电流中波的色散关系

《Applied Ocean Research》：The dispersion relations of a wave in current

　　丁腾|李艳妮|梁家明
山东水利与土木工程学院，烟台市，264025，中国

**摘要**
在波浪的传播过程中，它们常常与水流共存，而波的传播方程会受到水流的影响而发生变化。波数（即对应于传播模式的扩散方程的根）可以在含水流的移动坐标系中计算得出。然而，对于衰减模式的扩散方程的根，目前研究得还不够充分。本研究发现，在空间固定坐标系和含水流的移动坐标系中得到的衰减模式是不同的，因为这取决于激发源是固定不动的还是随水流移动的。在含水流的移动坐标系中得到的衰减模式的特征值（即扩散方程的根）是实数，而在空间固定坐标系中得到的特征值是复数。为了计算衰减模式的扩散方程的复数根，采用了牛顿-拉夫森法。在给定的波频率下，衰减模式的根的实部关于零电流曲线是对称的，并且随着流速的增加而增大；而虚部关于零电流曲线是不对称的，并且也随着流速的增加而增大。通过将与无量纲电流参数的波色散关系的一阶近似与精确解进行比较，研究了这一现象。结果表明，当电流参数和波频率参数都不小时，一阶近似与精确解之间存在明显差异。

**1. 引言**
研究波浪与海洋结构的相互作用对于沿海和海洋工程设计及运行具有极其重要的意义。理解波浪与结构之间的相互作用对于确保船舶、海上平台及其他海洋设施的安全性、稳定性和效率至关重要。准确预测波浪载荷不仅有助于结构优化，还有助于在恶劣海洋环境中的风险评估和减灾。在各种分析和数值方法中，特征函数展开法已被证明是解决波浪-结构相互作用问题的有力工具，尤其是在二维（2D）场景中。该技术将速度势分解为一系列直交特征函数，从而能够高效且半解析地求解边界值问题。二维特征函数展开法已广泛应用于不同的领域，包括波浪发生器理论、波浪与矩形结构的作用以及浮动弹性板的波浪弹性响应。

对于一阶波浪发生器理论，Dean和Dalrymple（1991）在其著作《工程与科学家的水波力学》中详细介绍了使用特征函数展开法进行分析的方法。Sulisz和Hudspeth（1993）利用特征函数展开法推导出了水波发生器产生的水波的完整二阶解。Spinneken和Swan（2009）基于特征函数展开法建立了一种用于波浪发生器的二阶力反馈控制方法。

对于波浪与二维矩形结构的作用，该方法通过匹配不同流体区域的速度势来得到渐近解，从而能够精确计算反射系数、透射系数以及波浪力。Mei和Black（1969）使用特征函数方法计算了固定箱子在自由水面或海床上的波浪衍射问题，Black等人（1971）将该方法扩展到了浮动箱子在自由水面上的衍射问题。他们计算了波浪力、附加质量、辐射阻尼以及矩形箱子在自由水面上的反射和透射系数。此外，通过将特征函数展开与板振动模式结合，可以有效地分析浮动弹性板的波浪弹性行为，这对于非常大的浮动结构（VLFS）和冰封海域的应用至关重要。Fox和Squire（1990）通过定义误差函数并使用拉格朗日乘数在两个计算域的匹配边界处匹配误差来研究这一问题。Sahoo等人（2000）构建了一个特征函数的乘积，以建立一组线性方程的对角矩阵来求解未知数。Teng等人（2001）基于量纲分析去掉了拉格朗日乘数，并将板端条件从自由支撑扩展到了简支支撑。他们得到了与半无限弹性板相互作用时的波浪透射和反射的收敛解。Wu和Watanabe（1995）也应用了特征函数展开法研究了波浪与有限长度浮动弹性板之间的相互作用问题。

为了将该方法的应用范围扩展到任意形状的物体，可以采用域分解技术，即将流体域划分为多个子区域，并在不同子区域中使用不同的方法进行求解，然后在子区域界面处匹配结果以保证连续性。这种分区域匹配方法提高了特征函数展开法的灵活性，使其适用于更复杂的几何形状，同时保持了计算效率。Bai（1975）建立了有限元方法（FEM）和特征函数展开法的混合模型，研究了斜波与二维水平矩形圆柱之间的相互作用问题。Teng等人（2023a, 2023b）应用边界元素方法（BEM）和特征函数展开法计算了单个和双圆圆柱的波浪衍射和辐射问题。这些方法易于实现，且适用于二维问题。

