基于物理信息的POD-PINN方法用于快速预测双垂直轴水轮机阵列的尾流特性 艾山（Ai Shan）、 胡超（Hu Chao） 马勇（Ma Yong）

《Mathematics》：Physics-Informed POD-PINN for Fast Wake Prediction of Twin Vertical-Axis Hydroturbine Arrays Ai Shan, Hu Chao and Ma Yong

　　摘要
准确预测双垂直轴水力涡轮机（VAHT）阵列中的尾流相互作用对于密集潮汐能发电场布局评估至关重要，但直接基于计算流体动力学（CFD）参考模拟进行预测在计算上仍然非常昂贵。虽然简化的分析模型能够快速得出结果，但它们无法捕捉VAHT阵列的非轴对称尾流特性，而标准的物理信息神经网络（PINNs）在小样本、高维流动环境中经常难以收敛。为了解决这一挑战，本研究提出了一种基于物理信息的POD-PINN框架，用于预测配置特定的时间平均尾流场。该混合架构结合了适当正交分解（POD）进行维度降低和双分支神经网络：全局POD分支捕捉主导流动结构，而轻量级的空间校正分支则对预测场进行连续性约束。该模型通过在CFD生成的参考数据上训练（这些数据涵盖了多种纵向和横向间距配置），学会了将几何参数映射到规则化的3D网格上表示的三分量尾流场。结果表明，所提出的框架在测试的替代模型中实现了最低的平均顺流向误差，同时保持了毫秒级的推理速度。这项研究为双水力涡轮机配置探索中的尾流场评估提供了一种高效且符合物理规律的替代工具。

1. 引言
海洋电流代表了一种巨大的、未充分开发的清洁能源储备，与其他可再生能源相比具有独特的战略优势。潮汐能的核心吸引力在于其稳定的规律性：受天体力学控制，潮汐运动可以提前几十年准确预测，有效解决了困扰风能和太阳能行业的间歇性问题[1]。这种可靠性使得潮汐能发电场成为向沿海电网供应基荷电力的理想候选者。在这一领域，由于其能够从任意方向的来流中捕获动能而无需主动偏航控制，以及其紧凑的结构（与水平轴系统相比可以更密集地布置在海床上），垂直轴水力涡轮机（VAHTs）越来越受到青睐[2,3]。最近的理论和实验研究表明，与需要较大间距以避免能量损失的风能发电场不同，密集布置的双水力涡轮机阵列可以利用建设性干扰效应。具体来说，一个涡轮机产生的阻塞效应可以加速其相邻涡轮机的来流速度，从而提高整个站点的功率密度并优化尾流场特性[4]。然而，将这种理论潜力转化为实际工程解决方案受到两个水力涡轮机单元在近距离运行时产生的复杂水动力学“竞争”效应的限制。当水力涡轮机从来流中提取动能时，会在下游形成速度降低和流动相互作用复杂的尾流[5,6]。在双涡轮机阵列配置中，这些相互作用机制对空间布局非常敏感，其表现因布局而异[7,8]。在串联布置中，下游单元直接处于上游单元的尾流中，受到显著的来流速度衰减和疲劳载荷增加的影响[9,10]。相反，在并排布置中，虽然避免了直接的尾流冲击，但由于阻塞效应，单元间会经历复杂的侧向相互作用[2]。这些相互作用表现出非轴对称特性，并且随着纵向和横向间距以及旋转方向的不同而显著变化[11]。如果空间布局设计未能考虑这种成对相互作用，发电场的累积能量损失可能是灾难性的，使得项目在经济上不可行[12,13]。因此，准确量化这种竞争效应的强度并预测双阵列的尾流相互作用模式是成功设计发电场的前提条件[14]。

双水力涡轮机阵列的布局评估是一个高维度、非线性和多模态问题，其核心目标是了解尾流相互作用如何在海区限制下影响总发电量和功率密度[15,16]。目前，现有的方法在准确性、效率和物理一致性方面面临着关键的三难困境[12]。CFD参考模拟可以捕捉两个单元之间的复杂尾流相互作用；然而，由于计算成本高，它们不能在广泛的参数范围内重复使用[17,18]。相反，简化的分析尾流模型（例如Jensen模型、高斯模型）提供了计算速度，但依赖于从水平轴风力涡轮机继承的轴对称假设，无法捕捉垂直轴双阵列的独特非轴对称尾流特性，导致预测偏差显著[14,19]。最近，标准的物理信息神经网络（PINNs）作为一种嵌入物理约束的有前景的替代方案出现；然而，它们在小样本、高维流动环境中经常难以收敛，并且在没有维度降低的情况下训练时间过长[20]。因此，迫切需要一个混合替代框架，将数据驱动方法中的维度降低与连续性约束结合起来，以实现高效重复评估和物理上合理的预测。

