连续变量量子傅里叶层：在滤波和偏微分方程求解中的应用 Paolo Marcandelli、 Stefano Mariani、 Martina Siena 和 Stefano Markidis

《Algorithms》：Continuous-Variable Quantum Fourier Layer: Applications to Filtering and PDE Solving Paolo Marcandelli, Stefano Mariani, Martina Siena and Stefano Markidis

　　**摘要**
傅里叶表示在偏微分方程的算子学习中扮演着核心角色，并且在量子机器学习架构中也日益受到关注。经典的快速傅里叶变换（FFT），特别是其库利-图基（Cooley–Tukey）分解方式，展示出与连续变量量子电路天然匹配的结构。这种对应关系建立了库利-图基蝴蝶网络与高斯光子门之间的直接结构同构性，使得FFT能够在连续变量量子计算中作为原生光学计算实现。基于这一观察，我们引入了一种基于二元高斯编码和库利-图基量子傅里叶变换的连续变量量子傅里叶层（CV-QFL），从而在高斯光子电路内实现精确的二维光谱处理。我们在两个代表性任务上测试了CV-QFL：光谱低通滤波和热方程的傅里叶域积分。在这两种情况下，结果都与经典参考方法达到了机器精度。更广泛地说，这项工作为连续变量量子计算方法以及量子机器学习中原生光谱架构的发展奠定了基础。

**1. 引言**
傅里叶变换是信号处理、成像和科学计算中的基本工具，它能够将信号和数据表示在光谱域中，并支持高效的操作，例如用于偏微分方程数值解的滤波和光谱方法。对于离散信号，快速傅里叶变换（FFT）的引入，尤其是通过库利-图基（CT）算法[1]，通过将变换递归分解为更小的操作，将离散傅里叶变换（DFT）的计算成本从N次降低到O(logN)次。FFT方法已成为现代信号处理和科学计算的基石[2,3,4]。
除了数字实现之外，傅里叶变换也可以直接在光学系统中获得，其中干涉和传播自然执行光谱变换[5,6]。此外，CT分解的蝴蝶结构自然映射到光学操作，如分束和相位移动，这激发了在集成光学电路中实现FFT的兴趣[7,8,9]。虽然这些方法主要是为经典光学信号处理而探索的，但它们与连续变量（CV）量子计算的连接相对较少。鉴于量子傅里叶变换（QFT）在量子算法中的核心作用，以及最近在基于光谱的量子机器学习（QML）模型中的重要性，建立这种连接尤为重要。在这项工作中，我们通过在CT算法与其在CV光子量子电路中的实现之间识别出结构对应关系来弥合这一差距，其中蝴蝶网络的基本操作自然映射到通过分束器和相位移动实现的高斯变换。这一视角为更高级的光学光谱处理架构提供了基础，这在QML中有潜在的应用。特别是，所提出的连续变量量子傅里叶层（CV-QFL）旨在处理定义在二维域上的经典数据，使其自然适用于涉及结构化场和函数映射的问题，如神经算子框架[10,11]中所描述的。然而，这一框架也为扩展到本质上是量子的设置提供了结构基础，特别是在当前高斯架构之外加入非高斯资源时，如第4节进一步讨论的。

**2. 量子机器学习与编码问题**
在QML中，一个核心挑战是如何将经典数据编码成量子态。为了构建CV-QFL，首先必须确定一种与目标计算任务兼容的编码策略。无论是信号过滤、偏微分方程的光谱解，还是算子学习，所选的编码决定了可以在电路中执行的傅里叶变换类别，从而决定了计算可访问的光谱信息[12,13]。
在标准的基于量子比特的框架中，已经提出了几种编码策略，包括基底编码、幅度编码、时间演化编码和哈密顿编码[14,15,16]。这些方法通常将经典数据映射到单个计算寄存器上，自然导致一维QFT实现[17,18,19]。这样的构造允许用哈达玛德门和控制相位门进行高效分解，但本质上仍然绑定到单一寄存器的光谱结构。当处理涉及二维或三维场的更复杂任务时，这种限制变得尤为突出，例如偏微分方程的算子学习。
单值编码最近作为一种替代范式出现[20,21,22,23,24]，其中限制在固定激发子空间内可以实现正交变换并增强幅度控制。这使其特别适合于算子学习架构[10,24,25]。在这种设置中，傅里叶算子[11]已经在一维量子架构中实现[26]，并通过张量化多寄存器构造扩展到多维域[27,28]，通常利用分解为相位移动器和可重构分束器（RBS）门的CT分解来保持激发数[1]。雖然这些方法主要针对经典光学信号处理，但它们与连续变量（CV）量子计算的连接相对较少。鉴于量子傅里叶变换（QFT）在量子算法中的核心作用，以及最近在基于光谱的量子机器学习（QML）模型中的重要性，建立这种连接尤为重要。在这项工作中，我们通过识别CT算法与其在CV光子量子电路中的实现之间的结构对应关系来弥合这一差距，其中蝴蝶网络的基本操作自然映射到通过分束器和相位移动实现的高斯变换。这一视角为更先进的光学光谱处理架构提供了基础，其在QML中有潜在应用。特别是，所提出的连续变量量子傅里叶层（CV-QFL）旨在处理定义在二维域上的经典数据，使其自然适用于涉及结构化场和函数映射的问题，如神经算子框架[10,11]中所描述的。然而，这一框架也为扩展到本质上是量子的设置提供了结构基础，特别是在当前高斯架构之外加入非高斯资源时，如第4节进一步讨论的。

