利用解空间工程设计具有非线性功能特性的橡胶支架以实现通用性 作者：塞巴斯蒂安·瓦格纳（Sebastian Wagner）和迪特尔·施拉姆（Dieter Schramm）

《Vehicles》：Designing Rubber Mounts with Non-Linear Functional Properties for Commonality Using Solution Space Engineering Sebastian Wagner and Dieter Schramm

　　**摘要**
在早期开发阶段设计具有强烈交互作用的车辆部件是一项挑战，因为众多的要求、不确定性和相互冲突的目标显著限制了可行的设计方案。当单个部件必须满足多个系统的需求时，实现最佳通用性尤为复杂。解决方案空间工程是一种有效的识别稳健通用解决方案的方法，并已成功应用于具有线性特性的部件。然而，其适用性对于具有非线性特性的部件是有限的，因为这些部件的特性会随工作点而变化。因此，在不同系统中评估部件的通用性不能仅依赖功能特性，因为这些特性是依赖于工作点和系统特定的。边界条件和感兴趣的量在不同系统之间也有所不同，必须加以考虑，以避免在开发过程中不必要地限制解决方案空间。本文提出了解决方案空间工程的扩展方法，用于开发具有非线性特性的通用部件，明确考虑了相同工作点下的不同系统要求。引入了一种增强的分层技术，在部件设计变量层面建立了通用性。通过后轴副框架支架的设计展示了所提出的方法。

**1. 引言**
汽车工程中的部件开发受到众多要求的约束。必须考虑功能特性、可用的设计空间、制造方面、成本和开发时间框架[1]。在这个复杂的过程中，识别可以在不同系统中使用的部件尤为重要，因为它可以通过减少开发时间和成本来实现车辆系列之间的协同效应[2]。在两个或更多系统中使用的相同部件被称为通用部件，这降低了实施通用部件策略的复杂性。此外，规模经济可以降低单位成本[2]。另外，开发一个通用部件所需的一次性工作量比开发几个单独部件所需的总工作量要少。通常在早期开发阶段就着手设计通用部件，因为此时可以以较低的成本和最小的努力调整变量。如果在这一阶段没有考虑通用性，那么在后期阶段开发通用部件的潜力将大大降低，因为此时许多单个系统的设计变量已经固定[3]。此外，在系统设计的早期阶段，关于系统参数和细节的信息通常很有限。因此，无法开发详细的仿真模型，而是使用简化模型。这种简化模型的一个重要优势是它们的计算成本显著降低，这使得即使在早期设计阶段也能进行大量的参数研究[4]。然而，简化模型的细节程度降低引入了关于结果准确性的不确定性，可能会限制它们的有效工作范围。Zimmermann表明，解决方案空间工程通过将不确定性表示为输入参数和感兴趣量的区间来解决这些问题。一个稳健的设计具有足够大的解决方案空间，在这种空间中，不确定性不会导致不可行的解决方案[5]。

在识别通用部件时，可以应用各种方法论方法。基于共享元素系统地开发多个相关产品，同时满足异质的市场和技术要求，称为产品系列设计。经典的产品系列设计方法深深植根于基于平台的设计和模块化架构，其中产品平台被定义为一系列共享的子系统、接口和参数，这些是多种产品变体的基础[6,7]。Zimmermann讨论了广泛使用的产品系列设计方法：V模型、目标级联、解决方案空间和定量建模方法[5]。这些方法将在以下部分详细介绍。

在高端车辆中，性能要求不仅包括驾驶动态，还包括高水平的乘坐舒适性。这两个总体车辆属性通常对单个部件提出相互冲突的要求，因为增强的驾驶动态通常需要增加结构刚度，而乘坐舒适性则更倾向于更大的柔顺性。一个受到这些相互竞争需求影响的代表性部件是后轴副框架支架。一方面，它需要有效地将垂直的、由路面引起的振动与车体隔离；另一方面，它必须确保侧向和纵向轮胎力以最小的柔顺性直接传递到车体结构[8]。只有当后轴副框架支架在所有空间方向上表现出方向依赖性和非线性刚度特性时，才能满足这些复杂且往往矛盾的要求。因此，它们的行为通常由大量参数描述。此外，刚度和阻尼特性可能会表现出显著的频率依赖性，这为它们的表征增加了额外的复杂性[8]。

将后轴副框架支架视为通用部件有几个重要原因。一方面，SFM（后轴副框架支架）是相对昂贵的部件，因此具有显著的成本降低潜力。另一方面，SFM的开发时间成本很高，因为该部件高度集成，并影响许多系统特性，从而增加了设计复杂性[7]。因此，SFM具有相当大的通用性潜力。

由于固有的非线性，副框架支架（SFM）的刚度特性会随着工作点的变化而变化，进而影响整个车辆载荷条件。现有的解决方案空间工程方法主要是为线性部件开发的[9]，因此假设所有工作点上的刚度都是恒定的。当应用于非线性SFM时，这样的假设会对可行的解决方案空间施加不必要的限制。因此，所确定的研究空白在于将这些既定方法扩展到考虑非线性部件行为。

