一种紧凑型三自由度（3-DoF）的非线性调节模块，用于实现多方向振动隔离

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：A compact 3-DoF nonlinearity-tuning motif for multi-direction vibration isolation

　　胡小英|景星建
香港城市大学机械工程系，中国

摘要
本文介绍了一种紧凑的三自由度（3-DoF）结构模块，该模块配备了多种非线性刚度调节机制，旨在满足多自由度（multi-DoF）机械系统中实现宽带、高性能振动隔离的需求，以隔离或抑制多方向振动。为了严格评估静态和动态特性，提出了两个定量指标来衡量非线性刚度和准零刚度（QZS）行为的质量。所提出的模块能够在Z轴平移、X轴平移和Y轴旋转方向上实现精确的全局和局部刚度调节，从而能够构建高度可定制的非线性恢复力轮廓。动态分析表明，集成的调节机制可以有效地抑制复杂的非线性响应，包括刚度软化和内部共振，并且在所有三个自由度上实现稳定的宽带低频隔离。高度的可调节性大大增强了配置多方向振动隔离平台的可行性，同时保持了可预测和可识别的动态行为。开发了三个原型平台，分别包含两个、三个和四个此类模块，并通过实验进行了验证，并与现有设计进行了对比。结果一致地证明了其卓越的适应性、对载荷变化的强鲁棒性以及在所有六个自由度上的有效低频隔离性能。这些成果为多自由度振动隔离系统建立了一个新的可调非线性构建模块。所提出的3-DoF模块被证明是一个多功能且经过实验验证的基础组件，在振动和噪声控制、结构动力学、能量收集以及需要多方向刚度调节的先进机器人和机电设计领域具有重要的应用价值。

1. 引言
多方向振动隔离在许多工程领域中都是必不可少的，包括土木工程中的地震防护[1]、海洋工程中的环境载荷缓解[2]，以及航空航天系统中的超高压稳定导引和控制[3],[4]。由于复杂的操作环境和严格的精度要求，这些应用迫切需要能够同时在多个方向上进行宽带振动衰减的多自由度（multi-DoF）隔离方法，且隔离性能要延伸到低频和超低频范围。值得注意的是，多自由度振动控制单元是实现工程实践中所需的多方向振动控制的有效技术手段。尽管多自由度系统并不总能实现多方向自由度，但本文旨在开发能够实现多方向振动控制的多自由度刚度调节方法。因此，在本文中，这两个术语通常指的是相同的技术含义，以避免混淆。
值得注意的是，即使在单自由度系统中，实现低频振动隔离也已经具有挑战性，这主要是由于众所周知的承载能力和可实现的隔离频率之间的权衡[5],[6],[7]。将这些原理扩展到多自由度配置中会使问题变得更加复杂。多自由度隔离器不仅需要在每个自由度上提供低频隔离，还要抑制运动之间的有害耦合效应。因此，多自由度隔离技术的发展仍然明显落后于单自由度系统。
主动和半主动控制策略[8],[9],[10],[11]经常被用来实现多方向隔离，通常使用磁性或电磁驱动方式。尽管这样的系统在与适当的控制算法配合使用时可以提供多自由度隔离，但所需的执行器会增加结构和控制复杂性，可能会影响可靠性和稳定性。结果，大多数主动或半主动多自由度隔离器在5赫兹以下的频率难以实现有效的隔离。
与主动或半主动方法相比，被动振动隔离提供了一种更可靠且成本效益更高的替代方案。现有的被动多方向隔离器可以根据其基本的机械原理大致分为几类：基于Stewart平台的设计[12],[13],[14],[15],[16],[17],[18],[19],[20]，多个单自由度单元的集成组件[1],[21],[22],[23],[24],[25],[26],[27],[28],[29]，基于超材料的方法[30],[31],[32],[33]，以及使用X结构和X变体的机制[34],[35],[36],[37],[38],[39],[40],[41],[42],[43]。
在这些方法中，Stewart机制是一个经典的平台，能够实现六自由度的振动隔离[12],[13],[14],[15],[16],[17],[18],[19],[20]。基于其基本架构，已经开发了许多采用了智能材料或执行器的增强设计[15],[16],[17],[20]，以满足先进工程应用的高精度要求[12],[16]。然而，理论分析表明，这些系统本质上存在自由度之间的强耦合问题。此外，它们的设计涉及不可避免的权衡：增加腿的刚度或采用更紧凑的配置可以提高稳定性，但会降低低频隔离性能；而减少刚度可以提高隔离性能，但会损害系统稳定性和承载能力。
在工程实践中，将多个单自由度单元集成起来形成多自由度振动隔离器是另一种广泛使用的方法，特别是在隔离要求集中在一两个特定方向上的情况下[1],[21],[22],[23],[24],[25],[26],[27],[28],[29]。例如，朱等人[1]开发了一种三自由度水平振动隔离器，该隔离器使用单自由度振荡器配置为在多个方向上实现准零刚度（QZS）行为，以保护结构免受复杂的水平地震激励。沈等人[22]提出了一种基于QZS特性的六自由度被动隔离器，这些特性由压缩弹簧和欧拉屈曲的支柱产生。实验研究表明，尽管这些解耦设计理论上避免了Stewart平台中出现的强耦合问题，但由于多个组件的存在和相对松散的集成，整体隔离性能与其他紧凑的多自由度平台相比有所下降。
基于超材料的多自由度振动隔离器也因其有前景的隔离特性而受到越来越多关注[30]。欧等人[15]设计了一种由五个标准梁段组成的弯曲梁超材料，以实现宽载荷和位移范围下的低频隔离。钱等人[31]利用多保真度替代模型优化了一种基于超材料的隔离器。阿里等人[32]引入了3D打印的可编程机械超材料用于多自由度振动隔离，其中包含了具有零泊松比的QZS分级圆柱结构。这些超材料方法通常表现出高承载能力、轻量化结构和紧凑几何形状等理想特性。然而，它们固有的结构非线性可能会导致稳定性受损或在主要加载方向下（尤其是在10赫兹以下）降低低频隔离性能。
上述综述表明，实现宽带多自由度振动隔离需要改进系统的整体集成，同时尽量减少不同自由度之间的不希望的耦合。一个集成良好的多自由度隔离器至少应满足三个标准：（1）紧凑的整体配置；（2）所有机械组件的连贯和协同集成；（3）冗余的调节机制，以便独立调整每个自由度的性能。因此，有效的设计策略是在保持紧凑的结构集成的同时，提供局部调节机制，通常通过非线性刚度阻尼和/或惯性[38],[39]，以解决固有的权衡并满足现代工程应用的高要求。
基于X结构的隔离器代表了一类具有优异可调性的几何非线性系统。景星建的研究小组[34],[35],[36],[37],[38],[39],[40],[41],[44]广泛研究了使用生物启发结构的振动控制，并提出了几种X形非线性隔离器。通过采用对称或不对称的配置、选择不同数量的层或弹簧刚度、调整弹簧的预伸长量，或引入额外的调节机制，X形结构可以在一个高度集成的单元内实现多自由度运动[38]。这些系统还提供了方便调节的非线性刚度、阻尼和惯性特性[36],[37],[38],[39],[40]。重要的是，这些特性可以局部调整，以适应特定的载荷和环境振动条件。广泛的实验结果表明，基于X结构的隔离器的有效隔离频率可以调节到2赫兹以下。
鉴于X结构（包括经典的菱形机制及其变体[39]）的高集成度和可调性，本文提出并系统地研究了一种多功能、紧凑的三自由度X单元，该单元具有可调的非线性刚度，以解决上述多方向振动隔离的挑战。通过适当组合基本的非线性刚度调节组件，可以灵活地设计和调整单元的刚度-位移行为，无论是在质量上还是数量上。这使得在三个自由度上实现目标非线性刚度特性成为可能，包括垂直平移、水平平移和水平旋转。
整个机制可以配置为表现出完全递减的刚度特性，从正刚度到准零刚度（QZS），再到负刚度。它还支持可定制的QZS、多稳定性和可调节的承载能力。此外，非线性调节组件直接嵌入到基本配置中，从而实现高度紧凑和结构集成的设计。
通过应用案例研究证明，所提出的3-DoF X单元既可以作为独立的支撑元素使用，也可以与多个单元结合使用，形成多自由度振动隔离平台。这为工程系统中的多方向振动隔离提供了有效的解决方案。重要的是，分析结果表明，根据具体应用的需求，不同自由度之间的耦合效应可以抑制或有意增强，这得益于冗余调节参数的可用性。对物理原型的实验测试进一步验证了理论发现。
本文的主要贡献总结如下：
（1）提出了一种紧凑的、自包含的三自由度X单元，其在整个位移范围内具有完全可调的非线性刚度。我们开发了一种高度集成的三自由度结构模块——3-DoF X单元——能够实现平面内平移（x, z）和旋转（φ）。该单元可以独立运行，也可以作为多自由度系统中的模块化元素。通过几种紧凑的调节机制，其所有方向的非线性刚度可以全局调整，从而实现广泛的设计灵活性（第3节）。这些机制允许有效地塑造全局静态响应。
此外，所提出的调节机制允许在整个允许的位移范围内分段平滑地调整刚度。在任何区间内，可以设计出具有可调承载能力、多 stable 平衡状态或可定制的负刚度段的刚度轮廓（第3.2节和第5.1节）。
（2）引入了新的 performance 指标，即 ZPD 刚度和高质量 QZS。为了评估非线性刚度行为，我们引入了具有渐进-递减（ZPD）刚度的零启动（Zero-starting with Progressive–Degressive）刚度，该刚度量化了在平衡点附近平衡稳定性和最佳隔离的理想非线性刚度。我们进一步定义了高质量 QZS 为弱正刚度，它在保持恢复力和适当阻尼的同时避免负/不连续的刚度。这一特性提供了出色的隔离性能，而不会在共振附近引起分叉或混沌响应。这两个概念作为实际系统的实用指标，并通过分析和实验得到了验证。
（3）与传统的X结构相比，表现出更优越的性能。与类似杆配置的经典X机制（第6.1节）相比，3-DoF X单元实现了更高的承载能力、更宽的高质量QZS区域、更大的行程以及在所有三个方向上更丰富的可调非线性行为（第3节和第4节）。所提出的主接触和侧接触弹簧机制能够有效调节x方向的非线性平移刚度和y方向的旋转刚度，通过在平衡点附近提供接近零的刚度以及远离平衡点时的强非线性恢复力，从而增强了振动和稳定性控制——即ZPD-刚度特性。
（4）通过使用所提出的设计模块，展示了多自由度振动隔离平台，并验证了其实验优势。由3-DoF X单元构建的几个基准隔离平台展示了与理论预测一致的优秀多自由度振动隔离性能（第5节），优于文献中的类似设计（第6.2节）。此外，结果表明，可以通过参数调节和优化来刻意利用或减轻非线性方向耦合（例如，用于能量收集）（第3节）。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了3-DoF X单元的机制设计及其调节机制。第3节介绍了所有三个自由度的静态分析。第4节发展了动态模型并评估了振动隔离性能，第5节提供了实验验证。第5.1节提出了基于X单元的三个振动隔离平台，并在第5.2节进行了实验验证。第6节将所提出的X单元与经典的X结构和其他多自由度隔离器进行了比较。第7.2节总结了结论。

2.1 结构模型和调节方法
图1(a)展示了所提出的3-DoF X单元的结构设计和刚度调节方法。与经典的菱形X结构[37]不同，该单元由两个棒层组成，中间有一个非接触的交叉区域（紫色区域），如图1(a)-I所示。下层由两个交叉的棒组成，每个棒的一端固定在地面上，另一端通过旋转关节与上层棒连接。上层的两根棒在顶部通过旋转关节连接，层间关节处装有水平弹簧（刚度k0）。这种配置允许三个自由度：垂直平移（Z轴）、水平平移（X轴）以及绕Y轴的平面内旋转。下载：下载高分辨率图像（132KB）下载：下载全尺寸图像图1. (a) 所提出的3自由度X单元的结构模型；(b) 其变形的示意图。先前的研究[33][34][35][36][37]表明，基本配置应能够固有地提供一个非线性的递减刚度系统，包括显著的负刚度和非线性阻尼，这些可以通过调整结构参数来定量定制，例如上层和下层杆之间的长度比γ=l1l2、上层杆的倾斜角度α以及水平弹簧刚度k0等。然而，为了进一步塑造非线性刚度特性以满足工程实践中更具挑战性的要求，如图1(a)-i-iii所示，提出了三种不同的刚度调节机制。图1(a)-i展示了标记为刚度ki的倾斜弹簧布置，其中一端连接到固定杆，另一端连接到下层杆之一。图1(a)-ii和图1(a)-iii分别展示了主接触弹簧（刚度kcm）和侧接触弹簧（kcs）的布置。主接触弹簧kcm沿着基本配置的中心轴安装，并在一定的垂直位移范围内同时接触两个下层杆。相比之下，侧接触弹簧kcs安装在基本配置的两个固定杆上，并在一定的位移范围内与一个下层杆接触。基本配置的压缩运动激活了这些集成的刚度调节机制。通过结合一个或多个具有预定和延迟接触布置的元件，可以重塑全局刚度曲线以实现各种目标特性。因为所有三个调节机制都直接安装在基本结构上或嵌入其中，所以整个系统保持了高度紧凑和集成，从而增强了结构稳定性和操作可靠性。