在沿海环境中，波浪常常与水流共存。在水流中，波浪的传播特性和激发频率会因水流而改变。El-Shahat等人（2021）研究了潮汐流涡轮机中的波浪-水流相互作用，发现这种相互作用显著改变了波长和波高。Elobeid等人（2024）研究了波浪-水流相互作用如何影响W2Power半潜式浮动平台的动态行为，并揭示了水流对波浪特性的影响。结果表明，顺流会降低平台的纵荡和横摇运动的平均值和极值，而逆流则会增加这些值。Kushwaha等人（2025）应用特征函数展开法和BEM研究了组合波浪-水流条件下单个和双码头周围的波浪散射现象，发现流速的增加会增强波浪反射，减少透射，并显著放大作用在结构上的水平力。在海洋工程中，浮动海洋结构（如系泊的石油平台或船舶）的缓慢漂移运动是设计师关注的一个有趣课题。这个问题通常通过波浪与浮动体的波浪-水流相互作用等效问题来研究（Zhao和Faltinsen，1988；Wu和Eatock Taylor，1990；Nossen等人，1991；Teng和Eatock Taylor，1995；Teng等人，1996）。Zhao和Faltinsen（1988）使用BEM和特征函数展开法研究了波浪与自由表面上二维物体之间的相互作用问题。在他们的研究中，他们将BEM的内域与特征函数展开的外域接口分开，从而可以忽略外域中散射波的衰减模式。Isaacson和Cheung（1993）应用时域边界元素方法研究了波浪与二维物体的相互作用问题，在外自由表面上布置了阻尼区以避免对外域散射波的解析表示。

本文全面研究了在两个坐标系中的二维特征函数展开法，一个坐标系固定不动，另一个坐标系随水流移动。研究表明，对于传播模式，两个坐标系的特征值和特征函数是相同的；然而，对于衰减模式，两个坐标系的特征值和特征函数是不同的。这些特征值分别对应于由固定激发源或随水流移动的激发源产生的波浪。利用这些特征函数，可以通过BEM/FEM和特征函数建立波浪-水流与任意物体相互作用问题的匹配方法。此外，通过与波浪色散关系的精确解进行比较，研究了波浪色散关系对无量纲电流参数的一阶近似。同时提出了一阶近似的限制条件。

**2. 流水中的波速势特征函数展开**
考虑一个电流作用下的二维水平海床上的波浪传播问题。假设水深为d，水流沿深度均匀分布，速率为Uc。分析中采用了两个坐标系，如图1所示：一个是空间固定坐标系Oxz，另一个是随水流移动的坐标系O’x’z’。在初始时刻t = 0，两个坐标系重合。x轴与静止水面对齐，向右时为正方向；z轴垂直向上，向上时为正方向。对于某个空间位置，其在两个坐标系中的坐标满足以下关系：
(1) {x = x′ + Uct, z = z′}

**2.1. 含水流的移动坐标系中的特征函数展开**
在随水流移动的坐标系O’x’z’中，波浪运动的速度势满足以下拉普拉斯方程：
(2) ?2Φ(x′, z, t) / ?x′2 + ?2Φ(x′, z, t) / ?z2 = 0
速度势Φ(x′, z, t)的线性自由表面条件为：
(3) Φ≡t + gΦz = 0, atan(z) = 0
海床条件为：
(4) Φz = 0, atan(z) = ?d
对于在移动坐标系O’x’z’中频率为ωr的规则波，时间因子e^(-iωrt)可以从速度势中分离出来：
(5) Φ(x′, z, t) = Re[?(x′, z) · e^(-iωrt)]
其中下标r表示相对于水流的变量。
复数速度势?(x′, z)满足以下拉普拉斯方程：
(6) ?2?(x′, z) / ?x′2 + ?2?(x′, z) / ?z2 = 0
线性自由表面条件为：
(7) ?z(x′, z) = ωr2g?(x′, z), atan(z) = 0
海床条件为：
(8) ?z(x′, z) = 0, atan(z) = ?d
应用变量分离法，可以获得沿x方向或负x方向传播的速度势的特征函数：
(9) φ?(x′, z) ≡ {cosh(k?z + d) · cos(k?x), n = 0, 1, 2, 3, …}
特征函数的第一模式（n = 0）对应于传播波，其他的（n = 1, 2, 3, …）对应于衰减波。这些特征函数对应于由随移动坐标系O’x’z’移动的激发源产生的波浪模式。
将特征函数代入自由表面条件（方程（7）后，可以得到特征值kn与波频率ωr之间的色散方程：
(10) ωr2 = gk?tan(h?k?) / d, ωr2 = ?gkntan(h?n,d), n = 1, 2, 3, …
其中g为重力加速度。上述方程与静止水中的波浪问题相同，只是将波频率替换为了移动坐标系O’x’z’中的相对波频率。第一个方程只有一个实根，而第二个方程有无限多个实根。

