从微观结构到宏观性能：固体氧化物燃料电池微观结构的优化流程

《JOURNAL OF POWER SOURCES》：From Microstructure to Macroscopic Performance: An optimization pipeline for solid oxide fuel cell microstructures

　　埃里克·朗格纳（Eric Langner）| 雅库布·伦吉耶维奇（Jakub Lengiewicz）| 阿尔乔姆·谢梅诺夫（Artem Semenov）| 艾哈迈德·马克拉迪（Ahmed Makradi）| 西尔万·古特布罗兹（Sylvain Gouttebroze）| 加斯顿·劳赫斯（Gaston Rauchs）| 钱绍（Qian Shao）| 海因茨·A·普赖西格（Heinz A. Preisig）| 托马斯·沃尔默斯珀格（Thomas Wallmersperger）| 萨利姆·贝卢埃塔尔（Salim Belouettar）| 穆罕默德·埃尔·哈切米（Mohamed El Hachemi）

德累斯顿工业大学，固体力学研究所，乔治-贝尔大街3c号，德累斯顿，D-01069，德国

摘要：

全球二氧化碳水平的上升需要高效、低污染的能源技术。固体氧化物燃料电池（SOFC）是一种有前景的能源转换器，其电性能受到电极微观结构的显著影响。本研究提出了一种综合的多尺度、基于实验的SOFC电极优化方法，旨在通过整合微观和宏观方法来最大化电功率密度。该方法结合了基于断层扫描的微观结构表征、计算均质化、多物理场模拟、模型降阶以及基于机器学习的替代模型构建。分析了具有不同晶粒尺寸（细、中、粗）的阳极样品，并使用高维形态学描述符来描述微观结构。偏最小二乘判别分析用于简化描述符空间，从而通过插值在降维空间中生成人工微观结构。通过一阶均质化计算有效导电率和渗透率，并将其纳入宏观燃料电池模型以预测功率密度。所提出的框架将微观结构信息与宏观电性能联系起来，在嵌套的优化循环中进行系统探索。以Ni-YSZ阳极为案例研究，该方法在实验有限的设计空间内识别出最合适的微观结构特征，并提供了一个灵活的优化框架，可以适应不同的数据库、模型和目标函数。

1. 引言

鉴于世界气象组织最近发布的数据表明2024年的二氧化碳增量是现代测量以来的最大值，迫切需要可持续且低污染的能源生成技术[1]。固体氧化物燃料电池（SOFC）因能够高效且环保地发电而成为未来的有前景的能源转换器[2][3]。

一个SOFC模块包含多个并联连接的堆栈以增加总输出功率。单个堆栈由多个平面（或管状）SOFC电池组成，这些电池通过金属互连器串联连接。除了互连器外，三明治结构还包括阳极、致密电解质和阴极层，以促进电化学反应。电极的多孔性确保了流体向电解质的传输。图1总结了SOFC模块结构的不同尺度。

固体氧化物燃料电池的商业化取决于性能、耐用性、可靠性和成本的改进。在众多设计变量中，电极微观结构起着核心作用。特别是，微观结构强烈影响电池的电化学功率密度。虽然机械故障（如由热机械应力引起的裂纹[6]和非弹性变形[7]）以及由氧化还原反应和微观结构演变引起的电性能退化[8]是SOFC寿命的重要挑战[9]，但本研究特别关注电极微观结构优化与电输出性能之间的关系。因此，本工作中不将机械稳定性、应力演变和耐用性作为优化目标，这些议题需要在未来的研究中加以探讨。

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图1. 固体氧化物燃料电池（SOFC）的多尺度特性。系统级设计（约100米）由堆栈级结构（约10^-1米）组成，单电池内部层位于更低的尺度（约10^-2米）。电极的典型微观结构尺度为约10^-4至10^-5米，阳极为镍（Ni）和氧化钇稳定氧化锆（YSZ）相，阴极为混合导电性的镧锶钴铁矿（LSCF）相。红色放大图显示了不同尺度之间的层次连接（该图参考了[4]，其中Ni-YSZ微观结构数据来自[5]）。（关于图中颜色参考的说明，请参阅本文的网络版本。）

