带材的实际多层结构，这有助于分析不同层间的电流分布及其对堆叠电缆总损耗的贡献。结果表明，在零直流偏置或小直流偏置（0.1Idc）下，方波电流产生的交流损耗最大，而三角波电流产生的交流损耗最小。锯齿波和正弦波电流产生的损耗相当，介于前两种波形之间。当直流偏置电流适中（0.5Idc）且交流电幅度大于0.5Icable时，电缆的损耗会迅速增加。方波电流产生的损耗最大，其次是正弦波电流，而锯齿波和三角波电流产生的损耗最小。当直流偏置电流较大（0.9Idc）时，即使是小幅度交流电也会导致电缆的交流损耗增加。

1. 引言
REBCO带材由于其高电流密度、高临界场和机械强度，在电力系统、聚变反应堆磁体、加速器磁体和磁共振磁体中具有显著的应用优势[1,2,3,4,5,6]。在这些应用中，特别是在同步加速器磁体、传输电缆、磁能存储系统和故障电流限制器中，超导带材在含有交流纹波分量的直流电下工作[7]，这会导致损耗并增加带材的温度。如果温度过高，可能会导致带材失超。因此，有必要了解在直流偏置下超导带材的损耗和温度升高情况。

目前，许多研究报道了在混合交流/直流条件和复杂波形下带材、电缆和磁体的交流损耗[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17]。参考文献[7,8,9,10,11,12]报告了在直流偏置下HTS带材、电缆和磁体的交流损耗。小直流偏置对单个带材和堆叠电缆的交流损耗几乎没有影响，而大直流偏置会显著增加损耗。参考文献[13,14,15]报道了谐波对带材和线圈损耗的影响，结果表明谐波分量对交流损耗有显著影响。参考文献[16,17]报告了典型电流波形对带材和电缆交流损耗的影响。结果表明，在一定的传输电流幅度下，方波电流波形的交流损耗最高，而三角波电流波形的交流损耗最低。参考文献[18,19,20,21]报道了更复杂的传输电流和交流/直流背景磁场对高温超导带材和磁体交流损耗的影响。然而，上述研究没有考虑损耗引起的温度升高对带材性能的影响，而且几乎没有关于在直流偏置下携带典型交流电波形的REBCO电缆损耗的报道。

在这项研究中，使用电磁-热耦合模型研究了不同电流波形和幅度对四种堆叠REBCO带材在不同直流偏置下的交流损耗和温度升高的影响。四种电流波形分别是锯齿波、正弦波、方波和三角波。直流偏置电流设置为电缆临界电流的0.1倍、0.5倍和0.9倍，交流电的幅度范围从电缆临界电流的0.1倍到0.9倍。

2. 数值模型和方法
2.1. 几何模型
REBCO电缆的几何模型如图1a所示。电缆由四层堆叠的REBCO带材组成。每层REBCO带材包括铜稳定层、银层、超导层和Hastelloy基底层，基于Superpower公司生产的SCS4050带材[22]。REBCO带材和电缆的几何尺寸列在表1中。这四层超导带材分别编号为Tape 1、Tape 2、Tape 3和Tape 4。图1b显示了堆叠电缆的网格划分，其中超导层、银层和Hastelloy基底层采用结构化网格，而铜稳定层采用自由三角形网格。图2显示了施加在电缆上的电流的时间依赖波形，交流电的频率为50 Hz。电流在0–0.01秒内从0 A线性增加到预设的直流水平，在0.01–1秒内保持恒定，然后在1秒到1.3秒内受到15个周期的交流电作用，这些交流电的幅度不同，并叠加在恒定的直流偏置上。