**3. CV量子计算中的库利-图基傅里叶变换**
为了解决在CV量子框架中实现二维傅里叶变换的问题，我们引入了一种二元高斯编码方案，其中输入矩阵直接嵌入到多模协方差矩阵的互相关块中，m和n分别表示上下寄存器的维度。通过利用寄存器间的纠缠作为计算资源，输入场在状态层面被表示为一个结构化的二维对象，在编码阶段就保留了其可分离的空间组织。这诱导了二元寄存器的张量积组织，并自然实现了高斯CV架构中的真正二维QFT。
在这种设置中，CT分解的基本操作直接映射到通过分束器和相位移动作用于两个寄存器的高斯光子变换上。通过利用这种可分离的结构，傅里叶变换可以独立地沿每个寄存器执行，从而在CV光子电路中实现输入状态的二维QFT。所得到的变换需要一定数量的基本光学门操作、分束器和相位移动，其数量随域的大小而变化，与经典二维CT算法的操作次数相比有所减少。这种减少代表了硬件资源的优势：在实际光子硬件上实现电路所需的物理光学组件更少。然而，这并不意味着在软件中的数字FFT实现会有运行时间上的加速；这里呈现的数值实验是使用Strawberry Fields[39]进行的，这是一个经典的高斯电路模拟器，其计算成本不受量子门数量的限制。据我们所知，这是第一个明确将CV量子电路与CT傅里叶变换框架整合起来的CV-QFL。
更广泛地说，所提出的构造开启了两个互补的方向。首先，对于本征为光学的信号，如由干涉仪、波前传感器或自由空间光学系统产生的相干场，连续变量光子架构提供了自然的处理平台。在传统流程中，这些信号必须通过模数转换数字化，然后进行数值处理，并可能重新编码到光学载体中，所有这些都会引入延迟和开销。一个直接在光学模式上操作的CV傅里叶层原则上可以完全绕过这一循环，执行光谱操作、滤波、微分或算子应用，而信号永远不会离开光学域。本工作中引入的特定编码针对的是经典模拟设置，但架构原理自然扩展到本征为光学的场景，其中编码将适应物理信号表示；这一优势完全在高斯范围内成立。其次，这里开发的二元寄存器结构和库利-图基分解为整合非高斯资源（如立方相位门或光子数分辨测量）提供了光谱层的基础，其中经典模拟变得极其耗时，可能会实现相对于数字方法的真实计算优势。