多项研究涉及多尺度优化，包括（i）电池几何形状、（ii）操作条件、（iii）每个单独层的微观结构设计以及（iv）系统级成本。因此，比较了不同的流场设计以最大化总收集电流并改善功率密度分布[10]。此外，采用拓扑优化方法优化了SOFC流道设计[11]。人工神经网络（ANNs）[12]和贝叶斯优化[13]被用来在广泛参数范围内找到最佳操作条件。对单个SOFC的结构设计（如电极和电解质的厚度）进行改进，可以最大化电池的电化学性能[14][15][16]。在更大尺度上，多目标优化方法被用于设计混合固体氧化物燃料电池-燃气轮机发电厂，以在保持高电效率的同时最小化联合供热和发电的成本[17][18]。

除了电池的宏观改进外，电极的微观结构及其特性对电化学性能也有显著影响[19][20]。例如，（i）复合成分和孔隙的体积分数[21]、（ii）发生电化学反应的三相界面（TPB）的长度[22]、（iii）每个相的曲折度和渗透性[23]以及（iv）颗粒和孔径分布[24]都决定了对电效率至关重要的有效传输特性和活性反应位点。

从实验角度来看，Faes等人[25]尝试优化广泛使用的Ni-YSZ阳极，以提高其氧化还原稳定性，以对抗其对氧化性和还原性气氛变化的低耐受性。Connor等人[26]开发了快速且经济有效地浸渍电极骨架的方法，以创造新的电极材料和结构，寻找改善性能的合适解决方案。Bischof等人[27]旨在确定三层阳极的最佳厚度和加工条件，其中电化学活性的Ni-GDC（镍-氧化钆掺杂的氧化铈）区域靠近电解质。此外，通过调整烧结过程中粉末粗化的温度也可以优化制造过程，这会影响孔隙率、机械强度、热膨胀、电导率和气体渗透性[28]。最近，Lee等人[29]研究了阳极氧化铝基底的孔径大小对微观结构特性的影响，从而影响电化学性能。这些实验研究和发现有助于生产优化的电极微观结构。然而，由于电极形态描述的参数空间非常庞大，仅通过实验无法优化单个电池或堆栈的微观结构以适应电化学性能和故障概率。因此，结合复杂的模拟链和人工神经网络的多尺度和多物理场方法对于研究各种微观结构特征和加工条件的影响以完成优化任务非常有价值[30][31]。

通过理论计算优化电极微观结构的工作可以追溯到Kleitz和Petitbon[32]，他们指出由薄活性电极层和多孔收集层组成的双层SOFC电极表现出出色的性能特性。Jeon等人[33]基于微观模型揭示了阴极功能层的平均粒径和厚度之间的最佳组合，以最大化性能。遗传算法被用来找到适合两种电极的粒径分布和孔隙率，以最大化电池性能[34]。在给定操作条件下，通过改变孔隙率、厚度、粒径比和固体颗粒的体积分数，最小化了阴极的总电阻[35]。在Sebdani等人[36]的工作中，使用蒙特卡罗方法生成了400多种Ni-YSZ阳极微观结构的虚拟实现，目标是在特定体积分数下最大化TPB长度。因此，应用了ANN和遗传算法来确定微观结构生成的输入参数。为了降低操作温度，Abdullah和Liu[37]使用多尺度模型表明，通过使用非线性粒径和孔隙率分级的电极，可以在较低温度下保持电池的输出功率。此外，Hasanabadi等人[38]使用两点相关函数作为形态学描述符来生成具有不同特性的三维多孔微观结构。这项研究的目的是最小化固相的曲折度并最大化空隙和固相的活性界面面积，从而最小化阴极的特性阻抗。Buchaniec等人[39]和Yan等人[40]的工作中提出了高度复杂的模拟链。在[39]中，使用元胞自动机方法生成了多种微观结构。计算了16个微观结构参数，如体积分数、平均粒径及其标准差、曲折度以及TPB长度，并将其纳入物理模型以预测阳极的性能。此外，还使用了进化算法（即遗传算法和粒子群优化）来识别在给定极化下最大化电流密度的最佳微观结构[40]。在[41]中，模拟了粉末成型、烧结和操作过程对电化学性能的影响。因此，使用离散元素法和动力学蒙特卡罗方法数值合成了770种微观结构。电化学模型通过晶格玻尔兹曼方法预测了电极过电位。基于模拟数据生成了多层ANN，将粉末属性与过电位和降解率相关联。采用多目标遗传算法来同时最小化这两个目标[41]。在[41]中，使用渐近均质化计算了周期性2D微观结构的热膨胀特性。通过优化微观结构来最小化阴极和电解质之间的热膨胀系数不匹配，从而减少各层中的机械应力。[42]中的另一种方法是对功能分级的LSCF阴极从制造到操作的过程进行模拟，以最小化其过电位。[43]最近通过最大化功率并最小化电池的故障概率解决了多目标优化问题。因此，在宏观热电化学机械模型中实现了22个微观参数和不同层厚度的组合，随后使用随机森林和遗传算法进行了结构优化。