本文的结构如下：第2节提供了技术背景的全面概述以及现有方法论状态的回顾，从而确定了现有的研究空白。第3节介绍了构建依赖图的基础设计变量和感兴趣的量。第4节使用自下而上的映射方法系统地建模了这些参数之间的关系。随后，第5节展示了从自上而下的映射中得出的结果，并在第6节进行了批判性讨论。最后一部分总结了本文的关键发现。

**2. 现有技术**
2.1. 技术背景
车辆后轴大致可以分为刚性轴、半刚性轴和独立轮悬架。刚性轴以其简单和稳健的设计为特点，因此主要用于对乘坐舒适性要求不高的重型车辆。半刚性轴提供了一种经济高效的设计解决方案，常用于小型乘用车。然而，它们在乘坐舒适性和驾驶动态方面存在局限性。独立轮悬架代表了最复杂的轴设计方法。由于其运动学和弹性运动学自由度，它们在优化乘坐舒适性和车辆操控性能方面具有最大的潜力。下文将考虑一种五连杆独立后悬架[8]。

本文使用后轴副框架支架设计的例子来验证所提出的方法。为了说明目的，将简要介绍SFM的悬架部件。可以从一般部件概述中提取以下子系统：后轴副框架、轮控制（五连杆）、弹簧/阻尼器、轮轴承和轮子（图1）[6]。后轴副框架分为副框架本体及其四个SFM。后轴上的轮控制由轴两侧的五个连杆组成，通过橡胶支架将副框架与轮架连接起来。弹簧/阻尼器单元将轮架直接与车体连接。轮轴承确保轮子的旋转自由度，并在其余两个轴上表现出扭转变形能力。图1显示了车辆后轴上考虑的部件概览。

车辆动态受到悬架弹性运动学的强烈影响。需要考虑的量是由于外部载荷引起的轮中心和轮-地面接触点的位移和旋转[6]。这些运动主要由连杆和后轴副框架的连接点的运动学布置以及不同橡胶支架的刚度决定。SFM是表现出非线性力-位移行为的橡胶支架，如图2b所示，因此在其整个工作范围内刚度并不恒定；见图2a。在没有受到力的作用下，曲线通常是线性的，表示刚度恒定。由于支架的几何形状和橡胶本身的特性，当超过一定力量时，刚度会增加。因此，支架的刚度直接取决于支架的偏移量，从而取决于预加载量[10]。图2展示了典型SFM特性的示例。(a) 刚度与位移的关系，(b) 力与位移的关系，以及(c) 传统支架和液力支架的损耗角与频率的关系。除了刚度外，支架的阻尼也是一个相关的功能参数，由损耗角指定。刚度和阻尼都随动态激励频率变化。这种效应对于液力支架尤为重要，因为它们在预定的调谐频率下具有更高的阻尼；见图2c。目前，在发动机安装系统中使用了可以主动控制刚度或阻尼的主动支架，但在底盘悬架应用中并不使用[8]。

为了描述特定点上的非线性橡胶支架特性，必须引入所谓的“工作点”。工作点基于全车级别的驾驶操作。本文考虑的所有驾驶操作都可以视为准静态的，意味着操作引起的力是恒定的。在驾驶操作（例如制动）过程中的动态轮载荷变化会导致悬架部件中的不同力，从而对橡胶支架产生不同的载荷。将这些支架力与SFM的工作点无关的特性曲线结合起来，可以在每个工作点获得恒定的支架特性。因此，可以使用适当的载荷在给定的工作点明确指定橡胶支架的载荷依赖特性。

2.2. 当前方法
V模型最初是在嵌入式软件开发的背景下提出的[11]，它通过定义目标量的要求，并通过分层分解的系统自上而下地系统地级联这些要求来结构化设计过程。这与传统的渐进式或迭代式方法相反，后者从预定义的解决方案开始，然后调整设计变量[12]。V模型的一个主要优点是它不预先假设具体的解决方案，这使其特别适合于需要探索整个设计空间并且要求尽量少具有限制性的创新设计问题。尽管如此，V模型仍被描述为“假设性的”[13]，因为推导出明确考虑不确定性的具体和定量设计步骤——尤其是在涉及自上而下要求定义和非线性系统关系的早期设计阶段——仍然是一个重大挑战。

目标级联是一种基于优化的方法，它通过从系统级目标推导出定量子系统要求，作为目标点，使用协调策略来解决多个目标之间的冲突。然而，由于工业实践中学科特定的目标点往往是相互冲突和不确定的，Kim等人采用了基于目标区域的自上而下的公式化方法。这使得可以将来自不同学科的要求整合到一个满足所有约束的统一区域中，并支持通用解决方案的识别[14]。

解决方案空间的概念通过定义系统在多维设计变量空间中的可行区域来形式化基于集合的设计思想。解决方案空间由功能要求、物理定律和边界条件施加的所有约束的交集定义[15,16]。Zimmermann和Koenigs通过将解决方案空间嵌入到不确定性下的大规模系统设计结构化框架中，显著推进了这一概念。他们的工作强调了设计变量和感兴趣量之间的明确分离，这些变量通过依赖图连接起来，该图捕捉了系统的层次结构[5]。这个框架允许在参数和模型中系统地传播不确定性，从而识别出稳健的解决方案空间，而不是脆弱的最优解。Daub专注于研究认识不确定性，以便在组件层面实现灵活的决策，同时确保系统的整体稳健性[17]。