**4. 结论**
本工作的主要贡献如下：
- **二元高斯矩阵编码**：我们引入了一种CV编码方案，将矩阵精确嵌入到二元高斯状态的互相关块中，从而在CV系统中实现了二维数据的结构化且物理上可实现的表示。
- **CV-QFL**：我们设计了一个独立作用于两个寄存器的CV-QFL，实现了在高斯光子架构中对编码矩阵的精确二维量子傅里叶变换。
- **光谱信号过滤和偏微分方程求解**：我们在两个代表性任务上验证了所提出的傅里叶层：对受高斯噪声污染的二维信号进行去噪，以及直接在傅里叶域中对二维热方程进行光谱求解。特别是在对角线上重复该块操作后，可以得到所需的结果。高斯态的例子包括真空态、相干态和压缩相干态。更多相关信息，请参见[16,31,43]。2.1.2 高斯酉演化高斯酉运算对应于在相空间中的仿射辛变换，这些变换保持规范的对易关系，并将高斯态映射为高斯态。根据线性光学网络的普适性定理[44,45]，任何酉矩阵都可以精确地分解为一系列作用在m个玻色子模式上的分束器和移相器。实现这种操作的被动干涉仪对湮灭算符的作用可以表示为：（3）由于湮灭算符是电磁場的基本自由度，所有被动光学变换都直接作用在这些算符上。正交分量的变换是一个由此推导出的结果，利用方程（1）中的定义，可以证明：（4）以及：（5）2.2 基于双人纠缠的编码本节将介绍用于将经典数据矩阵精确嵌入到多模高斯态的协方差矩阵中的编码方案。我们分两步进行：首先介绍理论成分：双人寄存器架构、协方差矩阵的块结构以及产生寄存器间相关性的双模压缩算符。然后描述实际的编码过程，该过程基于D的奇异值分解（SVD）：奇异值决定了应用于独立模式对的压缩参数，而正交因子U和V则通过被动干涉仪实现。其综合效果是，经典矩阵精确地出现在结果高斯态的x-正交分量交叉协方差块中。我们考虑一个由两个寄存器组成的双人CV架构，分别包含m和n个玻色子模式，共计m+n个模式。在本节中，上标用于表示给定的正交分量或模式算符所属的寄存器。对于这样的系统，全局正交分量算符可以表示为（6）。因此，双人系统的协方差矩阵是一个实对称矩阵，其维度反映了每个玻色子模式贡献两个正交分量（一个是x-正交分量，另一个是p-正交分量）。根据方程（6）中的顺序，该矩阵可以表示为块形式（7），其中每个块收集相应正交分量子集之间的二阶矩。特别是，表示寄存器之间x-正交分量相关性的块，而和描述了寄存器内的x-正交分量二阶矩。对于涉及p-正交分量的其余块也有类似的解释。为了编码两个寄存器之间的相关性，我们使用双模压缩（TMS）算符（8），该算符作用在寄存器的模式i和模式j上。这里，表示压缩参数，表示相位。从真空态开始，并采用约定（其中?是约化普朗克常数），可以得到（10）。为了完整性，期望值符号的含义、真空态的定义以及上述关系的推导在附录A中简要回顾。从方程（9）可以得出，在TMS变换后，表示变换后的正交分量算符。这表明该门在两个寄存器之间产生了非平凡的相关性。现在我们描述将经典数据矩阵嵌入到双人CV架构中的编码过程。在这种逐元素构建的方法中，我们用表示与矩阵条目相关联的压缩参数。然后根据（11）为每个条目分配独立的压缩参数，以便控制压缩幅度并将所需的双模压缩操作保持在物理上合理的能量范围内。然而，这种逐元素构建在实践中是不可行的：作用在共享模式上的双模压缩门不对易，连续应用会改变局部方差和先前建立的相关性。因此，无法以这种方式独立编码所有条目，因为后续操作不可避免地会扭曲早期操作生成的协方差结构。为了克服这一限制，我们通过在输入矩阵的奇异值分解（SVD）获得的解耦基础上进行编码：（12），其中和是正交矩阵，它们的列分别是D的左右奇异向量，而是一个矩形对角矩阵，其非零对角元素是奇异值。在这个基础上，每个奇异值对应于一对独立的模式，一个在寄存器中，另一个在另一个寄存器中，从而可以将其直接嵌入到高斯态的寄存器间交叉协方差块中，而不产生寄存器间的干涉。得到的协方差矩阵采用块形式（14），其中下标和分别标识与第一和第二寄存器的正交分量相关的块。矩阵描述了局部二阶矩，即每个寄存器内的单模方差，而对角线块则编码了寄存器间的相关性。它们的对角线条目直接来自方程（9）中的变换：对于SVD基础中的每一对独立模式，方差从真空值1映射到相应的值，而相应的寄存器间相关性则变为。因此，表示与SVD基础中第k对对应模式相关联的压缩参数。这样，就可以将对称矩阵直接嵌入到高斯态的寄存器间交叉协方差块中，而不会产生寄存器间的干涉。得到的协方差矩阵然后采用块形式（14），其中下标和分别标识与第一和第二寄存器的正交分量相关的块。矩阵描述了局部二阶矩，即每个寄存器内的单模方差，而对角线块则编码了寄存器间的相关性。它们的对角线条目直接来自方程（9）中的变换：对于SVD基础中的每一对独立模式，方差从真空值1映射到相应的值，而相应的寄存器间相关性则变为。因此，表示与SVD基础中第k对对应模式相关联的压缩参数。注意，中的下标表示编码后的模式，这些模式不参与编码，因此仍然处于真空态。正如普适性定理[44]所保证的，方程（12）中的因子U和V都可以作为被动干涉仪物理实现，作用在各自的寄存器上。根据这一定理的应用，可以重建原始输入矩阵D。当U作用在上，V同时作用在上时，可以通过参考第2.1节关于高斯酉演化的内容，证明方程（6）中的联合正交分量向量的完整辛变换为：（15），并且完整的协方差矩阵也随之变换。从这个表达式中提取交叉块，可以得到：（16）。因此，数据矩阵D被精确地编码在双人协方差矩阵的x-正交分量交叉块中，U通过寄存器从左侧作用，V通过寄存器从右侧作用；具体电路表示见图1。交叉块获得相反的符号，而所有的x-p交叉相关性完全消失。图1. CV–QFL电路用于处理m个光学模式上的输入矩阵。编码：TMS门注入M的奇异值；干涉仪U和通过SVD重建输入矩阵。傅里叶层：CT QFT独立应用于两个寄存器，产生2D光学傅里叶变换。有关编码过程的理论方面（如复杂性和双人纠缠）及其在Strawberry Fields中的实现的更多详细信息，请参见附录B。2.3 Cooley–Tukey作为连续变量量子电路我们工作的核心思想，即CT算法与CV量子电路中可用的光学操作集之间的结构同构性，在本节中进行介绍。我们首先回顾CT算法在一维环境中实现FFT的实现，然后将其构建扩展到更高维度领域。接着展示其计算结构如何自然地映射到CV电路操作上，这是本工作的核心思想。在讨论CT算法之前，如需了解关于经典DFT的更多信息，请参见附录B.3。为了对一维向量进行傅里叶变换，过程首先根据位反转方案对其索引进行排列。在这项工作中，我们采用直接变换符号约定，并定义旋转因子为，其中i是虚数单位，n表示Cooley–Tukey算法给定阶段的局部变换大小，k标记相应的旋转因子。核心计算步骤以为例，是蝴蝶形状的交叉操作，见图2。图2. CT算法对位反转输入的FFT的蝴蝶图。每个交叉都是一个以2为基数的蝴蝶操作。在这个图中，每个交叉迭代应用于元素对，并如下映射：（17）。在CV电路中，每个蝴蝶交叉被替换为两个光学门对一对模式的序列操作，如图3所示。图3. 单个CT蝴蝶的CV实现。相位门映射；分束器然后产生，与经典输出（17）相同，只是增加了正交归一化因子。R门将模式映射为，其中，使得。BS门的作用是，其辛作用是，然后给出：通过这种方式，我们完全通过CV光子电路中的操作重建了经典蝴蝶（17）中的变换。