为了应对这些挑战，本研究提出了一种用于双水力涡轮机阵列尾流场预测的高效机器学习框架。将双涡轮机系统视为基本的水动力相互作用单元，为更大规模阵列的研究提供了有用的见解。核心目标是揭示几何参数（纵向和横向间距）如何调节尾流干扰模式。使用CFD生成的参考场构建了一个小的配置特定数据集，并训练了一个物理信息POD-PINN架构，将阵列参数映射到时间平均尾流表示，从而实现快速且物理上合理的预测。本研究的主要贡献如下：

- 从STAR-CCM+模拟中导出的CFD参考场构建了一个专门用于双水力涡轮机阵列的尾流场数据集，并对其进行后处理，得到配置特定的时间平均样本。
- 开发了一个轻量级的、基于物理信息的数据驱动预测器。该模型利用混合POD-PINN架构实现快速尾流场预测，同时使用连续性约束来提高物理合理性。
- 该替代模型为双阵列配置探索提供了高效的可重复评估，支持了仅通过重复CFD运行难以检查的尾流相互作用趋势的快速评估。

2. 相关工作
2.1 双水力涡轮机尾流预测
双水力涡轮机尾流预测对于优化潮汐能发电场布局和功率性能至关重要，因为相邻涡轮机之间的水动力学相互作用决定了能量捕获效率和稳定性。早期研究依赖实验测量来探索参数影响，发现逆向旋转可以加速尾流恢复但增加了湍流[21]。然而，实验成本高昂，参数范围有限，并且无法捕捉广泛的配置依赖性，限制了其对不同海洋条件的泛化能力。CFD模拟已成为双水力涡轮机尾流预测的主流方法，能够解决速度缺陷和干扰机制[22]。例如，模拟显示下游涡轮机的功率系数随着纵向间距的增加而增加，而交错排列可以提升功率，但需要更长的尾流恢复时间。浮动双水平轴涡轮机表现出加速的尾流恢复，但由于滚动运动而功率降低[23]。尽管对于非轴对称尾流来说CFD很有用，但其高昂的计算成本阻碍了其在重复配置探索中的使用。从风力涡轮机适应而来的简化分析模型（Jensen模型、高斯模型）虽然速度快，但无法捕捉VAHTs的非轴对称尾流和并排布置时的侧向相互作用，导致预测偏差[24,25]。数据驱动模型（神经网络[26,27,28,29,30,31,32,33]、SVMs）提高了效率，但缺乏物理约束，限制了对未见配置的泛化能力。大多数研究关注单一配置或狭窄的参数范围，未能系统地量化布局参数对尾流模式和性能的综合影响。当前双水力涡轮机尾流预测研究的核心问题是缺乏同时实现高预测准确性、高效计算和强物理一致性的方法，这使得为双水力涡轮机阵列评估提供可靠的技术支持变得困难。

2.2 基于PINN的尾流预测
物理信息神经网络（PINNs）在涡轮机尾流预测方面很有前景，因为它们通过将流体流动偏微分方程（PDEs）嵌入损失函数中，将数据驱动学习和物理定律结合起来，确保预测的尾流符合物理原理，这对于复杂的湍流涡轮机尾流至关重要[26,28]。PINNs已被广泛用于单涡轮机尾流重建和预测，在处理稀疏数据时优于传统神经网络，并且能够在最少训练量的情况下解决未封闭的RANS方程[34,35]。然而，标准PINNs在高频率涡轮机湍流尾流的收敛性方面存在挑战，并且很少考虑双涡轮机相互作用[33]。主要问题包括：由于Navier–Stokes刚度和非轴对称尾流的影响，PINNs面临收敛性和训练时间问题，而且大多数研究关注单个涡轮机，无法在不进行维度降低的情况下捕捉复杂的双涡轮机相互作用。PINN的性能取决于高质量的训练数据，而这对于双水力涡轮机阵列来说成本较高。适应性重采样和POD维度降低的整合——对于平衡效率和一致性至关重要——在双水力涡轮机尾流预测中尚未得到充分发展。当前基于PINN的涡轮机尾流预测的关键问题是，现有的PINN架构无法在模拟复杂双涡轮机尾流时有效平衡收敛速度、预测准确性和物理一致性，并且缺乏与维度降低技术的有效整合，以满足快速布局优化的需求。