解决方案补偿空间代表了经典解决方案空间的扩展。他们将设计变量划分为与成本相关的早期决策变量（A-变量）和与性能相关的后期决策变量（B-变量）。为A-变量确定了可接受的区间，以便在这些区间内的任何选择都能找到至少一个满足所有约束的B-变量可行配置。这种补偿机制扩大了共享组件的可行设计区域[18]。自适应解空间方法代表了解空间工程的一个进步。在这一框架内，通过整合开发数据和用户定义的约束条件，系统地重新计算参数范围，同时保持参数的独立性[19]。定量系统行为通常使用基于模型的或仿真驱动的设计中的替代模型进行分析，其中物理替代模型来源于对系统依赖性的工程洞察，而数学替代模型则基于实验或仿真数据训练得到。物理替代模型捕捉特定领域的行为，数学替代模型则为优化提供计算效率，两者在实现复杂工程系统的有效分析和设计中发挥着互补作用[20]。2.3 解空间工程的应用由于本文提出了解空间工程的扩展，以下部分将重点介绍该方法的当前应用。Eichstetter等人将解空间工程应用于识别通用组件[2]，此后该方法已被文献中的许多研究采用[21,22,23]。该方法的目标是确定这样的解空间：在这些解空间中，组件设计变量能够满足车辆层面的关注量。满足所有关注量要求的设计构成了解空间。本文考虑的一个关注量示例是侧轴刚度。车辆层面的关注量取决于子系统属性（子系统属性@操作点），而子系统属性又取决于组件属性的组合，例如不同操作点下的安装刚度或弹性运动学属性（组件属性@操作点）。这种分层推导过程被称为目标级联[24]。为了应用解空间工程，定义了一个依赖图：使用自下而上的映射来计算关注量，同时使用自上而下的映射来定义相应的解空间（见图3）。图3. 应用了解空间工程，带有相应的自下而上映射和自上而下的映射。许多出版物讨论了将解空间工程应用于各种技术示例的情况。图4根据这些工作的研究焦点将它们分成了不同的簇。图4. 按照依赖图上不同应用将出版物分组。簇1包括针对单个组件的两个目标领域的关注量（q.o.i.）的研究。Eichstetter等人使用解空间工程研究了减震器的发展，以适应车辆动力学和乘坐舒适性的目标[9]，而Koenigs等人关注发动机支架的耐用性和声学目标[25]。Eremeev等人基于元模型对变速箱进行了设计优化，考虑了技术目标和成本因素[26]。Xu等人应用解空间工程开发了振动锤和橡胶支架，优化了静态和动态关注量[27]。Ziegler等人使用解空间工程定义了变速箱设计的客户内部要求[28]。簇2包括专注于单一目标领域同时考虑多个组件的出版物。Zimmermann使用解空间工程研究了不同组件的抗撞性目标[22]，Wimmler等人综合考虑了轴部件和轮胎与车辆动力学目标[29]。此外，Münster等人将该方法示例性地应用于转向系统的设计[30]。Condor等人关注电力单元支架和副框架支架，以满足NVH目标[31]。Della Noce通过引入物理可行性约束扩展了解空间，以机器人系统为例进行了演示[32]。簇3涉及在单一目标领域内同时开发多个车辆的组件。Eichstetter研究了不同防侧倾杆的最佳共性[2]。簇4包括Zimmermann等人提出的应用，其中解空间工程被应用于多个车辆的碰撞和底盘组件[33]。R?tzer等人通过用模块化子系统替换复杂系统模型来优化产品系列的成本，并将这种方法应用于电动汽车的开发[34]。簇5考虑了跨多个目标领域设计多个组件的问题。Wimmler等人提出了一种针对车辆动力学和可行性约束开发不同轴组件的方法[35]。上述所有出版物都将所考虑的组件的属性视为在所有操作点上保持不变。因此，如图4所示并在表1中列出，通用组件的设计和选择是使用在组件属性@操作点级别定义的参数来进行的。表1. 图4中涵盖解空间方法不同应用的聚类出版物概述。2.4 研究空白在簇3中，共性是在组件属性@操作点级别为单参数组件定义的。由于单参数组件具有恒定属性，因此该参数保持不变，并完全表征了组件的功能。相比之下，多参数组件（如副框架支架）表现出非线性行为，导致其属性取决于支架的操作点。因此，在组件属性@操作点级别定义共性会强制车辆1和车辆2在同一操作点具有相同的组件属性。结果，可行的解的数量受到限制，如图5a所示。图5. 两种车辆的共同设计属性示例，(a) 采用现有技术方法情况；(b) 采用所提出的方法情况。为了解决这一限制，本文引入了一种用于多参数组件设计的扩展分层技术，并考虑了四个方面：首先，引入了一个新的观察级别，通过其功能性和几何变量独立地表征组件。这一级别被称为组件设计变量级别（见图4）。其次，利用这一级别来定义多参数组件的共性。第三，说明了只有在引入这一额外观察级别时，研究多参数组件的共性才是有意义的。第四，通过一个示例问题来说明这些方面的适用性。为此，考虑了通用副框架支架的设计。这使得约束得到解决，不同的车辆在同一操作点有不同的解；见图5b。3. 参数依赖性本节描述了各种系统参数和层次结构，以建立涵盖所有相关参数的依赖图。