一种特征描述：单位元偶尔平凡的交换群环 ?mer Küsmü?

《Mathematics》：A Characterization of Commutative Group Rings Whose Units Are Feckly Trivial ?mer Küsmü?

　　摘要：在群环理论中，根据雅各布森根（Jacobson radical）来描述特定类型的单位元素是一个经常被研究的问题。在本研究中，由于R是一个具有单位元的交换环，G是一个有限的阿贝尔群，定义了????????(?????)，即群环?????中那些在模???(?????)下与某个??∈??同余的平凡单位元素集合，其中???(?????)表示?????的雅各布森根。其次，在假设????????????(??)∩??????(??)=?的情况下，给出了一些必要和充分条件，用于判断群环?????中的单位元素集合???(?????)是否为平凡单位元素。这里????????????(??)表示所有素整数集合，????????????(??)={??∈??:????≠????}，??????(??)={??∈??:???∈???{0??},?????∈???(??)}，且????是G中的p-主成分。最后，提出了两个与这个概念相关的研究问题。

1. 引言
群环中单位群的研究位于环论和群论的交叉点，它提供了一个统一的框架，在这个框架下，环的代数属性和群的性质以微妙且非平凡的方式相互作用。在整篇文章中，设R是一个带有单位元的交换环，G是一个有限阿贝尔群。G中的p-主元素集合用表示，其中p通常是一个素数。这意味着G中不存在非平凡的p-主成分[1]。设表示所有素整数的集合。在[1]中，Danchev研究了诸如等非常重要的集合，我们在整篇文章中也使用了这些集合。记住表示G中p-主成分的直和，如果，则称G为R-良好的；也就是说[2]。当满足条件时，一个环R被称为-域。

2. 雅各布森根与平凡单位
一个群G在环R上的群环是所有形式和的集合，其中表示。群环是非常有用的代数结构，它将群表示扩展到了矩阵环中，并允许我们在环论的背景下研究群论问题。如果存在使得成立，则称一个元素为单位元。所有这样的元素在乘法下形成一个群，记为，称为的单位群。在单位群中，一个特别重要的子集是标准化单位群，记为。如果一个单位元的系数之和（通过增加得到）等于，则称该单位元为标准化的；一般来说。由于每个和都满足条件，因此中的每个元素都是的单位元。文献中有许多研究探讨了群环的单位群仅由平凡单位元组成的条件。关于这些研究的概述，我们建议读者参考[1,2,3,4,5,6,7,8]。有关群环及其单位元基础的更多细节，读者应该查阅[9]并参考[10]以了解一些未解释的符号。

Leroy和Matczuk引入了集合，对于一个带有单位元的环R，并证明了是的最大雅各布森根子环，并且在R的单位元乘法下是封闭的[11]。在这种情况下，很自然地将其扩展到群环。在整篇文章中，我们假设是一个交换的带有单位元的群环。如果一个元素可以写成形式，则称该元素为平凡的，其中和。受到这个定义的启发，我们通过对元素的限制，引入了对定义条件的轻微修改，将其限制在群元素上。因此，我们定义了，它比更大。类似于与之间的关系，研究在方便的假设下与之间的关系以及平凡单位元的性质和定义具有中心重要性。这样的分析不仅明确了形成理想的条件，还提供了对平凡单位元结构的更深入见解。值得注意的是，“feckly”一词是从文献中采用的（例如，见[12]）。

本工作有两个主要目标。首先，让表示环R的雅各布森根，并利用一般事实[13]以及群环中平凡单位元的概念[9]，我们研究了集合的特征化（见[14]）。其次，我们正式定义了中的平凡单位元，并详细讨论了中的单位群在什么条件下是平凡的。

3. 平凡单位的特征化
我们首先回顾[14]中给出的集合的基本知识和特性。引理1。由于是一个交换群环，以下结论成立：
(1) 是的一个非单位子环。
(2) 是的一个理想 ? 。

由于可以被视为集合简化为标准化平凡单位元，因此不形成的一个子环，因此需要以下定义。
定义1. 让表示所有包含在中的子环的集合。如果存在中的最大元素，我们用表示；也就是说，是包含在中的最大子环。

现在，我们可以如下介绍的结构和之间的关系，以及与之间的关系。
引理2.
(1).
(2), 。
(3) 是的一个理想 ? 。
(4).
(5) 如果是平凡的，并且，。
(6) 是的一个非单位子环 ? 。

