用于连续表达城市地下空间资源多目标评估的数学模型 刘迪旭， 王忠胜， 杨阳， 赵传杰， 张伟， 董洁

《Urban Science》：A Mathematical Model for Continuous Expression of Urban Underground Space Resource Multi-Object Evaluation Dixu Liu, Zhongsheng Wang, Yang Yang, Chuanjie Zhao, Wei Zhang and Jie Dong

　　摘要 城市地下空间资源（UUSR）是一种关键的自然资源，也是自然环境的重要组成部分，其合理利用对城市的可持续发展至关重要。数学模型在UUSR的多目标评估中不可或缺。然而，在以往基于传统数学模型的研究中，既没有考虑评估结果的连续表达，也没有解决可比性问题。本文从理论层面提出了区间连续数学模型（ICMM）用于UUSR的多目标评估。通过实现评价指标的量化值的连续分布，消除评估结果的阶梯状输出特征，并消除预定义的等级边界，ICMM实现了结果的连续表达，并提高了不同区域之间评估结果的可比性。对UUSR评估指标进行的相关性分析表明，无论指标值是增加还是减少趋势，指标值与评估结果之间存在显著的单调关系。最终，数值实验清楚地证明了ICMM适用于评估不同的UUSR对象。

1. 引言
随着现代城市的建设和发展，城市发展空间正逐渐从“从地面延伸到上方”转变为“从地面延伸到下方且具有高密度”，这意味着城市地下空间需要承担越来越多的城市功能[1,2,3,4,5,6]。在全球范围内，地铁、地下管道网络、地下走廊、地下储藏设施和地下商业设施已成为三维城市空间发展的重要组成部分[7,8,9,10,11]。值得注意的是，作为水资源、空间、生态系统支持及地热能源的重要资源，地下空间应被视为需要节约使用的不可再生资源[12,13,14,15,16,17,18]。到2024年底，中国城市地下空间的累计建筑面积已达到35亿平方米，预计2025年的总投资将超过2.8万亿元人民币。作为重要的自然环境和自然资源，城市地下空间资源（UUSR）及其在21世纪的发展与利用，正成为未来城市扩张、改善人类居住环境、优化城市结构、减轻灾害以及实现可持续发展的关键空间资源[19,20,21,22,23]。为了更好地利用城市地下空间资源，我们需要合理评估其不同的应用对象。作为UUSR评估的一项重要且关键的工作，已经提出了大量用于UUSR多目标评估的数学模型，包括针对质量[24,25,26]、容量[27,28]、适宜性[29,30]、可持续性[31,32]、发展潜力与价值[33,34,35]以及安全性[36]的模型。对于评估UUSR的不同应用对象，有多种数学模型可供选择，包括线性加权求和、模糊综合理论、灰色系统、拓展理论和变模糊集等。具体而言，多目标线性加权求和数学模型被用于评估UUSR的综合质量、适宜性和潜在价值[37,38]；模糊综合理论被应用于构建UUSR适宜性评估的隶属函数和评估数学模型[39,40,41]；一些城市的开发潜力分别通过灰色系统和拓展方法进行了评估[34]。此外，为了有效降低人工划分资源质量评估等级的不确定性，在佛山市的UUSR质量评估中使用了变模糊集[42]。然而，上述模型产生的多目标UUSR评估结果的主要局限性在于其层次化、阶梯状和定性的特点，这阻碍了结果的定量、精细化和连续表达，从而阻碍了不同UUSR应用对象之间详细差异和空间梯度的表示。因此，合适的评估数学模型应当充分整合并建立在现有的UUSR多目标评估数学模型以及其他相关学科模型的基础上。本研究旨在从理论层面将区间连续数学模型（ICMM）应用于UUSR的多目标评估，包括三个具体任务：（1）构建通用的UUSR评估指标体系；（2）应用ICMM实现结果的连续表达；（3）通过相关性分析和数值实验验证模型。第2节详细分析了两种常用的数学模型，从原理、优点和缺点等方面进行了讨论，并从方法假设和计算原则的角度介绍了ICMM方法。第3节结合UUSR多目标评估指标及其权重，全面讨论了指标之间的相关性。第4节讨论了ICMM方法的应用。第5节总结了研究的三个结论，并对未来研究提出了一些期待。