2.2. 数值方法
堆叠REBCO电缆的电磁-热行为通过基于2D H形式和热传导方程的电磁模块和热模块来描述。下面分别介绍这两个模块及其相互耦合。

2.2.1. 电磁模块
通过求解H形式（Equation 1）[23,24]获得堆叠电缆的电磁行为，包括交流损耗、空间磁场分布和电流分布：
\[(\mu_0 \mu_r)\frac{\partial \Phi}{\partial B} = \frac{J_c}{E_c}\]
其中\(\mu_0\)是自由空间的磁导率，\(\mu_r\)是相应材料的相对磁导率；\(\rho\)是材料的电阻率。电缆中铜层、银层和Hastelloy基底的电阻率具有温度依赖性[25]。为了在超导转变过程中实现电阻率的连续性，采用了修正的电阻率模型来描述超导层的电阻率。如方程（2）[25,26]所示：
\[(\rho_s) = \rho(1 - \frac{T_c}{T})\]
其中\(T_c = 92\) K是YBCO的超导转变温度，\(\rho_n = 3.5 \times 10^{-6}\ \Omega\cdot m\)是正常态电阻率[25]。\(J_c(B, T)\)的表达式由方程（4）和（5）分别给出[25,29,30,31,32]：
\[J_c(B) = \frac{\mu_0 \rho_s (T - T_c)}{1 + \left(\frac{T_c}{T}\right)^3}\]
\[J_c(T) = \frac{\mu_0 \rho_s (T_c - T)}{(1 - \left(\frac{T_c}{T}\right)^4}\]
其中\(b = 0.25\)，\(B_0 = 52.5\) mT，\(\alpha = 0.7\)，\(T_0 = 77\) K。通过设置积分约束边界条件施加图2所示波形的传输电流。电缆的总损耗、每层带材的总损耗或每个组件的总损耗可以使用方程（6）[16]计算。积分周期定义为在直流偏置下的交流电流的最后一个周期：
\[(\int_{0}^{t} J_c(B, t) \, dt + q = \int_{0}^{t} (\mu_0 \rho_s (T - T_c) \, dt)\]
其中积分域\(s\)可以是整个电缆的横截面、每层超导带的横截面或任何感兴趣的区域，例如铜层、银层或Hastelloy基底的横截面。\(T\)是传输电流的周期。

2.2.2. 热模块
通过求解热传导方程（Equation 7）[31]获得堆叠REBCO电缆的温度分布：
\[(\frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{Q}{\partial \xi}) = \kappa \nabla^2 T\]
其中符号\(\rho_m\)、\(C_p\)和\(k\)分别代表材料的密度、比热容和热导率。这些参数取自[25]。\(q\)是由REBCO电缆产生的内部热源，如方程（6）所示。此外，应用了对流热传递边界条件来考虑电缆与周围液氮之间的热交换，如图1a中的蓝线所示。对流热传递系数\(h = 800\) W/m^2/k。假设堆叠电缆的初始温度等于周围液氮介质的温度，即77 K。电磁模块和热传递模块之间的耦合通过\(q\)和\(T\)实现：电磁模块计算的损耗\(q\)作为热传递模块的热源项，而热传递模块获得的温度\(T\)更新电磁模块中的\(J_c(B, T)\)。

3. 结果与讨论
3.1. REBCO电缆的临界电流
向堆叠REBCO电缆施加高达456 A的斜坡电流（即单个REBCO带材临界电流的四倍），以研究其临界电流特性。电缆的模拟I-V特性曲线如图3a所示。使用1 \(\muV/cm的平均电场标准确定REBCO电缆的临界电流，得到临界电流\(I_cable = 343.6\) A。电缆的临界电流大约是四层独立带材临界电流总和的75％，这归因于电缆内部相邻带材之间的自场相互作用。图3b显示了每层带材的传输电流随电缆总电流的变化情况，其中每层的编号如图1a所示。可以看出，随着电缆总传输电流的逐渐增加，最外层的两个带材（即Tape 1和Tape 4）承载的电流较大，而内部的两个带材（即Tape 2和Tape 3）承载的电流较小。此外，这种差异先增加然后随着电缆总传输电流的增加而减小。当电缆的总传输电流达到其临界电流的约0.95倍时，四层带材的传输电流几乎相等。之后，内部带材的传输电流略大于外部带材的传输电流，这是由于电缆内部磁通密度的差异造成的。与外部带材相比，内部带材从相邻带材接收的磁场贡献较弱，这解释了为什么内部带材承载的总电流比例略大，如参考文献[35]中所描述。