3. 问题表述
我们的目标是学习从双水力涡轮机阵列布局参数和空间坐标到三分量时间平均尾流场的映射关系，定义如下：
（1）
其中表示两个涡轮机之间的无量纲纵向和横向间距比，表示尾流表示的空间坐标，是相应位置上时间平均尾流速度向量的三个分量。在本研究中，学习目标是在从CFD输出中得到的规则化尾流网格上表示的。

几何配置直接决定了单元之间的水动力学相互作用机制，与尾流拓扑结构表现出复杂的耦合关系。具体来说，纵向间距控制尾流冲击的程度，小值会使得下游涡轮机直接位于上游单元的低动量尾流核心中，导致严重的功率亏损。相反，横向间距控制阻塞和间隙流加速效应；特定配置可以诱导建设性干扰，其中一个涡轮机的阻塞会加速其邻居的来流，而不适当的间距会导致不利的平均场尾流相互作用。在速度分量中，顺流向速度对布局变化最敏感，这是由于直接动量提取；而横向分量（）则捕捉到垂直轴系统特有的尾流偏转和三维平均流动模式。

至关重要的是，潮汐能发电场的设计空间要求模型不仅在观察到的布局范围内可靠运行，还要在最大化功率密度的未见配置中也能可靠运行。标准的数据驱动模型在遇到与训练分布中不同的尾流相互作用机制组合时通常无法泛化。因此，问题被表述为一个严格的外推挑战：替代模型必须准确重建规则化的时间平均尾流场，并减少任意对参数空间的连续性违规，即使在具有强烈非线性尾流竞争效应的稀疏采样区域也是如此。

4. 方法论
4.1 框架
为了解决双水力涡轮机尾流预测中的准确性、效率和物理一致性三难困境，我们提出了一种名为POD-PINN的混合深度学习框架。如图1所示，该框架将尾流场预测任务分解为两个协同分支：
（1）数据驱动的POD分支：使用适当正交分解（POD）和集成神经网络捕获尾流场的整体低秩结构。这通过将输出维度从规则化的尾流表示降低到一组紧凑的模态系数来确保高计算效率。
（2）物理信息校正分支：一个轻量级的空间神经网络，学习局部残差调整，并使用基于连续性的正则化项来提高预测平均场的物理合理性。

图1. 所提出的POD-PINN混合框架用于双水力涡轮机尾流预测的架构。该框架结合了离线的适当正交分解（POD）步骤，用于高效低秩尾流场重建，以及在线的双分支神经网络：数据驱动的POD分支将布局参数映射到模态系数，连续性信息校正分支通过轻量级的空间调整减少残差连续性误差。最终的预测速度场是POD重建和基于PINN的校正的叠加：
（2）

4.2 第一阶段：离线适当正交分解
在训练神经网络之前，我们对配置特定的时间平均CFD参考数据集进行POD处理，以提取主导的空间特征。这是一个离线的、一次性的预处理步骤，遵循在低秩模态基础上表示流场的标准降阶建模思想[34]。快照矩阵（其中是规则化尾流网格中的点数）通过减去平均场进行中心化，然后通过奇异值分解（SVD）进行分解：
（3）
前k列形成正交基模态，这些模态捕捉了配置特定尾流数据集的主导方差。

