具有单延迟和双延迟反馈的光子神经元中的多尺度序数模式动态与时序对称性 朱利安·费伊维森（Julian Feiveson）， 马特乌·耶里亚安（Mateu Yearian）， 玛迪·琼斯（Maddie Jones） 以及安德烈斯·阿拉戈内塞斯（Andrés Aragoneses）

《Entropy》：Multiscale Ordinal-Pattern Dynamics and Temporal Symmetries in a Photonic Neuron with Single and Dual Delayed Feedback Julian Feiveson, Mateu Yearian, Maddie Jones and Andrés Aragoneses

　　摘要 反馈延迟和多个时间尺度的共存是复杂动态系统的核心特征，这些系统从神经网络和生态系统到电子和光学设备都有所体现。快速和慢速动态之间的相互作用可以产生单一时间尺度系统中不存在的丰富新兴行为。在这里，我们研究了这些耦合的时间尺度如何塑造具有单一和双重延迟反馈的光子神经元的动态。利用序数模式分析和最新的基于序数的复杂性度量方法，我们描述了系统产生的快速峰值和慢速脉冲的时间相关性和对称性特性。我们的结果显示，在快速和慢速时间尺度上展示的确定性特征有显著差异，揭示了动态的强烈多尺度组织结构。尽管存在这些差异，但在基于对称性的Φ空间中表示时，所有情况——无论是单一还是双重反馈下的快速峰值和慢速脉冲——都汇聚到一条共同的曲线上。这种通用结构表明存在支配系统动态跨时间尺度和反馈配置的潜在约束。这些结果突显了基于序数的方法在揭示延迟非线性系统中隐藏的对称性和多尺度组织结构方面的强大能力。

1. 引言
共存的时间尺度之间的相互作用，通常由延迟反馈引起，为复杂动态系统中的记忆、多稳态、涌现和复杂的时间组织提供了自然机制，并已在生物学调节和神经处理、激光器、电子电路或机械振荡器等领域进行了研究。尽管这种相关性广泛，但描述动态结构和确定性如何跨共存的时间尺度出现仍然是一个未解决的挑战，特别是在快速和慢速过程强烈耦合的系统中。因此，开发捕捉这种多尺度组织的框架对于更好地理解延迟复杂系统至关重要。
复杂系统的一个定义性特征是时间延迟反馈。这与无序性、多样性和数量性结合在一起，产生了诸如涌现、自组织、记忆和适应性行为等标志性特征[1,2,3]。因此，理解和描述反馈在复杂动态中的作用对于解释和控制这些系统至关重要[4,5]。复杂动态的另一个独特方面是其多维性，在这种多维性中，跨多个尺度和变量的相互作用塑造了系统的非线性演化[6,7,8,9]。
这些特征自然导致了在非线性和混沌系统中观察到的丰富且往往不可预测的行为。研究这种动态的一个特别有吸引力的平台是光子神经元[10,11,12,13,14,15,16,17,18]，其中光学反馈使得快速和慢速时间尺度能够共存，从而产生复杂的涌现动态[19,20]。这些尺度之间的相互作用产生了复杂的发射模式、记忆效应和无法通过单尺度分析捕捉的涌现行为。引入多个反馈源进一步丰富了系统的动态，允许探索不同时间尺度之间的相互作用如何塑造整体动态[21]。
在这项研究中，我们研究了受单一和双重反馈影响的光子神经元，重点关注快速和慢速时间动态如何相互作用以产生复杂的动态行为。这种多尺度分析不仅突出了光子神经元的内在复杂性，还提供了一个框架，使用基于序数的度量方法来理解和控制神经形态光子系统中的动态。
光子神经元是能够模仿生物神经元信息处理能力的光学系统，在神经形态光子平台上实现超快、低能耗的计算[22,23,24]。已经实现了多种架构，从可激发半导体激光器和微腔器件到集成光子电路，每种架构都利用光学非线性和反馈来生成类似神经元的脉冲和脉动行为[25,26]。这些系统可以实现基本的神经元功能，如兴奋性、阈值化、整合和不应期动态，同时其操作时间尺度比生物神经元快几个数量级。通过利用光子学的固有速度和灵活性，这些设备为探索复杂动态、多尺度相互作用和涌现行为提供了一个多功能的测试平台。
在这些架构中，具有延迟光学反馈的可激发光子神经元为研究复杂时间动态提供了一个特别丰富的平台[25,27]。激光腔内的光-物质相互作用与来自镜子的时间延迟反馈之间的相互作用引入了多个共存的时间尺度，从而产生了快速光脉冲（峰值）和较慢的包络动态（脉冲）之间的相互作用。这可以产生涌现模式、记忆效应和非线性时间相关性。引入第二个反馈可以改变时间相关性和潜在的复杂动态，提供了一种探究快速和慢速时间尺度之间的相互作用如何塑造系统多尺度行为的方法。