系统输出被称为关注量，用于表征整体系统性能。系统输入由设计变量表示，这些设计变量分为不可修改的常量参数、可以在指定范围内变化的设计变量以及必须在不同系统中保持相同的通用设计变量。为了降低系统复杂性，引入了多个子系统级别。不同系统级别和子系统级别之间的关系及其相关参数通过数学和机械模型表示，并在第4节中详细说明。3.1 关注量关注量来源于系统级别的分析。车辆必须符合来自多个领域的要求[8]。在悬架设计的背景下，考虑了五个主要设计领域：噪声、振动和 harshness (NVH)、乘坐舒适性、驾驶安全性和主动安全性。通过所谓的禁区约束来确保支架的可行性。由于本工作的重点是技术规范，因此没有考虑经济要求。因此，仅描述了与本研究相关的后轴副框架支架设计变量及其相关要求。3.1.1 车辆动力学和驾驶舒适性量车辆动力学和驾驶舒适性量是基于静态和动态驾驶操作得出的。与静态操作相关的量来自轴的弹性运动学属性。这些属性包括车轮中心由于力和扭矩载荷在接触点产生的位移和旋转。后轴副框架支架的刚度对制动和加速时的纵向刚度 cx,Fx、横向载荷下的横向刚度 cy,Fy、纵向和横向力下的前束梯度 cδ,F_x 和 cδ,Fy 以及横向力下的倾角梯度 cγ,Fy 有显著影响；见表2。Rumpold[36]提供了这些量的详细推导，包括它们对车辆动力学和驾驶舒适性的影响。表2. 关注的车辆动力学和驾驶舒适性量概述。与动态载荷情况相关的量基于驾驶操作的转向步进和正弦转向进行评估[8]。在这些操作中观察到的测量指标包括侧滑角、偏航率和横向加速度。详细的多体模拟表明，副框架支架属性对这些指标的影响很小。因此，在早期开发阶段不考虑多体模拟。此外，由于不确定性，在早期设计阶段各个指标的偏差远大于观察到的参数变化引起的效应。3.1.2 NVH 量除了车辆动力学量外，轴设计过程还必须考虑噪声、振动和 harshness (NVH) 量。一个相关的NVH量是电力单元 (EPU) 的摆动行为，它相对于副框架弹性安装。必须考虑EPU在纵向和垂直方向的固有频率 fx,EPU 和 fz,EPU 以及相应的稳定时间 tset,x/z,EPU；见表3。这些量不仅受副框架支架 (SFMs) 的影响，还受到EPU支架的显著影响。表3. NVH量概述。为了清晰起见，下表仅展示了单个空间方向或前/后SFMs的量。“数量”列提供了考虑的总量。3.1.3 驾驶安全性量驾驶安全性主要由被动和主动安全系统解决[8]，弹性后轴副框架支架对其影响很小或没有直接影响。相反，SFMs 对称为车轮抖动的后轴振动现象有显著影响，这可能对安全性造成严重后果。这种自激振动可能导致车轮在制动时因振动幅度过大而失去与地面的接触，从而增加制动距离[37]。相应的关注量描述了振动稳定性 sws，它受到SFMs 的刚度和阻尼属性的强烈影响；见表4。表4. 驾驶安全性量概述。3.1.4 禁区判定器在本出版物中，可行的组件被定义为可以使用当前技术以具有竞争力的成本进行开发、制造和实施的组件。由于支架是具有复杂几何形状的超弹性组件，准确的可行性预测具有挑战性。尽管如此，可以使用基本标准定义不可行的设计区域，即禁区。这些标准包括静态和动态属性的比率、与组装相关的预加载标准以及代表综合要求的经验标准。应用的标准在表5中总结[10]。表5. 禁区判定器概述。3.2 设计参数设计参数构成了系统输入，并在依赖图的最低级别定义。它们可以是常量、变量或作为通用参数共享。由于车辆关于其纵轴的对称性，左右参数没有区分。为了便于阅读，仅在三次空间方向中定义的参数以及与前/后位置相关的参数列出一次。3.2.1 常量参数常量参数在整个SFM设计过程中保持不变。区分了两个类别：系统和子系统参数以及组件级参数。系统和子系统参数包括但不限于总车辆质量 mv、轴距 wbv 以及车辆重心 CoGv,x/y/z 的坐标，见表6。表6. 完整车辆常量参数概述。第二类包括在SFM属性相同级别定义的组件级参数，但在本研究中不进行变化。示例包括底盘硬点、EPU支架特性和轮胎属性，见表7。表7。**常量组件参数概述**
3.2.2 设计变量
设计变量是在开发过程中在预定义范围内变化的参数，这些范围被称为区间。它们被分为系统-个体变量和通用设计变量。系统-个体变量描述了后轴摇臂（SFM）与底盘的连接点，如表8所列，因为后轴子框架本身不需要具有共性。表8. 系统-个体设计变量概述。通用设计变量描述后轴摇臂的功能特性。摇臂的特征曲线由以下参数表征：基本硬度cf/r,x/y/z,SFM、线性范围slin,f/r,x/y/z,SFM、渐进指数eprog,pos/neg,f/r,x/y/z,SFM、渐进因子fprog,pos/neg,f/r,x/y/z,SFM、偏心率secc,f/r,x/y/z,SFM、动态硬度硬化cdyn,lf/hf,f/r,x/y/z,SFM以及损耗角δlf/hf,f/r,x/y/z,SFM；详见表9。这些参数足以描述早期开发阶段橡胶支架的行为。表9. 通用设计变量概述。