为了在随后的在线训练中提高计算效率，我们在这个离线阶段预先计算每个模态的散度：
（4）
这些预计算的散度场作为固定缓冲存储在模型中。这允许模型在训练期间通过简单的矩阵乘法高效地评估POD分支的物理一致性，避免了重复自动微分计算全局模式的高成本。4.3. 第二阶段：在线物理信息神经网络训练在第二阶段，我们构建并训练混合神经网络，将布局参数映射到POD系数和空间校正。该阶段通过端到端优化过程将数据驱动学习与物理约束相结合。4.3.1. 网络架构该架构包括两个并行组件：1. 数据驱动的POD分支：为了将布局参数映射到POD系数，我们采用了一个集成多层感知器（MLP）[36,37]。输入参数首先使用随机傅里叶特征（RFFs）投影到高维空间：(5) 其中 是从 中采样的随机矩阵。编码后的特征被输入到M个独立的MLP中，最终预测是统计平均值：(6) 2. 物理信息校正分支：为了修正局部连续性错误，一个紧凑的MLP根据空间坐标和参数预测逐点速度校正：(7) 关键设计选择包括逐点映射（实现精确的autograd梯度）、输出层的零初始化（通过从 开始稳定训练）以及用于空间坐标的傅里叶嵌入。4.3.2. 物理信息损失函数模型通过最小化一个综合损失函数进行训练，该函数平衡了数据保真度、物理一致性和正则化。这里， 表示批量大小， 表示正则化尾流网格中的点数：(8) 1. 数据损失（）预测总场与CFD真实值之间的归一化均方误差（MSE）：(9) 2. POD物理损失（）通过高效的矩阵运算使用预计算的模态散度来减少POD组件上的连续性残差：(10) 3. PINN物理损失（）引入这一项是为了减少预测场中的连续性违规。我们通过使用PyTorch的自动微分在线计算 来具体正则化校正场：(11) 偏导数是通过从归一化到物理空间的链式规则计算的：(12) 其中 是方向k上的物理域长度。4.4. 训练和推理工作流程完整的两个阶段过程在算法1中总结。在推理过程中，模型只需要布局参数作为输入。空间坐标是固定的内部缓冲区，允许模型通过单次前向传递在几毫秒内生成正则化尾流场，这使得它适用于重复的快速评估。算法1 物理信息POD-PINN的两阶段训练程序需要：CFD快照，超参数 1. 第一阶段：离线预处理 2. 计算平均场和中心快照。3. 执行SVD：。4. 提取前k个模态并预计算散度。5. 将 注册为固定模型缓冲区。6. 第二阶段：在线网络训练 7. 初始化集成MLP和校正MLP（输出初始化为零）。8. 对于时代 到 E 执行 9. 对于 数据加载器中的批次 do10. 标准化参数：。11. 预测系数：。12. 重建POD场：。13. 采样坐标 并设置 requires_grad=True。14. 预测校正：。15. 使用 计算。16. 通过矩阵乘法与 计算。17. 通过 autograd.grad 在 上计算。18. 在 上计算。19. 。20. 反向传播并更新网络权重。21. 结束 for22: 结束 for 5. 实验 5.1. 数据集本研究专注于双水轮机阵列的时间平均尾流场。在替代模型中使用的尾流表示是在一个规则化的网格上定义的，该网格包含 个点，对应于10个下游流向位置和一个横向-垂直尾流网格。有效空间间隔分别是 m（流向）、 m（横向）和 m（垂直）。来流速度固定为 m/s。阵列的几何配置由两个参数定义：流向间距和横向偏移。这创建了一个包含 独特配置的设计空间。这些配置的原始CFD源来自于STAR-CCM+的瞬态导出，这些导出在规则化网格上被后处理成配置级别的时间平均三分量尾流场。由于CFD的计算成本很高，数据集规模较小，包含12个配置级别的平均场。为了解决数据稀缺性问题并利用问题的物理对称性，我们应用了Z-flip数据增强策略。鉴于流向（）和横向（）速度分量是偶对称的，而垂直分量（）相对于 平面是奇对称的，每个原始训练样本都会生成一个有效的镜像对应项。这将每个Leave-One-Out（LOO）折叠中的有效训练集从11个样本扩展到22个样本。任务被构建为一个严格的外推问题：给定剩余的11个配置，预测未见配置的正则化时间平均尾流场。5.2. 实施细节所有模型都是在PyTorch（2.10.0+cu128与CUDA 12.8）中实现的，并在单个NVIDIA A100 GPU上进行了训练。所提出的POD-PINN框架利用了POD模态，捕获了累积数据集方差的99.96%。该架构包括两个分支：（1）POD分支：一个包含五个成员的集成MLP。