一个关键的观察是出现在CV输出中的因子，但在经典蝴蝶（17）中不存在。这个因子不是人为添加的额外校正；它是分束器幺正性的直接物理结果。50:50的分束器是一个幺正门，它保持了所作用两个模式的总光能，这迫使每个输出前面有一个因子。重要的是，这个因子在完整CT电路的蝴蝶阶段中累积，产生了幺正（正交归一化）DFT的全局归一化。在经典数字实现中，这个归一化因子必须作为后处理步骤明确插入；在光电路中，它自动从每个分束器的能量守恒物理性质中产生。这是CT算法与其CV光子实现之间最深刻的结构对应之一：幺正性的物理约束正是实现量子傅里叶变换正确归一化的关键。现在我们准备将一维CT变换扩展到二维环境。如附录B.3的方程（A22）所示，2D离散傅里叶变换具有可分离结构，因此可以通过沿每个维度应用的独立一维变换来实现。经典的CT基数2算法[1]利用这种可分离性，首先对D的m行应用长度为n的1D FFT，每行成本为，然后对中间结果的n列应用长度为m的1D FFT，每列成本为。总算术成本为。2.4 连续变量量子傅里叶层我们现在展示如何在CV量子计算中物理实现CV–QFL，通过对编码矩阵D的交叉相关块应用独立的单寄存器傅里叶变换。为此，我们同时将傅里叶矩阵应用于寄存器和寄存器。然后，类似于附录B.3中的方程（15）和（A22），全局辛矩阵采用明确的块形式：（19），从而将完整的正交变换紧凑地表示为：（20）。将方程（19）和（20）代入并使用编码状态的四个寄存器间二阶矩，可以得到：（21），进一步简化为：（23）。注意，与一维情况不同，块现在贡献了一个非平凡的项，因为两个寄存器都发生了变换。然后，将方程（19）和（20）代入，类似地得到：（24）。这两个块（23）和（24）组合成一个复合量：（25），从而得到：（26）。这正是D的二维DFT（见方程（A22））。结果可以直接从协方差矩阵中读出：其中框起来的条目完全由决定，而未框起来的对角线块描述了局部单寄存器方差。它们的对角线条目直接来自方程（9）中的变换：对于SVD基础中的每一对独立模式，方差从真空值1映射到相应的值，而相应的寄存器间相关性变为。此外，是一个矩形对角矩阵，对于为，否则为零。我们注意到，非对角线块包含了寄存器间的相关性的，并且在旋转后的SVD基础中与编码矩阵相同。正如普适性定理[44]所保证的，方程（12）中的两个因子U和V都可以作为被动干涉仪在相应的寄存器上物理实现。通过应用这一定理，将能够重建原始输入矩阵D。当U作用在上，V同时作用在上时，可以根据第2.1节关于高斯酉演化的内容证明，联合正交分量向量的完整辛变换为：（15），并且完整的协方差矩阵变换为。从这个表达式中提取交叉块，可以得到：（16）。因此，数据矩阵D被精确地编码在双人协方差矩阵的x-正交分量交叉块中，U通过寄存器从左侧作用，V通过寄存器从右侧作用；具体电路表示见图1。交叉块获得相反的符号，而所有的x-p交叉相关性完全消失。图1. CV–QFL电路用于处理m个光学模式上的输入矩阵。编码：TMS门注入M的奇异值；干涉仪U和通过SVD重建输入矩阵。傅里叶层：CT QFT独立应用于两个寄存器，产生2D光学傅里叶变换。有关编码过程的理论方面（如复杂性和双人纠缠）及其在Strawberry Fields中的实现的更多详细信息，请参见附录B。2.3 Cooley–Tukey作为连续变量量子电路我们工作的核心思想，即CT算法与CV量子电路中的光学操作集之间的结构同构性，在本节中进行介绍。我们首先回顾CT算法在一维环境中实现FFT的实现，然后将其构建扩展到更高维度领域。然后展示其计算结构如何自然地映射到CV电路操作上，这是本工作的核心思想。在讨论CT算法之前，如需了解关于经典DFT的更多信息，请参见附录B.3。为了对一维向量进行傅里叶变换，过程首先根据位反转方案对其索引进行排列。在本工作中，我们采用直接变换符号约定，并定义旋转因子为，其中i是虚数单位，n表示Cooley–Tukey算法给定阶段的局部变换大小，k标记相应的旋转因子。以为例，核心计算步骤是蝴蝶形状的交叉操作，见图2。图2. CT算法对位反转输入的FFT的蝴蝶图。每个交叉都是以2为基数的蝴蝶操作。在这个图中，每个交叉迭代应用于元素对，并如下映射：（17）。在CV电路中，每个蝴蝶交叉被替换为两个光学门对一对模式的序列操作，如图3所示。图3. 单个CT蝴蝶的CV实现。相位门映射；分束器然后产生，与经典输出（17）相同，只是增加了正交归一化因子。R门将模式映射为，其中，使得。BS门的作用是，然后给出：通过这种方式，我们完全通过CV光子电路中的操作重建了经典蝴蝶（17）中的变换。一个关键的观察是出现在CV输出中的因子，但在经典蝴蝶（17）中不存在。这个因子不是人为添加的校正；它是分束器幺正性的直接物理结果。50:50的分束器是一个幺正门，它保持了所作用两个模式的总光能，这强制每个输出前面有一个因子。重要的是，这个因子在完整CT电路的蝴蝶阶段中累积，产生了幺正（正交归一化）DFT的全局归一化。在经典数字实现中，这个归一化因子必须作为后处理步骤明确插入；在光电路中，它自动从每个分束器的能量守恒物理性质中产生。这是CT算法与其CV光子实现之间最深刻的结构对应之一：幺正性的物理约束正是实现量子傅里叶变换正确归一化的关键。我们现在准备将一维CT变换扩展到二维环境。如附录B.3的方程（A22）所示，2D离散傅里叶变换具有可分离结构，因此可以通过沿每个维度应用的独立一维变换来实现。经典的CT基数2算法[1]利用这种可分离性，首先对D的m行应用长度为n的1D FFT，每行成本为，然后对中间结果的n列应用长度为m的1D FFT，每列成本为。总算术成本为。2.4 连续变量量子傅里叶层我们现在展示如何在CV量子计算中物理实现CV–QFL，通过将傅里叶矩阵应用于编码矩阵D的交叉相关块的双人高斯态。为此，我们同时将傅里叶矩阵应用于寄存器和寄存器。然后，按照附录B.3中的方程（15）和（A22），全局辛矩阵采用明确的块形式：（19），从而使完整的正交变换紧凑地表示为：（20）。将方程（19）和（20）代入并使用编码状态的四个寄存器间二阶矩，可以得到：（21），进一步简化为：（23）。注意，与一维情况不同，块现在贡献了一个非平凡的项，因为两个寄存器都发生了变换。然后，将方程（19）和（20）代入，类似地得到：（24）。这两个块（23）和（24）结合成一个复合量：（25），从而得到：（26）。这就是D的二维DFT（见方程（A22））。结果可以直接从协方差矩阵中读出：其中框起来的条目完全由决定，未框起来的对角线块描述了局部单寄存器方差。D的二维DFT因此可以直接从双边高斯态的二阶矩中获得，无需任何额外的处理；只需在CT电路应用于两个寄存器之后读取协方差矩阵的交叉块，并将它们组合如下：(27) 其中实部编码变换的余弦分量，虚部编码正弦分量。这两个块都是物理协方差矩阵的条目，并且可以通过对两个寄存器的同频测量直接访问。CV–QFL电路的完整图形表示如图1所示。该图突出了架构的三个主要阶段：通过双模压缩门进行奇异值编码，用于重建输入矩阵D的U和V干涉仪，以及独立应用于两个寄存器的CT QFT分解。二维CT QFT的应用结果是在上具有深度的电路，在上具有深度的电路。由于两个寄存器是不相交的，两个电路并行运行，得到(28)。

