用于多特征融合和彩色图像分析的通用K阶移位Franklin矩

《Digital Signal Processing》：General K-order Shifted Franklin moments for Multi-feature Fusion and Color Image Analysis

　　朱家毅|黄康|高国海|咸远杰|于东阳|王明宇
合肥工业大学机械工程学院，中国安徽省合肥市230009

**摘要**
经典的Franklin系统是一个由分段线性连续函数组成的完备正交系统，这些函数具有二进制结点。在本文中，我们推广了这个概念，定义了一般的K阶移位Franklin系统，并提出了一种快速、准确的计算方法。通过结合四元数代数，我们进一步构建了四元数分数阶一般K阶移位Franklin矩（GKS-QFFM），并分析了它们的图像表示能力。为了解决手工制作的四元数矩特征中普遍存在的信息冗余问题，我们设计了一个特定的多特征融合框架。实验结果表明，尽管深度学习模型在无干扰环境下能够达到最先进的准确度，但其在图像攻击下的性能往往会下降。相比之下，所提出的方法对混合图像攻击具有更强的鲁棒性。此外，这种非冗余的多特征融合方法产生的特征表示更加紧凑和稳定，有效减轻了与四元数类型手工特征相关的计算复杂性和信息冗余。在我们的无冗余多特征融合框架下，GKS-QFFM在分类性能上可与现有的四元数型分数阶矩相媲美，同时在图像重建方面也表现出更优秀的性能。

**引言**
正交矩用于提取和表示局部和全局特征，与非正交矩相比，它们可以在不产生信息冗余的情况下描述图像[1]，[2]。因此，正交矩广泛应用于图像分析[3]、模式识别[4]和图像水印处理[5]中。深度学习技术在识别和分类任务上最近取得了显著的成功[6]，[7]，[8]，但这些技术在某些方面仍然存在明显的局限性[9]：基于深度学习的方法需要大量多样化的训练数据集，它们对几何变换和噪声的鲁棒性有限，且从中获得的信息不易直观解释[10]。因此，在图像分类任务中提取具有直观解释性的特征已成为一个挑战。
四元数代数是一种处理彩色图像的流行方法，它将彩色图像分解为三个通道[11]。回顾基于四元数类型的正交矩的发展，从基函数的连续性来看，四元数型分数矩（QTFM）可以分为离散矩和连续矩。离散矩包括Krawtchuk矩（KM）[12]、分数阶Tchebyshev矩（FrTM）[13]、Hahn矩（HM）[14]、Dual Hahn矩（DHM）[15]、Racah矩（RM）[16]、Mountain Fourier矩（MFM）[17]。连续正交矩根据其坐标系进行分类：在笛卡尔坐标系中定义的矩包括Legendre矩（LM）[18]、Gaussian Hermite矩（GHM）[19]和Chebyshev矩（CM）[20]；在极坐标系中定义的矩包括Zernike矩（ZM）[21]、伪Zernike矩（PZM）[22]、Legendre Fourier矩（LFM）[23]、指数傅里叶矩（EFM）[24]、对数极坐标指数傅里叶矩（LEFM）[25]、极坐标谐波傅里叶矩（PHFM）[26]和三元径向谐波傅里叶矩（TRHFM）[27]。
低秩四元数方法通过低秩逼近压缩多维数据来减少冗余信息[28]，因此非常适合处理复杂的高维数据，同时保留数据的核心结构信息[29]。陈等人讨论了选择单位纯四元数对矩的影响[30]。张等人[31]使用低秩矩阵逼近方法进行盲颜色图像去噪。贾等人[32]利用四元数张量表示来解决彩色视频修复问题。
小波变换也广泛应用于图像分析领域[33]，[34]，[35]。常见的小波基函数包括：Daubechies小波[36]、Haar小波[37]、双正交小波[38]、Meyer小波[39]。Franklin函数序列由于其独特的构造和类似于Haar和Schauder函数系统的性质而在数学领域引起了广泛关注[40]，[41]，[42]，[43]。它现已应用于信号处理和图像处理领域[44]。然而，仍有一些问题需要进一步研究：
• 由于分段线性结构，经典的Franklin系统在结点边界处存在导数不连续性，这限制了其逼近能力和收敛阶数。
• 现有的基于四元数的特征融合策略通常缺乏单位四元数选择的严格理论基础，导致固有信息冗余和次优的特征表示。
为了解决这些限制，我们提出了一个双策略，该策略受到低秩四元数逼近信息压缩能力的启发。首先，我们将经典Franklin系统推广为一般K阶移位Franklin系统，从而提供可调节的平滑度和更高的收敛阶数。其次，我们将低秩约束纳入特征融合过程，实现图像信息的紧凑和无冗余表示。