图1(b)展示了在垂直向下力Fz、水平力Fx和绕Y轴的力矩Mφ_y作用下的3自由度X单元的位移运动。点O被视为顶部运动参考点，S为底部固定参考点。沿Z轴的垂直位移定义为平移变形z，沿Y轴的水平位移定义为平移变形x，绕Y轴的角度变化定义为旋转变形φ。考虑到结构的对称性，上层杆的角度定义为θA，下层杆的角度定义为θB。因此，变形前的点可以假设为：
(1a) o={0,0}
(1b) A1=l1cosθA,l1sinθA,A2=-l1cosθA,l1sinθA
(1c) B1=l1cosθA-l2cosθB,l1sinθA+l2sinθB
(1d) B2=-l1cosθA+l2sinθB,l1sinθA+l2sinθB
根据公式(1)，结构的初始高度h0等于h0=l1sinθA+l2sinθB。由于点B1和B2固定在基座上，所以点B1和B2在z轴上的坐标为h0，两点之间的距离确定为d0=2(l1cosθA-l2cosθB)。假设两个下层杆的角度在变形后变为θB1′和θB2′，那么点o′、A1′和A2′的坐标可以表示为：
(2a) o′={-h0sinφ-x,h0-h0cosφ-z}
(2b) A1′=-d02+l2cosθB1′,h0-l2sinθB1′
A2′=d02-l2cosθB2′,h0-l2sinθB2′
(2c) B1′=-d02,h0
B2′=d02,h0
由于杆OA1和OA2在变形前后的长度相等，可以得出以下限制条件：
(3a) (-d02+l2cosθB1′+h0sinφ+x)2+(-l2sinθB1′+h0cosφ+z)2=l12
(3b) (d02-l2cosθB2′+h0sinφ+x)2+(-l2sinθB2′+h0cosφ+z)2=l12
根据公式(1)–(3)，可以解出角度θB1′和θB2′，并得到变形后点A1′和A2′的相应坐标以及角度θA1′和θA2′。考虑到水平弹簧的位移Δl0由A1′和A2′之间的距离变化决定，可以表示为：
(4) Δl0=[d0-l2cosθB2′-cosθB1′]2+[l2sinθB1′-sinθB2′]2-(d0-2l2cosθB)2

如2.1节所示，采用了三种刚度调节机制来重塑整个结构的任意刚度特性。这三种布置的变形可以通过几何分析获得。表1在附录A中展示了相应的变形机制。假设倾斜弹簧在初始状态时处于未变形的长度。如表1（附录A）所示，倾斜弹簧一端连接到固定杆的长度为hr，另一端沿下层杆到B1的长度为lr。因此，倾斜弹簧的初始长度为li=(lrsinθB0-hr)2+(lrcosθB0)2，当θB′在变形过程中变为θB′时，弹簧的位移可以表示为：
(5) Δli=(lrsinθB1′-hr)2+(lrcosθB1′)2-(lrsinθB0-hr)2+(lrcosθB0)2
主接触弹簧kcm的变形机制在表1中有所说明。主接触弹簧kcm可能同时接触两个下层杆。当整个结构发生旋转时，两个下层杆的位移角度不对称，导致弹簧kcm内的变形也不对称。因此，弹簧kcm的变形可以分解为三个部分，即Δla1=da1-da0、Δla2=da2-da0和Δlm=dm-dm0。

假设接触点1和接触点2由于杆A1B1和A2B2引起的垂直位移分别为zm1和zm2。考虑到下层杆与接触弹簧kcm之间的初始接触间隙σm，zm1和zm2的表达式可以分别为zm1=d02tanθB0-tanθB1′-σm和zm2=d02tanθB0-tanθB2′-σm。因此，弹簧kcm的位移可以表示为：
(6a) Δla1=zm12+da02-da0
(6b) Δla2=zm22+da02-da0
(6c) Δlm=(zm1-zm2)2+dm02-dm02
当旋转超过某个特定角度时，主接触弹簧只与一个杆接触。在这种情况下，弹簧kcm的变形可以分解为两个部分，即dm0和da0共同形成一个组合段dam。弹簧kcm的位移可以表示为：
(7a) Δla1=zm12+da02-da0
(7b) Δlam1=zm12+(da0+dm0)2-(da0+dm0)
或者
(7c) Δla2=zm22+da02-da0
(7d) Δlam2=zm22+(da0+dm0)2-(da0+dm0)
此外，当整个X单元仅发生垂直位移时，弹簧kcm内的变形是对称的，即Δla1=Δla2，且Δlm=0。

侧接触弹簧kcs的变形机制与主接触弹簧kcm相似。由于一个接触杆引起的接触点不在弹簧的中点，弹簧的变形是不对称的，可以分解为两部分，Δll=dl1-dl0和Δlr=dr1-dr0。考虑到初始接触间隙σs，接触点zs的垂直位移可以表示为zs=d0tanθB0-tanθB1′-σs或zs=d0tanθB0-tanθB2′-σs。因此，弹簧kcs的位移可以表示为：
(8a) Δll=zs2+dl02-dl0
(8b) Δlr=zs2+dr02-dr0
当使用多个弹簧时，类似于kcm和kcs的布置，也可以使用公式(6) ?公式(8)并代入相应的初始接触间隙σm来计算相关的弹簧位移。有了上述位移表达式，就可以确定对整个X单元有贡献的相应恢复力。

本节进行了静态分析，并介绍了重塑任意非线性刚度特性的适当方法。

通过将刚度调节机制与基本配置集成，可以通过分析每根杆上的力来确定X单元的整体静态变形机制。图2a展示了集成X单元的简化示意图。图2b-h说明了每个单独杆和接头上的力分布。假设外部施加的载荷包括垂直力Fz、水平力Fx和绕Y轴的力矩Mφ_y。为了清晰起见，所有外部力，包括施加的载荷和由弹簧布置产生的力，都用F表示，杆两端的内部力用f表示。

基于图2b所示顶部平台的静态分析，可以写出力和力矩平衡方程：
(9) Fz-f1oz+f2oz=0
(9a) Fx-f1ox+f2ox=0
(9b) Mφ-M1o-M2o=0
因此，可以在位移x、z和φ，以及力Fx、Fz、Mφ的情况下得到f1ox、f2ox、f1oz、f2oz、M1o和M2o的方程。在方程(9)中，f1ox、f1oz和M1o是由杆OA1产生的力和力矩，而f2ox、f2oz和M2o是由杆OA2产生的力和力矩。对于两个上层杆，力和力矩平衡方程可以写为：
(10) f1Ox+f1ABx=0
(10a) f1Oz-f1ABz=0
(10b) f1ABzl1cosθA1′+f1ABxl1sinθA1′-M1O=0
(10c) -f2Ox+f2ABx=0
(10d) f2Oz+f2ABz=0
(10e) f2ABzl1cosθA2′-f2ABxl1sinθA2′+M2O=0
其中sinθA1′=(zA1′-zO′)/l1，cosθA1′=(xA1′-xO′)/l1，sinθA2′=(zA2′-zO′)/l1，xA1′、zA1′、xA2′、zO′可以通过方程(2)确定。f1ABx和f1ABz是作用在接头A1上的力，而f2ABx和f2ABz是作用在接头A2上的力。

如图1(a)所示，刚度调节机制接触下层杆。图2展示了杆A1B1和A2B2上的力分布。在静态分析中，让两个倾斜弹簧在杆A1B1和A2B2上的连接点分别表示为h1和h2，它们对应的倾斜角度分别表示为θh1和θh2。主接触弹簧与杆A1B1和A2B2的接触点分别表示为m1和m2，而侧接触弹簧与杆A1B1和A2B2的接触点分别表示为s1和s2。

对于图2-h,e中所示的杆A1B1和A2B2的静态分析，可以得出力和力矩平衡方程：
(11) f1OAx-F1icosθh1'+f1Bx=0
(11a) f1OAz-F1cs_1-F1cs_2-F1cm+F1isinθh1'-f1Bz=0
(11b) F1cmxB1m1+(F1cs1+F1cs2)xB1s1+F1icosθh1'zB1h1
(11c) -F1isinθh1'xB1h1-f1OAxl2sinθB1'-f1OAzl2cosθB1'=0
(11d) f2OAx-F2icosθh2'+f2Bx=0
(11e) F2OAz-F2cs_1-F2cs_2-F2cm+F2isinθh2'-f2Bz=0
(11f) F2cmxB2m2+(F2cs1+F2cs2)xB2s2+F2icosθh2'zB2h2
(11g) f1OAx-F1icosθh1'+f1Bx=0
(11a) f1OAz-F1cs_1-F1cs_2-F1cm+F1isinθh1'-f1Bz=0
(11b) F1cmxB1m1+(F1cs1+F1cs2)xB1s1+F1icosθh1'zB1h1
(11c) -F1isinθh1'xB1h1-f1OAxl2sinθB1'-f1OAzl2cosθB1'=0
(11d) f2OAx-F2icosθh2'+f2Bx=0
(11e) F2OAz-F2cs_1-F2cs_2-F2cm+F2isinθh2'-f2Bz=0
(11f) F2cmxB2m2+(F2cs1+F2cs2)xB2s2+F2icosθh2'zB2h2
(11g) f1OAx-F1icosθh1'+f1Bx=0
(11a) f1OAz-F1cs_1-F1cs_2-F1cm+F1isinθh1'-f1Bz=0
(11b) F1cmxB1m1+(F1cs1+F1cs2)xB1s1+F1icosθh1'zB1h1
(11c) -F1isinθh1'xB1h1-f1OAxl2sinθB1'-f1OAzl2cosθB1'=0
(11d) f2OAx-F2icosθh2'+f2Bx=0
(11e) F2OAz-F2cs_1-F2cs_2-F2cm+F2isinθh2'-f2Bz=0
(11f) F2cmxB2m2+(F2cs1+F2cs2)xB2s2+F2icosθh2'zB2h2
(11g) f1OAx-F1icosθh1'+f1Bx=0
(11a) f1OAz-F1cs_1-F1cs_2-F1cm+F1isinθh1'-f1Bz=0
(11b) F1cmxB1m1+(F1cs1+F1cs2)xB1s1+F1icosθh1'zB1h1
(11c) -F1isinθh1'xB1h1-f1OAxl2sinθB1'-f1OAzl2cosθB1'=0
(11g) f1OAx-F2icosθh2'+f2Bx=0
(11d) f2OAz-F2cs_1-F2cs_2-F2cm+F2isinθh2'-f2Bz=0