尽管现有方法已经证明了微观结构特征的重要性，但许多方法依赖于（i）理想化的、参数化的微观结构，（ii）大型合成数据集，或（iii）与实验观察到的形态不直接相关的优化变量。一个剩余的挑战是在与实际、断层扫描测量的微观结构相联系的形态描述符空间内优化宏观燃料电池的性能，同时允许系统性和现实地探索附近的设计变体。

为了填补这一空白，本研究引入了一种新的多尺度优化方法，该方法系统地整合了实验数据、微观结构分析、描述符空间简化、生成微观结构重建和性能预测。该方法是灵活的，换句话说，本文中使用的方法可以替换为其他合适的模拟技术。该方法从实际SOFC电极的高维表征开始。使用聚焦离子束-扫描电子显微镜（FIB-SEM）断层扫描获得微观结构。该技术生成了实际电极的三维表征，精确捕捉了微观尺度上的相形态。3D扫描建立了实验上可实现的设计空间，反映了不同材料和制造过程的变化，为生成微观结构方法提供了基础。从FIB-SEM数据中提取了高维的、平移不变的形态学描述符。这些描述符包括（i）体积分数（如孔隙率和镍含量）、（ii）两点相关性和线性路径函数、（iii）渗透因子、（iv）曲折度、（v）双相和三相界面、（vi）颗粒和孔径分布以及（vii）颗粒形状。由于描述符数组可能包含数千个条目，因此采用偏最小二乘判别分析（PLS-DA）（一种监督的主成分分析（PCA）变体）将描述符空间的维度降低到几个主成分（PCs）[44]。这种简化保留了关于特定类别标签的信息，例如制造过程中使用的晶粒大小。从实验中精细、中观和粗糙粒度的Ni-YSZ微观结构[5]得到的低维主成分空间，随后被插值以人工重建新的微观结构，有效地扩大了用于训练替代模型的数据集。这些微观结构特性被纳入到宏观多场模型中，以计算关键指标，例如单个SOFC的功率密度。本研究优化了在降维描述空间中表示的Ni-YSZ阳极微观结构。目标函数最大化电池的电输出性能。该框架的核心创新在于它结合了实验测量的微观结构、基于描述符的降维、生成重建和多尺度性能评估，在一个单一的、嵌套的两尺度优化流程中实现。这种基于实验实现的方法有助于探索和识别有前景的微观结构配置。以Ni-YSZ阳极的优化为例，该框架在有限的设计空间内识别出在相同操作条件下最大化电化学功率密度的最合适微观结构特征。优化后的微观结构的最大功率密度约为927Wm?2，比形态上最接近的中粒度参考结构高出约1%，分别比精细粒度和粗糙粒度参考结构高出10%以上和4%以上。

