基于有限积分变换的各向异性矩形板自由振动广义特征值解法（边缘受旋转约束） 蔡永明， 赵长树， 谭天财， 陈亮， 王岩， 李一凡， 唐晨， 安东琪

《Mathematics》：A Finite Integral Transform-Based Generalized Eigenvalue Solution for Free Vibration of Anisotropic Rectangular Plates with Rotationally Restrained Edges Yongming Cai, Changshu Zhao, Tiancai Tan, Liang Chen, Yan Wang, Yifan Li, Chen Tang and Dongqi An

　　摘要：本文提出了一种广义特征值公式，用于利用有限积分变换方法分析具有旋转约束边缘的各向异性矩形板的自由振动问题。对于自由振动问题，将控制方程转化为广义特征值问题具有特别的优势，因为它能够在统一的框架内直接且系统地提取多个自然频率及其对应的模态形状，同时避免了需要假设试验函数或在初始猜测附近进行解搜索。在本研究中，将二维正弦积分变换引入含有弯曲-扭转耦合的各向异性板的控制方程中，并同时考虑了旋转约束边界条件的力学描述，从而将原始的偏微分边界值问题转化为广义特征值问题。然后通过有限积分变换框架建立了相应的解析解。通过与有限元结果和已发表数据的比较，验证了所提方法的准确性和可靠性。基于得到的解析解，进一步研究了边界条件、旋转刚度系数、长宽比以及关键刚度组分对各向异性矩形板振动特性的影响。本研究为具有非经典旋转约束的各向异性板的自由振动分析提供了一个有效的解析框架，并为先进复合板结构的动态设计和优化提供了理论支持。

1. 引言
各向异性矩形板是先进复合结构中的典型结构元件。由于其重量轻、机械强度高，它们被广泛用于高端工程设备中，如航空航天结构、高速铁路系统和精密仪器。研究它们的振动行为对于揭示动态条件下的能量传递机制、模态耦合和波传播至关重要。它们的振动性能直接关系到这些设备的运行精度、可靠性和安全性。从数学角度来看，自由振动问题可以转化为与高阶控制偏微分方程相关的特征值问题。然而，由于各向异性材料的本构关系复杂，控制方程中的耦合项比各向同性或正交各向异性板的更多。因此，开发出分析此类板的准确方法具有重要意义。
近年来，已经开发了许多数值方法来求解高阶偏微分方程。典型的例子包括有限条方法[1,2]和有限差分方法[3]。通过适当的离散化，这些方法可以提供具有满意精度和良好计算效率的稳定数值解，尽管通常需要平衡计算成本和数值精度以进一步提高其整体性能。有限元方法（FEM）由于其适应复杂几何形状和材料属性的能力，已成为各向异性层压板振动分析的标准数值方法，并已被用于研究大振幅自由振动和稳态强迫振动响应[4,5,6]。Ritz方法以其高计算效率和易于实现的特点，在层压板的自由振动分析[7]、模态分析[8]和大挠度弯曲分析[9]中得到广泛应用。此外，离散奇异卷积算法也被证明在处理各种边界条件下各向异性矩形板的自由振动[10]和几何非线性行为[11]方面有效。微分求积法也已应用于确定各向异性矩形薄板的屈曲载荷和自然频率[12,13,14]。基于边界积分方程的边界元方法也逐渐显示出其在各向异性板的静态和动态分析中的独特优势，特别是在无限或半无限域中[15,16]。