通过公式(12ab)和(12b)，可以得到主接触弹簧kcm、侧接触弹簧kcs和倾斜弹簧ki在水平方向X轴上的力臂；而沿Z轴的力臂分别表示为：
(13a) zB1m1=d02tanθB1′,zB1s1=d0tanθB1′,zB1h1=lrsinθB1′
(13b) zB2m2=d02tanθB2′,zB2s2=d0tanθB2′,zB2h2=lrsinθB2′
力Fi可以通过公式(5)中获得的变形后的刚度和位移来确定，可以表示为：
(14a) F1i=kiΔl1i
(14b) F2i=kiΔl2i
li1′和li2′是两个倾斜弹簧的长度，θh1′和θh2′是变形后的倾斜弹簧角度，可以表示为：
(15a) li1′=(zB1h1-hr)2+(lrcosθB1′)2
(15b) li2′=(zB2h2-hr)2+(lrcosθB2′)2
(15c) sinθh1′=(zB1h1-hr)/li1′
(15d) sinθh2′=(zB2h2-hr)/li2′
Fcm可以通过旋转角度来确定。当主接触弹簧kcm与两个杆A1B1和A2B2都接触时，可以通过结合公式(6)得到：
(16a) F1cm=kcmΔla1zm1zm12+da02+kcmΔlm(zm1-zm2)
(16b) F2cm=kcmΔla2zm2zm22+da02+kcmΔlm(zm1-zm2)
(16b) F2cm=kcmΔla2zm2zm22+da02+kcmΔlm(zm1-zm2)
当角度超过某个特定范围时，主接触弹簧kcm只与一个杆接触。结合公式(7)可以知道，当整个结构向右侧旋转时，F2cm=0；
(17a) F1cm=kcmΔla1zm1zm12+da02+kcmΔlam1zm1zm12+(da0+dm0)
当整个结构向左侧旋转时，F1cm=0；
(17b) F2cm=kcmΔla2zm2zm22+da02+kcmΔlam2zm2zm22+(da0+dm0)
类似于Fcm，当旋转在一定范围内时，两个下层杆都与相应的侧接触弹簧接触。然而，当旋转超过某个范围时这些数据显示了典型的非线性递减刚度特性（包括初始的正刚度阶段、中间的零刚度阶段以及之后的负刚度阶段），这在X轴平移方向和Y轴旋转方向上都有体现。下载高分辨率图像（721KB）；下载全尺寸图像。图3展示了当X单元受到（a）水平平移力Fx和（b）原点O处的旋转力矩Mφ作用时，每个自由度（DoF）的耦合运动情况。X单元由基本配置和主接触弹簧组成，其参数为l2=0.15米，d02=0.05米，α=7π/18，k0=1000牛顿/米，l1l2=2/3，kcm=2500牛顿/米，Δcm=0.045米。不同的刚度排列组合包括：（c）具有负刚度的基本配置，（d）结合倾斜弹簧的基本配置，（e）主接触弹簧，以及（f）侧接触弹簧。基本配置在（h）水平位移x和（i）旋转位移φ作用下的变形是通过方程（1）-（3）计算得出的。红色虚线表示点o、A1和A2的运动轨迹，而蓝色线条表示水平拉力弹簧的长度变化。（关于图例中颜色的解释，请参阅本文的网页版本。）图3(b)表明，外部旋转力矩会引发一个完全耦合的3自由度响应，包括沿X轴和Z轴的平移以及绕Y轴的旋转。X轴方向上的位移趋势与旋转角度相似：两者都随着施加的力矩增加而增加，直到达到一个转折点，之后随着力矩减小又会有轻微的增加。Z轴方向上的位移则随着施加的力矩单调增加。所有力/力矩-位移/角度响应都表现出明显的非线性特征，详细的非线性静态分析在3.2节中有所介绍。后续章节将探讨X单元的静态行为，并展示通过所提出的调整机制实现的可调刚度特性。3.2节分析了各个平移和旋转方向上的静态响应，而3.3节讨论了与完全耦合的3自由度运动相关的静态行为。

3.2. 具有不同刚度调整机制的X单元的静态特性
为了理解各种刚度调整机制对静态特性的影响，首先讨论了图1(a)-I中所示的基本配置的变形机制。然后，将各种刚度调整机制集成到基本配置中，以进一步探索其对整个结构的影响，如图3(c)–(f)所示。讨论中使用的主要结构参数设置为l2=0.15米和d02=0.05米。图3(c)展示了X单元的基本配置示意图，它由两层杆和一个水平弹簧组成。基本配置沿Z轴的平移静态特性由多个结构参数决定，包括上层杆的角度α和上层杆与下层杆的长度比l1l2，以及水平弹簧的刚度k0。在水平方向上的运动与绕Y轴的旋转运动耦合时，如图3(g)所示，随着变形的增加，水平拉力弹簧在点A1和A2之间的位移会减小，因此水平弹簧不会产生力。结果，在这种情况下，整个结构表现为沿水平平移和旋转方向的自由反作用力运动。图3(d)展示了结合倾斜弹簧排列ki的基本配置的X单元。倾斜弹簧排列对整个X单元的影响由两个参数决定：角度β和弹簧的刚度ki。如表1所示，倾斜弹簧的连接点可以调整，从而改变β的值，因此可以在不同的β和ki参数下获得静态特性。图3(e)展示了在基本配置中结合主接触弹簧kcm的X单元。在平移运动中，静态特性受两个关键参数控制：弹簧自由端与基本配置接触点之间的间隙位移Δcm，以及主接触弹簧的刚度kcm。对于旋转自由度（DoF）运动，当接触弹簧与基本配置之间存在间隙（Δcm≠0）时，整个结构的表现与基本配置相同，表现为无反作用力的自由DoF运动。因此，考虑Δcm=0的情况更为有趣，在这种情况下，只有刚度kcm影响旋转自由度运动的静态特性。图3(f)展示了在基本配置中结合侧接触弹簧kcs的X单元。侧接触弹簧的排列机制与主接触弹簧的排列类似。弹簧自由端与基本配置接触点之间的间隙位移Δcs和侧接触弹簧的刚度s是决定侧接触弹簧特性的两个关键参数。因此，当侧接触弹簧单独使用时，它可以产生与主接触弹簧相当的效果。然而，当与主接触弹簧结合使用时，侧接触弹簧的选择提供了多区间可调性。因此，侧接触弹簧排列的效果与主接触弹簧排列kcm一起进行了分析。

接下来的章节分别讨论了沿Z轴的垂直平移位移z、沿X轴的水平平移位移x、绕Y轴的旋转位移φ，以及平移位移x与平移压缩z、旋转位移φ与平移压缩z的耦合运动下的静态特性，特别关注每种刚度调整机制对所提出的X单元的影响。

3.2.1. 在垂直位移z下的静态特性
图3(g)–(h)展示了基本配置在平移运动下的X单元的静态特性。整个力-位移曲线随着位移的增加而增加，直到达到峰值（即零刚度点），然后减少至0力。这一趋势表明基本配置的刚度从初始的正刚度阶段，经过零刚度阶段，最终在后期变为负刚度，这与经典X结构[36]、[37]中的情况相似。这证实了一个典型且完整的非线性递减刚度系统，有利于工程设计所需的刚度系统，用于振动控制、能量收集等应用。图4(a)–(c)探讨了上层杆的角度α、上层杆与下层杆的长度比l1l2，以及水平弹簧的刚度k0对静态特性的影响。下载高分辨率图像（816KB）；下载全尺寸图像。图4展示了不同参数值对沿Z轴平移运动的力-位移曲线的影响，包括（a）上层杆的角度α=6π/18、7π/18和8π/18，（b）上层杆与下层杆的长度比l1l2=1.3、2.3和1，（c）水平弹簧的刚度k0=1000、2000和3000牛顿/米，（d）tanβ=-0.6、0、1.2，（e）刚度ki=1200、2400和3600牛顿/米，（f）弹簧自由端与基本配置接触点之间的间隙位移Δcm=0.045、0.05、0.055；（g）刚度kcm=1500、2000和2500牛顿/米，（h）刚度kcs=1000、2000和3000牛顿/米，以及（i）弹簧自由端与基本配置接触点之间的间隙位移Δcs=0.085、0.09、0.095。图4(a)显示，增加α会扩大行程范围，具体来说，角度α增加15%会导致行程范围扩展约10%。增加α还会提高承载能力，具体而言，角度α增加15%会使峰值幅度增加约50%。重要的是，较大的α意味着反作用力增长更快，初始正刚度更大，达到QZS区的速度也更快，其增加比例与承载能力的增加类似。因此，上层杆的角度α越大，行程范围越大，承载能力增强，刚度变化范围扩大，达到QZS区的距离更短，初始正刚度更大，而负刚度也更大。图4(b)显示了长度比l1l2对静态特性的影响，其效果与角度α类似。上层杆与下层杆之间的长度比越大，位移范围越大，承载能力增强，刚度变化范围扩大，初始正刚度也更大。具体来说，杆长比增加1/3会导致载荷能力增加约20牛顿或100%，行程范围扩大约0.07米或50%。与角度α的效果不同，增加l1l2会将峰值（以及QZS点）向更大的位移位置移动，表明在整体行程中正刚度阶段的位移范围延长。图4(c)显示，与角度α和长度比l1l2的不同，刚度k0的变化对行程范围或峰值出现的位置没有影响。位移范围保持在（-0.215米、0.215米），且所有k0值下的峰值始终出现在0.06米处。然而，增加k0会显著提高承载能力，并使刚度变化范围扩大约1000单位的变化。

当给定X单元的基本配置时，可以选择适当的刚度调整元件来重塑所需的静态特性。为了清晰起见，以下分析中基本配置的默认结构参数设置为l1l2=2.3米，k0=1000牛顿/米，α=7π/18。

图4(d)–(e)展示了倾斜弹簧排列ki对X单元沿Z轴平移运动的影响。与基本配置相比，如图中虚线曲线所示，添加倾斜弹簧引入了正刚度，可以平滑地抵消基本配置中固有的负刚度。因此，整个力-位移曲线的幅度和位移范围都可以明显调整，适用于所有正刚度、负刚度和零刚度情况。图4(d)显示了倾斜弹簧的角度β=0.6和1.2对静态特性的影响。与基本配置的曲线相比，引入倾斜弹簧可以缓解力-位移曲线峰后的下降趋势，表明负刚度可以通过倾斜弹簧提供的正刚度来平滑抵消。随着β的增加，这种效果更加明显。当tanβ=1.2时，力-位移曲线在峰值后保持大致恒定的值，表明存在一个QZS区域。同时，随着β的增加，承载能力也增加。然而，当tanβ<0时，峰前刚度的增加趋势低于基本配置，导致承载能力降低，但QZS范围扩大。图4(e)展示了刚度ki=1200、2400和3600牛顿/米时倾斜弹簧的刚度对静态特性的影响。刚度ki的效果与角度β的效果类似，即增加的刚度ki会将峰后的刚度从负刚度转移到QZS区域，最终变为纯正刚度。因此，通过适当调整倾斜弹簧的刚度，可以实现更宽的QZS区域、更高的起始刚度和更高的承载能力，或者纯正刚度。

图4(f)–(g)展示了主接触弹簧kcm对平移运动z的静态特性的影响。力-位移曲线与倾斜弹簧引起的不同。弹簧与基本配置之间的接触间隙提供了在局部位移范围内的高且平滑的可调性。图4(f)显示，力-位移曲线最初与基本配置的重合，之后在与主接触弹簧接触时，力-位移随位移平滑上升，从而可以实现多稳定性特性。具体来说，当接触点选在峰值之后的位置时，可以通过结合主接触弹簧 arrangement 来生成第二个QZS 点，同时保留基本配置创建的第一个 QZS 点。重要的是，曲线保持连续，表明在接触点附近没有刚度的突然变化。图4(f)和图4(g)分别展示了接触间隙和主接触弹簧的刚度对静态特性的影响。图4(f)展示了间隙位移Δcm的效果。研究表明，通过调整接触点，刚度的可调范围是可以调整的。具体来说，Δcm的增加会改变偏离原始曲线的起始点，如图中的虚线所示。图4(g)展示了在不同刚度kcm=1500、2000和2500 N/m下的力-位移曲线。显然，较大的kcm会导致刚度更快地增加。

**带有侧向接触弹簧kcs的静态特性**
侧向接触弹簧的影响与主接触弹簧类似。重要的是，当侧向接触弹簧与主接触弹簧结合使用时，可以提供多区间可调性。因此，分析了侧向接触弹簧布置与主接触弹簧布置kcm结合使用时的效果。整体静态特性如图4(f)–(g)所示。此外，通过设计接触位置(Δcs)和侧向接触弹簧引入的额外力的大小，可以轻松获得多稳定性特性，并且力-位移可以任意调整。此外，侧向接触弹簧的引入进一步扩展了刚度调整的可调性和灵活性，从而实现了如图4(h)–(i)所示的多区间可调性。图4(h)和(i)展示了不同Δcs和kcs值下的平移力-位移曲线。在图4(h)中，与没有侧向和主接触弹簧的曲线相比，主接触弹簧的引入将在接触点M将力-位移曲线分为两个区间s1和s2。当额外加入侧向接触弹簧时，力-位移曲线进一步分为三个区间s1、s2和s3。具体来说，仅由主接触弹簧产生的区间s2在接触点S处又进一步分为两个区间s2和s3。因此，侧向接触弹簧使得区间s3的刚度可调。如图4(h)所示，增加刚度kcs会进一步提高区间s3的曲线。Δcs决定了侧向接触点的位置，如图4(i)所示。较大的Δcs会导致在较大的位移处发生接触，从而减少了区间s3的可调范围。请注意，所有曲线在所有接触点周围都是连续的。

**3.2.2. 在水平位移x下的静态特性**
如3.2.1节所讨论的，当仅使用基本配置时，水平弹簧k0不会产生恢复力。因此，所提出的X单元在两个自由度(X轴平移和Y轴旋转)方向上表现出自由运动。然而，在引入所提出的刚度调节机制后，水平平移运动表现出明显的非线性特性，这主要是由于所提出的X单元中采用了倾斜弹簧和主接触弹簧，因为在图1(a)所示的情况下，当侧向接触弹簧固定在B1（B2）点时，下层杆可能无法与其接触。

