长跨度非对称悬索桥主缆几何形状的实用计算方法及影响因素分析 王秋雅、 王一晨、 董勤曦、 赵坤鹏、 刘增武、 周永芳、 刘英克、 陈瑞雪

《Buildings》：Practical Calculation Method and Influencing Parameter Analysis of Main Cable Geometry for Long-Span Asymmetric Suspension Bridges Qiuya Wang, Yichen Wang, Qinxi Dong, Kunpeng Zhao, Zengwu Liu, Yongfang Zhou, Yingke Liu and Ruixue Chen

　　摘要
针对长跨度非对称悬索桥在施工过程中主缆几何形状计算和控制精度的问题，本文提出了一种基于 Rushankou 桥的实际主缆几何形状计算方法。首先，建立了悬索-塔-梁模型以获取悬索顶部的约束力。然后，以主缆的中跨下挠度作为控制目标，根据塔-缆模型获得了完成桥状态下的主缆坐标和未受力长度。最后，基于主缆-悬索-塔-梁模型得到了最终的主缆几何形状和未受力长度。本文方法的可靠性通过工程监测数据进行了验证。利用仿真模型，研究了温度、主缆弹性模量、主缆重量、悬索力和主梁重量等因素对主缆几何形状的影响规律和程度。结果表明，本文方法能够准确计算非对称悬索桥的主缆形状。在安装缆夹和悬索后，理论计算值与实测值吻合良好。主跨中点 L/2 处的理论值和实测值分别为 -233.9 cm 和 -234.7 cm，偏差为 8 mm。主缆实际变形与计算变形之间的最大差异出现在主跨的 7L/8 处，仅为 2.2 cm。主缆的变形受到温度变化的显著影响；每 1°C 的温度变化会导致主缆中跨变形约 2.4 cm。如果在施工过程中忽略温度变化对主缆几何形状的影响，将会导致安装后的主缆高度出现误差。主缆弹性模量对其变形的影响不可忽视，弹性模量变化 10% 会导致主缆几何形状变化 58 cm。