复杂性分析
直接比较方程(18)和(28)可以看出，双边CV实现的QFT门数量为，而经典二维FFT的操作数量为，从而减少了实现傅里叶变换所需的电路资源。为了正确解释方程(18)–(28)中的门数量比较，重要的是要区分全过程中涉及的三个不同的计算成本概念，这些概念在表1中进行了总结。第一个是SVD分解的经典预处理成本，其规模为，并且必须在加载电路之前在经典计算机上计算；对于大型输入，这个成本是计算流程的主要瓶颈。第二个是编码电路的门数量，它来源于在两个寄存器上实现SVD因子U和V的无源干涉仪（详见附录B）。第三个是QFT电路的门数量，它计算执行傅里叶变换所需的光学操作（分束器和相位移动）；这与经典二维FFT的操作数量进行比较，上述的门数量优势仅指这一阶段。

表1. CV–QFL流程的三个阶段的计算成本以及与经典二维FFT的比较。文中讨论的门数量优势仅指CV–QFT的行，不应与编码或预处理成本混淆。CV–QFT行的门数量优势具有理论和架构性质：数值实验是使用Strawberry Fields[39]进行的，这是一个经典的高斯电路模拟器，其运行时间由协方差矩阵操作决定，而不是由量子门数量决定。因此，这里没有提供速度提升的实验验证；在实际的光子硬件上的演示留待未来的工作。