3.2. 无直流偏置下的REBCO电缆交流损耗
图4a显示了在四种不同电流波形下，堆叠REBCO电缆的交流损耗作为电流幅度\(I_p\)（\(i = I_p/I_cable\)的函数。为了更好地与Norris模型[36]预测的单个带材的交流损耗结果进行比较，我们将堆叠电缆的交流损耗除以四，以获得每层带材的平均损耗。Norris模型的结果也绘制在图4a中，其中Norris-s和Norris-e分别代表条带模型和椭圆模型。可以看出，在四种电流波形中，方波产生的交流损耗最大，而三角波产生的交流损耗最小。这与参考文献[16,17]中关于单层和堆叠带材在不同电流波形下的交流损耗的结论一致。正弦波和锯齿波下的交流损耗介于这两种波形之间。此外，堆叠电缆中每根导带的平均交流损耗比Norris条带模型预测的损耗值要大，这是由于堆叠电缆中各导带之间磁场相互叠加所导致的[17]。为了更清楚地展示不同电流波形下电缆的交流损耗差异，图4b绘制了每种电流波形下的交流损耗与三角波电流下的交流损耗之比。可以看出，方波电流产生的损耗约为三角波电流的1.6-2倍，而锯齿波电流和正弦波电流产生的损耗约为三角波电流的1.1-1.2倍。因此，电缆在不同传输电流波形下的交流损耗有显著差异。图4。（a）不同电流波形下REBCO电缆交流损耗随电流幅度的变化特性。（b）不同电流波形下电缆交流损耗与三角波电流下交流损耗之比随传输电流幅度的变化。图5显示了在0.9Icable的传输电流幅度下，最后一个周期内电缆中每个组分和每根REBCO导带的时变电流波形。总体上，在一个周期内，电缆中的电流几乎完全限制在超导层内。只有在锯齿波和方波的最大di/dt时刻，金属层中才会有少量电流出现。此外，电缆中堆叠导带之间的传输电流分布也存在显著差异。由于四根堆叠导带的几何对称性，外侧的两根导带（导带1和导带4）承载相同的电流，而内侧的两根导带（导带2和导带3）也承载相同的电流。如图5c所示，在方波电流下，一个周期内外侧导带的电流幅度大于内侧导带。如图5a、b、d所示，对于其他三种波形，在大部分周期内外侧导带的电流幅度都大于内侧导带。这种不均匀的电流分布导致导带之间的损耗存在差异。图5。在未施加直流偏压、交流电流幅度设置为0.9Icable的最后一个交流周期内，电缆中不同材料和各导带之间的时变电流分布。（a）锯齿波电流，（b）正弦波电流，（c）方波电流，（d）三角波电流。图6展示了在交流电流幅度为0.9Icable的四种传输电流波形下，最后一个周期内REBCO电缆每个组分和每根导带的瞬时损耗随时间的变化。图6a、c分别显示了锯齿波和方波传输电流下的瞬时损耗分布。可以看出，在di/dt达到最大值的瞬间，电缆中的瞬时损耗较大。此时，电缆的总损耗来自超导层和金属层，从局部放大的视图可以看到金属层的瞬时损耗有一个明显的峰值。此外，计算显示，对于锯齿波传输电流，金属层的损耗占总损耗的15.3％，而对于方波传输电流，相应的比例为21.4％。这一结果表明，当传输电流的时间变化率（di/dt）较大时，金属层损耗对总损耗的贡献不可忽视。图6b、d分别显示了正弦波和三角波传输电流下的瞬时损耗。可以看出，在任何时刻，电缆的总损耗几乎完全由超导层贡献。同样，通过积分最后一个周期内的瞬时损耗，可以得出在正弦波传输电流下金属层损耗占总损耗的0.78％，在三角波传输电流下为0.82％。此外，对于所有波形激励电流，电缆外侧导带的传输损耗都大于内侧导带。图6。在未施加直流偏压、交流电流幅度设置为0.9Icable的最后一个周期内，电缆中不同材料和不同导带之间的时变瞬时损耗分布。（a）锯齿波电流，（b）正弦波电流，（c）方波电流，（d）三角波电流。图7显示了在最后一个周期的峰值时刻，不同传输电流波形下，AC电流幅度为0.9Icable时，REBCO电缆导带1上垂直于导带表面的磁通密度分布与导带宽度的关系。图5中的虚线表示峰值时刻t1和t2。根据参考文献[16]，导带中的磁通渗透深度在AC电流的峰值时刻达到最大。渗透深度的大小与不同波形下导带的AC损耗一致。从图7可以清楚地观察到，方波电流下的渗透深度最大，其次是正弦波电流，三角波电流下的渗透深度最小。这与这三种电流波形下的AC损耗大小一致。这一趋势与参考文献[16]中的报告一致。图7。在未施加直流偏压、交流电流幅度设置为0.9Icable的最后一个周期的峰值时刻，导带1上沿导带宽度的垂直磁通密度分布。