尽管许多数值方法为解决板和壳的复杂力学问题提供了多功能且高效的工具，但它们依赖于网格离散化并需要对离散化系统进行数值求解。相比之下，解析方法不需要网格生成，在揭示物理机制和指导工程设计方面是不可替代的。同时，与数值解相比，解析解可以以连续和明确的功能形式提供结构的基本特性，如模态形状和自然频率。这使得可以阐明动态响应与材料参数、几何配置和边界条件之间的内在关系。目前，已在板和壳力学中应用了多种解析方法，包括半逆方法[17,18]、变量分离方法[19,20,21]、简化叠加方法[22,23,24,25,26,27,28,29,30]和傅里叶级数方法[31,32]。
对于各向同性和正交各向异性板，解析方法已经相对成熟，而对于各向异性矩形板的研究仍然非常有限。一方面，这是由于材料各向异性引入的复杂耦合项使得控制方程难以求解；另一方面，在实际工程应用中，这类板的边界条件通常介于理想化的简支和完全固定情况之间。因此，旋转约束边界条件更能代表现实中的连接状态[33,34,35]。例如，在螺栓连接、焊接或销连接的板结构中，边界位移可能被完全约束，但仍允许一定程度的旋转自由度。在加劲板中，加劲件提供旋转约束而不是完全固定。同样，固定装置或支撑与板之间的接触通常表现出不同的旋转刚度。这些非经典边界条件进一步增加了满足边界方程和解析求解特征值问题的复杂性。有限积分变换（FIT）方法作为一种新的解析方法，近年来已被一些研究者用于解决板问题。一些学者使用有限积分变换方法解决了矩形板的振动[36,37,38]、屈曲[39]和弯曲问题[40,41]。与其他使用有限积分变换方法的研究不同，本研究利用该方法构建了一个不需要初始特征值猜测的广义特征值问题，并且也能够解决各向异性板的自由振动问题。然而，对于具有通用各向异性和弹性旋转约束边缘的矩形板自由振动问题，现有文献中尚未报道基于有限积分变换方法的解决方法。本研究提出了一种基于有限积分变换的广义特征值解法，可以有效求解具有旋转约束边界的各向异性矩形板的自由振动问题。
尽管某些数值方法可以构建广义特征值问题，但它们不能提供解析解。相比之下，现有的解析方法（如半逆方法）通常依赖于假设的试验函数，并需要在初始猜测附近进行迭代搜索。因此，它们无法直接且系统地确定多个特征值及其对应的模态形状。为了解决这一限制，本研究开发了一种基于有限积分变换方法的广义特征值解法，用于具有旋转约束边界的各向异性矩形板的自由振动分析。所提出的方法不仅能够得到明确的解析解，还建立了一个适定的广义特征值问题，从而可以直接获得多个自然频率和模态形状，而无需进行试验函数猜测。
本文的其余部分安排如下。第2节介绍了控制方程和旋转约束边界条件的数学描述。第3节通过结合二维正弦积分变换、一维积分变换技术和三角正交性，将具有奇数阶导数和旋转边界约束的控制方程转化为广义特征值问题。第4节首先讨论了所提方法的收敛性，然后通过与有限元结果和已发表数据的比较来验证其准确性和可靠性。随后研究了旋转刚度系数、长宽比以及不同刚度组分对各向异性矩形板自然频率的影响。最后，在第5节给出了结论和未来的研究方向。

2. 具有旋转约束边缘的各向异性矩形板自由振动问题的建立
考虑一个具有旋转约束边缘的各向异性矩形板，如图1所示，其长度为a，宽度为b，厚度为h。根据Kirchhoff板理论[42]，该板的自由振动控制方程可以表示为[43]：
(1)
其中表示横向位移函数；D11和D22分别是x方向和y方向的弯曲刚度；D66 = G12h3/12是扭转刚度；H = D12 + 2D66是有效扭转刚度；D16和D26分别是x方向和y方向的弯曲-扭转耦合刚度；ρ是板的质量密度。
图1. (a) 各向异性矩形板；(b) 具有旋转约束边界的平面示意图。
位移函数可以表示为模态挠度与时间函数的乘积，其中时间函数是周期性的。位移函数可以写为：
(2)
其中是自然频率，I是虚数单位。
将方程(2)代入方程(1)得到：
(3)