3. 结果
为了说明CV–QFL流程的实际效用，我们展示了两个具体的应用：低通光谱滤波和扩散偏微分方程的数值解。在这两种情况下，计算完全在光子电路内部使用Strawberry Fields进行。

3.1. 光谱低通滤波
我们考虑一个由三个已知低频分量组成的测试图像(29)，该图像被具有单位标准差的加性白高斯噪声所破坏，产生的输入信噪比(SNR)为。因为每个余弦项产生离散的傅里叶峰（等效于在特定频率区间上的delta样贡献），所以s的谱是精确稀疏的。在以中心频率表示的情况下，其非零分量位于：(30)，如图4所示。因此，信号能量仅集中在与预设的低频分量相关的八个傅里叶区间内，而添加的噪声是宽带的，并分布在整个频谱上。通过保留包含信号的少数低频区间并抑制其余由噪声主导的模式，逆傅里叶变换可以高保真地重建原始图像并提高SNR比。

图4. （左）噪声输入的光谱表示，突出显示了背景噪声和与信号相关的频率区间。（右）滤波实验中使用的光谱掩模的比较，即一个半径为的圆形掩模和一个分辨率为的矩形掩模。在这两种情况下，信号频率分量完全包含在掩模内。为了在CV–QFL中实现低通滤波，我们使用了Strawberry Fields中可用的LossChannel操作。从物理上讲，LossChannel通过一个透射率为的分束器将信号模式与真空模式混合来模拟光衰减。在高斯形式主义中，它对协方差矩阵和均值向量的作用是：(31)，并表明对于，变换是恒等的，而对于，模式被替换为真空，与系统其余部分的所有相关性都被移除。

LossChannel的一个关键特性是它对相位不敏感：模式的两个幅度都按相同的因子衰减。因此，当LossChannel独立应用于行模式和列模式时，每个复数傅里叶系数(32)简单地重新缩放为：(33)。这是至关重要的，因为它在抑制选定的傅里叶幅度的同时不改变它们的相位。为了实现低通滤波，我们选择二进制透射率，以便仅保留所需频率范围内的模式，而移除更高频率的模式。这在傅里叶空间实现了一个可分离的矩形光谱掩模。在逆QFT之后，过滤后的信号直接从输出协方差矩阵中重建，无需对谱进行任何中间数字处理。

接下来，我们将提出的CV–QFL滤波流程与标准的经典傅里叶基线进行比较，用于处理噪声信号。在经典情况下，被破坏的图像通过二维FFT转换为傅里叶空间，然后通过圆形低通掩模进行滤波，并通过逆FFT映射回物理空间。CV–QFL遵循相同的光谱处理结构，但所有傅里叶操作都在光电路层面实现：编码的信号首先通过前向QFT变换，不需要的模式通过逐模式LossChannel操作减弱，然后通过应用逆QFT重建过滤后的场，逆QFT作为伴随电路获得。

两种流程之间唯一的结构差异在于光谱掩膜的几何形状。经典参考使用了圆形截止，而当前的CV实现了一个可分离的矩形截止，这是由于沿着两个寄存器应用了独立的损失通道。重要的是，两个掩膜都包含了与清洁信号相关的所有傅里叶区间，如图4所示。比较在表2中定量总结，在图5中可视化展示。表2. 在网格上的光谱滤波比较。图5. 在图像上的光谱低通滤波。（左）到（右）清洁信号；噪声输入()；经典输出（圆形掩模，）；CV–QFL输出（矩形可分离掩模，）。噪声输入的SNR为，因此噪声能量与基础信号的能量相当，实际上更大。这反映在图5的第二面板中，其中原始的正弦结构几乎完全被掩盖。相应的重建误差为，大约是信号标准差的。经过低通滤波后，两种流程都以高视觉保真度恢复了主导的低频模式。经典流程将RMSE从降低到，而CV–QFL将其降低到。等效地，因为均方误差满足，这意味着对于经典流程将MSE降低了约倍，对于CV–QFL降低了倍。

因此，两种结果之间的差异很小：经典流程提高了SNR，而CV–QFL提高了，仅剩下。这种残余差异不是由于量子傅里叶电路的错误，而是因为CV流程实现了更宽的可分离掩模，保留了441个光谱区间，而圆形经典掩模仅保留了317个区间。因此，CV–QFL保留了略多的受噪声影响的高频内容。当与使用相同矩形掩模的经典参考进行比较时，最大逐点差异为，确认CV–QFL在机器精度上再现了目标光谱操作。

