通过贝蒂数动力学对三维多相系统中相间拓扑接触的分类 安德烈·O·卡拉什尼科夫（Andrey O. Kalashnikov）与 迪亚娜·V·马努科夫斯卡娅（Diana V. Manukovskaya）

《Mathematics》：Classification of Topological Contacts Between Phases in 3D Multiphase Systems by Betti Number Dynamics Andrey O. Kalashnikov and Diana V. Manukovskaya

　　

摘要

本文提出了一种量化描述多组分系统中相间空间关系的方法学方法，该方法基于联合相的贝蒂数（Betti numbers）进行比较。研究了两相Xⁱ和X^j在三维空间中的分布情况，其中每一相都由有限数量的连通分量组成。引入了参考点R₁（绝对最小值）、R₂ = min(β_k)、R₃ = max(β_k)以及R₄ = ∑β_k，并以此来分析值β_k(Xⁱ ∪ X^j)的情况。对于每个贝蒂数（k = 0, 1, 2），定义了可能的拓扑接触类型（统一型、填充型、生成型），并建立了严格的解释规则，将这些值与参考点的关系联系起来，从而判断接触的存在与否及其数量。所有解释结果均通过表格进行了验证和总结。所得成果为自动化分析三维分布数据提供了理论基础，例如断层扫描图像、材料科学和生物医学图像等场景，这些数据需要在不需要对所有对象进行逐个比较的情况下描述相间的空间排列情况。文章还探讨了如何将该方法应用于实际数据（考虑离散性、边界效应和分割不确定性），以及进一步发展的方向（推广到多于两相的情况、使用持久同调（persistent homology）以及与物理性质的关系）。该方法将拓宽并自动化医学、地质学和材料科学中任何体积图像的三维结构解析过程。