相应的边界条件由[38]给出：
(4)
其中Mx和My分别表示垂直于x轴和y轴的截面上的弯曲力矩；Rx0、Rxa、Ry0和Ryb是旋转刚度系数，定义如下：
(5)
其中rx0、rxa、ry0和ryb是相应的无量纲旋转刚度系数[38,39]。通过将这些系数从0变化到1，边界条件方程(4)可以从简支边界条件连续过渡到完全固定边界条件。
此外，由于每条边上的挠度被限制为0，得到以下条件：
在x = 0或x = a的边缘上，以及在y = 0或y = b的边缘上。因此，边界条件可以重写为：
(6)

3. 通过有限积分变换方法的求解过程
如前所述，当前问题涉及复杂的边界条件，使用传统的半逆方法难以获得解析解。因此，本研究采用了最近为板和壳力学开发的有限积分变换方法。首先引入以下双正弦有限积分变换：
(7)
根据积分变换理论，相应的逆变换为：
(8)
将方程(7)应用于方程(1)中的每个高阶偏导数项，得到：
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
将方程(9)-(14)代入方程(1)，并结合方程(6)中给出的挠度边界条件，得到：
(15)
方程(15)是应用积分变换后从控制偏微分方程得到的表达式。然而，直接求解这个方程涉及一个包含大量不可约余弦项的高阶非线性行列式，这使得求解在计算上变得困难。在传统方法中，通过寻找相应非线性函数的零点来确定特征值。这个过程高度依赖于初始猜测，难以同时获得多阶特征值及其对应的模态形状。为了解决这个问题，提出了一种基于有限积分变换方法的广义特征值解法，用于具有旋转约束边界的各向异性矩形板的自由振动分析。所提出的方法不仅能够得到明确的解析解，还建立了一个适定的广义特征值问题，可以直接获得多个自然频率和模态形状，而无需进行试验函数猜测。
本文的其余部分安排如下。第2节介绍了控制方程和旋转约束边界条件的数学描述。第3节通过结合二维正弦积分变换、一维积分变换技术和三角正交性，将具有奇数阶导数和旋转边界约束的控制方程转化为广义特征值问题。第4节首先讨论了所提方法的收敛性，然后通过与有限元结果和已发表数据的比较来验证其准确性和可靠性。随后研究了旋转刚度系数、长宽比以及不同刚度组分对各向异性矩形板自然频率的影响。最后，在第5节给出了结论和未来的研究方向。

考虑一个具有旋转约束边缘的各向异性矩形板，如图1所示，其长度为a，宽度为b，厚度为h。根据Kirchhoff板理论[42]，该板的自由振动控制方程可以写为[43]：
(1)
其中表示横向位移函数；D11和D22分别是x方向和y方向的弯曲刚度；D66 = G12h3/12是扭转刚度；H = D12 + 2D66是有效扭转刚度；D16和D26分别是x方向和y方向的弯曲-扭转耦合刚度；ρ是板的质量密度。根据Stokes变换，可以得到以下微分关系：(17) 将方程(17)乘以相应的余弦函数，然后积分得到：(18) 同样地，将正弦积分变换应用于方程(17)并利用三角函数的正交性，可以得到：(19) 此外，将方程(8)乘以相应的函数，然后进行双重积分，可以得到：(20) 第三步：构建广义特征值问题。利用第一步和第二步的结果，方程(15)中的所有边界项都已经用代数形式表示出来。将方程(18)–(20)代回方程(15)，然后收集并重新排列同类项，可以得到附录A中的方程(A1)，该方程可以进一步表示为广义特征值形式：(21) 在数值实现中，无限级数被截断为有限的项数。系数矩阵的具体形式在附录A中给出。通过上述推导，原本难以处理的非线性方程被转换成了一个广义特征值问题。通过取有限的M、N值，可以获得所需精度的固有频率和相应的特征向量。