3.2. 二维热方程
我们考虑无量纲的二维热方程(34)，其中表示感兴趣的标量场，t是时间，是扩散系数，是二维拉普拉斯算子，由给出。热方程在一个方形周期性域上提出，具有周期性边界条件和初始条件，由两个局域化的高斯峰的叠加给出。在数值实验中，域在空间网格上离散化。

解决这个方程的一个方便方法是在傅里叶域，其中拉普拉斯算子对角线作用，动态模式间解耦。因此，每个傅里叶系数，由傅里叶波矢索引，在时间步长内根据指数衰减律(35)独立演化。这定义了精确的光谱传播器：(36)，它对高频模式的衰减比对低频模式的衰减更强。因此，相应的解决策略遵循与滤波任务相同的结构：场先转换到傅里叶域，通过逐模式传播器演化，然后通过逆傅里叶变换重建。

在这个例子中，因为双高斯剖面包含了大量的中高频空间内容，它为傅里叶域扩散提供了一个方便的测试。系统演化四个时间步长，直到最终时间，期间峰值逐渐变宽并减小幅度，这与扩散热动力学预期的一致，见图6。图6. 在网格上的热方程积分（，，四个步骤）。（顶行）经典伪谱求解器（NumPy）。（底行）CV–QFL光子电路。在前向QFT之后，对行模式i应用LossChannel，对列模式j应用LossChannel按方程(33)缩放交叉协方差。然后，选择和得到：(37)，即确切的热方程传播器，其中下标r和c分别代表行和列寄存器。与低通滤波器的唯一区别是LossChannel中编程的透射率剖面：用于滤波的是二进制的，用于扩散的是。

在每个时间步骤中，CV–QFL的输出与经典伪谱求解器的结果在浮点精度上一致，如表3所报告的。两个高斯斑点在扩散过程中扩散并合并；图6显示，在所有时间步骤中，经典和CV–QFL的快照在视觉上是不可区分的，确认LossChannel在光电路内部实现了精确的热方程传播器。

表3. 不同时间点上经典伪谱解与CV–QFL计算解之间的最大绝对误差，误差在整个时间演化过程中的浮点精度水平。可扩展性和噪声考虑
基准实验是在小网格上进行的（对于滤波和对于热方程），并假设理想的光子门；这两个方面在实际更大规模的实现中都值得评论。在计算方面，CV–QFT电路的深度按比例缩放，而在物理光子硬件上的门数量按比例缩放，这两个方面都得益于网格大小。主要的瓶颈在其他地方：这里使用的经典高斯模拟器操作的协方差矩阵的成本增长比直接的NumPy FFT更陡峭，而编码步骤所需的SVD预处理的经典成本为，无论后端如何。Cooley–Tukey蝴蝶结构也需要二进制数目的维度；非二进制网格需要零填充。在噪声方面，实际的光子实现引入了有限的压缩、相位误差和光学损失，这些会降低相对于此处报告的机器精度结果的输出准确性。对数电路深度有利于限制误差累积：门的不完美仅通过物理硬件上的连续层传播。对于光谱滤波，噪声主要表现为带外模式的不完美抑制和掩模边界的残余泄漏，使得带内信号重建基本不受影响。对于热方程，LossChannel透射率剖面的小误差会产生偏离精确指数衰减律的偏差，随着时间步数的增加而增加。这里建立的机器精度基准为未来的实验实现提供了量化的参考。**讨论**

前一节中呈现的结果表明，所提出的CV-QFL方法能够以与经典参考方法相同的高精度重现热方程的频谱滤波和傅里叶域积分过程。因此，这些实验主要应被视为原理验证，用以证明该方法在正确性和操作性能上的可靠性。同时，它们也有助于阐明本文的贡献所在：对于这里考虑的小型基准问题，所提出框架的主要优势并不在于其计算速度相比基于FFT的经典实现有所提升，而在于其架构上的创新性。具体而言，该方法提供了一种基于结构化二元高斯编码以及直接映射到高斯光学门上的库利-图基（Cooley–Tukey）分解的、用于处理二维傅里叶层的连续变量光子实现方式。从这个意义上说，该框架可以被视为更先进的光谱量子架构的基础，这些架构可能在对更大规模问题或与光子及连续变量硬件天然兼容的系统中变得越来越重要。