2. 方法
2.1. 线性加权求和模型
线性加权求和模型具有层次结构的特点，这与UUSR多目标评估指标体系的层次结构相似。同时，通过指标系统的参数量化与评估指标权重系统之间的功能关系，可以全面表达评估指标的影响重要性和相互干扰的程度。UUSR的多目标评估结果可以通过以下表达式获得：
(1)
其中S是UUSR评估对象的总分；是指标i的量化值，i = 1, 2, …, n；是指标i的权重；是子主题j的权重，j = 1, 2, …, m；是主题h的权重，h = 1, 2, …, p。
线性加权求和模型的主要计算过程分为三个步骤：首先根据预设标准确定评估指标的固定量化分数；然后结合相应的权重得到评估对象的总分；最后使用预设的等级标准对评分进行分类。在使用线性加权求和模型进行UUSR多目标评估时，由于评估指标等级区间的划分，评估指标属性值的选择是主观且离散的，导致评估结果呈现阶梯状。

2.2. 模糊综合理论
根据评估指标的权重和评估隶属矩阵，模糊综合理论的评估集可以通过以下表达式计算：
(2)
其中是UUSR的评估集；A是评估指标权重；X是评估隶属矩阵。
如果是两级评估指标体系，其模糊综合评估模型表示为：
(3)
其中R是UUSR的两级评估集；C是两级评估指标权重；B是两级评估隶属矩阵。如果评估指标体系为三级或以上结构，则其模糊综合评估模型按照上述规则递归计算。使用模糊综合理论时，需要考虑UUSR多目标评估指标的正面和负面属性。在计算评估指标的隶属度时，需要分析边界值bi（即确定指标值不同等级时的判断域值）。此外，通常使用梯形隶属函数来构建五级评估域上正面或负面评估指标的隶属矩阵。
模糊综合理论的主要思想是首先确定每个评估指标的量化值，然后提前计算每个等级集合的隶属度。结合UUSR多目标评估指标的权重，可以获得每个指标在每个等级的总体隶属度。最后根据最大隶属度标准确定UUSR的等级。使用模糊综合理论模型进行UUSR多目标评估时，由于评估指标的隶属度高度依赖于原始数据，因此UUSR的评估结果不具有可比性。另外，这些关键参数（如灰色系统中的灰色相关度、拓展理论中的符合度以及变模糊集中的相对隶属度）与模糊综合理论中的隶属度非常相似。因此，包括灰色系统、拓展理论和变模糊集在内的这些方法，都与模糊综合理论属于同一类型的评估数学模型。这些数学模型具有相似的构建思路，导致在UUSR评估结果上存在类似的缺陷。
总之，上述两种评估模型在UUSR多目标评估中存在显著缺陷，包括评估指标的离散值、评估结果的阶梯状输出、评估结果之间缺乏可比性以及依赖于预定义的等级边界。为了解决这些问题，我们提出了ICMM用于UUSR多目标评估。

2.3. 区间连续数学模型
通过构建评估指标的基准区间和五种转换数学模型，首次提出了区间连续数学模型（ICMM），用于斜坡岩体的质量分类。在类似的应用条件下，ICMM也可用于UUSR的多目标评估。ICMM的计算步骤包括确定评估指标的基准区间、计算相对量化值以及与线性加权函数的结合[43]：
(1) 确定指标的基准区间
对于定性指标，初始值()可以在固定区间[0, 5]内选择；对于定量指标，初始值()可以在动态区间[...]内选择。
(2) 计算指标的相对量化值()
的计算规则分为五种转换模型。方程(4)、(6)、(8)、(10)和(12)用于正指标，方程(5)、(7)、(9)、(11)和(13)用于负指标，具体如下：
线性模型，可以表示为：
(4)
(5)
平方模型，表示为：
(6)
(7)
平方根模型，可以表示为：
(8)
(9)
立方模型，表示为：
(10)
(11)
立方根模型，可以计算为：
(12)
(13)
(3) 与线性加权函数的结合
结合合理的权重，可以计算最终的评估值。其表达式为：
(14)
在这五种转换模型中，线性模型表现出恒定变化；平方和立方模型随指标值的增加而加速变化（正相关）；平方根和立方根模型则随着指标值的增加而减速变化（负相关）。因此，我们可以根据实际数据的结构和特征合理选择一种转换模型用于UUSR多目标评估。

3. 结果
3.1. 评估指标
一般来说，UUSR的多目标评估主要受地质介质、岩石和土壤状况、经济状况、社会状况、地理状况、建设状况、政策状况以及不同地质类型中的地质缺陷、不同的评估尺度以及不同的评估时间状态等因素的影响。通过考虑城市地质类型、评估指标的尺度效应、指标的时间变化和指标值的可获取性，构建了通用的UUSR多目标评估指标，如表1所示：
表1. UUSR多目标评估指标。