然后通过将特征向量代入方程(8)来确定相关的模态形状。4. 结果与讨论 4.1. 数值结果 为了验证基于FIT的广义特征值公式及其解析解的有效性，本节提出了各向异性矩形板自由振动的代表性数值和图形结果。所有解析结果都是使用自制的MATLAB R2022b（用于解析计算）代码获得的，可以作为基准解。采用逆时针方向标记板的边界，从边缘x = 0开始。为了方便起见，矩形板的边界条件分别用“R”、“S”和“C”表示，分别代表旋转约束、简支和固定边界。简支和固定边界通过将相应的参数设置为r = 0.0001和r = 0.9999来建模。这里，r表示旋转刚度系数的数值。对于具有“R”边界的矩形板，所有旋转刚度系数都是相等的，即r值相同。例如，对于具有RRRRR边界条件的板，所有四个边缘都具有相同的旋转约束刚度，因此rx0 = rxa = ry0 = ryb = r。材料属性D11 = D22、D66 = 0.9311D11、D12 = 0.9082D11、D16 = D26 = 0.6724D11、v21 = 0.3和v12 = 0.075在整个研究中统一用于所有各向异性矩形板。计算得到的特征值的收敛性仅取决于保留的级数项数。因此，在0 ≤ r ≤ 1的范围内，选择了三个代表性的旋转刚度值，从弱约束到强约束不等。图2展示了在三种代表性边界配置（a）RRRRR、（b）RRRS、（c）RRSS下，各向异性正方形板无量纲自然频率的收敛性研究，其中r = 0.1、0.5、0.9。图2中显示的所有结果都用精确到三位有效数字的收敛值进行了归一化，这些收敛值是使用200项级数得到的。可以观察到，N = 100就足以提供后续分析所需的准确参考结果。随着r的增加，收敛率降低，这是因为在强旋转约束下正弦核的近似能力减弱。在当前的公式中，位移被展开为双正弦级数，这本质上要求位移的一阶和二阶导数在边界处为零。这使得积分核特别适用于简支边界条件。然而，对于固定边界，位移的一阶导数必须在边缘处为零，而这并非正弦核所能自然满足的。因此，随着r的增加和边界条件接近固定极限，正弦核的近似能力恶化，导致整体收敛率变慢。如图2清楚地显示，当r = 0.9时，所有三种边界配置的收敛性明显变慢。图2. 在不同旋转刚度系数下，各向异性正方形板的无量纲自然频率的收敛性，边界条件分别为：(a) RRRR、(b) RRRS和(c) RRSS。首先，需要验证当前方法对旋转约束边缘的建模准确性。提出的方法被应用于具有四个旋转约束边缘的各向同性板。在不同旋转刚度系数下的无量纲频率参数[36]列在表1中，并与Mukhopadhyay [44]、Li [45]和Zhang [38]报告的结果进行了比较。观察到非常一致的结果，这证实了该方法对各向同性板的准确性。表1. 具有四个旋转约束边缘的各向同性正方形板的无量纲频率参数比较。然后检验了该方法对各向异性矩形板的准确性。表2比较了具有CCCC边界条件的各向异性正方形板的前十个振动模式与相应的有限元结果。无量纲频率参数也与An [36]报告的结果和FEM得到的结果进行了比较。对于有限元分析，使用了ABAQUS 2021（用于有限元模拟）[40]和S4R壳单元，采用a/250的均匀网格尺寸，提供了足够准确的参考解。材料行为使用ABAQUS中的全各向异性材料模型定义。板的刚度参数与当前解析模型中采用的参数相同，旋转约束是通过“Springs-connect Points to Ground”选项引入的，旋转刚度分别指定为Rx0、Rxa、Ry0和Ryb。如表2中的模态比较所示，解析和有限元模态形状非常接近。这些结果为各向异性矩形板的振动特性提供了有用的物理洞察，并进一步证明了所提出方法的准确性。