**3.3 依赖图**
图6所示的依赖图展示了前几节中定义的设计参数与关注量之间的关系。设计参数（第3.2节）位于底部（橙色），子系统属性位于中间（白色），关注量（第3.1节）位于顶部（浅绿色）。常量参数用浅蓝色突出显示，系统-个体变量用紫色显示，而跨系统相同的通用设计变量用深绿色显示。图6. 依赖图。为了表示多参数组件，组件属性被分为两个层次。最低层次包含不受操作点影响的组件设计变量，这些变量描述的行为不受外部因素（如预加载）的影响。所有摇臂的刚度和阻尼设计变量都位于这一层次，共有66个分组设计变量（图6中的深绿色框）。关注量是在特定操作点评估的，因此是根据这些点评估的组件属性推导出来的。从设计变量得出的组件特性曲线与操作点特定的边界条件结合，从而得出操作点处的组件属性。对于单参数组件，其属性在操作点之间保持不变，因此不需要进一步的层次区分。因此，Eichstetter直接将这些参数分配到操作点处的组件属性[2]。操作点处的组件属性通过中间层次的子系统属性与关注量相连，后者描述了执行器单元（EPU）、连杆和子框架（包括摇臂）的功能行为。从这个层次可以直接计算出系统级别的关注量。

**4. 自下而上的映射**
本节描述了从设计变量推导出关注量所需的模型。图6中依赖图中的每个箭头代表各个参数之间的计算关系，因此必须通过适当的物理或数学模型来捕捉这些关系。在这一阶段，只有有限数量的参数是已知的，必须明确考虑不确定性。在早期系统设计的背景下，不确定性主要指认知不确定性，即由于对设计变量、边界条件和尚未完全确定的要求了解不足而产生的不确定性。许多系统量在这一阶段仍然是未定义的，只有在设计过程完成之后才会确定固定值。因此，不确定性不仅与参数的变化有关，还与未解决的设计决策和不完整的系统信息有关。相比之下，随机不确定性（如制造公差或材料分布）即使在设计最终确定后仍然存在，因此在早期设计阶段相对次要[5]。
这种方法不依赖于概率不确定性模型，后者通常需要在这一阶段不可用的详细统计信息，而是采用自上而下的方法处理不确定性。在这个框架中，定义了系统响应的允许范围，并将这些范围向下传递到系统模型中，以得出设计变量的允许区域。这些区域通常被称为解空间，通过允许在预定义范围内变化来隐含地考虑不确定性，而不是规定确切的值。这使得设计者可以指定系统可以容忍的不确定性程度，而不是量化不确定性如何在系统中传播。因此，这种方法通过在不确定且不断变化的系统条件下确保可行性来支持早期设计阶段的稳健决策，而无需显式估计不确定性分布[5]。此外，这些模型必须用于计算大量参数变化，即进行设计实验（DoE）分析。因此，所使用的模型必须具有计算效率，优化过程必须产生稳健的解决方案。在本工作中，采用了简化模型以确保计算工作量较小，并适应早期开发阶段有限的数据可用性。尽管这些简化模型引入了不确定性，但它们为早期阶段估计提供了足够的准确性。在后期开发阶段，当更详细的系统信息可用时，可以使用高级模型来验证结果。