2. 实验设置
我们的光子神经元由一个650纳米的二极管激光器（Thorlabs L650P007）组成，通过一个和两个外部镜子实现光学反馈（见图1a）。反馈引入了时间延迟（ns和ns），从而产生了共存的快速和慢速时间动态。当下时间延迟的比为整数时，会出现共振效应，显著减少脉冲的数量[28]。我们组合的时间延迟避免了这种情况，并改善了统计数据。图1。(a) 实验设置。激光器发出的光被发送到一个50:50的分束器（BS）并反射到两个镜子上。反馈强度通过两个中性密度滤光片（NDF）进行控制。光电探测器收集光并将其信号发送到1 GHz的示波器。(b) 具有双重反馈的光子神经元的时间序列示例，I = 46 mA。快速动态的峰值用红色方块标记，慢速动态的脉冲用蓝色圆圈标记。(c) 单一反馈配置下，I = 46 mA时峰值深度的直方图（对数尺度）。(d) 双重反馈配置下，I = 46 mA时脉冲深度的直方图（对数尺度）。当外部镜子的光反馈到激光器时，其阈值从降低到。在这两个电流附近，激光器的输出功率出现了新的复杂动态。反馈的强度通过阈值降低来量化。当时，动态表现为快速浅振荡和缓慢深度下降[20]。中性密度滤光片控制每个反馈回路的强度，将阈值降低设置为和，其中每个镜子对双重反馈的贡献是相等的。
激光器的泵浦电流和温度分别使用Thorlabs ITC4001控制器稳定在0.01 mA和0.01°C。输出光由光电探测器放大器（Thorlabs APD210）收集，并由1 GHz示波器（DSOS104A，Infiniium S系列）记录。时间序列以2 Gsa/s的采样率获取，每次测量的持续时间为2毫秒。
该设置产生了快速的光学脉冲（“峰值”）和较慢的包络调制（“脉冲”，这些作为后续多尺度分析的快速和慢速事件。图1b显示了时间序列的一部分，其中快速峰值用红色方块表示，慢速脉冲用蓝色圆圈表示。时间序列被归一化为均值为零，标准差为单位。为了识别脉冲，我们使用了一种阈值方法，其中低于的峰值被检测为脉冲（见图1b）。对于快速峰值，它们的深度为。
图1c,d显示了单反馈和双重反馈配置下检测到的峰值直方图，作为时间序列中检测深度的函数。它们清楚地显示了额外反馈源对动态系统的影响。虽然单反馈配置显示出更复杂的峰值分布，具有多个峰值浓度较高的区域（深度），但双重反馈配置显示出较简单的、主要是双峰分布，其中峰值最大值不太集中且分布更广。这些图表似乎表明第二个反馈为动态带来了稳定性。正如我们将在第4节中看到的，双重反馈配置的确定性特征更为明显。