表2. 通过当前方法、FEM和参考文献[36]获得的具有CCCC边界条件的各向异性正方形板的前十个振动模式及其对应的无量纲频率参数的比较。关于aspect ratio和旋转刚度系数对具有旋转约束边界的各向异性矩形板自由振动的影响的研究仍然有限。为了研究这些影响，计算了在RRRRR、RRRS和RRSS边界条件下的无量纲自然频率和振动模式，并与FEM结果进行了比较，如表3、表4和表5所示，并在图3、图4和图5中展示。每个表包括三个aspect ratio，即b/a = 1、1.5和2，以及三个旋转刚度系数，即r = 0.1、0.5和0.9。在所有考虑的情况下，当前结果与FEM预测非常吻合，这进一步证实了所提出方法的准确性和可靠性。表3. 具有RRRRR边界条件的各向异性矩形板的无量纲振动频率参数。表4. 具有RRRS边界条件的各向异性矩形板的无量纲振动频率参数。表5. 具有RRSS边界条件的各向异性矩形板的无量纲振动频率参数。图3. 在旋转刚度系数r = 0.9条件下，具有RRRRR边界条件的各向异性矩形板的前三个振动模式。颜色刻度表示归一化的横向位移幅度，其中蓝色表示最小位移（接近零），红色表示波腹处的最大位移。Present表示所提出方法得到的结果，FEM表示有限元方法得到的结果。图4. 在旋转刚度系数r = 0.9条件下，具有RRRS边界条件的各向异性矩形板的前三个振动模式。颜色刻度表示归一化的横向位移幅度，其中蓝色表示最小位移（接近零），红色表示波腹处的最大位移。Present表示所提出方法得到的结果，FEM表示有限元方法得到的结果。图5. 在旋转刚度系数r = 0.9条件下，具有RRSS边界条件的各向异性矩形板的前三个振动模式。颜色刻度表示归一化的横向位移幅度，其中蓝色表示最小位移（接近零），红色表示波腹处的最大位移。Present表示所提出方法得到的结果，FEM表示有限元方法得到的结果。图3展示了在阶比b/a = 1、1.5和2的情况下，具有RRRRR边界条件（r = 0.9）的各向异性矩形板的前三个振动模式，结果由所提出方法和FEM获得。两种方法得到的模态形状非常吻合。对于b/a = 1，第一模式呈现单波峰，而第二和第三模式呈现双波峰。对于b/a = 1.5和2，第一模式呈现单波峰，第二模式呈现双波峰，第三模式呈现三波峰。这表明随着aspect ratio的增加，系统需要更低的应变能量来在伸长方向上形成多个半波以平衡能量，从而导致波峰数量增加。这表明aspect ratio在板结构的动态响应中起着关键作用。图4展示了在RRRS边界条件（r = 0.9）下，具有b/a = 1、1.5和2的各向异性矩形板的前三个振动模式，结果由所提出方法和FEM获得。这两种方法得到的模态形状非常吻合。这些模态形状通常与RRRRR边界条件下的模态形状相似，波峰数量相同。然而，模态形状向约束较弱的方向偏移，表明边界条件影响了板的振动能量分布。图5展示了在RRSS边界条件（r = 0.9）下，具有b/a = 1、1.5和2的各向异性矩形板的前三个振动模式，结果由所提出方法和FEM获得。模态形状也向约束较弱的方向偏移，进一步表明边界条件影响了板的振动能量分布。从表格结果可以看出，当r较小时，当前解与FEM结果非常吻合，大多数差异在1%以内。这表明所提出方法在弱旋转约束下具有高准确性和良好的收敛性。然而，当r接近1时，某些高阶模式中出现较大的差异，特别是在较大的b/a值时。这些高阶模式的误差增加表明，在极端的几何和边界刚度组合下，需要更多的级数项来保持相同的准确度水平。这一观察结果与图2中显示的收敛特性完全一致，再次表明在强旋转约束和较大aspect ratio下，正弦核的近似能力会降低。