**带有倾斜弹簧ki的静态特性**
结合倾斜弹簧ki的布置，力-位移曲线表现出与图4(a)–(c)中类似的特性。随着水平位移x的增加，沿X轴的恢复力最初增加到峰值，然后减少到0，呈现出典型的完全非线性递减特性（初始为正，中间为零，后期为负）。当基本配置的结构参数固定时，沿X轴的行程范围是固定的，峰值位置也固定在某个行程处，如图5(a)–(b)所示。

**图5. 不同参数对沿X轴平移运动力-位移曲线的影响。**
(a) 倾斜弹簧的倾斜角度tanβ=-0.6,0,1.2；(b) 其刚度ki=1200,2400和3600 N/m；(c) 不同刚度kcm=1500,2000和2500 N/m对沿X轴平移运动力-位移曲线的影响。
图5(a)–(b)显示，增加倾斜角度或倾斜弹簧的刚度会显著提高初始的正刚度和承载能力，而弹簧刚度调节的比例则更加线性，但两者都不会改变达到零刚度点之前的行程距离或峰值承载能力的位置；较小的倾斜角度或刚度则在零刚度点周围产生较大的QZS区域。

**带有主接触弹簧kcm的静态特性**
为了确保主接触弹簧kcm在水平运动中的功能，主接触弹簧在开始时设置为与基本配置接触，即Δcm=0。
图5(c)展示了施加主接触弹簧时沿X轴平移运动的静态特性。尽管曲线的总体趋势与图5(a)–(b)中的相似，不同之处在于沿X轴的恢复力从零刚度开始，逐渐增加到最大承载位置，然后随着水平位移x的增加而减少到几乎为零的刚度。

**定义：ZPD-刚度特性。**
这展示了与之前提到的典型递减系统不同的非线性刚度特性。刚度可以在起点调节为零，然后逐渐增加到最大值，再减少到零刚度点。也就是说，在X轴的静态平衡状态下，系统处于完美的零刚度区域，尽管这一区域相对较小，但具有随着刚度迅速增加而产生的强大恢复力。这种非线性刚度特性对于X方向的振动和稳定性控制是有益的。为了方便起见，这种特性被称为“零起始-渐进递减刚度”（ZPD-刚度）。
ZPD-刚度用于描述这种典型的、有益的非线性刚度特性，其在平衡点附近具有良好的隔离性能，因为在小范围内接近零刚度，随后刚度迅速增加，提供较大的恢复力，从而实现更好的稳定性控制。如果需要这种特性，这对于新的平衡设计非常有用。
这与常用的“准零刚度”（QZS）不同，后者仅仅指的是接近零的刚度，而没有明确的质量评估，如图4(d)所示。然而，ZPD-刚度可以确保稳定的QZS。为了展示ZPD-刚度的特性，在附录B中的表2中比较了ZPD-刚度和常用QZS。

**3.2.3. 绕Y轴旋转运动φ下的静态特性**
如3.1节所讨论的，当仅使用基本配置时，结构在绕Y轴的旋转自由度上表现出无恢复力的自由运动。本节旨在展示引入刚度调节机制后可以发展出更多的旋转静态响应特性。

**带有倾斜弹簧ki的旋转静态特性**
如图6(a)–(b)所示，在基本配置中加入倾斜弹簧后，力-角度曲线表现出与图5(a)–(b)中沿X轴平移运动类似的刚度趋势。即，力矩随着旋转角度的增加而增加，达到峰值后开始减小，但不会减少到零。总体力矩范围相对较小，并且表现出典型的递减刚度系统，开始时的刚度最大。增加倾斜角度或倾斜弹簧的刚度可以显著提高刚度和整体承载能力，这些都与Z轴的垂直运动趋势相似。还需注意的是，在物理允许的范围内，旋转力矩在最大载荷点之后不能减少到零。

**带有主接触弹簧kcm的旋转静态特性**
主接触弹簧在开始时设置为与基本配置接触，即Δcm=0。
图5(c)展示了施加主接触弹簧时沿X轴平移运动的静态特性。虽然曲线的总体趋势与图5(a)–(b)中的相似，不同之处在于沿X轴的恢复力从零刚度开始，逐渐增加到最大载荷位置，然后随着水平位移x的增加而减少到几乎为零的刚度。

**ZPD-刚度特性**
这表明了一种与之前提到的典型递减系统不同的非线性刚度特性。刚度可以在起点调节为零，然后逐渐增加到最大值，再减少到零刚度点。也就是说，在X轴的静态平衡状态下，系统处于完美的零刚度区域，即使这个区域相对较小，但由于刚度迅速增加而具有强大的恢复力。这种非线性刚度特性对于X方向的振动和稳定性控制非常有益。为了方便起见，这种特性被称为“零起始-渐进递减刚度”（ZPD-刚度）。
ZPD-刚度用于描述这种典型的、有益的非线性刚度特性，它在平衡点附近具有良好的隔离性能，因为在小范围内接近零刚度，随后刚度迅速增加，从而产生较大的恢复力，有利于更好的稳定性控制。这与常用的“准零刚度”（QZS）不同，后者仅仅是指接近零的刚度，没有明确的质量评估。然而，ZPD-刚度可以确保稳定的QZS。为了展示ZPD-刚度的特性，在附录B中的表2中比较了ZPD-刚度和常用的QZS。

**3.2.3. 绕Y轴旋转运动φ下的静态特性**
如3.1节所讨论的，当仅使用基本配置时，结构在绕Y轴的旋转自由度上表现出无恢复力的自由运动。本节旨在展示引入刚度调节机制后可以发展出更多的旋转静态响应特性。

**带有倾斜弹簧ki的旋转静态特性**
可以在图6(a)–(b)中注意到，在基本配置中加入倾斜弹簧后，力矩-角度曲线显示出与图5(a)–(b)中沿X轴平移运动类似的刚度趋势。即，力矩随着旋转角度的增加而增加，达到峰值后开始减小，但不会减少到零。总体力矩范围相对较小，表现出典型的递减刚度系统，开始时的刚度最大。增加倾斜角度或倾斜弹簧的刚度可以显著提高刚度和整体承载能力，这些都与Z轴的垂直运动趋势相似。还需要注意的是，在物理允许的范围内，旋转力矩在最大载荷点之后不能减少到零。

**带有主接触弹簧kcm的旋转静态特性**
主接触弹簧在开始时设置为与基本配置接触，即Δcm=0。在这种情况下，只有kcm影响旋转静态特性。图6(c)展示了kcm=1500,2000和2500 N/m下的力矩-角度曲线。与图6(a)–(b)相比，主接触弹簧在开始时提供了零起始刚度，然后转变为渐进和递减刚度区域，这与主接触弹簧引起的水平平移运动中的典型ZPD-刚度特性相似。同样，这对于旋转方向的振动和稳定性控制是有益的，因为刚度在较小范围内为零，并且恢复力显著增加。与倾斜弹簧的情况类似，主接触弹簧引起的旋转力矩在物理允许的范围内在最大载荷点之后也不能减少到零。

**带有侧向接触弹簧kcs的旋转静态特性**
与沿X轴的平移运动不同，旋转运动中的整体结构容易在允许的变形范围内接触侧向接触弹簧。图6(d)–(e)展示了使用侧向接触弹簧时不同Δcs和kcs对应的旋转角度-力矩曲线。侧向接触弹簧也可以产生ZPD-刚度。然而，与主接触弹簧的结果相比，如图中的虚线所示，侧向接触弹簧的引入使我们能够在局部位移区间内调整曲线。如图6(d)所示，接触点S将曲线分为两个区间s1和s2，其中s2是可调范围，可以通过侧向接触弹簧来设计。增加的刚度kcs会增加曲线区间的幅度。Δcs决定了接触点的位置。较大的Δcs会导致在较大的位移角度处发生接触，表明可调的位移范围s2较小。

**3.2.4. 带有不同垂直压缩z的沿X轴平移运动的静态特性**
第3.2.2节讨论了在没有垂直压缩（即z=0 m）的情况下，所提出的X单元沿X轴平移运动的静态特性。本节讨论了垂直压缩对X轴平移刚度的影响，并揭示了X轴和Z轴耦合运动下的相应静态特性。
图7(a)展示了在不同初始垂直压缩z下沿X轴的平移位移。可以看出，当初始压缩z从0 m增加到0.05 m时，沿X轴的允许平移位移范围增加。然而，当z进一步增加到0.15 m时，允许的平移位移范围减小。图7(b)展示了允许的平移位移范围作为初始垂直压缩z的函数的分析结果。显然，沿X轴的平移位移范围随z的增加而增加，直到转折点z=0.12 m达到最大值，然后减小。结合图7(a)–(b)，可以看出转折趋势是由于底层杆与基础之间的接触造成的，当z>0.12 m时限制了整体结构的运动。因此，理论上允许的平移位移x在z=0.12 m时达到最大值。

**图7. 垂直压缩对沿X轴允许平移位移范围的影响：**
(a) 沿X轴的平移运动；(b) z压缩对沿X轴允许的平移位移范围的影响。
(a) 带有倾斜弹簧的X单元在三种不同工作位置下的平移运动；(c) 在垂直平移力-位移曲线上选择的三个不同压缩z值点；(d) 带有主接触弹簧的X单元在三种不同工作位置下的平移运动对z压缩的影响。
当应用不同的刚度调节机制时，受垂直压缩影响的沿X轴的平移静态特性可以表现出不同的行为。图7(c)–(d)和(e)–(f)展示了分别在z=0.15 m时，使用倾斜弹簧布置(ki)和主接触弹簧布置(kcm)实现QZS的两个结果。选择了三个具有不同压缩量z的工作位置来说明沿X轴的平移静态特性。图7(c)展示了带有倾斜弹簧的垂直力-位移曲线，该曲线与图4(e)中显示的蓝线相同。在这条力-位移曲线上，选择了z = 0 m、z = 0.05 m和z = 0.15 m三个工作位置进行进一步讨论。图7(d)展示了这三个工作位置下的x方向平移力-位移关系。可以注意到，恢复力在不同的压缩量z下表现出显著差异：(a)随着垂直压缩量z的增加，x方向的恢复力和允许位移范围明显增加；(b)如果垂直压缩量选择在Z-S分工点z处，x方向的恢复力趋向于更加线性；(c)如图16所示，较大的压缩量z会导致x方向的允许位移范围增大。然而，当z超过转折点时，允许位移范围会减小，且在允许位移范围内的刚性表现出线性。图7(e)展示了带有主接触弹簧的z方向垂直力-位移曲线。工作位置与图7(c)相同。图7(f)展示了这三个工作位置下的x方向平移力-位移关系。根据第3.2.2节，当接触弹簧存在接触间隙时，所提出的X单元在z = 0 m时将具有x方向的自由运动。因此，在这种情况下（图7(f)），由于没有压缩量z = 0 m，x方向的力-位移曲线保持在0。与倾斜弹簧布置的结果类似，当工作位置选择在z方向具有正刚性的点2时，力-位移曲线表现出非线性的递减刚度特性，x方向的允许位移范围对应于图7(b)。而在z方向具有Z-S分工点3时，x方向的力-位移曲线表现出更线性的特性，与z = 0.1 m相比，允许位移范围缩小。因此，可以得出结论，Z轴的位移会影响X轴的静态特性。较大的位移z量会减弱X轴刚度的非线性，使其趋于线性。此外，通过用主接触弹簧替换倾斜弹簧，可以在保持Z轴相同的Z-S分工特性的同时增强X轴的恢复力。

3.2.5. 在垂直压缩下的旋转运动静态特性
与在垂直压缩下的X轴平移运动类似，当与垂直压缩耦合时，Y轴的旋转运动也具有类似的静态特性。图8(a)–(b)展示了在不同垂直压缩量z下基本配置的旋转位移。与图7(a)–(b)所示的趋势类似，当初始垂直压缩量z从0 m增加到0.05 m时，允许的旋转位移范围增加。当z进一步增加到0.15 m时，允许的旋转位移范围减小。这种趋势变化的原因是由于底层杆与底座之间的接触。图8(b)展示了允许旋转位移范围作为初始垂直压缩量z的函数的解析结果。显然，当z = 0.018 m时，允许的旋转位移范围达到最大值，然后减小。