图8显示了在四个不同传输电流波形下，REBCO电缆导带1的超导层中心温度上升的时间变化，电流幅度为0.9Icable。从0到1秒，由于没有施加交流电流，因此没有产生交流损耗，所以导带温度保持在环境温度77K。从1到1.3秒，由于施加了交流电流，产生了交流损耗，导带温度逐渐升高。在方波电流下温度上升最大，在三角波电流下温度上升最小，在正弦波和锯齿波电流下温度上升相似，其值介于方波和三角波电流之间。这一趋势与四种电流波形下的AC损耗一致。在相同的冷却条件下，温度上升由交流损耗的大小决定。然而，从温度上升幅度来看，方波电流下的温度上升仅为0.07K，对导带性能的影响可以忽略不计。图8。在未施加直流偏压、交流电流幅度设置为0.9Icable的条件下，不同传输电流波形下导带1超导层中心点的温度随时间的变化。3.3. 带有直流偏压的REBCO电缆的交流损耗图9显示了在不同电流波形和直流偏压强度下，电缆交流损耗随交流电流幅度的变化特性。图中，0.1Idc、0.5Idc和0.9Idc分别代表0.1Icable、0.5Icable和0.9Icable的直流偏压强度。当直流偏压电流较小时（0.1Idc），方波电流产生的损耗最大，而在不同幅度的交流电流下，三角波电流产生的损耗最小。当直流偏压电流适中（0.5Idc）时，当交流电流幅度超过0.5Icable时，四种电流波形下超导电缆的损耗迅速增加。可以清楚地看到，方波电流产生的损耗最大，其次是正弦波电流，而三角波和锯齿波电流产生的损耗最小。当直流偏压电流较大（0.9Idc）时，所有四种电流波形下的电缆损耗都显著增加，并且随交流电流幅度的增加而增加。例如，当电缆承载的三角波电流幅度为0.1Icable时，在0.9Idc的直流偏压电流下产生的交流损耗是0.5Idc直流偏压电流下的24倍。此外，可以清楚地看到，方波电流产生的损耗最大，其次是正弦波电流，而三角波和锯齿波电流产生的损耗最小。图9. 不同电流波形和直流偏压强度下，交流电流幅度下的电缆交流损耗特性。图10显示了在不同直流偏压下，电缆四种交流电流波形下的交流损耗与三角波电流产生的交流损耗之比。图10a显示了在0.1Idc直流偏压电流条件下的结果。可以看出，方波电流产生的损耗最大，约为三角波电流的1.6-2倍。正弦波和锯齿波电流产生的损耗约为三角波电流的1.1-1.2倍。如图10b所示，当直流偏压电流为0.5Idc且交流电流幅度大于0.5Icable时，方波和正弦波电流产生的损耗显著大于锯齿波和三角波电流产生的损耗。例如，当交流电流幅度为0.6Icable时，方波电流产生的损耗是三角波电流产生的损耗的8.7倍，而正弦波电流产生的损耗是三角波电流产生的损耗的1.9倍。当直流偏压电流为0.9Idc时，方波电流产生的损耗大于正弦波电流产生的损耗，而锯齿波和三角波电流产生的损耗大致相同且最小。图10. 不同直流偏压下，电缆四种交流电流波形下的交流损耗与三角波电流产生的交流损耗之比：（a）0.1Idc，（b）0.5Idc，（c）0.9Idc。图11显示了在0.5Idc直流偏压电流和0.6Ic交流电流幅度下，REBCO电缆每个组分和每根导带的传输电流的时间变化，即图9中绿色虚线框所示的损耗值对应的操作参数。总体上，在四种电流波形下，时变的传输电流几乎完全分布在电缆的超导层内。电流逐渐向金属层的分流没有随着时间的推移而增加。这表明在这种操作条件下，电缆的温度上升很小，这将在后续文本中进一步说明。在一个交流电流变化的周期内，外侧导带（导带1和导带4）的传输电流变化幅度大于内侧导带（导带2和导带3）。然而，在传输电流达到其正峰值时刻，四个导带的传输电流几乎相等。这是因为此时电缆承载的总电流达到1.1Icable，且所有四个导带都完全被穿透。图11. 在0.5Idc直流偏压电流和0.6Ic交流电流幅度下，REBCO电缆每个组分和每根导带的传输电流的时间变化。（a）锯齿波电流，（b）正弦波电流，（c）方波电流，（d）三角波电流。图12显示了在0.5Idc直流偏压电流和0.6Ic交流电流幅度下，最后一个周期内REBCO电缆每个组分和每根导带的瞬时损耗的时间变化。图12a、c分别显示了锯齿波和方波电流下的瞬时损耗分布。同样，当电流变化率di/dt最大时，电缆的瞬时损耗达到峰值，此时金属层的瞬时损耗也达到峰值。