为了进一步研究边界条件、旋转刚度系数和aspect ratio对各向异性矩形板自由振动的影响，图6展示了在三种边界条件（即RRRRR、RRRS和RRSS）下，旋转刚度系数变化对无量纲自然频率的影响，分别为(a) b/a = 1、(b) b/a = 1.5、(c) b/a = 2。图6. 旋转刚度系数对具有RRRRR、RRRS和RRSS边界条件的各向异性矩形板的无量纲自然频率的影响，边界条件分别为(a) b/a = 1、(b) b/a = 1.5和(c) b/a = 2。如图6所示，对于所有三种边界条件，各向异性矩形板的第一无量纲频率参数随旋转刚度系数的增加而单调增加。这一趋势与物理预期一致，表明增加边界旋转刚度显著提高了板的整体刚度，从而增加了其自然频率。值得注意的是，当r接近0.7时，频率的增加变得更为显著，这表明随着边界条件接近固定限制，结构的刚度对边界约束的敏感性逐渐增强。对于相同的r值，频率曲线始终满足RRRR > RRRS > RRSS的排序。这种排序反映了边界条件引起的刚度差异。在三种情况中，RRRR板在四个边缘都受到旋转约束，因此表现出最强的整体约束。RRRS和RRSS情况涉及的边界约束较弱，因此结构刚度较低。这些结果表明，更强的边界约束会导致更高的自然频率。在r < 0.3的范围内，频率随着r的增加而相对缓慢增加，这表明在弱约束下，进一步增强边界旋转刚度对自然频率的影响有限。超过这个范围后，曲线的斜率显著增加，表明在强约束下，即使边界刚度的增加很小也能显著提高频率。这一特点对于板结构的振动控制和频率优化非常重要。在实际应用中，当需要显著提高基频或避免与外部激励发生共振时，加强边界的旋转约束可以是一个有效的策略，尤其是在支撑条件已经接近固定的情况下。图7显示了在不同边界条件下（即(a) RRRR、(b) RRRS和(c) RRSS），无量纲频率参数随纵横比的变化情况。图7表明，纵横比对板的自然频率有显著影响。对于所有三种边界条件，随着b/a的增加，频率明显降低，这意味着较大的纵横比会降低整体结构刚度，从而降低自然频率。换句话说，细长的板更容易发生低频振动。还观察到，当b/a > 4时，频率曲线逐渐变平，变化变得非常小。这表明，对于足够大的纵横比，板的机械行为逐渐接近梁状响应，其振动特性对宽度的进一步增加不那么敏感，导致频率趋于一个几乎恒定的值。在RRRRR边界条件下，频率最高，且随纵横比的衰减最慢，表明更强的边界约束可以有效抑制几何变化引起的刚度降低。RRRS情况产生中等频率，而RRSS情况则产生的频率最低，衰减最快，表明边界约束较弱的板对纵横比的变化更敏感。对于任何给定的b/a值，增加r可以提高自然频率，表明加强边界的旋转约束是补偿几何刚度损失的有效方法。然而，当纵横比变得足够大时，即使进一步增加r，频率变化也很小。然后曲线趋于一个稳定的平台，这进一步表明在这种情况下几何效应减弱，边界约束成为控制自然频率的主要因素。为了更深入地了解不同刚度项对振动行为的影响机制，本节单独改变三个刚度分量D16、D22和H，同时保持所有其他刚度参数不变。此外，由于第一振模式在结构动力学和工程实践中通常是最重要的，因此选择了r = 0.1、0.5和0.9时的模态形状进行比较。本文中选定的D22、D16和H的值位于工程中各向异性矩形板典型刚度变化范围内，与大多数关于各向异性矩形板的研究采用的参数范围一致[33,36]。为每个刚度系数选择了三个典型值（低、中和高）。具体来说，D22的值涵盖了从双向刚度相等到y方向主导刚度的设计；D16的值对应于从正交各向异性到明显的弯曲-扭转耦合的过渡；H的值反映了从低扭转刚度到高扭转抗力的实际情景。