本文的结构如下：第2节详细介绍了从断层成像到功率输出及其逆变换的多尺度优化流程。第3节涵盖了微观结构表征和重建，包括处理高维描述符的降维方法。第4节解释了SOFC的多尺度和多物理场建模，包括微观尺度的有效性质确定和宏观尺度的功率密度预测。第5节将该框架应用于Ni-YSZ阳极的优化。最后，第6节总结了本研究。

2. 基于实验的优化流程
SOFC的性能由其电极的架构和组成决定。各种制造技术（如烧结）可以实现具有不同形态和相分布的阳极和阴极。每种制造路线通过对组成和工艺参数（例如烧结温度、颗粒大小分布、孔隙率控制）的特定控制，产生不同的微观结构配置。这些微观结构又决定了电池的有效传输性能、双相和三相边界密度以及整体电化学性能。理解和控制制造参数、所得到的微观结构与功能性能之间的相互作用仍然是SOFC材料优化中的一个核心挑战。理想情况下，人们希望建立制造条件与SOFC电池性能之间的直接定量关系，从而实现对电池制造过程的预测性优化。具体而言，可以通过优化烧结条件以及初始粉末的大小和分布来最大化电池的功率密度。然而，由于多个长度尺度和时间尺度上发生的复杂耦合现象，这种关系难以获得。为了实现这一目标，本文首先通过高分辨率表征来研究已制造的电极。具体来说，使用聚焦离子束-扫描电子显微镜（FIB-SEM）断层成像技术来重建真实电极的三维表示，捕捉亚微米尺度上组成相的空间组织。由此产生的3D扫描提供了实验上可实现的电极架构的全面数据集，包括不同材料系统、制造参数和工艺条件下的变化。这样的数据库建立了一个代表性的库，反映了当前SOFC电极的实验设计空间。它可以作为生成建模框架的基础，用于探索实验观察点之间的新/假设微观结构。这种方法允许合成具有可调节特性的虚拟微观结构，有效地弥合了离散实验实现之间的差距。通过Ni-YSZ阳极的优化作为案例研究，该框架识别出在相同操作条件下最大化电化学功率密度的最合适的微观结构特征。优化后的微观结构的最大功率密度达到了Pmax≈927Wm?2，比形态上最接近的中粒度参考结构高出约1%，分别比精细粒度和粗糙粒度参考结构高出10%以上和4%以上。

本文的结构如下：第2节详细描述了从断层成像到功率输出及其逆变换的多尺度优化流程。第3节涵盖了微观结构表征和重建，包括处理高维描述符的降维方法。第4节解释了SOFC的多尺度和多物理场建模，包括微观尺度的有效性质确定和宏观尺度的功率密度预测。第5节将该框架应用于Ni-YSZ阳极的优化。最后，第6节总结了本研究。

2.1 流程概述
所提出的优化框架被设计为一个两尺度流程，整合了微观尺度（电极微观结构）和宏观尺度（电池级性能）的信息，以实现SOFC电极的数据驱动优化。整个工作流程如图2所示，将实验得到数据、计算建模和基于机器学习的替代建模（见第2.2节）结合到一个统一的优化循环中。两个主要组成部分——微观尺度和宏观尺度流程——依次运行，并且紧密连接。这允许微观结构信息传播到设备级别，并将性能指标反馈回来，从而指导最佳的微观结构设计。

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微观尺度替代流程的主要阶段。
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宏观尺度替代流程的主要阶段。
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包含微观尺度和宏观尺度替代流程的两尺度优化循环。
图2. 总体优化流程。（关于图中颜色参考的解释，请参阅本文的网页版本。）