**4.1 全车建模**
全车模型用于描述所考虑的驾驶动作，并推导出定义相应操作点的轮胎力。首先，根据Schramm等人的方法[38]，通过平衡车辆重心的力和力矩来确定垂直和纵向方向上的静态和动态轮胎力。这些轮胎力定义了本研究中使用的两个操作点：设计位置和制动条件。重制动时前后轴之间的纵向轮胎力分布由各自的纵向摩擦潜力决定。由于分析仅考虑准静态操作点而不研究瞬态行为，因此不应用动态全车模型。为了计算由于轮胎力作用在摇臂上的载荷，将摇臂和主弹簧在其连接到车身的点处分开。由于所考虑的动作中没有侧向轮胎力产生，且主弹簧的侧向倾斜角度很小，因此忽略了作用在摇臂上的侧向力。这允许在纵向-垂直平面内进行二维分析。主弹簧连接在拱形杆和车辆车身之间。其力由拱形杆处的扭矩平衡决定。假设整个垂直轮胎载荷（不包括非悬挂质量）通过拱形杆传递，因为其他连杆对垂直载荷的传递贡献不大。作用在拱形杆和子框架之间的橡胶支架上的垂直力根据各自的杠杆臂分布到前后摇臂。因此，摇臂的静态预加载仅在垂直方向上起作用。由于设计位置处的纵向预加载幅度相对较小，在早期设计阶段可以忽略不计。
在制动过程中，轮胎-路面接触斑块处的纵向力在摇臂中产生反作用力，这取决于各自的杠杆臂。因此，由于必须支撑的制动扭矩，垂直预加载会发生变化。此外，摇臂还受到纵向载荷。前后摇臂之间的纵向力分布取决于它们的刚度，因为弹性支撑的系统是静态过定的。所有上述计算（包括方程）均可在附录A.1中找到。

**4.2 子框架安装建模**
摇臂的功能特性表现出非线性行为。因此，常量参数无法充分描述整个操作范围内的刚度和阻尼特性。相反，需要非线性参数化。基于第3.2.2节中定义的设计变量，使用（1）中的特征曲线描述摇臂的静态力-位移行为：
(1)
动态硬度行为使用（2）中的频率依赖硬化因子来建模，而阻尼行为则通过（3）中为不同激励频率定义的损耗角来表示：
(2) (3)
力-位移曲线的非线性公式确保在每个操作点应用正确的刚度。其他简化模型在其后续计算中使用该操作点处的线性化刚度。

**4.3 弹性运动学建模**
弹性运动学模型的目标是计算车辆动力学关注量。这包括从操作点处的组件属性映射到操作点处的子系统属性，以及从子系统属性映射到系统级别的关注量。
出于建模目的，后轴系统被分为三个子系统：子框架、连杆和轮毂轴承（见图1）。每个子系统分别进行建模，然后通过叠加获得整体系统行为。要评估的车辆动力学量列在表2中。
从弹性运动学的角度来看，轮毂轴承子系统由两个绕垂直轴和纵向轴旋转的刚度crot,wb,r,x/z表示。这些旋转刚度的影响取决于力作用点及其相关的杠杆臂。当前建模方法不需要绕横向轴的旋转。
连杆子系统通过Rumpold[36]的方法用一个刚度表示。每个连杆沿其轴线建模，该刚度由其连接点处两个支架刚度的串联连接得出。五个连杆共同形成个体刚度的并联排列。
子框架子系统由四个摇臂组成，它们将刚性子框架连接到车辆车身。摇臂的刚度在弹簧中心处组合为三个平移刚度和三个旋转刚度，遵循Matschinsky[39]的方法。弹簧中心的位置因空间平面而异。由此产生的纵向和横向刚度以及绕三个轴的旋转刚度决定了系统级别的性能。

**4.4 车轮抖振现象建模**
车轮抖振是一种与安全性相关的振动现象，发生在高减速时。轴会经历自激振荡，在大振幅下可能导致组件损坏。此外，车轮-路面接触可能会暂时丧失，从而增加制动距离。
由于振动的自激性质，可以使用模态阻尼来评估稳定性，从而识别从稳定到不稳定行为的转变。该模型基于四分之一车的表示，并扩展了弹性运动学效应。详细的建模假设和公式在Wagner等人[37]中提供。

**4.5 噪声、振动和 hashed（NVH）建模**
NVH模型被构建为一个双质量振荡器，有效捕获了执行器单元（EPU）的摆动行为（见表3）。刚性EPU弹性安装在刚性子框架上，后者又弹性连接到假设为刚性且静止的车辆车身。
在纵向和垂直方向分别应用独立的双质量振荡器模型，刚度值对应于每个方向的累积支架刚度。由于在所考虑的动作中没有侧向力产生，且主弹簧的侧向倾斜角度很小，因此忽略了侧向力。

**4.6 不可行区域建模**
不可行区域的建模基于Penisson[10]开发的方法，用于预测两个摇臂概念的静态和动态特性。静态刚度使用G?bel[40]提出的基于物理的公式计算。载荷引起的应变和应力根据几何形状和加载方向分解为剪切和拉伸/压缩分量。然后使用标准机械关系计算组件刚度。特征曲线设计变量和动态特性使用经验模型预测，其有效性通过[10]中报告的实验数据得到验证。
与Penisson[10]一样，可行性阈值通过实验设计（DoE）方法确定。在此过程中，在预定义的参数范围内生成大量设计候选方案，并根据所有功能和可行性标准进行评估。得到的可接受设计分布（“可行设计云”）有助于识别分隔可行和不可行配置的边界区域。
由于行业保密限制，无法披露可行性阈值的确切数值。尽管如此，其定义遵循所描述的基于DoE的程序，并依赖于经过验证的工程指南和实验观察，确保对不可行设计区域的一致且实际相关的识别。因此，该方法原则上是可转移的，因为当有项目特定数据时可以应用相同的程序。