这些选择具有明确的物理和工程意义。图8展示了在不同刚度值下，具有RRRRR边界条件的板的无量纲频率参数和模态形状随r的变化。图8显示，对于相同的r值，增加D22可以提高板的自然频率。这是因为D22代表y方向的弯曲刚度；较大的值意味着y方向的刚度更强，因此结构的整体等效刚度更高。尽管D22的变化并没有显著改变整体模态模式，但高振幅区域逐渐向x方向移动，导致明显的不对称性。这表明，y方向刚度的增强调节了振动能量的空间分布，使能量优先集中在刚度较大的方向上。耦合刚度项D16的影响具有非线性和非单调特性。如图8b所示，随着D16的增加，自然频率降低。这是因为D16引入的耦合效应重新分配了振动能量，降低了结构的有效弯曲刚度，从而降低了板的自然频率。值得注意的是，在弱边界约束下，D16对频率的影响相对有限，而在强约束下，其影响变得更加显著。这表明边界约束和材料耦合之间存在明显的相互作用。当D16 = D26 = 0时，板退化为正交各向异性板，其模态形状是对称且未移动的。随着D16的增加，模态形状逐渐向一侧拉伸。这是因为D16的存在打破了结构对称性，导致不同方向的波传播和变形特性不同。这种不均匀性直接反映在模态模式中，使高振幅区域向刚度较低或可变形性较大的方向移动，产生明显的方向依赖性和不对称性。图8c显示，增加有效扭转刚度H也会提高自然频率。这表明系统抵抗扭转变形的能力得到了增强，从而提高了板的整体等效刚度。随着H的增加，模态形状的高振幅区域逐渐收缩，对称性变得更加明显。这表明，具有更强有效扭转刚度H的结构能更有效地约束振动能量，导致位移场更加局部化，模态模式更加规则。上述结果清楚地揭示了各个刚度分量如何影响各向异性矩形的自然频率和模态形状，并为基于振动的设计、材料选择和结构边界优化提供了直接的定量指导。总体而言，本研究中建立的广义特征值方法可以有效预测具有旋转约束边界的各种各向异性矩形的自由振动特性。计算结果与有限元解吻合良好，证明了良好的工程适用性和数值稳定性。所提出的方法为相关结构的动态设计和优化提供了有用的理论基础。

4.2 参数分析
在本节中，详细讨论了参数研究中的关键观察结果。
(1) 旋转刚度系数r的影响：对于所有考虑的边界条件，自然频率随r的增加而增加，尽管在低r范围内敏感性相对较弱，在更强约束下变得更加明显。这表明加强边界的旋转刚度可以提高板的整体刚度并提高其自然频率，从而降低其易受低频振动的影响。
(2) 纵横比的影响：随着纵横比的增加，自然频率通常会降低，这一趋势在低阶模式中尤为明显。这一结果表明，板几何形状在调节振动行为中起着重要作用，具有较大纵横比的板更容易发生低频模式。
(3) 边界条件组合的影响：对于相同的旋转刚度系数和纵横比，具有RRRRR边界条件的板的频率高于具有RRRS和RRSS边界条件的板。这证实了更强的整体边界约束会导致更高的整体结构刚度，从而提高自然频率。
(4) 刚度系数的影响：自然频率随着D22和H的增加而增加，但随着D16的增加而降低。就模态形状而言，增加耦合刚度项D16会导致更明显的不对称振动模式，而增加有效扭转刚度H则会产生更规则和对称的模态形状。D22对整体模态模式的影响相对较小，尽管仍可以观察到高振幅区域的一些移动。

5. 结论
在本研究中，开发了一种基于有限积分变换的广义特征值解，用于具有旋转约束边界的各向异性矩形的自由振动问题。原始的偏微分边界值问题被转化为矩阵形式的广义特征值问题，避免了对初始猜测的需求。参数分析揭示了边界条件、旋转约束、纵横比和刚度分量对振动特性的影响。所提出的方法适用于各向异性材料和复杂约束，显示出在工程应用中的强大潜力。未来的工作可能会将该公式扩展到层压板和功能梯度板。