原因是此时金属层中产生了强烈的电场，从而产生了显著的感应涡流。涡流损耗急剧增加，导致金属层中的损耗达到峰值。此外，当传输的交流电流为方波电流时，电缆的损耗在瞬时损耗的前半个周期内不为零。这是因为传输电流的幅度达到了1.1Icable，超过了电缆的临界电流。在超导体的混合状态下，这会导致由直流偏压驱动的磁通量流动，从而引入电阻率，并相应地增加电缆中的交流损耗[7]。另外，在四种电流波形下，第一个半周期的损耗大于第二个半周期的损耗，因为正传输电流的幅度在第一个半周期更大。图12显示了在0.5Idc直流偏压电流和0.6Icable交流电流幅度下，REBCO电缆每个组分和每条带材在最后一个周期内的瞬时损耗随时间的变化情况。(a) 锯齿波电流，(b) 正弦波电流，(c) 方波电流，(d) 三角波电流。图13显示了在0.5Idc直流偏压电流和0.6Icable交流电流幅度下，REBCO电缆第一带材超导层中心随时间变化的温度。同样可以观察到，四种电流波形下的温度升高变化与损耗变化一致。具体来说，方波电流下的温度升高最大，其次是正弦波电流，而锯齿波和三角波电流下的温度升高几乎相同且最低。在这种工作条件下，带材的温度升高也非常低。例如，方波电流下的温度升高仅约为0.09 K。图14显示了在0.9Idc直流偏压电流和0.6Icable交流电流幅度下，REBCO电缆每个组分和每条带材中的传输电流随时间的变化情况，即图9中黑色虚线框所指示的损耗值对应的工作参数。图14a、b、d分别显示了锯齿波、正弦波和三角波传输电流下电缆电流随时间的变化。可以看出，随着时间的推移，电缆超导层中的峰值电流逐渐减小，而金属层中的峰值电流逐渐增大。这是因为温度升高降低了带材的临界电流。图15显示了在0.9Idc直流偏压电流下，REBCO电缆每个组分和每条带材中传输电流随时间的变化。当时间达到1.209秒时，超导层中的传输电流接近0安培，此后电缆中的传输电流仅分布在金属层中，这是由于超导层的淬火造成的。图16显示了在0.9Idc直流偏压电流和0.6Icable交流电流幅度下，REBCO电缆每个组分和每条带材中瞬时损耗随时间的变化。图15a、b、d分别显示了锯齿波、正弦波和三角波电流下电缆瞬时损耗随时间的变化。在这三种电流波形下，电缆损耗随时间逐渐增加，超导层损耗和金属层损耗也呈现单调增长趋势。这是由于温度升高导致总电缆电流逐渐分流到金属层中。图15c显示了在方波传输电流下电缆瞬时损耗随时间的变化。在1.209秒时，超导层中的损耗降至0瓦/米，此后电缆的总损耗完全来自金属层。图16显示了在0.9Idc直流偏压电流和0.6Icable交流电流幅度下，REBCO电缆第一带材超导层中心随时间变化的温度。此时，在所有四种电流波形下，带材的温度升高都很显著。在模拟的时间范围内，REBCO超导电缆在方波电流作用下于1.209秒时发生淬火，最大温度为108 K。接下来，正弦波电流下的最大温度达到85 K，而锯齿波和三角波电流下的最大温度几乎相同，均为80 K。同样，四种交流电流下的温度升高变化与损耗变化一致。这些结果表明，当峰值电流（定义为直流偏压电流和交流幅度之和）超过电缆的临界电流时，电缆的交流损耗显著增加。在相对较高的直流偏压电流下，多层电磁-热耦合模型可以更准确地描述电缆的损耗、电流分配和温度升高的行为。

结论
本文基于H公式和热传导方程，研究了在直流偏压作用下由四种典型电流波形激发的REBCO电缆的电磁-热特性。直流偏压电流的范围是从电缆临界电流的0.1到0.9倍，交流电流的峰值变化范围是从0到0.9倍电缆临界电流。在没有直流偏压的情况下，方波电流产生的损耗最大，而三角波电流产生的损耗最小。正弦波电流和锯齿波电流引起的损耗相似，介于上述两种波形之间。当直流偏压电流较小时（例如0.1Idc），四种电流波形的损耗特性与零直流偏压下的特性一致。当直流偏压电流为0.5Idc且交流电流的幅度大于0.5Icable时，四种电流波形下的电缆损耗迅速增加。方波电流下的损耗最大，其次是正弦波电流，而锯齿波电流和三角波电流产生的损耗相当。当直流偏压电流较高（例如0.9Idc）时，即使是很小的交流电流幅度也会导致高损耗。例如，当电缆承载幅值为0.1Icable的三角波电流时，在0.9Idc直流偏压电流下产生的交流损耗是在0.5Idc直流偏压电流下的24倍。