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图8. 垂直压缩量z对旋转行为的影响：(a) 在不同压缩水平下的旋转运动；(b) 旋转范围作为压缩量z的函数；(c-d) 在三种不同工作位置下的旋转力矩，以及(c) 倾斜弹簧和(d) 主接触弹簧对角力矩曲线的影响。图8(c)–(d)展示了不同刚度调节机制（倾斜弹簧排列ki和主接触弹簧kcm）在垂直压缩z下的旋转静态特性的影响。工作位置与第3.2.4节中的图7(c)和图7(e)相同。点1位于z = 0 m，代表未变形 configuration。点2位于z = 0.05 m，是由于负载F = 44 N引起的，而点3位于z = 0.15 m，是由于负载F = 53 N在平移自由度DoF上达到Z-S分工点QZS。如图8(c)所示，当使用倾斜弹簧时，旋转刚度在旋转自由度DoF上表现出近似线性的特性。位移角度范围也与图8(b)所示一致。此外，很明显，原点的旋转刚度随着压缩量z的增加而增加。图8(d)展示了使用主接触弹簧时的旋转静态刚度特性。与X轴平移运动类似，当在初始原点z = 0 m处使用接触弹簧时，X单元具有自由运动，因此力在0 N处保持不变。当X单元位于点2和点3时，非线性特性减弱，特别是在点3处近似趋于线性。相应的位移范围与使用倾斜弹簧时相同。因此，可以得出结论，Z轴的位移会影响X轴的静态特性。较大的位移z量会减弱X轴刚度的非线性，使其趋于线性。此外，通过用主接触弹簧替换倾斜弹簧，可以在保持Z轴相同的Z-S分工特性的同时增强X轴的恢复力。

3.3. 不同刚度调节机制的参数效应总结
基本配置是确定所提出的3自由度X单元静态特性的重要部分。在Z轴方向的平移运动中，刚度系统通常表现为典型的完全递减特性，从正刚度开始，经过零刚度区域，然后到负刚度区域。增加上层杆角α、长度比l1l2或刚度k0可以提高承载能力并扩大刚度变化范围。为了获得更大的位移行程，采用较大的α和l1l2值是有效的。特别是因为基本配置也可以作为Z轴方向的负刚度布置，通过调整相应参数可以扩大负刚度变化范围。在X轴方向的平移运动和Y轴方向的旋转运动中，基本配置仅产生自由DoF运动，没有恢复力。

倾斜弹簧排列ki在所有三个自由度DoF中都贡献了正刚度。因此，通过选择适当的倾斜弹簧配置，3自由度X单元可以调整以在Z轴的垂直平移方向上表现出负刚度、QZS或正刚度，同时调整其承载能力。在水平平移X轴和Y轴方向的旋转中，该单元在平衡附近表现出近似线性的响应，通过倾斜弹簧可以调节刚度的大小。主接触弹簧排列kcm使得所有三个自由度的刚度均可局部调节。可以精确设计刚度变化的位移区间以及这种变化的幅度，从而实现多稳定特性。重要的是，引入主接触弹簧在X轴方向和旋转中保持了原点附近的QZS区域，同时通过有益的渐进刚度轮廓确保了恢复力的迅速增加，从而为振动控制应用提供了强大的稳定性。侧接触弹簧通过在整个自由度DoF中实现多区间刚度定制，进一步扩展了主接触弹簧引入的调节性。如图1(a)所示，可以包含多个侧接触弹簧以引入额外的可调节段。这允许在局部位移区间内独立塑造刚度轮廓，从而对全局静态响应提供基本上的任意控制。此外，使用接触弹簧而不是倾斜弹簧可以增强耦合效应，在相同的垂直位移Z下产生更大的X轴恢复力和Y轴恢复力。

表3（附录C）提供了所提出的3自由度X单元的每种刚度调节机制的关键特性和效果的总结。

4. 3自由度X单元的振动隔离性能
当应用适当的刚度调节机制组合时，所提出的3自由度X单元可以实现出色的QZS行为，从而在超低自然频率下实现振动隔离。本节首先概述了实现QZS条件的方法，然后通过非线性动态分析评估相应的振动隔离性能。由于篇幅限制，不同方向之间的耦合动力学的讨论较为简略，更详细的结果将在未来的工作中提供。

4.1. 构建QZS以实现宽带振动隔离性能
第3.2.1节的结果表明，将基本配置与倾斜弹簧布置或接触弹簧布置相结合，都可以实现Z轴方向平移运动的QZS。重要的是，只有当基本配置与接触弹簧布置集成时，才需要在原点周围实现X轴平移运动和旋转自由度的QZS。对于这两个方向更大的QZS区域，可以参考某些方法[40]。

对于z方向的平移运动，第一步是选择适当的刚度调节机制。一旦确定了刚度调节集成方法，下一步就是确定基本配置的结构参数，包括基本参数l2、d0以及关键参数α、l1l2、k0。利用这些参数可以得到基本配置的力-位移关系的解析表达式Fk(α, l1l2, k0)。接下来的任务是确定与基本配置匹配的刚度调节布置的关键参数，这是该方法的关键步骤。首先，必须确定与所需QZS点相对应的目标位移位置h0。然后使用泰勒级数展开基本配置与刚度调节机制结合后的整体位移-力关系Fz，即(21)Fz = Fh0 + F′h0z - h0 + F″h0z - h0^2 + ? + Fnh0z - h0^n + Rn。因此，可以得到两个方程(22a)Fh0 + mg = 0和(22b)F′h0 = 0，其中m是负载的质量。根据方程22中的条件，可以求解刚度调节机制的关键参数。将这些关键参数代入方程(21)，可以得到X单元在QZS状态下的平移力-位移关系的解析表达式，并推导出动态方程。

根据3.2.2节中的水平位移下的静态特性和3.2.3节中的旋转运动下的静态特性，可以通过围绕原点整合基本配置和接触弹簧布置来直接实现X轴平移运动和旋转自由度的QZS。因此，可以通过方程(20)得到的Fx和Mφ直接用于推导相应的动态方程。

4.2. 动态建模
可以通过拉格朗日方法得到动态模型。包括平移运动和旋转运动的3自由度的动能表示为(23)T = 1/2mz?^2 + 1/2mx?^2 + 1/2Jφ?^2，其中z和x分别是Z轴方向和X轴方向的垂直平移位移，φ是Y轴方向的响应。负载的质量和旋转惯性分别用m和J表示。3自由度X单元系统的势能U由每种弹簧布置的弹性势能贡献，表示为(24)U = Ub + Ui + Ucm + Ucs，其中(25a)Ub = 1/2k0Δl0^2，(25b)Ui = 1/2ki(Δl1i^2 + Δl2i^2)，(25c)Ucm = 1/2kcm(Δla1^2 + Δla2^2 + Δlm^2)，(25d)Ucs = 1/2kcs(Δll1^2 + Δll2^2 + Δlr1^2 + Δlr2^2)。W表示由于非保守力产生的耗散能量。

将方程(23)–(27)代入拉格朗日方程(28)得到系统的动态方程(29a)mz¨ + cz1z? + cz2z? - fdz + Fz(Fk, Fi, Fcm, Fcs) = mZ¨，(29b)mx¨ + cx1x? + cx2x? - fdx +Fx(Fk, Fi, Fcm, Fcs) = mX¨，(29c)J0φ¨ + cφ1φ? + cφ2φ? - fdφ + Mφ(Mk, Mi, Mcm, Mcs) = J0Φ¨，其中Z、X和Φ表示由外部位移激励引起的加速度。Fz(Fk, Fi, Fcm, Fcs)、Fx(Fk, Fi, Fcm, Fcs)、Mx(Fk, Fi, Fcm, Fcs, Mφ(Mk, Mi, Mcm, Mcs)可以通过方程(20)获得，以及(30a)fdz = ?θA1/?z^2 + ?θA2/?z^2 + ?θB1/?z^2 + ?θB2/?z^2，(30b)fdx = ?θA1/?x^2 + ?θA2/?x^2 + ?θB1/?x^2 + ?θB2/?x^2，(30c)fdφ = ?θA1/?φ^2 + ?θA2/?φ^2 + ?θB1/?φ^2 + ?θB2/?φ^2。显然，fdz和fdφ取决于基本配置的变形，与刚度调节机制无关。因此，当确定了基本配置的关键参数后，可以通过组合方程(30)和方程(3)得到fdz和fdφ。

假设水平方向的外部激励是位移振动z0，旋转方向的外部扭矩可以表示为J0φ0ω^2。因此，方程(29)中的系统动态方程可以重写为(31a)mz¨ + cz1z? + cz2z? - fdz + Fz(Fk, Fi, Fcm, Fcs) = mz0ω^2cosωt，(31b)mx¨ + cx1x? + cx2x? - fdx +Fx(Fk, Fi, Fcm, Fcs) = mx0ω^2cosωt，(31c)J0φ¨ + cφ1φ? + cφ2φ? - fdφ + Mφ(Mk, Mi, Mcm, Mcs) = J0φ0ω^2cosωt。结合方程(20)和(31)，可以得到fdz、fdx、fdφ、Fz(Fk, Fi, Fcm, Fcs)、Fx(Fk, Fi, Fcm, Fcs)和Mφ(Mk, Mi, Mcm, Mcs)的表达式，并可以使用动态方程进行动态分析，这将在下文中讨论。考虑到这项工作主要是研究所提出新结构的可调性，因此基于三个解耦的单自由度展示了动态分析和振动隔离性能。未来工作将研究多自由度耦合动态行为的影响。动态分析与振动隔离
本节将介绍采用所提出的三自由度（3-DoF）X单元和非线性动态分析方法实现的振动隔离性能。

4.3.1. Z轴方向的平移动态模型与振动传递率
对于Z轴方向的平移运动，振动隔离的静态要求如图4(d)所示，其目标是在位移h0=0.15 m时实现QZS（完全隔离状态），且支撑负载为5.3 kg。除了图4(d)中展示的基本配置和倾斜弹簧布置外，其他刚度调节方法也能够达到类似的效果。本节将探讨可能的集成方法，并讨论相应的振动隔离性能，以展示不同刚度调节机制对动态响应的影响。默认情况下，基本配置的参数为：l2=0.15 m，l1l2=2/3，d02=0.05 m，k0=1000 N/m，α=7π/18。

附录D中的表4展示了能够在垂直平移运动中实现类似QZS效果的各种集成设计，包括：
- 仅使用主接触弹簧的配置；
- 使用倾斜弹簧的配置；
- 同时使用主接触弹簧和侧接触弹簧的配置。

根据第3.1节所述的过程，这三个方案的关键参数被应用于Fz(Fk,Fi,Fcm,Fcs)和fdz，具体公式见附录D中的方程D1和D2。图9(a)展示了三种方案的平移力-位移曲线。垂直位移h0=0.15 m被设为平衡点，并采用了该点的五阶泰勒展开式，其与解析表达式非常吻合。因此，Fz(Fk,Fi,Fcm,Fcs)的表达式可以用五阶多项式来拟合，即：
$$ F_z(F_k, F_i, F_c, F_s) = f_{s0} + k_1 z^1 + k_2 z^2 + k_3 z^3 + k_4 z^4 + k_5 z^5 $$
其中，$ f_{s0} = mg $。通过比较图9(a)中的三条曲线可以看出，无论是采用单个倾斜弹簧还是单个主接触弹簧的X单元，在QZS平衡位置都表现出轻微的刚度减小趋势。相反，同时采用这两种弹簧的配置则在QZS平衡位置表现出刚度增加的行为。

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图9. Z轴方向的力-位移曲线：
- (a) 三种方法的恢复力；
- (b) 阻尼力；
- (c) 使用主接触弹簧、倾斜弹簧以及两种弹簧组合的X单元的振动传递率（cz1=1 N/s/m，cz2=0.01 N/s/m，z0=0.005）。

根据方程(30)，fdz仅由整个X单元结构的变形决定，与刚度调节机制无关。因此，将基本配置的关键参数代入方程(3)和方程(30)即可得到fdz的表达式。考虑到平衡点位于位移h0=0.15 m，对该点进行泰勒展开可以得到简化的多项式表达式。如图9(b)所示，四阶泰勒展开式与解析结果高度吻合。因此，fdz可以用四阶多项式表示为：
$$ f_{dz} = \gamma z_0 + \gamma_1 z^1 + \gamma_2 z^2 + \gamma_3 z^3 + \gamma_4 z^4 $$
因此，方程(31a)中的动态方程可以进一步重写为：
$$ m_z'\times z + c_1 z' + c_2 z' \gamma z_0 + \gamma_1 z + \gamma_2 z^2 + \gamma_3 z^3 + \gamma_4 z^4 + k_1 z + k_2 z^2 + k_3 z^3 + k_4 z^4 + k_5 z^5 = m_z \times \omega^2 \cos \omega t $$

利用方程(32)，可以通过谐波平衡法（Harmonic Balance Method, HBM）进行动态分析。由于在主共振区域低阶谐波占主导地位，而高阶谐波相对较小，因此可以假设激励频率ω下的响应形式为：
$$ z = A_1 \cos \omega t + B_1 \sin \omega t + A_0 z $$
垂直平移运动的响应幅度可以表示为：
$$ A_z = A_{12} + B_{12} $$
将方程(33)代入方程(32)后，可以得出Az和A0z的表达式：
$$ A_{12} + B_{12} = A_z $$
$$ A_0 z = k_1 z + A_z $$
$$ A_0 z = A_0 z + A_0 z^2 + 3A_z $$