每个成员使用随机傅里叶特征（RFFs）进行参数编码，随后是带有GELU激活和Dropout（）的隐藏层。总参数： k。（2）PINN校正分支：一个轻量级的MLP，它以连接的空间坐标和参数作为输入。它使用RFFs进行空间（）和参数（）编码，具有隐藏层。输出层用零偏置和小权重（）初始化，以确保初始化时的 。POD-PINN的总可训练参数数为119,822，大约是FNO+FiLM基线（ k参数）的 。模型使用Adam优化器进行了2000个时代的训练，初始学习率为 。综合损失函数的权重被设置为 （按场方差归一化）， ， ， 和 。PINN分支的散度项（）是通过在校正场上使用精确自动微分（'torch.autograd.grad'）计算的。5.3. 评估指标我们采用留一配置法（LOO）交叉验证协议。12个配置被迭代划分，使得1个配置作为测试集，而剩余的11个（增加到22个）形成训练集。这个过程重复12次，以确保每个配置都得到评估。主要的评估指标是每个速度分量的相对误差：(14) 其中 表示在正则化尾流域上的全局范数。关于指标解释的注释：由于尾流的物理性质，流向速度（）的幅度显著大于横向（）和垂直（）分量。因此，即使绝对偏差很小， 和 的相对误差在数值上也可能显得很大。因此，虽然我们报告相对误差以与文献保持一致，但我们强调流向分量（）作为尾流预测性能的关键指标，因为它直接与发电效率和结构负荷相关。此外还提供了绝对RMSE值（以m/s为单位），以澄清误差的物理幅度。除了数据保真度，我们还通过计算每个预测场的体积平均散度残差来评估物理一致性，以量化预测尾流场的连续性一致性。5.4. 结果和讨论 5.4.1. 定量性能比较表1展示了流向速度分量（）的留一配置法（LOO）交叉验证结果。我们将提出的POD-PINN框架与两个基线进行了比较：缺乏连续性信息校正分支的POD-NN消融模型和FNO+FiLM深度学习基准。评估涵盖了由流向间距和横向偏移定义的12种不同的双阵列配置。结果显示，提出的混合框架实现了最低的平均预测误差，平均相对误差为11.3%（3.7%）。这优于FNO+FiLM基线（18.8% ± 6.3%），也低于POD-NN基线（12.0% ± 3.9%）。POD-PINN方法中固有的降维有助于在这种小样本设置中稳定预测质量，从而为未见布局参数提供了稳健的性能。表1. 留一配置法（LOO）交叉验证结果：三种方法在12种双阵列配置中的流向速度（）的相对误差。每种配置的最低误差以粗体突出显示。具有 的三种配置代表纯串联排列，具有强烈的尾流干扰。5.4.2. 对强尾流干扰情况的影响对于任何尾流替代模型来说，其处理强流体动力学相互作用的能力是最关键的测试，特别是在纯串联排列（）中，其中下游涡轮机直接在上游单元的尾流核心内运行。如表1顶部部分所示，这三种情况在所有方法中显示出最高的误差，证实了它们是最具有挑战性的场景。在这种情况下，POD-PINN在保持较低的平均误差的同时保持了竞争力。连续性信息校正分支有助于减少在强速度变化区域的连续性违规，而在这些区域纯数据驱动模型更容易出现物理不一致的预测。5.4.3. 在交错配置中的性能在交错排列（）中，其中横向阻塞效应和间隙流加速占主导地位，POD-PINN也保持了竞争力。空间校正分支提供了局部残差调整，而不影响POD基础提供的整体尾流拓扑，从而有助于在测试的交错配置中保持稳定的预测。5.5. 消融研究消融实验系统地量化了POD-PINN框架中每个核心组件对尾流场预测性能的贡献，结果在图2中可视化。基线模型（所有组件启用）实现了最低的平均相对误差11.31%（±3.72%标准差），展示了集成框架的协同效应。在低模态（k = 5）变体中观察到了最显著的性能下降，其中平均误差飙升至18.52%（增加了63.7%），标准差达到6.30%，证实了足够的POD模态（在基线中）构成了流场的基础低秩表示——不足的主成分无法捕捉双水轮机尾流中的主导湍流结构，导致基本预测能力的崩溃。图2. POD-PINN框架的消融研究。(a) 多维性能的雷达图。(b) Vi相对L2误差及其标准差，显示了每种消融配置的主流速度预测的平均值和变异性。物理信息约束在保持预测准确性和物理一致性方面起着关键作用：移除所有物理约束（no_physics）使平均误差增加到12.04%，而仅保留预计算的POD散度约束（no_pinn）导致略微上升至11.68%。