3. 复杂性量度器
光子神经元展示的动态在不同的时间尺度上呈现事件[19]，如图1b所示。为了详细研究这些多尺度相互作用，我们采用了序数模式分析和从序数序列中衍生的最新复杂性度量方法[29,30,31]。这种方法允许我们量化快速和慢速动态的时间结构和确定性的特征，揭示了峰值和脉冲之间的相互作用如何塑造光子神经元的整体行为。
给定一系列事件（峰值或脉冲）的时间序列，我们计算连续事件之间的时间间隔。通过比较d个连续的事件间隔，我们将事件的时间序列转换为维度为d的模式时间序列。对于，如果，我们分配模式012；如果，我们分配模式021，依此类推。我们获得了d个不同的维度模式。我们的分析基于维度为的模式。然后我们计算这6种模式的概率。
虽然更高维度的模式可能捕捉到更多连续事件之间的复杂时间相关性，但已经揭示了与随机过程不相容的两个时间尺度之间的相关性。此外，还允许我们（i）视觉检查随着泵浦电流变化而变化的序数模式概率的演变，以及（ii）定义一个可以识别可逆对称性的几何空间。
Ansbacher等人最近引入了捕捉动态中存在的时间对称性的视觉复杂性表示方法——Φ空间[31]。这个三维空间提供了一个几何表示，其中每个点编码了时间可逆对称性的相对强度。这种技术允许同时可视化动态复杂性和对称结构。Φ空间定义为(1)，其中，，和是这个空间的三个轴。概率被分组成对应于时间反转（与，…）的序数模式的对，使得每个坐标衡量了特定时间反转对称类的贡献。
这个空间的一个有趣特征是，其中是Bandt和Pompe引入的排列熵[29]，其中PE计算为(2)，其中。一个完全随机的过程将导致，而将表明某些模式比其他模式更受青睐，揭示了动态中的时间相关性和记忆的特征。
排列熵是从连续事件之间的序数分布派生的动态复杂性的全局度量，它对动态中记忆的存在敏感。

4. 结果
为了量化每个时间尺度上的时间相关性，我们计算了六个维度为的序数模式的概率，这些概率是根据四个连续峰值和连续脉冲之间的时间间隔计算的。图2显示了这些概率，揭示了具有单一反馈（a）和双重反馈（b）的光子神经元的快速和慢速动态的时间相关性。垂直虚线表示有无反馈时的激光阈值电流。中央灰色区域对应于等概率序数模式的零假设，置信水平为99.7%（，其中和，N是时间序列中的事件总数）。脉冲的事件数量大约在30,000到390,000之间，而峰值的数量大约大一个数量级。因此，统计不确定性非常小，为了视觉清晰，在图中没有显示误差条。
图2。(a) 光子神经元具有单一反馈时的序数模式种群（概率），根据峰值之间的时间间隔计算。(b) 光子神经元具有双重反馈时的序数模式种群，根据峰值之间的时间间隔计算。泵浦电流的范围从激光器开启之前到动态进入更混沌的相干性崩溃阶段[32]。
图2和图3中的所有四个子图都展示了相似之处和明显的差异。随着泵浦电流接近激光阈值（最左边的虚线），对于单反馈和双重反馈配置，快速动态都观察到了明显的转变。序数模式概率从与随机过程兼容演变为显示出与均匀分布有统计学上的显著偏差，表明确定性时间排序的出现。
图3.(a) 光子神经元具有单一反馈时的序数模式种群，根据脉冲之间的时间间隔计算。(b) 光子神经元具有双重反馈时的序数模式种群，根据脉冲之间的时间间隔计算。垂直虚线表示有（左）和无（右）反馈时的激光阈值。此外，在孤立激光器的阈值电流（最右侧的虚线）附近，快速动态中观察到了第二次转变，此时序数模式概率发生交叉并重新组织成不同的层级结构。尽管动态仍然表现出确定性的特征，但其潜在的时间相关性与低泵电流下的相关性不同，表明动态机制发生了质的变化。较慢的脉冲动态也捕捉到了与激光阈值电流相关的转变（图3）。在较低阈值附近（具有反馈的激光器），观察到零假设区域的扩大，表明脉冲事件的离散度增加，这种趋势一直持续到孤立激光器的阈值。在这个区间内，序数模式概率仍然符合随机过程的特征。超过孤立激光器的阈值后，动态明显表现出确定性特征，表现为强烈的时间相关性，所有序数模式概率显著偏离零假设。