**5. 自上而下的映射**
如第2.2节所述，采用自上而下的方法根据车辆级别的要求优化设计。
由于工业合作伙伴宝马的保密要求，本研究不允许披露绝对数值或专有数据。因此，以下部分中呈现的所有结果都用标准化或相对术语表示。这种方法确保了潜在的趋势、关系和方法论见解保持完全可解释性，同时保护了敏感的商业信息。5.1. 示例问题要求在所呈现的示例中，为两种不同的车辆A和B设计了SFM（Subframe Mounts），每种车辆都具有不同的车辆属性和市场定位；见表10。表10. 示例问题中选择的车辆概述。如图7所示，这些车辆在质量、轮距和轴距等车辆设计变量方面存在差异，同时在它们感兴趣的目标量上也有所不同。目标类别——驾驶动态、驾驶安全性、驾驶舒适性和NVH（噪音、振动和Harshness）——构成了本研究的重点领域。根据车辆的特点，每个类别都需要不同的性能水平。例如，紧凑型车辆通常更注重敏捷的操控性而非NVH性能，这得益于较低的质量和较小的尺寸。所示的比例是标准化的，并不代表绝对值。图7. 两种选定车辆的设计变量和目标概述。5.2. 解决方案空间在这里采用了基于集合的设计方法，遵循Zimmermann等人[5]描述的方法论。将描述特定设计的设计变量向量作为输入提供给模型，通过应用之前介绍的模型得到包含相应感兴趣量的输出向量。如果所有感兴趣的量都满足其各自的要求，即位于指定的下限和上限之内，则认为设计是可行的。解决方案空间被定义为所有可行设计的集合。解决方案空间内的一个矩形子集被称为解决方案框。在可行的设计中，不区分优劣选项，因为感兴趣的量无法被超过。结果使用二维标准化图表进行可视化，其中两个设计变量沿水平和垂直轴变化。每个图表中所有其他设计变量保持不变，每个点代表一个独特的设计。每个设计由一组独特的设计变量和产生的感兴趣量定义。带有颜色的样本点表示至少有一个感兴趣的量未达到其要求，颜色表示被违反的量。图8显示了一个截面切割的示例。截面切割表示通过解决方案空间的一个交点，在该交点中除了两个设计变量外其他所有变量都固定不变。设计变量是使用Erschen等人[23]描述的箱型优化算法预先优化的。虽然确定了一个可行的解决方案空间，但它受到几个限制要求的约束，如下所述。图8. 截面切割示例。随着前SFM（cy,f,SFM）的横向基本刚度的增加，由黑点表示的轮子摆动稳定性sws首先被违反。进一步增加会导致后轴横向刚度cy,Fy（由浅蓝色点表示）的违反，因为轴的刚度变得过高。当改变前SFM的纵向基本刚度cx,f,SFM时，蓝色表示的纵向轴刚度cx,Fx在研究的范围两端都是限制量。随着cx,f,SFM的进一步增加，EPU（Electro-Pneumatic Unit）的纵向固有频率fx,EPU也超出了其目标范围，如灰色点所示。此外，由可行性约束施加的禁区限制了设计空间，在这些区域内基本刚度值之间的比率变得不可实现，如红色和紫色点所示。5.3. 共性潜力为了评估组件的共性潜力，本节考虑了表10中定义的两种车辆的前SFM。SFM使用表9中列出的33个设计变量进行参数化。如果两种车辆的所有设计变量都取相同的值，则认为该子框架支架是共同的。这33个共同的设计变量在图6中的深绿色框内进行了总结，标记为“静态+动态特性子框架支架”。通过同时优化两个系统来推导出一组共同的设计变量是难以实施的。因此，首先分别对每种车辆在每个设计变量的预定义区间内进行单一设计优化（SDO）。第一迭代后的标准化结果显示在图9中，分别称为最佳车辆A和最佳车辆B。由于这一步之后两种车辆的所有设计变量都有所不同，因此还无法评估共性。图9. 单一设计优化后车辆A和B的最佳和共同设计变量集。在第二步中，围绕车辆A和B在第一迭代中获得的相应设计变量的算术平均值定义新的区间。使用这些区间作为边界条件，对一个系统（这里是车辆A）进行第二次SDO。相应的结果显示在图9中，cy,f,SFM用圆圈和三角形表示。没有找到可行的设计，因为后轴横向刚度cy,Fy的目标无法在规定的横向SFM刚度cy,f,SFM区间内得到满足。所有剩余的感兴趣量都满足识别的设计变量的相应目标。在这种情况下，可以重新定义设计变量区间，或者根据工程专业知识手动调整变量。在当前示例中，无法实现cy,Fy的目标；因此，增加了SFM的横向刚度cy,f,SFM。这种调整是可行的，因为cy,f,SFM对其他感兴趣的量没有显著影响。然后必须对第二辆车的设计变量集进行评估，以验证其感兴趣的量是否也得到满足。如果是这样，则确定了共同的SFM。否则，必须重复第二次迭代，或者需要进一步的手动调整。在所呈现的示例中，第二次迭代后获得的车辆A的设计变量集也满足车辆B的所有感兴趣量。