这一区别突出了自适应PINN校正分支提供的更强局部连续性控制，与静态全局POD约束相比，它通过自动微分动态纠正物理不一致性，而不是依赖于预计算的模态散度。no_spatial变体（移除校正分支）进一步验证了空间校正分支的核心作用，平均误差上升了2.9%至14.25%——比移除物理约束的下降更为明显——表明校正分支的非线性残差拟合是模型准确性的主要来源，而物理损失项则起到正则化作用，以改善一致性。数据增强和集成学习增强了框架在小数据集（仅12个配置）上的鲁棒性和泛化能力。no_augment变体不仅将平均误差增加到13.92%，还导致标准差增加了51.9%（从3.72%增加到5.65%），证明Z轴增强有助于减轻极端布局配置的异常预测。同样，用单个网络（single_mlp）替换5个成员的MLP将平均误差提高到12.85%，验证了集成学习有效地抑制了小样本场景中的随机误差。总体而言，消融梯度揭示了非均匀的性能下降模式：POD模态数量和空间校正的影响最大，其次是数据增强、集成学习和物理约束——这种层次顺序为未来的框架优化提供了明确的指导，优先考虑保留足够的POD模态和空间校正分支以维持核心预测能力。5.6. 物理一致性分析本节通过散度残差分析评估POD-PINN框架的物理一致性，并与纯数据驱动的POD-NN模型和部分约束变体（no_pinn）进行了比较，如图3所示。图3. POD-PINN和基线模型之间的物理一致性和散度残差评估。(a) 全局均方散度（MSD，对数尺度）和最大散度（Max-D）比较；(b) 不同模型的物理一致性比率；(c) 近尾流和远尾流区域的局部MSD；(d) 串联和交错工作条件下的MSD；(e) 相对MSD与物理一致性之间的相关性；(f) 不同流动区域中的局部最大散度。全局域分析（图3a）揭示了模型之间散度残差控制的强烈差异：CFD参考模型显示出非常低的散度残差，而无约束的POD-NN模型显示出较大的残差。相比之下，提出的POD-PINN模型将全局MSD抑制到较低水平，将Max-D抑制到0.07，与POD-NN相比，扩散残差减少了2-3个数量级；物理一致性比率（图3b）进一步量化了这一改进，POD-PINN达到99.5%以上的一致性，而没有pinn变体（仅使用预先计算POD连续性约束）的一致性为88.6%，这表明基于连续性的校正分支比单独的静态全局扩散控制更为有效。空间局部化评估（图3c,f）突显了POD-PINN框架的针对性校正能力：在近尾流核心区域（0-6D，高剪切层），POD-NN的MSD值为较高，而POD-PINN将MSD降低到较低水平（减少了300倍），同时将Max-D保持在0.07。在远尾流混合区域（6-10D，平滑流动），POD-NN的MSD值有所下降（流动趋于线性），POD-PINN进一步将其抑制到更低水平——这种性能差距的缩小表明，校正分支优先考虑物理上的关键区域（强非线性剪切层），而不是在稳定流动区域进行不必要的过度校正。在极端流体动力学相互作用条件下的鲁棒性（图3d）进一步说明了基于连续性约束的价值：对于串联配置（下游涡轮机完全暴露在强烈的尾流相互作用中），POD-NN的MSD值激增，而POD-PINN将其维持在较低水平（减少了296倍）。对于具有间隙流加速的交错配置（），POD-NN的MSD值为较高，而POD-PINN将其降低到较低水平——这表明，连续性约束有助于在这些代表性条件下减少局部连续性残差。残差与物理一致性之间的相关性（图3e）进一步支持了POD-PINN的优势：该模型位于散点图的左下角（相对MSD低，物理一致性高），而POD-NN则聚集在右上角（残差高，一致性为零）。这种模式表明，基于连续性的校正分支提高了预测平均场的物理合理性，而不仅仅是拟合标量速度值。

6. 结论

本研究提出了一个基于物理信息的POD-PINN框架，用于双垂直轴水轮机尾流预测。通过结合适当正交分解（Proper Orthogonal Decomposition）和基于连续性的校正分支，该模型在保持高效推断的同时，改进了纯粹数据驱动的替代方法。通过留一配置交叉验证（Leave-One-Config-Out cross-validation）验证，POD-PINN的平均相对误差为11.3%，优于FNO+FiLM（18.8%），并且平均误差低于POD-NN（12.0%）。该模型仅使用119k个参数即可实现毫秒级的推断速度，适用于重复的快速尾流场评估。未来的工作将把这种方法扩展到更丰富的数据集和更大的多排阵列。