为了评估振动隔离性能，采用了位移传递率公式：
$$ T_z = \left( A_1 + z_0 \right)^2 + B_1^2 / z_0 $$
将外部振幅设为z0=0.005 m，结合方程(34)和方程(36)可以得出三种方案的振动传递率，如图9(c)所示。为了验证解析表达式的准确性，使用四阶龙格-库塔算法（Runge-Kutta algorithm）进行了数值计算，结果用虚线表示。图9(c)中的三条曲线与对应的数值结果一致，证明了理论分析的正确性。尽管三种方案在同一个平衡点都实现了QZS，但振动隔离性能有所不同。使用主接触弹簧的方案在0.87 Hz处达到峰值，而使用倾斜弹簧的方案在0.48 Hz处达到峰值；当同时采用两种弹簧配置时，峰值进一步降至0.08 Hz，显示出更好的刚度和阻尼效果。此外，单独使用接触弹簧或倾斜弹簧的方案在某些频率下会出现混沌现象。

图9(a)中显示的恢复力表明，与单独使用接触弹簧或倾斜弹簧的方案不同，同时使用倾斜弹簧和主接触弹簧的方案包含一个正项$kz_4$，这使得在工作范围内QZS区域的刚度趋势更加理想，从而提高了振动隔离性能。尽管三种方案的阻尼系统相似，但单独调节的方案在工作范围内表现出更复杂的非线性刚度特性（即在零刚度点之前刚度较强，之后刚度减弱），因此峰值更高且出现混沌现象。

**定义：高质量QZS**
上述案例研究清楚地表明，QZS工作区域的质量对振动隔离性能至关重要。高质量QZS应具有较弱的正刚度，确保足够的恢复力以及合理的阻尼效果，且不会出现负刚度（即使是微弱的负刚度或不连续的刚度）。在这种情况下，不会出现复杂的非线性动态现象，而是具有出色的振动隔离传递率。实验还表明，所提出的刚度调节方法非常灵活，适用于精细的刚度调节。高质量QZS包含以下基本特性：
1. 在平衡点周围的给定位移区域内，刚度呈弱正且连续；
2. 在该区域之外，通过逐渐增强的正刚度确保有足够的恢复力，且不会出现负刚度或跳跃刚度。
正刚度和恢复力的大小都取决于系统的阻尼特性。如果系统阻尼较小，那么两者都会较小。在这种条件下，可以避免复杂的非线性动态现象（如跳跃现象和混沌响应）。具体数值定义仍是一个未解决的问题。

4.3.2. X轴方向的平移动态模型与振动传递率
对于X轴方向的平移运动，振动隔离的静态要求是在原点实现QZS。如第3.2.2节所述，这可以通过将主接触弹簧配置与基本配置相结合来实现。附录D中的表5展示了集成设计。在接下来的动态分析中，基本配置的参数与4.3.1节相同：l2=0.15 m，l1l2=2/3，d02=0.05 m，k0=1000 N/m，α=7π/18。
Fx(Fk,Fi,Fcm,Fcs)可以通过方程(20)得到。图10(a)展示了恢复力-位移曲线，并与五阶泰勒展开式非常吻合，即在原点处：
$$ F_x(F_k, F_i, F_c, F_s) = k_x^3 x^3 + k_x^4 x^4 + k_x^5 x^5 $$
因此，可以通过曲线拟合得到kx3、kx4和kx5的具体值。图10(b)展示了X轴方向的平移运动的阻尼特性，可以用四阶泰勒展开式很好地拟合：
$$ f_dx = \gamma_x^0 + \gamma_x^2 x^2 + \gamma_x^4 x^4 $$
图10(a)中的恢复力曲线和图10(b)中的阻尼力曲线的详细表达式见附录D中的方程D3和D4。

因此，方程(31b)中的动态方程可以重写为：
$$ m_x'\times x + c_x x' \gamma_x^0 + \gamma_x^2 x^2 + \gamma_x^4 x^4 + k_x^3 x^3 + k_x^4 x^4 + k_x^5 x^5 = m_x \times \omega^2 \cos \omega t $$
激励频率ω下的响应可以表示为：
$$ x = A_2 \cos \omega t + B_2 \sin \omega t $$
水平方向的响应幅度可以表示为：
$$ A_x = A_{22} + B_{22} $$
将方程(39)代入方程(38)后，可以得出Ax和A0x的表达式：
$$ A_{22} + B_{22} = A_x $$

因此，方程(31b)中的动态方程可以重写为：
$$ m_x'\times x + c_x x' \gamma_x^0 + \gamma_x^2 x^2 + \gamma_x^4 x^4 + k_x^3 x^3 + k_x^4 x^4 + k_x^5 x^5 = m_x \times \omega^2 \cos \omega t $$
激励频率ω下的响应可以表示为：
$$ x = A_2 \cos \omega t + B_2 \sin \omega t $$
水平方向的响应幅度可以表示为：
$$ A_x = A_{22} + B_{22} $$
将方程(39)代入方程(38)后，可以得出Ax和A0x的表达式。

4.3.3. Y轴方向的旋转动态响应与传递率
对于旋转运动，静态要求也是在原点实现QZS。如第4.1节所述，这可以通过将接触弹簧配置与基本配置相结合来实现。可以应用主接触弹簧和侧接触弹簧的配置。本节将介绍可能的集成方案，并检验相应的振动隔离性能，基本配置的默认参数设置与之前相同：l2=0.15 m，l1l2=2/3，d02=0.05 m，k0=1000 N/m，α=7π/18。

附录D中的表6展示了几种能够在旋转方向实现QZS的集成设计，这些设计都包括基本配置以及：
- 单个主接触弹簧；
- 单个主接触弹簧加上适当间隙的侧接触弹簧；
- 单个主接触弹簧加上无间隙的侧接触弹簧。

Mφ(Mk,Mi,Mcm,Mcs)可以通过方程(20)得到，从而确定动态分析的关键参数，如表6所列。图11(a)展示了三种方案的力矩-角度曲线，并与五阶泰勒展开式非常吻合：
$$ M_{\phi}(M_k, M_i, M_c, M_s) = k_M \phi + k_M^3 \phi^3 + k_M^5 \phi^5 $$
图11(b)展示了旋转运动的阻尼力曲线，可以用四阶泰勒展开式很好地拟合：
$$ f_d\phi = \gamma_M^0 + \gamma_M^2 \phi^2 + \gamma_M^4 \phi^4 $$
图11(a)中的恢复力曲线和图11(b)中的阻尼力曲线的详细表达式见附录D中的方程D5和D6。当增加适当间隙的侧接触弹簧时，力矩-角度曲线可以在局部进行调整，从接触点开始力矩明显增强。然而，增加无间隙的侧接触弹簧会导致力矩从原点开始增加，从而表现出全局可调性，但所有方案都在相对较小的区域内实现了高质量QZS。

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图11. 旋转运动的动态特性：
- (a) 不同刚度调节方法的旋转力矩-角度曲线；
- (b) 旋转阻尼力；
- (c-d) 使用主接触弹簧、侧接触弹簧以及两种弹簧组合的旋转振动传递率（cφ1=0.1 N/s/m，cφ2=0.01 N/s/m，φ0=0.05和φ0=0.02）。

因此，方程(31b)中的动态方程可以重写为：
$$ J_0 \phi' + c_\theta_1 \phi' + c_\phi^2 \phi' (\gamma_M^0 + \gamma_M^2 z^2 + \gamma_M^4 z^4) + k_M \phi + k_M^3 \phi^3 + k_M^5 \phi^5 = J_0 \phi_0 \omega^2 \cos \omega t $$
与4.3.1节类似，激励频率ω下的响应可以表示为：
$$ \phi = C_1 \cos \omega t + D_1 \sin \omega t $$
响应幅度可以表示为：
$$ A_\phi = C_{12} + D_1^2 $$
将方程(44)代入方程(43)后，可以得出Aφ和A0φ的表达式。

因此，角位移传递率可以表示为：
$$ T_\phi = (C_1 + A_0 \phi)^2 + D_1^2 / \phi_0 $$
将外部振幅设为x0=0.005 m，结合方程(40)和方程(42)可以得出振动传递率，如图10(c)所示，数值结果用虚线验证。传递率峰值频率接近0，表明具有宽带振动隔离性能，但在较高刚度设置下观察到较高的峰值和非线性硬化特性。当适当选择主接触弹簧的刚度时，可以实现高质量QZS工作区，即具有弱正刚度、足够的恢复力和合理的阻尼效果，且不会出现负刚度（即使是微弱的负刚度）。

此外，与Z方向的传递率相比，X轴方向的传递率完全没有复杂的非线性动态响应。因此，采用主接触弹簧配置的X单元在水平方向表现出更优越的振动隔离性能。

4.3.3. 关于Y轴的旋转动态响应与传递率
对于旋转运动，静态要求也是在原点实现QZS。如第4.1节所述，这可以通过将接触弹簧配置与基本配置相结合来实现。可以应用主接触弹簧和侧接触弹簧的配置。本节将介绍可能的集成方案，并检验相应的振动隔离性能，基本配置的默认参数设置与之前相同：l2=0.15 m，l1l2=2/3，d02=0.05 m，k0=1000 N/m，α=7π/18。

附录D中的表6展示了几种能够在旋转方向实现QZS的集成设计，这些都包括基本配置以及：
- 单个主接触弹簧；
- 单个主接触弹簧加上适当间隙的侧接触弹簧；
- 单个主接触弹簧加上无间隙的侧接触弹簧。

Mφ(Mk,Mi,Mcm,Mcs)可以通过方程(20)得到，从而确定动态分析的关键参数，如表6所列。图11(a)展示了三种方案的力矩-角度曲线，并与五阶泰勒展开式非常吻合。图11(b)展示了旋转运动的阻尼力曲线，可以用四阶泰勒展开式很好地拟合。当增加适当间隙的侧接触弹簧时，力矩可以从原点开始明显增强；然而，增加无间隙的侧接触弹簧会导致力矩从原点开始增加，从而表现出全局可调性，但所有方案都在相对较小的区域内实现高质量QZS。

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图11. 旋转运动的动态特性：
- (a) 不同刚度调节方法的旋转力矩-角度曲线；
- (b) 旋转阻尼力；
- (c-d) 使用主接触弹簧、侧接触弹簧以及两种弹簧组合的旋转振动传递率（cφ1=0.1 N/s/m，cφ2=0.01 N/s/m，φ0=0.05和φ0=0.02）。

因此，方程(31b)中的动态方程可以重写为：
$$ J_0 \phi' + c_\theta_1 \phi' + c_\phi^2 \phi' (\gamma_M^0 + \gamma_M^2 z^2 + \gamma_M^4 z^4) + k_M \phi + k_M^3 \phi^3 + k_M^5 \phi^5 = J_0 \phi_0 \omega^2 \cos \omega t $$
与4.3.1节类似，激励频率ω下的响应可以表示为：
$$ \phi = C_1 \cos \omega t + D_1 \sin \omega t $$
响应幅度可以表示为：
$$ A_\phi = C_{12} + D_1^2 $$
将方程(44)代入方程(43)后，可以得出Aφ和A0φ的表达式。在主共振频率之后，时域响应中还出现了次谐波共振现象。根据图11(a)所示的恢复力矩表达式，可以观察到没有接触间隙的曲线（kM5）的恢复力矩大于其他曲线，这导致了非线性的增强。因此，可以得出结论：添加侧接触弹簧会增加结构的非线性旋转恢复力，有利于提高承载能力和稳定性，但也可能在共振频率附近引发复杂的非线性现象。为了进一步了解非线性响应，在图11(d)中考虑了φ0=0.02的激励情况，参数设置与之前相同。可以观察到所有三条曲线的非线性特性都被抑制了。对于只有主接触弹簧的情况以及同时有主接触弹簧和侧接触弹簧且存在接触间隙的情况，非线性硬化特性也被抑制了。这些曲线表现出线性共振特性，并且在较低频率时峰值减小。而对于同时有主接触弹簧和侧接触弹簧且没有接触间隙的情况，从硬化到软化的复杂非线性现象被抑制了，结果中只显示出了硬化特性。因此，较大的振幅会增强非线性动态响应。

5. 多方向振动隔离的案例研究和实验

本节通过原型制作和实验验证来展示所提出的X单元在多方向振动隔离方面的几个案例研究。

5.1. 不同自由度（DoFs）的三种情况

所提出的X单元可以独立工作，也可以集成到不同的配置中，例如Stewart平台中，以满足大行程、大承载能力等特定要求。这里介绍了三个用于原型制作和测试的简单案例。所提出的3自由度X单元可以灵活应用于不同的情况，以实现多方向振动隔离。本节旨在展示几个潜在的应用案例。