1. 引言
由于长跨度悬索桥具有出色的跨越能力和适应复杂航行条件及特殊地质环境的能力，已成为长跨度桥梁的首选类型 [1,2,3,4]。中国在悬索桥建设规模方面处于世界领先地位。到 2025 年底，中国公路桥梁总数已超过 110 万座，其中包括 20 余座特大桥和大桥，桥梁总长度持续增加 [5]。据统计，世界前 16 座最长主跨悬索桥中有 13 座位于中国，占 81%。主缆是悬索桥的主要承重结构。确定完成桥阶段的主缆几何形状对于悬索桥的计算、分析和设计至关重要，并对后续施工控制具有重大意义 [6]。
研究人员已经开展了大量关于悬索桥主缆形状计算的研究。例如，孙等人 [7] 提出了一种基于有限元公式的更综合的数值迭代算法来计算悬索桥的主缆形状。刘等人 [8] 提出了一种改进的力密度方法，在已完成桥和使用自由缆条件下计算悬索桥的主缆形状，并通过 Matlab (9.0) 编程解决了主缆几何形状问题。彭等人 [9] 制定了描述完成桥状态下主缆、梁和悬索自重作用下悬索桥主缆形状的控制微分方程，并提出了一种使用修正悬链线的近似解析方法来确定最终缆索配置。吴等人 [10] 在弹性悬链线理论的基础上，通过迭代方法求解了主缆的分段未受力长度和悬索的未受力长度，在 ANSYS (19.0) 中建立仿真模型，并通过连续调整其未受力长度优化了主缆形状。以往的研究提供了确定悬索桥主缆几何形状的方法，但这些方法主要集中在对称悬索桥上，对非对称悬索桥主缆几何形状的研究相对较少。上述方法对于计算非对称悬索桥主缆几何形状的有效性仍有待验证。此外，这些算法具有严格的理论要求，需要推导复杂的主缆内力-变形方程或编写基于算法的程序来通过迭代试算确定主缆对齐情况。总之，迫切需要一种实用、简单且收敛稳定的主缆几何形状计算方法，以满足工程要求的精度。
此外，悬索桥是柔性结构，在施工过程中影响主缆几何形状的因素不容忽视。黄等人 [11] 研究了温度变化对主缆未受力长度和中跨高度的影响，但仅得出了主缆高度随温度升高而降低的定性结论，缺乏进一步的定量分析。从施工控制的角度来看，朱等人 [12] 探讨了主缆股线弹性模量、钢丝直径、股线自重和钢梁重量等因素对缆股线长度的影响。鲜等人 [13] 研究了影响主缆对齐精度的关键因素，分析了地形曲率、环境温度、主缆弹性模量、钢梁重量等因素对结构性能的影响，指出温度对主缆对齐有显著影响。段等人 [14] 分析了弹性模量、截面面积和主缆重量等因素对其未受力长度的影响，发现主缆的弹性模量对其对齐起主导作用，而内部股线的孔隙率影响较小。陈等人 [15] 分析了主缆自重、弹性模量、温度和塔坡度对主缆对齐的影响，计算了上述因素对主缆未受力状态下高度的影响系数。这些研究为主缆对齐的施工精度控制提供了理论基础。尽管上述学者对影响悬索桥几何形状的因素进行了广泛分析，但对非对称悬索桥主缆几何形状的研究仍然不足，特别是关于非对称主跨和非对称悬索布置的研究。为确保非对称悬索桥主缆的准确架设，进行全面的参数响应研究是必要的。
基于 Rushankou 桥，本文提出了一种基于 Rushankou 桥的实际非对称悬索桥主缆几何形状计算方法。首先，建立了悬索-塔-梁模型以获取悬索顶部的约束力。然后，以主缆的中跨下挠度作为控制目标，根据塔-缆模型获得了完成桥状态下的主缆坐标和未受力长度。最后，基于主缆-悬索-塔-梁模型得到了最终的主缆几何形状和未受力长度。本文方法的可靠性通过工程监测数据进行了验证。利用仿真模型，分析了温度、主缆弹性模量、主缆重量、悬索力和主梁重量等因素对主缆几何形状的影响规律和程度，为高精度施工和控制提供了依据。
基于实际工程项目，本文提出了一种实用的主缆对齐计算方法。该方法避免了建立复杂的主缆内力-变形公式和编写重复试算主缆对齐的程序。随后，利用验证过的仿真模型分析了环境和结构参数对主缆变形的影响规律，为高质量的主缆施工和控制提供了数据支持。

2. 项目描述
Rushankou 桥位于中国威海市，是一座主跨为 666 米、两侧跨分别为 193 米和 51.4 米的非对称悬索桥。主缆的水平主跨长度为 666 米，两侧跨的水平长度分别为 245 米和 280 米。悬索仅安装在桥梁的威海侧跨和主跨上，烟台侧跨没有安装悬索。该桥在跨度配置、主缆布置和悬索分布方面具有明显的非对称结构特征。主缆由直径 5.15 米、抗拉强度为 1770 MPa 的高强度钢丝组成，每根主缆包含 80 根股线，每根股线包含 127 根钢丝。架设完成后，主缆股线垂直排列形成近似正六边形，压缩后的主缆呈圆形。主缆在缆夹内的直径为 573 mm，在缆夹外的直径为 580 mm。塔体采用 C55 强度等级的耐海洋混凝土建造，采用门式框架结构，塔体下部设有上横梁和下横梁。塔高为 142.149 米，截面呈三角形，角部倒角，中间有一个圆形孔。塔基底的三边长度分别为 817 cm、817 cm 和 916 cm，内部圆形孔直径为 160 cm。塔腿的内倾斜比为 1:32.416，外倾斜比为 1:25.180。截面尺寸沿高度线性变化。上横梁截面呈矩形，高度和宽度分别为 7 米和 4 米，墙厚为 1 米。主梁为宽 35.5 米、高 2.8 米的平板钢结构。钢梁两侧安装有减阻翼板以减少海风造成的空气动力阻力。钢梁内部布置有 U 形加劲肋，U 形加劲肋顶部宽度为 300 mm，底部宽度为 180 mm，高度为 300 mm，U 形加劲肋的间距为 600 mm。主梁采用 Q345 钢材制造。悬索采用弹性模量不低于 110,000 MPa 的钢丝绳，标准悬索直径为 60 mm，抗拉强度为 1770 MPa；加强悬索直径为 88 mm，抗拉强度为 1870 MPa。悬索安装在钢梁两侧，横向间距为 29.5 米，纵向间距为 12.8 米。图 1 显示了 Rushankou 桥的轮廓图。图 1. 桥梁结构图。桥梁的施工顺序为：先建造塔和墩，然后架设主缆，再安装缆夹和悬索，最后架设钢板梁。图 2 显示了塔体的现场施工图，塔体采用爬模法建造。为抵消塔体的内倾，施工过程中使用了临时支撑结构，施工完成后拆除。图 3 显示了缆夹和悬索的现场施工图，主缆采用导索法架设，缆夹和悬索安装完成后调整其几何形状。图 4 显示了主梁的现场施工图。由于桥梁跨越海域，钢板梁采用扩展悬索摆动法建造，最大摆动角度为 20°，最大摆动距离为 165 米。图 4. 钢板梁施工图。