在慢速动态中（图3），无论是单反馈还是双反馈，序数模式的层级结构在整个参数范围内基本保持不变，直到相干性崩溃，此时概率逐渐向零假设区域漂移，表明时间相关性减弱。在快速和慢速动态中，单反馈和双反馈配置之间存在明显的平行性。然而，尽管存在这种对应关系，快速和慢速动态中的序数模式概率层级在质量上是不同的，反映了时间尺度上时间相关性出现和重组的多元尺度行为。有趣的是，比较两个阈值电流下的快速峰值和慢速脉冲动态可以发现，慢速动态仍然符合随机行为，而快速动态则表现出明确的确定性特征。这表明，在这些泵电流下，时间相关性在短时间尺度上很强，但在长时间尺度上基本不存在。相比之下，在更高的泵电流下，时间相关性在所有尺度上都会出现，尽管具有质量上的不同特征。

这些图表揭示的一个显著特征是某些序数模式形成了概率共同变化的簇。模式021和102（或120和201）由于旋转对称性而相关，它们的概率非常相似。这种聚类反映了动态的潜在时间对称性。虽然在不同时间尺度上观察到了类似的聚类现象[19,20,21]，但在快速动态机制中尚未进行过研究，因为在快速动态中，所有峰值都是未经检测阈值处理的。用于揭示时间序列中隐藏的动态对称性的一个强大可视化工具是-X空间表示法。图4显示了单反馈和双反馈配置在所有泵电流下的快速和慢速动态的投影，在这个三维空间中。图4展示了使用峰值和脉冲计算的序数模式的-X空间视觉表示。这反映了存在于OPs群体聚类形式中的内部时间对称性。所有配置和实验条件的位置都遵循一条明确的三维曲线，表明尽管每种参数组合在这个空间中由一个独特的点表示，但它们都满足描述物理系统的基本约束。在-X空间中观察到的聚类和几何结构进一步表明，动态保留了对先前事件的记忆，并受到激光器固有动态和反馈回路相互作用的影响。所有研究中的动态投影都描绘出了一条清晰的曲线，表明尽管在参数空间中表现出不同的行为，但在所有时间尺度上都存在一种普遍的动态特征。

投影中的对称性表明了重复出现的时间模式，而与完美对称性的偏差反映了系统随着泵电流的变化而探索不同动态机制的过程。5. 讨论与结论

我们研究了具有单反馈和双延迟外部光反馈的光子神经元的多尺度动态，重点关注快速光峰值和较慢的脉冲-包络动态之间的相互作用。通过应用序数模式分析和复杂性度量，我们描述了随着泵电流的变化，时间相关性如何在不同的时间尺度上出现和发展。我们的结果表明，快速和慢速动态对运行条件的变化反应不同。特别是在具有反馈的激光阈值附近，快速峰值动态已经表现出明确的确定性特征，而慢速脉冲动态仍然主要符合随机行为。当泵电流超过孤立激光器的阈值时，时间相关性在两个时间尺度上都会出现，尽管具有不同的序数层级，这突显了系统的固有多尺度本质。单反馈和双反馈配置之间的比较表明，虽然整体行为保持一致，但多个反馈回路的存在丰富了动态结构，并修改了峰值和脉冲的时间相关性。由对称性相关的序数模式的聚类进一步表明了塑造系统演化的潜在动态约束的存在。-X空间表示法提供了另一个视角，揭示了所有实验条件在对称性基础复杂性空间中都落在一条明确的曲线上。这一结果表明，存在独立于特定反馈配置或时间尺度的普遍动态约束来控制光子神经元。未来的研究将探讨在-X空间中观察到的几何结构是否可以在确定性Lang-Kobayashi模型[10]中得到再现和解释。这样的研究可以阐明延迟时间、反馈强度、泵电流和噪声在动态中的作用。

虽然目前的工作分别分析了两个时间尺度，但未来的研究可以检验它们之间的耦合关系，可能会揭示快速光波动如何影响较慢的包络动态，或者相反。总体而言，这种多尺度序数分析为揭示复杂光子系统中的隐藏时间结构和对称性提供了一个强大的框架。除了提高我们对光子神经元非线性动态的理解外，这些结果还有助于开发利用反馈和多尺度动态进行信息处理的神经形态光子架构。