案例A：4/5自由度振动隔离平台

如图12(a)所示，两个X单元并排放置，每个单元通过柔性接头与平台连接。柔性接头允许沿Y轴进行有限幅度的平移，使平台能够实现四个主自由度——X轴平移、Z轴平移、X轴旋转和Y轴旋转——以及小幅度的Y轴平移。相应的隔离性能在5.2.3节中进行了评估。

案例B：4/6自由度振动隔离平台

在案例B中，三个3自由度X单元以等边三角形配置排列（图12(b)）。每个单元通过柔性接头与平台连接，允许沿X轴和Y轴进行小幅度的平移。这种配置支持四个主要自由度——Z轴平移、X轴旋转、Y轴旋转和Z轴旋转——以及小幅度的X轴和Y轴平移。该平台的隔离性能在5.2.3节中进行了介绍。

案例C：4/6自由度振动隔离平台

案例C采用四个X单元，以正方形配置对称排列，如图12(c)所示。每个单元通过柔性接头与平台连接，允许沿X轴和Y轴进行有限度的平移。因此，该系统提供了Z轴平移、X轴和Y轴周围的旋转，以及小幅度的X轴和Y轴平移。隔离性能通过实验得到了验证，结果在6.3节中报告。

5.2. 原型制作和实验

制造了几个所提出的3自由度X单元的原型，以进行静态和动态测试（图13）。重要的是，静态和动态测试都关注了不同刚度调节机制的效果。

5.2.1. 3自由度X单元静态刚度特性的验证

静态测试评估了所有三个自由度。通过施加规定的位移并使用力计（HP-500）测量相应的反作用力，来获得沿Z轴和X轴的平移力-位移响应。通过施加控制的角位移并使用数字扭矩扳手（MS2-004BN）记录反作用力矩，来测量绕Y轴的旋转力矩-角度响应。在三种刚度调节机制中使用了不同的刚度弹簧，以评估它们对静态特性的影响。

图14显示了沿Z轴的力-位移曲线的静态测试结果。为了测试水平弹簧对静态特性的影响，使用了两种刚度弹簧进行测试。实验结果如图14(a)所示，证实了使用较大刚度弹簧时，在相同位移下的负载力会增加。因此，曲线的趋势表明，增加k0会导致承载能力显著提高，并扩大刚度变化范围。

图14(e)–(f)展示了沿X轴平移方向的力-位移曲线静态测试结果：(a) 基本配置；(b) 带有倾斜弹簧的配置；(c) 带有主接触弹簧的配置；(d) 带有主接触和侧接触弹簧的配置。图14(g)–(i)展示了绕Y轴旋转方向的静态测试结果：(e) 带有倾斜弹簧的配置；(f) 带有主接触弹簧的配置；(g) 带有倾斜弹簧的配置；(h) 带有主接触弹簧的配置；(i) 带有侧接触弹簧的配置。

图14(b)展示了倾斜弹簧对静态特性的影响。使用三种刚度弹簧进行静态测试。实验结果证实，倾斜弹簧可以补偿基本配置产生的负刚度，并将峰值后的刚度从负值调整为QZS类型，最终变为纯正值但较小的正刚度。

为了测试主接触弹簧对静态特性的影响，弹簧安装时设置了接触间隙Δcm=0.045米。图14(c)的实验结果证实，当基本配置开始接触主接触弹簧kcm时，力曲线随着位移的增加而平稳上升。因此，在z=0.11米处的接触点形成了两个区间s1和s2，这为构建多稳定性特性提供了可能。

图14(d)展示了在基本配置中添加侧接触弹簧（接触间隙Δcs=0.09米）的实验结果。结果证实，添加侧接触弹簧可以提供多区间可调性。图14(d)中的区间s2在接触点z=0.14米处可以进一步划分为两个区间。

图14(e)–(f)展示了沿X轴平移方向的力-位移曲线静态测试结果。如图14(e)所示，实验结果证实了在基本配置中加入倾斜弹簧时，X轴平移的特征表现为典型的非线性衰减特性。此外，它还证实了增加倾斜弹簧的刚度会显著提高初始的正刚度和承载能力，并且刚度的增加与弹簧刚度的调整比例呈更线性关系。

与Z轴平移的测试不同，X轴平移的测试中主接触弹簧没有设置接触间隙。图14(f)是静态测试结果。可以注意到，在起始点刚度接近零，并逐渐增加到最大值然后减小，这证实了ZPD刚度特性。

如图14(g)–(i)所示，绕Y轴旋转方向的实验力矩-角度曲线。结果表明，加入倾斜弹簧后，力矩随旋转角度的增加而增加，直到达到峰值后开始减小。此外，增加倾斜弹簧的刚度会增加恢复力矩。

对于Y轴旋转的测试，主接触弹簧也没有设置接触间隙。图14(h)展示了加入主接触弹簧的实验结果。结果证实了由于接触弹簧的存在，产生了ZPD刚度特性，即在起始点刚度接近零。当增加主接触弹簧的刚度时，恢复力相应增加。

为了测试额外的侧接触弹簧对Y轴旋转的影响，弹簧安装时设置了接触间隙Δcs=0.01米。图14(i)的实验结果证实了添加侧接触弹簧可以提供多区间可调性。图14(d)中的区间s2在接触点z=0.14米处可以进一步划分为两个区间。

综上所述，沿Z轴的平移运动测试结果验证了所提出的3自由度X单元具有多种可调性，包括承载能力、刚度非线性以及多区间可调性。此外，所有曲线在接触点都表现出平滑的特性，与理论结果非常吻合。

图14(e)–(f)展示了沿X轴平移方向的力-位移曲线静态测试结果。如图14(e)所示，实验结果证实了在基本配置中加入倾斜弹簧时，X轴平移的非线性衰减特性。此外，它还证实了增加倾斜弹簧的刚度会显著提高初始的正刚度和承载能力，并且刚度的增加与弹簧刚度的调整比例更为线性。

与Z轴平移的测试不同，X轴平移的测试中主接触弹簧没有设置接触间隙。图14(f)是静态测试结果。可以注意到，在起始点刚度接近零，并逐渐增加到最大值然后减小，这证实了ZPD刚度特性。此外，当增加主接触弹簧的刚度时，恢复力相应增加。

图14(g)–(i)展示了绕Y轴旋转方向的实验力矩-角度曲线。如图14(g)所示，实验结果证实了加入倾斜弹簧后，力矩随旋转角度的增加而增加，直到达到峰值后开始减小。此外，增加倾斜弹簧的刚度会增加恢复力矩。

对于Y轴旋转的测试，主接触弹簧也没有设置接触间隙。图14(h)展示了加入主接触弹簧的实验结果。结果证实了由于接触弹簧的存在，产生了ZPD刚度特性，即在起始点刚度接近零。当增加主接触弹簧的刚度时，恢复力矩迅速增加。

为了测试额外的侧接触弹簧对Y轴旋转的影响，弹簧安装时设置了接触间隙Δcs=0.01米。图14(i)的实验结果证实了侧接触弹簧的多区间效果。比较kcm + kc_的实验曲线与kcm的曲线，可以在接触点θ=16.25°处观察到两个区间s1和s2。与Z轴平移的结果类似，所有曲线在接触点都表现出平滑的特性，与理论结果非常吻合。

5.2.2. 3自由度X单元振动隔离性能的验证

对于Z轴平移自由度，3自由度X单元垂直安装在激励台上。如图15(a)所示，在单元顶部安装了一个垂直导向杆，以严格限制沿Z轴的运动。对于X轴平移自由度，X单元的顶部安装在水平导向杆上，而底部连接到连接到激励台的水平导向框架上，仅允许沿X轴的运动。

为了评估振动隔离性能，结构参数和弹簧刚度与第4.3节中使用的参数相匹配。激励台在所有三个自由度上施加了不同加速度级别的随机激励信号，包括低频成分。使用了两个加速度计（PCB-356 M41）：一个测量基础激励，另一个测量X单元顶部的响应。

5.3. 动态测试结果

根据第4.3.1节，三种刚度调节方法——仅使用倾斜弹簧ki、主接触弹簧kcm以及同时使用ki和kcm——可以在垂直压缩z = 0.15米的负载下实现QZS特性。然而，这三种方法产生的振动隔离性能略有不同。为了验证分析结果，对集成了三种刚度调节机制的X单元进行了动态测试。相应的实验结果以传递率的形式呈现。图16(a)展示了在0.04 g激励下，集成有三种刚度调节机制的X单元的动态响应。集成有倾斜弹簧ki的X单元的峰值频率为1.18 Hz，而集成有主接触弹簧kcm的X单元的峰值频率为1.16 Hz。此外，在2 Hz处观察到复杂非线性动态行为，导致传递率增加。这种现象在理论分析中未能捕捉到，因为理论分析仅预测了主共振。然而，随机激励可以触发更复杂的非线性响应，而这在理论框架中无法展示。当同时集成两种弹簧时，频率峰值降至0.8 Hz。并且传递率曲线更加平滑，在低频处没有明显的复杂非线性现象。这些实验结果与理论分析一致，证实了集成ki和kcm可以实现“高质量Z轴隔离”（QZS）。

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图16. 在0.04 g激励下，集成有（a）三种刚度调节机制的X单元、（b）仅倾斜弹簧ki=2400 N/m以及（c）仅主接触弹簧kcm=750 N/m的X单元的动态测试传递率结果，测试在不同的激励幅度下进行。（d）集成有三种刚度调节机制的X单元的Z轴平移刚度特性。

由于X单元表现出非线性刚度特性，激励幅度将影响隔离性能。因此，对分别集成有ki或kcm的X单元施加了不同的激励幅度以研究其效果。图16(b)展示了在不同激励幅度下，集成有倾斜弹簧ki的X单元的动态响应。随着激励幅度从0.01 g增加到0.04 g，响应的峰值频率从1.62 Hz降低到1.18 Hz。此外，随着激励幅度的增加，峰值传递率也降低。当X单元集成有主接触弹簧kcm时，图16(c)中也观察到峰值频率的类似降低。然而，峰值传递率表现出相反的特性，即随着激励幅度的增加而增加。

为了进一步研究导致这些趋势的潜在机制，从图9(a)所示的恢复力中得出了三种配置的刚度特性，并在图16(d)中进行了展示。结果表明，无论集成ki还是kcm，当激励幅度z增加时，X单元的刚度都表现出软化特性，从而导致峰值频率降低。此外，根据第4.3.1节中的图9(b)，基本配置的阻尼力在z增加时略有减小。因此，集成倾斜弹簧ki有效地增加了整体阻尼力，从而随着z的增加而降低了峰值传递率，而主接触弹簧kcm则没有表现出类似的效果。

B. 水平X轴平移的动态测试结果

如第4.3.2节所讨论的，仅集成主接触弹簧kcm的X单元可以在水平X轴平移时达到Z轴隔离（QZS）状态，这对应于ZPD特性。为了评估具有ZPD特性的X单元的振动隔离性能，在动态测试中采用了不同刚度的主接触弹簧。施加了1 kg的负载。结果如图17(a)所示。随着刚度的增加，峰值频率相应增加，这与动态分析结果一致。尽管对于kcm=2000 N/m（1.01 Hz）与kcm=1500 N/m（1.03 Hz）相比，峰值频率略有下降，但随着刚度的增加，整体响应曲线向更高频率方向移动。

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图17. 在0.01 g、0.02 g和0.04 g激励幅度下，集成有（a）仅主接触弹簧kcm=1500、2000和2500 N/m，以及（b）仅主接触弹簧kcm=2000 N/m的X单元的动态测试传递率结果；（c）在0.01 g、0.02 g和0.04 g激励幅度下，集成有倾斜弹簧ki=2000 N/m的X单元的传递率结果。（d）集成有三种刚度调节机制的X单元的X轴平移刚度特性。

图17(b)显示了激励幅度对X轴平移振动隔离性能的影响。与图16(b)中的Z轴平移结果类似，随着激励幅度的增加，峰值频率从1.56 Hz降至1.01 Hz。这一趋势是由图17(d)中观察到的刚度软化行为驱动的。然而，与Z轴平移情况不同的是，刚度软化仅在激励幅度超过某个阈值时发生；在这个阈值以下，系统表现出刚度硬化行为，导致峰值频率随着激励幅度的增加而增加。

为了比较主接触弹簧的性能，测试了集成有ki=2000 N/m的倾斜弹簧在不同激励幅度下的性能。如图17(c)所示，随着激励幅度的增加，峰值频率仅略有下降，从1.22 Hz降至1.06 Hz——远低于主接触弹簧的情况——表明刚度软化效应较弱。这一观察与图17(d)一致，其中倾斜弹簧的刚度软化效果明显弱于主接触弹簧。此外，对于倾斜弹簧配置，在较高频率下出现了不规则的动态响应，表明在高频激励下的稳定性较低。

