适用于脉冲噪声的鲁棒最小均质峰度算法（结合双曲正切函数）

《Digital Signal Processing》：Robust Least Mean Kurtosis Algorithm with Hyperbolic Tangent Function for Impulsive Noise

　　纳齐姆·厄津杰|恩金·杰马尔·门古奇|布克特·乔拉克·古韦恩切克
N. 厄津杰就职于凯塞里大学电气与电子工程系，凯塞里，38280，土耳其

摘要
传统的最小均方峰度（LMK）算法通过最小化误差信号的负峰度，成为一种强大的自适应滤波工具，它在高斯和中等非高斯干扰（例如拉普拉斯和均匀分布）下能够提供更快的收敛速度和更好的稳态性能。然而，在许多实际应用中，噪声严重偏离高斯假设，表现出重尾特性，导致LMK算法的性能显著下降，甚至在存在冲激α-稳定噪声的情况下会出现不稳定性。为了克服这一限制，我们首先通过将误差信号的双曲正切变换纳入负峰度成本函数中，定义了一个新的成本函数，然后推导出了一个鲁棒的LMK（rLMK）算法。这样，所提出的rLMK算法不仅对α-稳定噪声具有很强的鲁棒性，还保留了传统LMK的优良特性。此外，利用能量守恒关系，我们对其均值和均方收敛性、稳态超额均方误差（SS-EMSE）以及瞬态均方偏差（MSD）进行了理论分析。在系统识别、实际音频回声消除和金融信号预测场景中的仿真结果表明，尽管rLMK算法所需的计算复杂度较低，但其收敛速度明显更快，稳态误差也比其他最先进的鲁棒算法更低。此外，仿真结果与本文推导出的rLMK的SS-EMSE和MSD理论表达式非常吻合。

引言
在许多实际场景中，误差传感器捕获的噪声由于各种外部和内部干扰源而偏离高斯噪声假设[1]。这些干扰源包括工业设备的电磁辐射、车辆的点火和启动系统产生的瞬态浪涌、电线通信、水下声学环境的波动、高压传输系统的绝缘降解，以及常见的家庭设备、电力电子转换器、调光电路和绝缘不良的电气组件产生的噪声[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8]。在这种情况下，噪声表现出非高斯特性，通常被称为冲激噪声。冲激噪声具有强烈的尖峰和重尾概率特性，经常使用α-稳定分布来建模[6], [9], [10], [11], [12], [13], [14]。此外，冲激噪声会显著降低传统自适应滤波算法（如最小均方（LMS）算法[15]和最小均方峰度（LMK）算法及其变体的性能，可能导致不稳定[7], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25]。因此，开发能够在冲激噪声环境中保持稳定性能的更鲁棒的自适应滤波算法已成为现代自适应信号处理中的一个重要研究课题。