3.3.1 计算方法与工程验证
MIDAS Civil 能够基于节点线方法[16]计算悬索桥的主缆几何形状。该方法利用桥梁的自重和主缆的拉力来建立平衡方程，从而计算主缆的坐标和拉力。图5显示了在垂直荷载作用下的主缆拉力示意图。

图5. 主缆拉力
图6显示了主缆在x-z平面上的力平衡图。假设主缆被N个吊杆分成N-1段，然后在其中一个点进行力分析。

图6. x-z平面上的主缆力平衡图
在图6中，Wsi是从吊杆和加劲梁荷载转换而来的主缆上的均匀荷载，Wci是主缆自身的均匀重量。根据力平衡条件，建立以下平衡方程：

式(1)中的Ti是节点i-1和节点i之间的缆索段拉力。xi是主缆节点i在x方向上的距离，di是从xi-1到xi的水平距离，Tx是主缆拉力的水平分量，其中i = 1, 2, …, N-1。假设主缆的每个缆索段的Tx是常数。

图7显示了x-z平面上的平衡关系，平衡方程如下：

式(2)
式(2)中的pi是第i个吊杆点的拉力，hi是吊杆长度。结合式(1)和式(2)，可以得到：

式(3)
式(3)中现有变量的解释在前文中已有阐述。在式(3)中，未知数是zi和Tx。有N个未知数和N-1个方程，因此需要再增加一个条件来求解该系统。该关系式是根据主跨度的下垂量和悬索在中跨点及两端的Z坐标推导出的：

式(4)
水平平面上的平衡分析采用与垂直平面相同的方法，也可以得到N-1个平衡方程：

式(5)
式(5)中的y0和yn是已知量，yi可以通过平衡方程计算得出。

本文提出了一种使用MIDAS Civil计算大跨度非对称悬索桥主缆几何形状的实用方法，具体步骤如下：
步骤1：如图8所示，建立吊杆-桥塔-主梁模型。吊杆力的数值取自设计图纸，吊杆用缆索单元模拟，吊杆的上端设置为一般约束条件下的固定支座。主塔、桥墩和主梁用梁单元模拟。采用刚性连接来模拟吊杆与主梁之间的连接。

图8. 吊杆-桥塔-梁模型
步骤2：考虑几何非线性，计算模拟模型以获得吊杆上端的反力。

图9. 获得吊杆上端的反力图
步骤3：建立桥塔-主缆模型。首先根据设计图纸确定主缆的地面锚固节点和桥塔顶部的鞍节点，然后连接这些节点形成线性主缆。主缆用缆索单元建模，并根据吊杆位置将主缆划分为多个节点。主缆在地面锚固处采用一般约束进行模拟，缆索鞍部用弹性连接模拟，同时释放水平约束。设置弹性连接的目标刚度，以确保主缆节点与桥塔顶节点之间的相对垂直变形为零。释放鞍部弹性连接的水平约束，允许主缆自由水平滑动。