因此，这组设计变量代表了两种车辆的共同解决方案。为了进一步说明这一结果，图10显示了改变选定设计变量（即前SFM的纵向基本刚度cx,f,SFM、横向基本刚度cy,f,SFM和纵向偏心度secc,x,f,SFM）的效果。图10. 选定车辆的单一截面切割（顶部和中间）和共同截面切割（底部）。图10的上两行分别显示了车辆A和B的个别结果。每个图表表示通过解决方案空间的一个截面切割，在该切割中除了轴上显示的两个变量外所有变量都保持不变。也存在一个更高维度的解决方案空间，其中所有33个变量都跨越区间，但尺寸显著较小。在图10的下部，车辆A和B的解决方案空间被叠加以识别共同的设计。观察到一个相对较大的共同解决方案空间，提供了大量的设计灵活性。只要纵向和横向SFM刚度值cx,f,SFM和cy,f,SFM保持在这个区域内，所有感兴趣的量都满足其相应的要求。图11显示了从车辆A和B的共同解决方案空间中选择的一个示例子框架支架特性曲线。上面的图表展示了支架的力-位移行为，下面的图表描绘了相应的刚度-位移关系。与设计位置和制动动作相关的操作点分别用圆圈和三角形表示。图11. 带有绘制操作点的车辆A和B的共同子框架支架特性。对于两种车辆，设计位置的操作点都在基本刚度范围内，这意味着由于这一区域的刚度恒定，因此具有相同的属性。相比之下，在制动过程中，由于轴的几何形状和车辆特性的不同，会产生不同的预加载，导致不同的有效刚度值，如下面的图表所示。尽管如此，两种车辆在所有操作点上都满足各自的感兴趣量。这表明即使设计变量和性能要求不同，也可以为两种车辆实现共同的解决方案。6. 讨论通过引入非线性组件属性的额外观察层次来扩展解决方案空间工程具有几个优点。在Eichstetter等人提出的经典线性方法中，组件属性完全由单一的常数值描述[2]。因此，假设所有共同组件的属性在所有操作点和所有考虑的车辆中都是相同的。然而，这种假设没有充分反映橡胶支架的实际行为，因为完全忽略了支架的渐进式非线性特性。例如，如果假设两种车辆的制动操作点和设计位置具有相同的SFM属性，将会发生目标违反。与制动操作点相关的感兴趣量（即车轮摆动）需要更高的纵向SFM刚度来满足其目标，而与设计位置相关的感兴趣量则需要较低的纵向SFM刚度。因此，在两个操作点强制相同的纵向SFM刚度值将不可避免地导致目标违反。对经典线性方法的扩展——即通过分配恒定的组件属性来独立处理每个操作点——也是不足的。在这种表述中，共同支架仍然会在不同车辆的相同操作点展示相同的属性。这对设计空间施加了不必要的约束，并可能减少甚至掩盖组件的共性潜力，如图5a所示。通过引入具有非线性属性的组件的新观察层次的设计变量，可以在不同的操作点表示特定于车辆的组件行为，同时仍能在多个车辆之间实现组件共性，如图5b所示。这种建模精度级别是经典线性方法无法实现的。因此，本文提出的应用示例只能使用所提出的解决方案空间工程扩展来进行有意义的分析。然而，仍有几个方面超出了本出版物的范围。所提出的方法应用于早期设计阶段，为了降低复杂性，在初始设计中忽略了一些次要要求。其中包括与动态负载情况相关的车辆动态量，如第3.1.1节所讨论的。因此，在初始优化之后确定一个稳健的解决方案空间对于保留后期设计的足够灵活性至关重要。在这项研究中，分别对每种车辆进行了单独的单次设计优化，然后将结果解决方案进行比较以识别共同的设计。一种更有效的策略将涉及直接优化共性，在此优化算法中对选定的设计变量施加相等性约束，以最大化共享的解决方案空间。在当前背景下，SFM设计变量将被限制为保持相同，并同时优化以满足两种车辆的要求，从而得到唯一且最大化的共同解决方案空间。Daub提出了这样的优化方法，可以导致更稳健的解决方案空间[17]。使用足够强大的优化算法，也可能为两种以上的车辆识别出共同的支架。这种方法需要大量的迭代和采样点，这反过来又需要高效的计算性能。为此，采用了计算效率较低的简化模型。因此，在解释结果时必须考虑由此产生的不确定性。在后续的开发阶段，可以通过应用更详细的模型和先进的仿真技术来解决这些不确定性。7. 总结在解决方案空间工程中引入了一种更全面的层次化技术，用于设计多参数组件。第2节通过对现有技术状态的分析确立了所提出方法的新颖性。第3节定义了相关的设计变量和感兴趣的量，并描述了它们在依赖图中的相互关系。第4节应用自下而上的映射策略来推导依赖图中各个设计变量之间的建模关系。第5节应用所提出的方法，并通过子框架支架的早期设计进行了自上而下的映射验证。为两种具有不同特性的车辆识别了一个共同的解决方案空间。最后，第6节讨论了该方法的结果和优势，并概述了未来发展的方向。