入射传播波的势可以表示为：
(11) ?_I(x′, z) = ?iɡAωr · cos(k?z + d) · cos(k?x′)
其中A为入射波的振幅。
入射波相对于水流的相速为：
(12) c?r = ωrk?
在空间固定坐标系Oxz中，波浪传播速度可以通过将相对于水流的波相速c?r与水流速度Uc相加得到：
(13) c?a = c?r + Uc
其中下标a表示空间固定坐标系中的绝对值。波长L和波数k?在空间固定坐标系和随水流移动的坐标系中保持不变。将方程（11）除以波数k?，得到：
(14) ωa = ωr + k?Uc
这就是空间固定坐标系中的波频率ωa与波数k?之间的关系。在空间固定坐标系中的本征函数展开

在空间固定坐标系Oxz中，总速度势可以写成振荡势ΦO(x,z,t)和电流势Ucx的和：
(15) Φ(x,z) = ΦO(x,z,t) + Ucx
总势满足流体域中的拉普拉斯方程和非线性自由表面条件：
(16) ?2Φ/?t2 + 2?Φ·?Φ/?t + g?Φ·?(?Φ·?Φ) = 0
在瞬时波形z = ζ(x, t)处。

将方程(15)代入自由表面条件，并且对波陡度ε=k0A进行一阶近似，可以推导出振荡势的线性自由表面条件：
(17) ?2ΦO/?t2 + 2Uc?ΦO/?x + gΦO/z + Uc2?2ΦO/?xx(x,t) = 0, a ≠ 0
对于规则波，振荡势的时间因子e^(-iωat)可以分离出来：
(18) ΦO(x,z,t) = Re[?O(x,z)e^(-iωat)
因此，复势?O的线性自由表面条件可以写为：
(19) ?O/z = ωa2g?O + 2iωaUc?O/x + Uc2g?O/xx, a ≠ 0

通过变量分离法，振荡势的本征函数可以写为：
(20) ?O,n(x,z) → {cos(λ?(z + d)cos(λ?x/n), n=0; cos(λn(z + d)sin(λnx/n), n=1,2,3,...}
这些本征函数对应于在空间固定坐标系中由固定激发源产生的波模式。将本征函数代入线性自由表面条件(方程(19))，可以得到沿x方向传播的振荡势的色散方程：
(21) (ωa - Ucλ?)2 = gλ?tanh(λ?d); (ωa - iUcλn)2 = -gλntan(λnxd)

对于传播波模式的方程，色散方程可以写为：
(22) ωr2 = gλ?tanh(λ?d)

这与在运动坐标系中推导出的色散方程完全相同。这意味着在两种坐标系中得到的波数是相同的，即λ?=k0。然而，在空间固定坐标系中推导出的衰减模式的色散方程与在运动坐标系中推导出的不同。通过取负电流，可以得到沿负方向传播的波的色散方程。

2.3. 衰减模式的复特征值的计算

为了计算色散方程的特征值，我们定义以下无量纲因子：χa = d/gωa, μ = 1/gdUc 和 κn = λnd。因此，方程(21)的色散方程可以写为：
(23) {(χa - μκ?)2 = κ?tanh(κ?); (χa - iμκn)2 = -κntan(κn), n=1,2,3,...}