接下来将讨论两个互补的发展方向：

**第一个方向**涉及本质上是光学的信号，例如由干涉仪、波前传感器或自由空间光学系统产生的相干场。在这种情况下，信号已经存在于光学模式中，因此无需进行经典的到量子的编码步骤。在传统的处理流程中，这样的信号需要先被测量、数字化、数值处理，然后再重新编码为光学信号；每个转换过程都会引入额外的开销并可能导致信号质量下降。相比之下，CV-QFL方法能够在光子电路内部直接处理信号：光束分裂器和相位移动在信号传播过程中直接作用于光学模式，从而产生过滤或变换后的光学输出，而无需任何中间的数字表示。这种实现上的优势——彻底消除了编码瓶颈——是真实存在的，并且完全适用于高斯范畴，与计算复杂性的讨论无关。这对于需要滤波或光谱微分等光谱任务尤其有吸引力，因为在这些任务中，输入和输出都是与处理硬件共享同一物理基底的光学场。

**第二个方向**涉及输入已经是量子态的情况，而不是需要编码的经典场。在这种情况下，二元CV-QFL可以直接在状态层面应用光谱变换，从而绕过编码步骤。然而，只要输入态和电路都处于高斯范畴内，整体计算仍然可以通过协方差矩阵形式在经典硬件上高效模拟，因此不会获得相较于数字方法的计算优势。只有当引入非高斯资源（如立方相位门或能够分辨光子数量的测量技术）时，才会出现真正的计算优势，因为这些技术会使得经典模拟变得极其复杂。这里开发的二元寄存器组织结构、库利-图基分解以及按模式进行滤波的功能，为这种非高斯扩展奠定了基础。

另一个重要的视角是该方法与操作符学习（operator learning）之间的联系。与通常将数据表示为局部振幅向量或单模特征的标准CV编码不同，所提出的方法将整个二维场嵌入到二元高斯态的互协方差结构中。因此，CV-QFL作用于一个结构化的场，而不是孤立的标量输入。这对于科学机器学习模型（如傅里叶神经算子[11]）尤为重要。从这个角度来看，所提出的框架可能为光谱操作符学习提供一个自然的连续变量光子基础。

尽管如此，要在纯经典问题上实现明确的量子优势仍然具有挑战性。即使是非常高效的量子神经算子，也受到经典到量子数据编码瓶颈的 fundamental 制约，这会引入大量的开销，并对近期的硬件设备提出严格要求。因此，在纯经典数据集上超越已建立的经典架构仍然很困难。从这个角度来看，该框架的长期发展方向应该是针对输入已经是非高斯量子态的情况，以及涉及非高斯电路操作的处理过程；在这种情形下，经典模拟变得极其复杂，而量子电路能提供一种天然的、高效的光谱处理机制。这里开发的二元高斯架构、其寄存器组织结构、库利-图基分解以及按模式进行滤波的功能，为这种非高斯扩展提供了结构蓝图。

当前框架也存在一些重要的局限性。首先，所提出的互协方差编码本质上是二维的，因此将其扩展到更高维度或时空场将需要新的寄存器组织和更通用的编码策略。其次，当前的架构完全是高斯的，因此可以在经典硬件上高效模拟，这意味着在其现有形式下无法宣称具有计算上的量子优势。引入非高斯资源可能克服这一限制，从而实现更具表现力的量子模型，尽管会显著增加实验复杂性。最后，当前的实现依赖于可分离的模式间光谱处理；探索更丰富的寄存器间耦合形式可能会在未来发展中带来更广泛的光谱算子类别。

**5. 结论**

在这项工作中，我们基于库利-图基分解与连续变量量子电路之间的结构对应关系，引入了一种连续变量量子傅里叶层。在其中，光束分裂器和相位移动自然地再现了蝴蝶网络的基本操作。在此基础上，我们开发了一种二元高斯编码方式，它将二维输入场表示为多模光子态的互相关结构，从而在连续变量框架内实现了精确的二维量子傅里叶变换。因此，这项工作的主要贡献在于其架构创新性。它并不是以抽象的方式将经典傅里叶层引入量子系统中，而是展示了如何通过光子连续变量硬件本身的操作直接实现光谱处理。从这个意义上说，该框架为连续变量量子计算提供了一个真正的光谱原语，并为围绕傅里叶域处理构建的未来量子机器学习架构奠定了具体基础。

从实验角度来看，我们在两个代表性的任务上验证了所提出的层。在第一个任务中，该方法对噪声较大的二维信号进行了频谱低通滤波，其结果与经典参考方法具有相同的高精度。在第二个任务中，该方法对二维热方程进行了傅里叶域积分，其结果在所有时间步骤上都与经典伪谱解高度吻合。这些结果表明，所提出的层不仅在形式上具有合理性，而且在实际操作上也表现出色，适用于非平凡的光谱任务。

更广泛地说，这项工作为连续变量量子计算中的光谱处理开辟了一条光子路径，对量子机器学习、信号处理以及基于傅里叶的方法处理偏微分方程具有潜在的意义。尽管当前的实现完全是高斯的，因此在经典硬件上仍然可以高效模拟，但它为更具表现力的量子架构提供了一个清晰的起点。未来的工作将重点关注将框架扩展到更高维度领域，引入非高斯资源，并探索其在本质上具有量子力学特性的问题中的应用，因为在这些情况下，连续变量量子模型可能提供一种更自然的计算框架。