图10. 桥塔-主缆模型
步骤4：基于建立好的桥塔-主缆模型，将吊杆上缆索夹的重量作为节点荷载施加到主缆节点上。同样，将步骤2中得到的吊杆上端的反力也施加到模型中的主缆上。设置几何非线性分析，配置独立模型，并使用平衡单元节点力，输入初始主缆拉力T0，然后运行模型。在MIDAS Civil中，“使用平衡单元节点力”功能可以为一组主缆单元施加平衡的内力，保持目标对齐状态下的零变形初始配置。主缆的初始拉力T0通过试算方法确定。持续更新主缆坐标并调整初始缆索拉力。当主跨度的下垂量f和目标下垂量f0在目标精度范围内时停止分析。提取缆索单元拉力以替换初始拉力并更新模型。在主缆对齐求解过程中，将完成桥梁状态下的吊杆力和主梁重量以节点力的形式施加到主缆上。采用非线性分析来考虑主缆大变形引起的几何非线性。为保证模型收敛，位移范数设为0.001，最大迭代次数为50次。
步骤5：获取主缆的坐标和主缆单元的未受应力长度。
步骤6：将步骤5中得到的主缆坐标和未受应力长度代入步骤1中的模型，形成最终的主缆-吊杆-桥塔-主梁模型（见图11）。在模型中，吊杆的上端与主缆共享相同的节点。分析模型以获得主缆的几何形状。如果主跨度的下垂量与目标下垂量之间的偏差超过1厘米，提取吊杆对主缆的作用力，替换步骤2中的吊杆上端反力，并重复步骤4至6，直到主缆几何形状满足要求。

图11. 主缆-吊杆-桥塔-主梁模型
图12显示了主缆对齐实用计算方法的技术框架。

3.2 工程实例的计算过程
图13展示了使用MIDAS Civil建立的 Rushankou 桥的模拟模型[17,18,19,20]。采用梁单元模拟桥塔、桥墩和主梁，主缆和吊杆用缆索单元模拟。桥塔与主缆之间的缆索鞍部采用释放水平约束的弹性连接。吊杆上端与主缆之间以及下端与主梁之间采用刚性连接边界。桥塔和主梁分别采用C50混凝土和Q345钢材，其弹性模量分别为34,500 MPa和206,000 MPa，单位重量分别为26 kN/m3和97.6 kN/m3。主缆为钢丝绳，弹性模量为200,000 MPa，有效直径为519.1 mm，单位重量为79.25 kN/m3。吊杆的弹性模量为110,000 MPa，普通吊杆和增强吊杆的直径分别为60 mm和88 mm。

图13. 长跨度桥梁的模拟模型
基于该模拟模型的计算过程如下：
步骤1：如图14所示，建立了 Rushankou 桥的吊杆-桥塔-主梁模型。表1列出了恒载作用下的设计吊杆力。

表1. 恒载下的吊杆力（kN）
步骤2：考虑几何非线性，计算有限元模型以获得吊杆上端的反力（见表2）。
步骤3：建立桥塔-主缆模型。
步骤4：基于建立的桥塔-主缆模型，将吊杆上缆索夹的重量作为节点荷载施加到主缆节点上。同样，将步骤2中表2中吊杆上端的反力也施加到模型中的主缆上。主缆中跨节点的目标下垂量f0为66.6米。假设初始拉力T0=36,000 kN，分析模型并不断更新主缆坐标和初始拉力。当f - f0 < 1厘米时停止分析。

图15. 主缆对齐的迭代过程
图15显示了主缆对齐的迭代过程。初始拉力T0=36,000 kN时，第一次迭代后的主缆中跨变形为33.618米，第二次迭代后为10.564米。将初始拉力改为30,000 kN，第三次迭代后主缆中跨变形为7.424米，第四次迭代后为5.767米，第五次迭代后为4.784米。当初始拉力降低到26,000 kN时，第六次迭代后主缆中跨变形为4.47米。主缆的累计中跨变形为66.591米，即f = 66.591米，而目标值为f0 = 66.6米。由于f - f0 < 1厘米，满足要求，计算停止，并提取缆索单元拉力替换初始拉力，然后更新模型。

