通过自回归模型实现时域约束模态分解

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Time-domain constrained mode decomposition via autoregressive model

　　徐登正|侯吉林|Jankowski卢卡什基础设施工程学院，海岸与海洋工程国家重点实验室，大连理工大学，中国大连116024

摘要
模态分解是一种在模态分析中广泛采用的数据驱动策略。它是识别模态参数和理解系统动态行为的重要工具。然而，现有的模态分解方法通常受到模态混叠的影响，并缺乏明确的物理解释能力。本研究介绍了一种时域受限模态分解方法，该方法利用自由响应信号的线性组合来提取干净的内模函数和准确的模态参数。从单模信号的自回归模型中得到的约束矩阵被用来形成一个特征约束方程，并确定分解系数。分析自回归计算时间间隔对Prony多项式解稳定性的影响，以确定约束滤波器的阶数和形式。此外，将约束滤波器与低通FIR滤波器结合使用可以提高所提方法的抗噪能力。对于模态识别，首先使用Yule-Walker方程确定初始特征值，然后通过迭代消除虚假特征值，并通过应用多目标约束滤波器进行精细化处理。最终，所提出的方法能够实现准确、自适应且具有物理解释能力的信号分解和模态参数识别。数值模拟的统计结果验证了其抗噪能力和稳定性，与其他模态分解技术的比较也证实了该方法能够完成信号的分解。使用框架试验模型进行的实验验证进一步证明了所提方法在模态识别方面的准确性。

引言
模态分析将工程系统的复杂动态行为描述为简单共振模式的组合。这种表示方法对于深入理解系统稳定性和动态特性至关重要[1]。共振模式的空间和时间动态特性被称为模态参数，包括模态形状、频率和阻尼比。这些模态参数是结构健康监测[2]、振动控制[3]、[4]、系统状态评估和设计验证的重要分析基础。准确提取模态对于有效的分析和实际应用至关重要。对于复杂的工程系统，求解封闭形式的模态解几乎是不可能的；因此，数据驱动的模态提取方法受到了广泛关注[5]，[6]。数据驱动的模态分析方法可以大致分为实验模态分析（EMA）和操作模态分析（OMA）[7]。EMA依赖于已知的输入-输出数据来确定传递函数，并使用峰值提取[8]或最小二乘拟合等方法来识别模态参数。然而，EMA的一个实际限制在于难以获取和量化运行中工程系统的输入信息，无论是民用结构还是机械设备。相比之下，OMA仅从输出数据中提取模态参数。值得注意的是，输出响应可能是由冲击或随机激发产生的。传统的OMA方法包括Ibrahim时域技术（ITD）[9]、特征系统实现算法（ERA）[10]、自然激励技术（NeXT）[11]、随机递减法（RDM）[12]、随机子空间识别（SSI）[13]和频域分解（FDD）[14]等。这些方法基于振动理论，具有明确的物理解释，并且对噪声等干扰具有很强的鲁棒性。然而，这些方法的主要缺点是在应用于复杂信号时灵活性和适应性有限。

在过去的几十年中，基于信号处理概念的模态分解方法得到了广泛的研究和应用，包括适当正交分解（POD）、经验模态分解（EMD）和变分模态分解（VMD）。Berkooz等人[15]提出的POD方法最初是为了解决流体力学中提取相干流动结构的问题。此后，它被广泛应用于利用结构时域响应及其交叉功率谱密度函数[16]，[17]识别自然振动模式，用于有限元模型更新[18]以及损伤定位[19]。然而，POD得到的模态与结构振动模式不对齐，导致时间信息的丢失，包括模态频率和阻尼比。Huang等人[20]引入的EMD和Hilbert-Huang变换（HHT）方法常用于分析非线性和非平稳时域信号，并且已经有许多改进得到了广泛的研究和发展[21]。例如，Yeh等人[22]提出了完全集合经验模态分解（CEEMD），该方法通过向原始信号添加正负噪声来消除残余噪声效应。为了进一步减少分解结果中的虚假模态，Torres等人引入了带有自适应噪声的完全集合经验模态分解（CEEMDAN）[23]，该方法在每个分解阶段应用自适应白噪声。尽管有这些进步，EMD仍然对噪声敏感，并且容易受到模态混叠的影响，从而影响模态分解和参数提取的准确性[24]。Dragomiretskiy和Zosso[25]引入了VMD，该方法具有很强的鲁棒性和抗噪能力，并有严格的数学基础[26]。因此，VMD已广泛应用于模态参数识别，并表现出良好的性能[27]。Bagheri等人[28]使用VMD分解结构响应并提取模态参数，如阻尼、自然频率和模态形状。Hu等人[29]将VMD与多信号分类技术结合使用，以识别摩天大楼的紧密间隔模态参数。Lu等人[30]应用VMD-Hilbert变换（VMD-HT）算法，在车辆-桥梁耦合效应和环境影响的条件下自适应识别桥梁模态参数。然而，VMD需要预先确定模态数量和平衡惩罚因子，这两者对模态识别的准确性和效率都很重要。更重要的是，基于信号处理的模态分解方法的一个共同缺点是缺乏明确直接的物理解释。