对于方程(23)中的第二个方程，我们定义一个函数G：
(24) G(κ) = (χa - iμκ)2 + κtan(κn)
G = 0的根是衰减波模式本征函数的特征值。G = 0方程有无限多个复根，可以写为κn = αn + iβn（n = 1, 2, 3,...）。图2显示了在某些β值下G函数的实部和虚部的变化。当G函数的实部和虚部同时为零时，对应的值κ=α+iβ将是衰减模式特征方程的根。从图2可以看出，变量β（κ的虚部）对G函数的实部影响较小，而G函数的虚部随β单调变化。当μ < 0时，Im[G] = 0在β < 0的条件下成立；然而，当μ > 0时，Im[G] = 0在β > 0的条件下成立。因此，我们可以首先取β = 0来计算G函数实根αn的近似值，然后用这个实近似值作为迭代法的初始值来找收敛的复根κn=αn+iβn。

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图2. 在某些波和电流参数下G(κ)函数的实部和虚部。

方程(24)的实部可以近似写为：
(25) χa2 - (μα)2 + αtanα = 0，
并可以改写为：
(26) - χa2α = -μ2α + tanα = 0。
我们将上述方程的左侧定义为F1 = -χa2/α，右侧定义为F2 = -μ2α + tanα。图3显示了在χa=1.0和μ=0.2的情况下，F1和F2函数随变量α的变化。交点对应于G函数实部的近似解，可以用作迭代法搜索G函数复根的初始值。从图3可以看出，在每个区间((n-12)π, (n+12)π)之间只有一个交点，即每个区间内有一个根。由于-μ2α项的存在，F2函数随着电流速度的增加而向上移动，且移动量随着根的阶数增加而增加。

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图3. 函数F1和F2的交点示意图。

在应用牛顿-拉夫森迭代方法寻找衰减波模式的色散方程的复根时，我们首先将G函数展开成一阶泰勒级数，得到一个线性方程：
(27) G(κ) = G(κ(0)) + ((κ - κ(0))?G/?κ | κ=κ(0)) = 0
其中?G/?κ = -2iμ(χa - iμκ) + tanκ + κ/cos2k。从给定的初始值κ(0)开始，可以得到一个新的值κ：
(28) κ = κ(0) - G(κ(0))/?G/?κ | κ=κ(0)
重复上述过程直到得到一个准确的根。通过取方程(25)的每个实根作为初始值，可以得到方程(23)的所有复根。

图4显示了在波动频率参数χa=d/gωa下，G函数的实根和虚根的前三个根的变化。从图中可以看出，特征值的实部关于μ=0的曲线是对称的，并且随着电流参数μ的绝对值的增加而增加；而特征值的虚部关于μ=0的曲线是不对称的，并且随着电流参数μ的增加而增加。

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图4. 不同电流下前三个衰减模式特征值的实部和虚部。

3. 衰减波模式的性质

为了研究衰减波模式的性质，在以下讨论中，我们以x > 0的右侧流体域中的衰减波模式为例。左侧x < 0的流体域中的模式具有相同的性质，这里不再赘述。

将复特征值代入本征函数后，电流中的衰减波模式可以写为：
(29) ?n(x,z) = cos[(αn + iβn)(z/d + 1)]cos(αn + iβn)e^(-αnx/d), n=1,2,3,...
相应的波形函数可以写为：
(30) ζn(x,t) = -sin(ωat + βnx/d)e^(-αnx/d), n=1,2,3,...
衰减波在位置x处的振幅是e^(-αnx/d)，随着x的增加而减小，并且在x趋近于无穷大时趋于零。衰减波在位置x处的相位是βnx/d，这意味着随着x的增加，模式的相位在变化。从图4可以看出，当μ > 0（即在顺流中），βn > 0；当μ < 0（即在逆流中），βn < 0。

图5显示了在电流参数μ = 0.15和波参数χa = 0.2, 0.3, 0.4, 0.5时，第一个衰减模式ζ1的波形。相应的特征值分别为(αn + iβn)/π = 1.0190 + i0.0196, 1.0139 + i0.0296, 1.0067 + i0.0399和0.9970 + i0.0506。可以看出，对于衰减波，波形的振幅随着无量纲水平坐标x/d的增加而迅速减小。当βn较小时，ωt=π/2?θ和π/2+θ处的波形彼此接近；但当βn较大时，由于βnx/d的相位移动，ωt=π/2?θ和π/2+θ处的波形有明显差异。