计算结果表明，主缆单元的初始拉力是影响迭代次数的主要因素。在主缆对齐计算中，为了减少迭代次数，应根据实际主跨度下垂量与目标下垂量之间的偏差及时调整主缆的初始拉力。值得注意的是，本文提出的方法是基于非对称悬索桥进行验证的。对于其他类型的悬索桥，如单桥塔桥或不同悬索跨度比的结构，通过选择适当的初始拉力和位移范数值，主缆对齐也可以在一定状态下保持平衡。
步骤5：如图16所示，获得了主缆的坐标，主缆的中跨度下垂量为66.591米。图17展示了缆索段 的未受应力长度。图18显示了桥塔-主缆模型的主缆变形偏差。主缆中跨处的变形为0毫米，最大变形为7毫米，主缆对齐的收敛性良好。

图16. 桥塔-缆索模型的主缆坐标
图17. 桥塔-缆索模型中缆索组件的未受应力长度
图18. Rushankou 桥桥塔-主缆模型的主缆变形
步骤6：将步骤5中得到的主缆坐标和未受应力长度代入步骤1中的模型，形成最终的主缆-吊杆-桥塔-主梁模型，并获得主缆的变形。重复步骤4至6，最终的主缆变形和形状如图19所示。

图19. Rushankou 桥主缆-吊杆-桥塔-主梁模型中的主缆和主梁变形（毫米）
在图19中，完成桥梁状态的恒载下，主缆的最大变形为4毫米，小于1厘米，而主梁没有变形。本文提出的方法能够很好地计算非对称悬索桥的主缆对齐。为了进一步验证该方法的有效性，将此方法确定的主缆理论变形与主缆安装和缆索夹、吊杆安装后的实测变形进行了比较。主缆的对齐情况是通过徕卡TS60全站仪测量的，该仪器的无棱镜测量精度为±0.6毫米。为了消除太阳辐射的干扰，测量在夜间进行，此时环境温度稳定。图20展示了主缆对齐的比较位置布局，编号1到16分别对应每个跨度的关键位置。图21比较了主缆关键位置的理论变形和实测变形。表3列出了主缆关键位置的变形偏差，其中偏差定义为理论变形减去实测变形。图20为主缆几何形状比较的位置图；图21为主缆关键位置的理论变形与实测变形的对比图；表3为主缆关键位置的变形偏差数据。在图21和表3中，安装缆夹和吊索后，主缆在侧跨部分呈现出向上变形的趋势，在主跨部分则呈现出向下变形的趋势。主缆的理论变形与实测变形一致。在主跨中点（L/2）处，理论变形值为-233.9厘米，实测变形值为-234.7厘米，偏差为8毫米。主缆理论变形与实测变形之间的最大偏差出现在主跨的7L/8位置，仅为2.2厘米，这表明本文中的计算方法符合工程要求。

4. 主缆几何形状的参数响应分析
在施工阶段，研究了温度变化、主缆弹性模量、主缆重量、吊索力以及主梁重量对主缆配置的影响。参考引文中提到的相关研究采用的参数值范围，本研究的参数分析范围如下：温度变化范围为-20°C至20°C，主缆弹性模量变化范围为-10%至10%，主缆重量变化范围为-15%至15%，吊索力变化范围为-10%至10%，主梁重量变化范围也为-10%至10%。图22展示了温度变化如何影响非对称悬索桥的主缆对齐情况，而图23则显示了其对每个跨度中跨部分轮廓的影响。图22表明温度变化会导致主缆发生垂直向下位移；图23显示温度变化会引起每个跨度中跨部分的垂直向上位移。主缆的垂直位移与温度变化呈线性关系，且主跨的中跨垂直位移大于侧跨的垂直位移。当温度变化5°C、10°C、15°C和20°C时，主跨的中跨垂直位移分别为11.8厘米、23.7厘米、35.5厘米和47.3厘米；相比之下，侧跨中跨的垂直位移小于1厘米。每升高1°C，主跨中跨的垂直位移约为2.4厘米。如果在施工过程中忽视温度变化对主缆垂直位移的影响，将会导致主缆架设后出现高程偏差，从而对结构力学性能产生不利影响，因此必须充分关注温度效应。