证明。设。那么，对于任何，意味着，这证明了(1)的正确性。设。因为，我们可以得出，这证明了。因此，(2)是成立的。
现在，假设是一个理想。因此，由于，，。因此，对于所有。取显示，这意味着。根据(1)，如果，那么。相反，如果，显然是的一个理想，因此(3)成立。此外，读者可以清楚地看到由于，(4)得到满足。
如果与，则。因此，和中的定义彼此一致，(5)是真的。

当我们遵循[11]的符号，并用表示由生成的子环时，我们提出以下命题。
命题1.
(1).
(2) 如果是有限的，那么。

证明。(1): 根据上述符号，我们用表示由生成的子环。很明显，是一个带有单位元的子环，其单位群包含在(因此也在)中。这意味着的单位元位于和的交集中。
(2): 设是有限的。考虑。由于u在可逆，左乘以u在上是单射。由于是有限的，这个有限集合上的单射嵌入映射是满射。因此存在，使得。由于是交换的，因此也是。因此，所以，所求的等式从最后的包含关系和(1)得出。

4. 中单位的平凡性
我们现在引入了一个正式的概念，用于描述那些在模下与G的元素同余的单位元，如下所定义。
定义2. 如果一个单位元是平凡的，则称该单位元为平凡的。

根据定义2，平凡性的概念提供了与结构之间的自然联系。虽然平凡单位直接对应于G的元素，但平凡单位描述了那些在雅各布森根下与群元素一致的单位元。由于表示中的所有平凡单位元集合，注意满足所有群公理，并具有单位元。众所周知，一个群G可以通过映射嵌入到中。此外，在带有单位元的群环中的标准化单位群中，群G被视为平凡单位集合。如果，那么称该单位元为平凡的（见[1,2,3,4,5,6,7,8]）。在群环中的标准化且平凡的单位元（G的一个元素）只是嵌入的群G的一个元素。如果，那么特别地，这表明。因此，每个标准化平凡单位元都满足平凡单位的定义条件，即在与G的某个元素模下同余。因此，每个标准化平凡单位元自动是平凡的。然而，反之通常不成立。因此，群自然地嵌入到平凡单位群中。然而，我们可以说对于一个不是J-半简单的群环，在大多数情况下。