C. Y轴旋转的动态测试结果

根据第3.2.3节和第4.3.3节的理论分析，仅集成接触弹簧的X单元可以在Y轴旋转自由度（DoF）的平衡状态下实现QZS条件，同时具有ZPD类型的刚度特性——与X轴平移中观察到的行为类似。因此，在不同激励幅度下进行了动态测试，以评估具有kcm=2500 N/m的主接触弹簧的振动隔离性能。施加了1 kg的负载。如图18(a)所示，随着激励幅度的增加，峰值频率从1.01 Hz降至0.70 Hz。这一趋势是由图18(d)中所示的刚度软化行为引起的，与X轴平移中的情况类似。作为对比，也在相同的激励条件下测试了集成有ki=2500 N/m的倾斜弹簧。图18(b)显示，峰值频率仅略有下降，从1.22 Hz降至1.10 Hz。比较图18(a)和图18(b)可以看出，对于相同的标称刚度，主接触弹簧提供了更好的隔离性能。

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图18. 在0.02 g激励下，集成有（a）三种刚度调节机制的X单元、（b）仅主接触弹簧kcm=2500 N/m在不同激励幅度下的动态测试传递率结果；（c）仅倾斜弹簧ki=2500 N/m在不同激励幅度下的传递率结果。（d）集成有三种刚度调节机制的X单元的Y轴旋转刚度特性。

此外，如第3.3节所讨论的，当与主接触弹簧结合使用时，侧接触弹簧可以实现多区间刚度调节。第4.3.3节从分析角度检验了相应的振动隔离行为。对这些配置进行了动态实验，结果如图18(b)所示。集成侧接触弹簧并设置接触间隙后，峰值频率从0.70 Hz增加到0.90 Hz。当不设置接触间隙时，峰值频率进一步增加到1.01 Hz。当添加无间隙的侧接触弹簧时，在4 Hz处出现1/2次谐波共振。这些发现证实了仅使用主接触弹簧就足以实现更好的隔离性能，这与第4.3.3节中的预测一致。

进一步地，将图18与图16和图17进行比较，可以发现图18中的旋转传递率曲线比平移传递率曲线更加清晰和平滑。这是因为旋转动态测试所需的支撑框架和导轨较少，从而减少了外部干扰并提高了测量质量。

D. 3自由度（DoF）振动隔离的最佳集成方法

基于前述测试结果，当主接触弹簧和倾斜弹簧都集成到X单元中时，可以在垂直Z轴平移中实现更好的振动隔离性能。相比之下，对于X轴平移和Y轴旋转，仅使用主接触弹簧可以获得高性能的隔离效果，因为倾斜弹簧在这些方向上的影响有限。因此，结合主接触弹簧和倾斜弹簧的配置可以被视为最佳集成策略——非常适合需要在Z轴平移中实现大行程隔离、在X轴平移和Y轴旋转中实现小行程隔离的应用。

因此，在0.02 g激励下，采用了图16(a)中的配置，其中ki=2200 N/m和kcm=110 N/m，用于3自由度（3-DoF）的振动动态测试，并支持1 kg的负载。结果如图19所示，与理论分析结果进行了比较。

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图19. 在0.02 g激励下，集成有主接触弹簧kcm=110 N/m和倾斜弹簧ki=2200 N/m的X单元在所有3个自由度（3 DoFs）下的实验传递率结果，与相应的理论结果进行了比较。

值得注意的是，在Z轴平移中，峰值频率为0.87 Hz。如第5.2.2-A节所讨论的，该配置在支持5.3 kg负载时实现了准确的QZS特性。然而，即使负载大幅减少到1 kg，结构仍然表现出优越的隔离性能。对于X轴平移，峰值频率为1.22 Hz；而对于Y轴旋转，峰值频率为0.95 Hz，表明该配置在所有3个自由度上都提供了有效的隔离性能。此外，实验结果与理论分析非常吻合，从而验证了理论预测的准确性。

5.2.3. 多方向振动隔离平台的验证

如第5.1节所讨论的，所提出的3自由度（3-DoF）X单元可以灵活地集成到不同的配置中，以实现多方向振动隔离。为了验证这些多方向平台的性能，制造了第5节中介绍的三种原型，并通过动态振动测试进行了评估，如图20所示。使用与第5.2.2节中单个X单元相同的实验设置进行了Z轴平移、X/Y轴平移和X/Y轴旋转测试。对于Z轴旋转测试，采用了旋转盘（图20(c)）：外环固定在地面，内环连接到平台底座。还使用了一根导向杆，一端连接在振动台上，另一端连接到平台底座的边缘，以便将振动台的水平激励传递到平台上并引起绕Z轴的旋转。这些平台中使用的X单元具有第5.2.2节中描述相同的结构参数。所有三个平台在Z轴平移测试中支持3 kg的负载，在其余方向上支持1 kg的负载。所有实验都在0.02 g的激励水平下进行。

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图20. （a）2个X单元平台、（b）3个X单元平台以及（c）4个X单元平台的原型。

图20(a)展示了由两个X单元组成的4/5自由度（4/5-DoF）振动隔离平台。结合灵活的关节，该平台提供了Z轴平移、X轴平移、Y轴旋转以及小幅度Y轴平移和X轴旋转功能。相应的实验结果如图21(a)所示。所有五个峰值频率都低于2 Hz，表明在所有可用自由度上都实现了有效的隔离性能。X轴和平移的传递率曲线更加平滑，幅度更低，表明使用两个X单元时隔离性能更优秀。此外，X轴平移的传递率低于Y轴平移，而Y轴旋转的传递率低于X轴旋转。这种行为是因为Y轴平移和X轴旋转主要通过灵活的关节实现，因此受到限制在较小幅度内，而X轴平移和Y轴旋转则同时受到X单元和灵活关节的支持。这些观察结果证实了集成X单元可以提高平台的振动隔离性能。

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图21. （a）2个X单元平台、（b）3个X单元以及（c）4个X单元平台的实验结果。

图20(b)展示了由三个X单元组成的4/6自由度（4/6-DoF）振动隔离平台，以及所有六个自由度的相应测试结果如图21(b)所示。由于三个X单元的对称布置，X轴和平移以及X轴和Y轴旋转的动态响应表现出相似的特性。与两个单元的平台相比，由于额外的X单元，Z轴平移的峰值频率从1.64 Hz略微增加到1.75 Hz。尽管如此，三个单元平台的整体传递率更低，表明隔离性能得到了改善。X/Y轴平移的峰值频率——主要由灵活的关节控制——上升到2.15 Hz，而X/Y轴旋转的峰值频率降低到1.53 Hz，反映了旋转隔离的增强。此外，三个单元平台实现了Z轴旋转隔离，这在两个单元的配置中是不可能的，其Z轴旋转的峰值频率为1.78 Hz。这些结果表明，三单元平台提供了更优的振动隔离效果，尤其是在旋转自由度（DoFs）方面。图21(c)展示了采用四个X单元的4/6自由度平台的结果。与三单元配置类似，由于结构对称性，X轴和Y轴的平移以及X轴和Y轴的旋转响应表现出相同的特性。相对于两单元和三单元平台，四单元平台的Z轴平移峰值频率最低，达到1.47 Hz。相反，X/Y轴旋转的峰值频率在三种平台中最高，为2.25 Hz。此外，Z轴旋转的峰值频率降低到1.59 Hz——低于三单元平台的1.78 Hz——而X/Y轴平移的峰值频率保持不变，为2.15 Hz。

6. 对比与讨论
为了进一步证明所提出的3自由度X单元的优越性和可调性，本节提供了与经典X单元以及文献中报道的代表性多自由度振动隔离器的全面比较。与经典X单元的比较突显了所提设计在静态特性方面的显著提高了可调性。然后通过将其性能与现有的多自由度隔离器进行对比，研究了该单元在实现全6自由度振动隔离方面的优势。

6.1 与经典X单元的比较
所提出的3自由度X单元是从经典X单元衍生而来的，它们的结构差异总结在图22中。主要区别如下：
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图22. （a）经典X单元和（b）所提出的3自由度X单元的示意图，以及两个X单元的比较，包括（c）上层杆件倾斜角度的影响、（d）杆件长度比的影响以及（e）水平刚度k0的影响。
a. 垂直方向上的非线性刚度趋势相同。所提出的3自由度X单元保持了经典X结构的特征性非线性递减刚度，从正刚度平滑过渡到零刚度区域，再过渡到负刚度。
b. 提高了位移和承载能力。与经典X单元相比，所提设计允许更大的位移范围和更宽范围的垂直方向反作用力，显示出更好的可调性和更强的承载能力。
c. 可实现具有可调刚度的3自由度运动。所提出的单元能够沿X轴和Z轴平移以及绕Y轴旋转，在所有三个方向上都具有可调的刚度，同时保持紧凑自包含的配置，适用于多自由度应用。
d. 减少了摩擦并改善了低频性能。通过消除滑动导轨和中间接头，所提配置减少了摩擦效应，有利于实现低频振动隔离。
e. 通过模块化机制显著提高了可调性。模块化的刚度调节机制提供了极大的灵活性，可以实现广泛的静态和动态行为调整范围，远远超过经典结构的能力。

总之，所提出的3自由度X单元代表了经典X单元的改进版本，具有更高的可调性、更好的性能，并且更适用于复杂的工程挑战。

6.2 与其他6自由度隔离器的比较
如引言中所讨论的，经典的Stewart平台在实现低频振动隔离和保持高承载能力的同时，需要在多自由度性能之间做出权衡。基于单个QZS单元的平台虽然概念简单，但通常需要多个辅助组件，这降低了结构集成度并降低了整体隔离性能。基于超材料的平台可以增强非线性，但往往稳定性较差，难以在实际工程应用中实现可靠的低频隔离。

表7（附录E）根据三个标准（i）垂直Z方向的QZS性能、（ii）所有六个自由度的振动隔离能力和（iii）可调性）对三类代表性平台进行了比较：经典Stewart平台、基于单个QZS单元的平台和基于超材料的隔离器。比较结果显示，无论是经典Stewart平台还是基于单个QZS单元的设计都无法达到满意的QZS性能。虽然基于超材料的平台可以实现QZS，但有效的QZS范围通常较窄且对负载变化非常敏感，限制了它们在负载变化的实际应用中的适用性。现有的基于单个QZS单元的平台可以实现低于5 Hz的共振频率，但缺乏负载适应性。

相比之下，使用所提出的3自由度X单元构建的6自由度平台提供了更宽的高质量QZS区域、所有自由度上的优异隔离性能以及强大的负载和刚度可调性。模块化的刚度调节机制使得可以在细粒度上调整非线性刚度，使平台能够在大位移范围和不同负载条件下保持超低频隔离。

7. 结论
本研究介绍了一种紧凑、高度集成且完全可调的3自由度X单元，从根本上推动了非线性振动隔离机制的设计。借助一系列模块化的刚度调节策略，X单元实现了其静态和动态行为的实时可调性。全面的理论和实验分析验证了所有三个自由度（Z轴平移、X轴平移和Y轴旋转）的刚度可以全局或局部地重塑为几乎任何所需的非线性轮廓。不希望出现的复杂非线性响应可以被抑制，可以实现低共振频率，例如Z轴平移为0.87 Hz、X轴平移为1.22 Hz和Y轴旋转为0.99 Hz，这些是文献中的基准结果。

提出了两个定量指标（ZPD刚度和高质量QZS）来评估静态和动态性能。ZPD刚度特性确保了在平衡状态附近有一个超低刚度区域，同时保持快速增加的恢复力，从而在其他非主要负载方向上实现更好的隔离效果。高质量QZS特征表现为一个平滑稳定的QZS区域，没有负刚度引起的分岔，确保了在实际工程环境中的可靠低频隔离。

通过结合两个、三个和四个X单元的多自由度平台原型，进一步展示了所提出X单元的多功能性。实验验证了有效的6自由度振动隔离效果，共振峰值在所有方向上始终保持在1.5 ± 0.5 Hz的范围内。

与经典X单元相比，所提出的设计实现了更大的位移能力、更强的刚度可调性、更高的承载能力、更低的摩擦以及固有的多自由度操作。这些代表了经典X结构的重大发展。与现有的多自由度振动隔离平台相比，新的基于X单元的平台提供了更宽的高质量QZS区域、更优异的隔离性能以及对于不同负载和刚度要求的强大适应性。

总体而言，所提出的3自由度X单元为可调、紧凑和高性能的振动隔离系统提供了一个新的构建块。结构可行性、非线性可调性和多自由度隔离能力的结合代表了一个新的研究方向，也是复杂的工程应用（包括噪声和振动控制、能量收集、自适应结构和先进机器人系统）的强大可靠解决方案。

CRediT作者贡献声明
胡晓英：撰写——原始草稿、验证、方法论、研究、正式分析、数据整理。
荆星健：撰写——审阅和编辑、验证、监督、资源管理、项目协调、方法论、研究、资金获取、正式分析、概念化。