为此，已经提出了多种鲁棒的自适应滤波算法。早期的研究包括基于符号的算法（SA）[26], [27]，它依赖于低阶误差统计量，虽然提高了鲁棒性，但由于其MEA成本而收敛速度较慢。随后，通过将二次误差成本泛化为p-范数误差度量，提出了基于p-范数的自适应滤波算法[28]。p-范数成本[28]使自适应滤波器能够更好地处理不同的误差分布和稀疏结构。这一概念进一步扩展到连续混合p-范数自适应滤波算法，该算法结合了多种误差范数的优点，在非高斯噪声环境中实现了更好的鲁棒性和收敛性能[29]。然后引入了最小对数绝对差异（LLAD）算法[30]，它同时利用了一阶和二阶误差统计量，比SA具有更快的收敛速度。在信息论学习框架内[31], [32], [33], [34], [35], [36], [37], [38]，最大互信息准则（MCC）算法[33]通过最大化期望信号与滤波器输出之间的互信息来提供对冲激噪声的强鲁棒性。在此基础上，通过引入额外的形状参数α，推导出了广义MCC（GMCC）算法[17]以进一步增强鲁棒性。然而，互信息表面在最优点附近急剧上升，而在其他地方相对平坦，这可能会限制MCC和GMCC算法的收敛速度[20]。为了解决这些限制，提出了最大Versoria准则（MVC）算法[19]，它通过最大化广义Versoria函数来减少稳态误差和计算复杂度[19]。此外，还提出了基于广义柯西核和半二次学生t分布的成本函数[39]和[40]。这些成本函数基于低阶矩或重尾统计模型，以减少极端噪声的影响，从而提高冲激噪声场景下的自适应滤波性能。最近，将双曲型误差函数[20], [41], [42], [43], [44], [45], [46], [47], [48], [49]纳入成本函数引起了越来越多的关注，因为它们具有内在的压缩特性。这种有界的非线性映射使自适应滤波算法能够有效地抑制大的误差异常值。例如，ARC-MMSGD算法[41]采用反正切成本来实现快速收敛和增强鲁棒性。相比之下，LHCAF算法[20]利用对数双曲余弦函数，并解决了原始HCAF[42]中观察到的不稳定问题。此外，变λ最小lncosh（VLlncosh）算法[43]自适应调整形状参数，以平衡收敛速度和稳态误差。具体来说，VLlncosh在小误差时表现得类似于LMS，在大误差时逐渐趋近于SA的行为。此外，逆双曲正弦函数（IHSF）算法[44]在收敛速度和稳态误差方面表现出色，优于几种现有的鲁棒自适应滤波器。值得一提的是，在设计鲁棒自适应滤波器的成本函数和权重更新规则时，双曲正切函数由于其有界的、奇对称的、连续的、单调的、零中心和平滑的非线性映射特性而受到了显著关注[20], [41], [45], [46], [47], [48], [49], [50]。这些特性自然限制了大误差的影响，同时保持了零误差区域的高灵敏度，从而提高了冲激噪声环境下自适应滤波器的鲁棒性[50]。尽管这些算法通常对冲激噪声具有很强的鲁棒性，但它们的收敛速度较慢[7]。此外，大的误差值不仅可能来自冲激噪声，也可能来自系统的突然变化，导致这些算法在非平稳环境中的跟踪能力较差[7], [51]。

另一方面，负峰度成本函数已成为MSE准则的一个有吸引力的替代方案，因为它解决了MSE准则的许多众所周知的局限性，并为实数、复数和四元数域中新的线性和非线性自适应算法的发展铺平了道路[52], [53], [54], [55], [56], [57], [58], [59], [60], [61], [62], [63], [64], [65], [66]。由于它们的优异收敛性能、更好的稳态性能和更高的鲁棒性，这些算法已被广泛应用于各种信号处理应用中，如系统识别[52], [53], [54], [55], [56], [57], [65]、预测[55], [56], [59]、主动噪声控制[61]、自适应波束成形[67]、不平衡三相系统中的频率估计[68]、感应电动机中的参数估计[69]、分布式扩散估计[60]、非线性滤波和神经网络[58], [59], [66]以及大数据流的在线学习[70]。在这些贡献中，最早的研究是由Tanr?kulu和Constantinides[52]进行的，他们在1994年定义并最小化了负峰度成本函数Jk=3E2{ek2}?E{ek4}，从而引入了最小均方峰度（LMK）算法，其中E{·}表示期望运算符，ek表示误差信号。负峰度成本Jk的吸引人特性源于其与四阶累积量的内在联系[7], [52], [54], [55], [56], [57]。这些特性可以总结如下：(i) 由于累积量的线性特性，负峰度成本自然允许将噪声与权重不匹配分开；(ii) 对于零均值高斯过程，所有高于二阶的累积量都消失，这使得LMK算法能够独立于高斯噪声实现更快的收敛速度；(iii) 多个独立噪声源的综合效应使得成本函数在中心极限定理下表现出类似高斯的行为，从而增强了稳定性和收敛性；(iv) 即使在非高斯或亚高斯环境中，LMK及其变体的性能也优于使用MSE成本的LMS及其变体，后者由于依赖于输入相关矩阵的特征值分布而收敛速度较慢。尽管这些特性使LMK算法特别吸引人，但最近的研究[7]表明，在α-稳定噪声存在的情况下，其性能会显著下降，尽管它在高斯、均匀和拉普拉斯噪声下具有很强的鲁棒性。因此，需要将LMK的优良特性扩展到α-稳定噪声环境，因为在这些环境中大多数现有自适应滤波算法的性能都会严重下降。本文的主要动机就是填补这一文献空白。