定义3. 如果中的每个单位元都是平凡的，即，那么我们回想一下是平凡的。

从定义2和3中得出的一些自然观察结果是以下关于的结论。
推论1. 如果是一个理想，那么一个单位元是平凡的当且仅当存在使得。由于[16]中的命题1.1，映射在单位群上诱导了一个满射的群同态，并且商群中的每个单位都可以提升为中的单位。设是中的一个任意单位。由于满射性，存在使得。根据假设，是平凡的，因此存在使得。应用得到。所以位于G在中的像中。由于始终成立，我们得出结论。?：假设。设。设。那么，存在使得。因此，且这意味着是平凡的。□由于在整篇文章中都显示了一个阶为n的循环群，以下例子说明了单位群的平凡性可能严格超出平凡性的情况，这种情况自然来源于系数环的幂零扩张，其半简单商群只包含平凡单位。例子1：作为具有两个元素的有限域，设，其中，设。那么R是一个具有雅各布森根的交换阿廷局部环。因此，且众所周知，这是由于定理1中证明是的平凡的。然而，不是平凡的，因为元素是一个对合元素，但。例子2：设，并设。那么R是一个具有雅各布森根和剩余域的交换阿廷局部环。因此，且同样地。因此，根据定理1是的平凡的，但由于在中的不是平凡的。我们现在分析其特征不同于2且基数超过2的剩余域分量如何迫使不是平凡的。命题2：设R是一个具有的阿廷环，并设。假设对于R的每个极大理想，设。假设S有一个特征为且基数为的域分量；即，对于某个阿廷半简单环。那么，不是平凡的。证明：由于R是阿廷环，并且对于R的每个极大理想，Maschke定理适用于每个剩余域。特别地，对于群，我们有，因此。根据定义，是平凡的当且仅当每个单位模同余于的元素。等价地，在上述识别下，这意味着，其中我们将与它在中的规范像等同起来。现在用特征为的F表示。那么，且因此。剩下要证明的是当且。由于，使用中的正交幂等元和，可以注意到F-代数之间的同构。因此，在这个识别下，一个元素对应于一对。因此，单位群由给出，可以推断出中的元素数量是。如果，那么。因此不能等于，因此不是平凡的。□由于，命题2给出了一个真实的例子，其中平凡性严格弱于平凡性，正如所声称的。由于是R的最大谱，且，由于每当的特征不整除G的阶时，每个剩余群代数都是半简单的，即，这些半简单分量的单位群为的平凡性提供了关键条件。推论4：设R是一个交换阿廷环，并设。那么以下条件是等价的：(i) 是平凡的。(ii) 是不可分解的；(iii) R是局部的，并且对于R的唯一极大理想，，其中。证明：(i) ? (ii)：假设。由于R是一个阿廷环，其最大谱是有限的。此外，有规范分解(1)因此，对于任何有限群G，(2)从而产生(3)。记住，在中的表示。另外，由于定理1。然而，只要S是可分解的，根据方程(3)，就超过了G。因此，根据定理1，S必须是不可分解的。(ii) ? (iii)：显然。(iii) ? (i)：设。那么，很明显。所以，定理1意味着。□以下推论解释了我们将注意力限制在有限阿贝尔群作为假设的动机。实际上，定理1加上Higman的经典结果[17]表明，对于任何无挠阿贝尔群G，在交换阿廷环R上的群环中，当且仅当R是一个-ring时，是的平凡性是显而易见的。证明：Higman的经典结果断言，如果G是一个无挠阿贝尔群且F是一个域，则。因此，如果G是无挠的，那么等式将直接作为这个结果应用于剩余域得出(见[8]中的定理1)。结合推论4的部分(iii)和Higman的一个众所周知的结果，该结果指出在无挠阿贝尔群G的群代数中的规范化单位群只包含平凡单位[8,17]。也就是说，由于[15]中的主定理，在给定条件下，也成立。由于字段的零根为零，因此，对于模同余于某个的单元，我们得到。这表明意味着R是。设R是一个-ring。那么，根据[13]中命题2.3的(2)，这是一个众所周知的事实。这立即意味着也是如此。将这个结果与推论4证明中出现的方程(1)结合起来，可以得出R是局部的事实。这确保了推论4的iii成立，并意味着是的平凡性如其所述。□定理2：设R是一个交换阿廷环，设G是一个有限阿贝尔群。那么，当且仅当R是一个-ring。证明：定理1意味着。每当S是可分解的时，可以找到一个非平凡的幂等元，使得是在中的单位，并且其逆元存在[1]。这与矛盾。的可分解性（或不可分解性）取决于R中非平凡幂等元的存在。这样的幂等元在自然投影到下的像仍然是非平凡的。因此，R必须承认模下的幂等元的提升。此外，条件意味着R是一个-ring[13]。另外，如果S有一个指数为k的非平凡幂零元素，则可以清楚地根据[1]中的定理1获得一个非平凡单位。不难看出的逆元的形式。因此，必须被简化。因此，必须是简化的，或等价地，是2-原始的[12]。由于R是交换的，很容易得出R已经是2-原始的，因此也是简化的。另一方面，由于推论4，对于。我们知道，在上有限阿贝尔群G的群代数中的规范化单位群是平凡的当且仅当G是恒等群或或或[8]。然而，最后一种情况与-ring的定义相矛盾，因为。?：由于R是一个-ring，回想一下。如果G是恒等群，那么这个断言是直接的。此外，如果G不是恒等群，[8]中的一般标准的条件(3)和(4)表明，如果或，则。在这种情况下，推论4的第二部分是由于该事实得出的。□在推论4中，假设R是交换的且阿廷的产生了几个等价条件。然而，在以下结果中，通过对施加不可分解性的一个特殊情况，我们得到了以下单向蕴含关系。推论6：如果，且R是半局部的，那么是平凡的。证明：[13]中的命题2.4表明，如果半局部环R满足，则R是。然而，为了使我们在S上的不可分解性证据与[13]中的结果一致，我们必须有；即。此外，[14]中的命题3.6表明群环也是，因为G是一个局部有限的2-群。因此，是平凡的。□4. 结论和讨论在整篇文章中，一个关键的结构观察是，在假设G是无挠的情况下，的单位群的平凡性直接归结为R是一个-ring的条件。因此，我们研究了可以得到的结果，特别是当G是一个有限阿贝尔群时。在这方面，我们看到如果G是有限阿贝尔的，那么中的单位的平凡性必然意味着。在R是一个交换含幺元环且G是一个有限阿贝尔群的情况下，自然会问在哪些条件下平凡单位耗尽了整个单位群。特别是，当R是阿廷的时，问题简化为条件，其中。受此启发，可以通过定义来引入规范化平凡单位的概念，它恰好由所有形式为的元素组成，其中和。提出一些开放的研究问题是值得的，这些问题可以激发在这个方向上的进一步调查。感兴趣的研究人员可以研究在某些假设下规范化单位是平凡的必要和充分条件，即使整个单位群在某些假设下不一定是平凡的。在这个方向上，有几个自然的问题仍然悬而未决，如下所述。开放问题1：在什么条件下，其中不是半简单的？开放问题2：在什么条件下，其中