本文的核心概念是约束模态分解（CMD）方法，该方法使用自由衰减振动响应的线性组合将信号分解为其单模分量。早期的研究使用基于频域峰值幅度或峰值导数标准构建的目标函数来确定分解系数[31]。本文提出了基于自回归模型（TCMD-AR）的时域受限模态分解，将传统CMD扩展到了时域。与传统模态分析技术（如ERA、SSI和FDD）相比，所提出的方法不需要构建参数模型或确定其阶数。它能够产生高质量的单模响应，并适用于噪声较强的场景。此外，相对于基于信号处理的模态分解技术（例如EMD和VMD），所提出的方法基于从振动理论中得出的约束方程。因此，它提供了更清晰的物理解释、更少的模态混叠和更高的分解精度。更重要的是，TCMD-AR方法能够实现自适应信号分解和随后的模态参数识别。

本文的结构如下。第2节基于自回归（AR）模型开发时域特征约束方程，并分析AR计算间隔对分解过程数值稳定性的影响。此外，所提出的方法与低通FIR滤波器结合使用，以提高其抗噪能力。第3节描述了TCMD-AR方法的自适应迭代分解和模态参数提取过程，包括消除虚假模态。第4节通过三自由度阻尼振荡链系统的数值模拟结果评估所提方法的抗噪能力。该部分还使用全尺寸传输塔有限元模型将分解结果与CEEMDAN和VMD进行了比较。第5节使用四层剪力框架试验架进行实验验证，并将结果与ERA和Power-Exponential窗口技术进行比较，以验证信号分解和模态识别的准确性。

**TCMD-AR方法的理论基础**
结构系统的自由振动响应是单模信号的叠加。原则上，每个模态分量都可以通过适当组合独立的自由振动响应来分离出来。TCMD-AR方法的基本思想是基于模态特性制定约束方程，以确定有效的信号分解的线性组合系数。

**模态参数识别**
理想情况下，时域受限模态分解会产生单模信号分量。实际上，目标特征值的不准确性、测量噪声和其他因素可能会降低分解结果的质量。因此，需要通过迭代过程来确定准确的模态参数：使用约束矩阵Ap从单模信号中估计特征值及其数量，而下一轮的约束矩阵Ap

**数值验证**
本节通过两个数值模拟展示了TCMD-AR在应用场景中的能力。第一个模拟侧重于评估抗噪能力、解决方案的稳定性和在随机激励下的适用性，而第二个模拟将TCMD-AR与变分模态分解（VMD）和带有自适应噪声的完全集合经验模态分解（CEEMDAN）进行比较，以评估其信号分解性能。

**框架模型实验**
使用实验性的四层剪力框架模型来比较所提出的TCMD-AR方法与ERA和基于Power-Exponential窗口的模态识别方法，并验证所提方法在模态参数识别方面的准确性。测试模型和传感器配置如图18(a)所示。框架的每一层的高度和跨度均为400mm。垂直构件为尺寸为1600mm×150mm×2mm的Q235钢板。根据中国标准GB

**结论**
本研究提出了一种基于自回归模型（TCMD-AR）的时域受限模态分解方法，以进一步推进受限模态分解框架。该方法使用单模滤波器制定时域特征约束方程，分析约束参数估计的稳定性，并研究噪声对分解过程的影响。开发了特征值提取和虚假模态消除的程序。

**写作过程中生成AI技术的声明**
在准备这项工作时，作者使用了Google Translate和ChatGPT来纠正文本的语法和标点。使用这些工具后，作者根据需要对内容进行了审查和编辑，并对出版物的内容承担全部责任。没有AI系统参与本研究的设计、数据分析或结果的解释。

**作者贡献声明**
徐登正：撰写——原始草稿、软件、方法论、形式分析、数据整理。侯吉林：撰写——审稿与编辑、撰写——原始草稿、监督、项目管理、方法论、资金获取、形式分析、概念化。Jankowski卢卡什：撰写——审稿与编辑、撰写——原始草稿、方法论、形式分析。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
作者衷心感谢中国国家重点研发计划（2024YFF0507103）和中国国家自然科学基金（NSFC）（52378285）的支持。