在本文中，为了克服这一限制，我们引入了一个鲁棒的最小均方峰度（rLMK）算法。所提出的rLMK将误差的双曲正切变换纳入负峰度成本函数中。与现有的基于双曲正切函数的自适应滤波算法不同，后者直接将非线性误差变换应用于基于梯度下降的自适应滤波框架，本研究将双曲正切映射的这些优良特性整合到了负峰度成本函数中。这种非线性映射有效地抑制了大的误差异常值，使rLMK算法在保持传统LMK的吸引人收敛特性的同时，对α-稳定噪声具有很强的鲁棒性。此外，利用能量守恒关系，我们从理论上推导出了其均值和均方收敛性、稳态SS-EMSE以及瞬态MSD的表达式。仿真结果表明，在系统识别、实际音频回声消除和金融信号预测场景中，无论是软α-稳定噪声还是强α-稳定噪声，所提出的rLMK的收敛速度都明显更快，稳态误差也比其他著名的鲁棒自适应滤波算法（包括SA、LLAD、ARC-MMSGD、LHCAF、VLlncosh、IHSF、MCC、GMCC、MVC和LMK）更低。

本文的其余部分组织如下。第2节描述了系统模型。第3节详细推导了所提出的rLMK算法。第4节介绍了其性能分析。第5节提供了系统识别、音频回声消除和金融信号预测实验的仿真结果，第6节比较了所有算法的计算复杂度。第7节给出了结论性评论。

系统模型
在本节中，我们简要介绍了研究中使用的系统模型。为了识别未知系统，我们考虑了一个有限脉冲响应（FIR）滤波器asyk=wkTxk，其中yk和wk=[wk,1,wk,2,…,wk,P]T分别表示滤波器输出和权重向量。由未知系统生成的期望信号dk表示为dk=woTxk+vk，其中xk=[xk,xk?1,…,xk?P+1]T是输入向量，方差为σx2，wo=[wo,1,wo,2,…,wo,P]T是真实系统权重向量，vk是噪声信号。

提出的鲁棒最小均方峰度
受双曲正切函数的有界和平滑非线性映射特性的启发[20], [41], [45], [46], [47], [48], [49], [50]（这些特性可以有效抑制大误差），我们在本节提供了所提出的rLMK算法的详细推导。首先，将双曲正切函数纳入传统的负峰度成本Jk=3E2{ek2}?E{ek4} [52]中，以提高对冲激噪声的鲁棒性，得到：Jk=3E2{1λtanh2(λek)}?E{1λtanh4(λek)}在另一部分中，我们进行了一系列系统识别、现实世界声学回声消除和现实世界金融信号预测实验，以验证rLMK的理论分析，并全面评估其性能。

结论

在本文中，我们提出了一种稳健的最小均方峭度（rLMK）算法，以解决传统LMK在α-稳定噪声环境中的性能下降问题。通过将误差的双曲正切变换纳入到负峭度成本函数中，我们使rLMK算法能够在保持原始LMK框架良好收敛特性的同时有效抑制脉冲噪声。利用能量守恒关系，我们进一步优化了算法的性能。

作者贡献声明

Naz?m ?zince：撰写原始草稿、可视化、方法论、概念化、研究、形式分析、验证。

Engin Cemal Mengü?：概念化、撰写原始草稿、审阅与编辑、监督、形式分析、项目管理。

Buket ?olak Güven?：可视化、审阅与编辑、研究、软件开发、验证、形式分析。

利益冲突声明

作者声明没有已知的财务利益冲突或可能影响本文所述工作的个人关系。