3.2. 评估权重
通常，所有主观和客观方法，如分析层次过程（AHP）[44,45,46,47]、德尔菲法[34]和熵权重方法[42]，都可以用于计算不同学科中评估指标的权重。由于本文中UUSR多目标评估使用的是假设数据，因此依赖于专家经验的德尔菲法和AHP等权重方法不适用。考虑到需要解决UUSR多目标评估指标信息量大且难以量化的问题，并尽可能充分表达指标中包含的信息量，选择了熵权重方法[48]来确定上述指标的权重。根据UUSR多目标评估指标的相应假设数据系列（表2），分别计算了UUSR多目标评估指标的权重，如图1所示。用于计算权重评估指标的数据。图1. 评估指标的权重。3.3 相关性分析为了研究指标变化对评估结果的不同影响，在进行UUSR多目标评估之前，对UUSR多目标评估指标进行了相关性分析。通过分别改变每个变量来进行检验计算，从而分析评估指标的影响。UUSR多目标评估指标分为硬性因素、软性因素和控制因素。具体来说，硬性因素包括两个类别：地质介质和岩土条件。软性因素包括四个部分：经济条件、社会条件、建设条件和地理位置条件。此外，控制因素包括两个方面：政策条件和地质缺陷。

（1）硬性因素的分析
根据10%的变化幅度，对于地质介质，地表坡度、软土厚度、砂土液化指数和地下水位深度的量化值分别在1到4.1、2到3.5、1到6、6到7和10到50的范围内变化。对于岩土条件，黏聚力、内摩擦角、承载能力和渗透系数的量化值分别在100到800、10到40、100到800和1到1.5的范围内变化。基于这五种转换模型，得到了UUSR评估结果，如图2所示。图2. 硬性因素与评估结果之间的关系。图2表明，随着七个指标（即X1、X4、X5、X6、X7、X8和X9）值的增加，评估结果呈现出上升趋势，这些可以称为正向指标。具体来说，在线性模型中变化率保持不变；在平方模型和立方模型中，随着指标值的增加，变化率增加，即指标值越大，影响越大；而在平方根模型和立方根模型中，随着指标值的增加，变化率减小，即指标值越大，影响越小。相反，指标X2和X3的变化趋势随着指标值的增加而减小，这与正向指标的趋势相反，可以称为负向指标。有趣的是，它们在每种转换模型中的变化率模式与正向指标相同。

（2）软性因素的分析
根据10%的变化幅度，人均GDP、人均收入和人均支出的量化值分别在10,000到60,000、5,000到7,000和3,000到5,000的范围内变化。对于社会条件，人口密度、基准地价和城市化率的量化值分别在1,000到2,000、4,000到7,000和50到60的范围内变化。对于建设条件，地面设施类型和地下设施类型的量化值在同一范围1到2内变化。对于地理位置条件，距市中心的距离在1,000到4,000的范围内变化。基于这五种转换模型，得到了UUSR评估结果，如图3所示。图3. 软性因素与评估结果之间的关系。图3表明，随着八个指标（即X10、X11、X12、X13、X14、X15、X16和X17）值的增加，评估结果呈现出上升趋势，这些可以称为正向指标。具体来说，在线性模型中变化率保持不变；在平方模型和立方模型中，随着指标值的增加，变化率增加，即指标值越大，影响越大；而在平方根模型和立方根模型中，随着指标值的增加，变化率减小，即指标值越大，影响越小。相反，指标X18的变化趋势随着指标值的增加而减小，这与正向指标的趋势相反，可以称为负向指标。有趣的是，它们在每种转换模型中的变化率模式与正向指标相同。

（3）控制因素的分析
根据10%的变化幅度，国家政策的量化值在0到5的范围内变化。对于地质缺陷，断层和喀斯特的量化值分别在1.5到4和0.5到2的范围内变化。基于这五种转换模型，得到了UUSR评估结果，如图4所示。图4. 控制因素与评估结果之间的关系。图4表明，随着三个指标（即X19、X20和X21）值的增加，评估结果呈现出上升趋势，这些可以称为正向指标。具体来说，在线性模型中变化率保持不变；在平方模型和立方模型中，随着指标值的增加，变化率增加，即指标值越大，影响越大；而在平方根模型和立方根模型中，随着指标值的增加，变化率减小，即指标值越大，影响越小。