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图5. 在某些时间相位下，一阶衰减波对无量纲水平坐标x/d的分布。

4. 电流参数的一阶近似

在研究波与结构的相互作用时，经常应用电流参数的一阶近似来降低分析的复杂性，例如Zhao和Faltinsen（1988年）、Nossen等人（1991年）以及Teng等人（1996年）。因此，复振荡势?O的线性自由表面条件可以写为：
(31) ?O/z = ωa2g?O + 2iωaUcg?O/x, a ≠ 0
在空间固定坐标系中，本征函数也可以写为方程(20)。将本征函数代入线性自由表面条件(方程(31))后，传播模式和衰减模式的色散方程分别写为：
(32) {(χa2 - 2μκn)2 = κ?tanh(κ?); (χa2 - 2iμκn)2 = -κntan(κn), n=1,2,3,...}
为了研究一阶近似(方程(32))得到的色散方程的根与精确色散方程(方程(23))得到的根之间的差异，进行了数值检验。图6显示了在不同电流参数μ和不同波频率参数χa下，一阶近似色散方程和精确色散方程得到的传播波数κ0的比较。可以看出，当μ的绝对值较小时，如|μ| < 0.1时，一阶近似解非常接近精确解。当μ较大时，随着电流参数的增加，一阶近似解与精确解之间的差异变大，且在负流中的差异比在正流中的差异更显著。这意味着在强负流中应用电流参数的一阶近似时必须非常小心。

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图6. 一阶近似方程（点）和精确方程（线）得到的传播波数比较。

图7显示了一阶近似电流参数μ和精确解得到的衰减模式特征值的比较。由于特征值的实部关于电流参数μ是对称的，而虚部关于电流参数μ是反对称的，因此只绘制了正电流情况下的曲线。可以看出，对于特征值的实部，电流参数μ对精确解有显著影响，但对一阶近似解的影响较小；对于特征值的虚部，电流参数μ对一阶近似解和精确解都有显著影响。当μ较小时，如0.1时，一阶近似解与精确解几乎相同；但当μ较大时，近似解与精确解有明显差异。因此，在应用一阶近似时需要谨慎考虑。

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图7. 一阶近似方程（点）和精确方程（线）得到的衰减模式特征值的比较。

5. 结论

在这项研究中，研究了电流中的波的色散关系，并提出了其一阶近似的限制条件。从研究中可以得出以下结论：
(1) 在运动坐标系和空间固定坐标系中得到的传播波的色散关系是相同的。相对于电流的波数和波频率满足静止水中的色散关系。在运动坐标系中的衰减模式和空间固定坐标系中的衰减模式的色散关系不同，因为它们分别对应于由随电流移动的源或固定在空间的源产生的衰减波。
(2) 电流中衰减模式色散关系的根是复数。有无限多个复根，它们的实部分布在每个区间((n-12)π, (n+12)π)之间，其中n是整数。
(3) 在给定波频下，衰减模式根的实部关于电流参数对称，并随着电流速度的绝对值增加而增加。然而，衰减模式根的虚部关于电流参数不对称，并且随着电流速度的增加而增加。
(4) 当电流参数μ的绝对值小于0.1时，色散方程对电流参数的一阶近似可以非常接近精确解。随着电流参数和波频率的绝对值的增加，两种解之间的差异会增加。在负流中，一阶近似与精确解之间的差异更为显著。

这项工作使得能够对电流中的波与水平板的相互作用进行解析研究。然而，也应认识到以下局限性。首先，该分析仅适用于线性波；没有考虑非线性波效应。其次，假设电流在空间上是均匀的，类似于水流经过水平板的情况。对于非均匀电流（例如剪切流或垂直变化的水流）或非线性波，色散关系以及衰减模式的行为可能与此处呈现的结果有很大不同。将现有分析扩展到这些情景仍然是未来研究的一个方向。

**作者贡献声明：**
滕斌：写作——审稿与编辑，撰写——初稿，方法论，研究，概念化。
李彦妮：写作——审稿与编辑，撰写——初稿，研究。
梁佳明：写作——审稿与编辑，指导。