**论文其余部分组织如下：**
第2节介绍经典Franklin系统并提出了通用K阶移位Franklin系统，并以非递归矩阵形式提供了Franklin多项式的显式表达式。第3节定义了四元数分数阶一般K阶移位Franklin矩（GKS-QFFM）和精确的四元数分数阶一般K阶移位Franklin矩（GKS-AQFFM）。第4节提出了一种用于四元数型分数阶矩（QTFM）的无冗余多特征融合方法。第5节提供了广泛的实验和分析。最后，第6节总结了本文。

**要点摘录**
**经典Franklin多项式**
考虑一个序列T={tn：n≥0}，如果t0=0，t1=1，tn∈(0,1)，T在[0, 1]中处处稠密且每个点在T中最多出现两次，则称其为[0, 1]上的一个可接受序列[45]。通过一个非递减排列，可以从T中获得一个排列η。对于特定的计算阶数n，令Tn={ti：0≤i≤n+1}。通过一个非递减排列从Tn中获得划分节点τn，使得0=τ0n≤τ1n≤?≤τn+1n=1。我们将这个非递减序列表示为：ηn={τin：τin≤τi+1n，0≤i≤n?1}。

**定义**
对于灰度图像，在极坐标中定义的分数阶Franklin矩（FFM）表示为[50]：
\[Fnm = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} h(r,\theta)sfn_k(r,\alpha)e^{-jm\theta}r\, dr\, d\theta,\]
其中h(r, θ)代表hC(r, θ)的一个通道，n∈N是sfn_k(r,α)的阶数，m∈Z是重复次数。分数阶Franklin多项式在[0, 1]范围内是正交的。设θ^=θ?ω，其中0≤ω≤360°表示原始图像的旋转角度，我们有：
\[Fnm' = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} h(r,\theta?ω)sfn_k(r,\alpha)e^{-jm\theta}r\, dr\, d\theta = e^{-jm\omega}\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} h(r,\theta^)sfn_k(r)\, dr\, d\theta\]

**多特征融合**
通过将3D RGB信号嵌入到4D四元数代数中，我们观察到四元数矩的特征空间存在固有的冗余。这是因为四元数空间可以被视为等同于2D复向量空间C2。因此，在本节中，我们旨在通过严格的代数推导来消除四元数矩特征空间中的冗余成分。对于方程Eq. (23)和Eq. (27)，FnmR表示图像的全局特征。

**图像重建**
在本实验中，我们主要比较了所提出的GKS-AQFFM与分数阶Legendre-Fourier矩（FLFM）[55]、分数阶极坐标复指数变换（FPCET）[56]和分数阶径向谐波傅里叶矩（FRHFM）[57]的性能。这些方法的核函数定义如下：
\[?nm(FPCET)(r,α) = \alpha r^{α-2}\frac{2\pi^{n}}{2}\exp(j^{2n}\pi r^{α}),\ n∈Z\]
\[?nm(FLFM)(r,α) = \alpha r^{-2}\left(1 + \frac{2n}{2}\right)\cdot\Gamma(1+n)\cdot\frac{n!}{2\pi}\Gamma(1+n)\cdot\Gamma(n+1)\times\sum_{k=0}^{n}(\frac{1}{k}\Gamma(1+n+k)r^{k!(n?k)!}\Gamma(1+k),\ n∈N\]
\[?nm(FRHFM)(r,α) = \alpha r^{α-2}\frac{2\pi}{2}\{1, n=0,2\}

**结论**
在本文中，我们定义了一种新的通用K阶移位Franklin多项式，并提出了一种快速准确的计算方法。随后，在QTFM框架内，我们利用高斯求积和小波积分技术实现了GKS-QFFM的准确计算。图像重建的实验结果表明，所提出的GKS-QFFM在所有QTFMs中表现最佳。此外，我们提出的非冗余多特征融合方法...

**作者声明**
朱家毅：概念化；形式分析；方法论；手稿起草
黄康：项目管理；监督；资源协调
高国海：可视化；软件开发
咸远杰：验证；监督
于东阳：数据整理
王明宇：调查研究

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。