最后，相关性分析表明，除了X2、X3和X18呈现出下降趋势外，大多数指标的值的增加都会导致UUSR多目标评估结果的上升。此外，评估指标之间的相关性也与它们的正负特性一致。

4. 讨论
考虑到ICMM方法的应用，UUSR多目标评估指标的基准区间是必须给出的。根据ICMM的构建原则1（即指标基准区间的确定），规定对于定性指标，初始值可以选在固定区间[0, 5]内；对于定量指标，初始值可以选择在动态区间["]内。基于UUSR多目标评估中使用的现有指标的相关特征，所有指标的左端点值都被赋值为0。此外，定性指标（即X16、X17、X19、X20和X21）的右端点值被确定为5。根据定量指标（即X1–X15、X18）的统计值范围，它们的右端点值被确定为数值向量。以内摩擦角（X7）为例，自然界中大多数完整岩石的内摩擦角在25°到50°之间，极硬的完整岩石的内摩擦角可以略高于50°；基于专家经验，右端点值被确定为60°。最后，指标的右端点值（）被确定为数值向量V = (30, 10, 10, 7, 60, 800, 60, 800, 1.5, 10,000, 8000, 6000, 4000, 12,000, 85, 5, 5, 5000, 5, 5, 5)，从X1到X21依次排列。然后，结合上述评估指标、熵权重方法和区间连续数学模型，得到了UUSR的多目标评估结果，如图5所示，基于用于评估指标权重计算的基本假设数据。图5. 基于ICMM的评估结果。如图5所示，使用ICMM方法的五种转换模型计算得到了UUSR的评估结果。具体来说，当使用同一区域的数据（例如A1）时，使用ICMM的五种不同转换模型得到的评估结果从大到小依次为立方根模型、平方根模型、线性模型、平方模型和立方模型。结果清楚地表明，ICMM方法具有很强的评估一致性，表明其在不同转换模型下的高可靠性。它始终产生一致的排名，使该方法适用于UUSR评估。另一方面，当使用相同的转换模型（例如立方根模型）时，不同区域的评估结果从大到小依次为A6、A5、A4、A3和A1。这一发现证实了ICMM方法具有很强的评估稳定性，在不同条件下产生一致且可靠的结果。与线性加权求和模型相比，ICMM使用非线性模型，特别是根函数和幂函数，能够捕捉边际收入的增减。同时，由于在使用ICMM方法进行UUSR多目标评估时五种转换模型的变化率不同，评估结果是离散且不同的，这意味着五种不同的转换模型对评估指标数据的敏感性不同。换句话说，这也表明ICMM方法可以适应任何类型的评估指标数据。此外，评估结果呈连续上升趋势，并且都落在0到1的区间内，这意味着ICMM方法成功实现了连续表达，并提高了UUSR多目标评估结果在不同评估区域之间的可比性。

5. 结论
作为一种合适且合理的数学方法，区间连续数学模型（ICMM）被应用于基于五种不同转换模型的UUSR多目标评估。本文提出了三个主要结论。首先，通过考虑城市地质类型、指标的尺度效应、指标的时间变化和指标值的可获取性，构建了一个通用的UUSR多目标评估指标系统，这对于UUSR评估至关重要。其次，使用ICMM的五种转换模型进行了UUSR评估指标的相关性分析，表明UUSR评估结果呈现出单调趋势，无论是上升趋势还是下降趋势。第三，ICMM方法通过消除阶梯状特征，实现了UUSR多目标评估结果的连续表达，并提高了不同区域结果的可比性。这项研究可以促进UUSR的合理利用，这对城市的可持续发展至关重要，特别是在未来的城市扩张、城市规划和城市投资中。目前的研究侧重于ICMM的理论发展和数值验证。然而，本研究仍有几个需要进一步改进的地方：缺乏基于实际地质数据的实证验证、缺乏与其他数学模型的比较基准测试，以及在选择转换模型时缺乏原则性。因此，未来的应用研究将把所提出的模型应用于实际的城市地下空间案例，结合实际的地质、经济和社会数据来评估发展潜力、适用性和资源效率。此外，未来的应用研究将基于实际研究区域的数据分析模型的敏感性。转换模型的局限性应结合不同类型城市的实际条件进行系统分析。另外，本文中做出的其他假设也需要通过未来的研究进一步验证或完善。