图24显示了主缆弹性模量对非对称悬索桥主缆对齐的影响；图25展示了主缆弹性模量对每个跨度中跨对齐的影响。弹性模量越大，主缆的刚性越强。图24中，主缆弹性模量的增加会导致向上位移，而弹性模量的减小则会导致相反的变形趋势。当主缆的弹性模量减少5%或增加5%时，主缆对齐的变化分别为-28厘米和24厘米；当弹性模量变化10%时，对齐的变化为58厘米。图25表明主缆中跨的垂直变形与其弹性模量的变化成正比，弹性模量对主跨中跨的垂直变形有显著影响。因此，为了减小这一影响，在正式生产前应对同一批索材进行测试以确定其弹性模量。在实际施工中，应根据实测的弹性模量调整空缆的对齐状态。

图26显示了主缆重量对非对称悬索桥主缆对齐的影响；图27展示了主缆重量对每个跨度中跨对齐的影响。图26表明主缆重量的增加会导致主缆向下变形，而重量的减少则会导致主缆向上变形。每个跨度的中跨变形与主缆重量的变化成正比，且侧跨的中跨变形大于主跨的中跨变形。当主缆重量变化10%时，主跨的最大中跨变形为6.7厘米，侧跨的最大中跨变形为14厘米；当主缆重量变化15%时，侧跨的最大中跨变形为21厘米。主缆的制造精度会影响其重量，但在正常情况下，主缆的重量偏差通常在5%以内，因此主缆重量对主缆对齐的影响相对较小。

图28展示了吊索力偏差对非对称悬索桥主缆对齐的影响；图29显示了吊索力偏差对每个跨度中跨轮廓的影响。图28表明吊索力偏差会导致主缆在中跨部分发生向上变形，而在主跨的桥塔侧及侧跨部分则发生向下变形。当吊索力减小时，主缆的垂直位移变化趋势相反。桥塔附近的吊索力大于主跨中跨部分的吊索力。随着吊索力偏差的增加，中跨区域的吊索力增加量相对较小，从而使得主缆在中跨部分发生向上变形。主缆的中跨变形与吊索力的变化呈正相关。威海侧跨的中跨变形大于主跨的中跨变形；然而，由于烟台侧没有吊索，吊索力的变化对烟台侧跨的中跨变形影响较小。当吊索力变化10%时，威海侧跨的主缆中跨变形仅为6.6厘米，因此吊索力变化对主缆变形的影响可以忽略不计。

图30说明了主梁重量偏差对非对称悬索桥主缆几何配置的影响；图31展示了主梁重量偏差对每个跨度中跨轮廓的影响。图30表明主梁重量的增加会导致主缆向下变形，而主梁重量的减少会导致主缆向上变形。主缆的变形与主梁重量成正比。主梁重量变化10%时，主缆中跨的最大变形变化为30厘米。在钢梁制造过程中，变形是不可避免的，因此需要预先进行预称重，并应根据实际重量提前调整主缆的几何形状，以防止缆索高程过低。此外，主梁上的混凝土垫层和沥青覆盖层必须严格按照设计图纸施工，以防止因重量误差过大而改变主缆的对齐状态。

表4总结了上述参数引起的主跨主缆中跨变形值。

5. 结论
(1) 本文提出的方法能够准确计算非对称悬索桥的主缆形状。安装缆夹和吊索后，主缆的理论变形与实测变形结果吻合良好。主跨中点（L/2）处的理论变形值为-233.9厘米，实测变形值为-234.7厘米，偏差为8毫米。主缆计算变形与实际变形之间的最大差异出现在主跨的7L/8位置，仅为2.2厘米。
(2) 温度变化对主缆变形有显著影响。随着温度升高，主缆发生垂直向下变形；随着温度降低，主缆发生垂直向上变形。主缆变形与温度变化之间存在线性关系。每升温1°C，主缆的中跨变形约为2.4厘米。在施工过程中，如果忽视温度变化对主缆几何形状的影响，可能会导致架设后的缆索高程出现误差。因此，应事先进行数值模拟以获得温度依赖的变形规律，并在架设过程中适当调整缆索的对齐状态。
(3) 在包括主缆弹性模量、主缆重量、吊索力和主梁重量在内的所有参数中，主缆弹性模量对主缆变形的影响最大。当主缆弹性模量变化10%时，主缆对齐的变化为58厘米。因此，为了减小这一影响，应在正式生产前对同一批索材进行测试以确定其弹性模量。在实际架设过程中，应根据实测的弹性模量调整空缆的对齐状态。