2.1.1 微观尺度替代流程
在微观尺度（见图2(a)），工作流程从对真实SOFC电极样本的实验FIB-SEM断层成像开始，这提供了微观结构的详细重建。从这些3D体积中，推导出全面的微观结构描述符，以定量编码基本的形态和空间特征。这些描述符包括低阶特征（例如相分数、三相边界密度）和高阶统计量，如两点相关函数，后者编码了相的空间组织。得到的描述符向量提供了一个准确但高维的微观结构表示，根据微观结构表示的体素数量，可能超过10^4个组件。由于描述符空间的高维性，在采样或生成建模之前需要降维（MOR）。可以应用几种降维技术，包括正交分解（POD）[45]、偏最小二乘判别分析（PLS-DA，见第3节）[46] [47]以及深度神经网络（DNN）自编码器[48] [49] [50] [51] [52]。这些技术在高维描述符向量与其降维潜空间之间进行投影（来回），同时考虑了微观结构变异的主导模式。一旦获得降维表示，就可以根据实验数据集估计的概率分布从这个降维空间中进行采样。这使得生成新的、物理上可行的微观结构描述符成为可能。每个采样的描述符随后被传递给一个生成模型（例如第3节中描述的模型），该模型重建出具有与描述符中编码的特性相对应的人造微观结构。对于一个大的代表性体积元素，重建步骤在计算上非常昂贵，通常每个样本需要几个小时，但它提供了描述符空间和现实几何形状之间的必要桥梁。

通过计算均质化方法使用有限元方法对数值重建的采样微观结构进行分析，见第4.1节。这个模拟阶段可以得到有效的物理和电化学性质，如孔隙率、电子和离子导电性以及双相边界（DPB）和三相边界（TPB）的密度。降维描述符和均质化性质一起构成了用于训练微观尺度替代模型的输入-输出对。这个替代模型——例如使用核岭回归（KRR）、高斯过程回归（GPR）或深度神经网络（见第2.2节）实现——提供了微观结构描述符与相应有效性质之间的快速映射。

2.1.2 宏观尺度替代流程
在宏观尺度（见图2(b)），使用单个SOFC电池的有限元模型。该模型结合了从微观尺度流程（2.1.1）获得的微观结构参数，以及其他必要的输入，如额外的有效性质、宏观模型的材料常数、几何参数和边界条件。FEM分析——在第4.2节中有更详细的说明——提供了感兴趣的宏观量（QoI），包括电流密度分布、电压-电流特性、最大功率密度、最大机械应力和电池的非弹性应变。

为了构建计算效率高的宏观替代模型，在从微观尺度流程得到的微观结构参数空间内进行采样。采样范围可能很广，为能够与不同类型的微观结构耦合的全面宏观替代模型提供了基础。宏观模型的可变输入以及从FEM模拟得到的感兴趣的量构成了用于训练宏观替代模型的数据集。可选地，可以在采样过程中包含宏观模型的额外参数。虽然这可以实现更全面的优化，但也会增加采样空间的维度，从而增加生成替代模型的计算成本。

2.1.3 两尺度集成和优化循环
通过结合第2.1.1节微观尺度替代流程和第2.1.2节宏观尺度替代流程，建立了一个嵌套的两尺度模型，将降维的微观结构描述符直接与宏观性能指标联系起来。因此，这种组合的替代模型作为一个有效的正向模型，能够仅基于微观结构参数预测电池级性能。替代模型是优化循环（见图2(c)）的主要组成部分，用于识别最佳微观结构配置，例如那些在考虑制造或设计约束的同时最大化电池功率密度的配置。在图2(c)中的优化过程中，未知数（设计参数）是跨越降维微观结构设计空间的主成分PCi。目标函数f(?)按照由嵌套替代模型预测的感兴趣的量（QoI）来表达。该模型表示为微观尺度替代M和宏观尺度替代N的组合，即（1）f(QoI(PC))=f((N°M)(PC))。因此，优化问题被定义为找到全局优化器PC?的近似值，PC?=argmaxPCf(QoI(PC))，或者根据所选的性能指标，argmin。

为了计算全局最优解，可以应用各种迭代程序，包括能够在降维但可能非凸的设计空间中高效运行的无梯度进化策略。在这项工作中，我们采用了差分进化（DE）算法[53]，该算法表现出稳健的收敛行为，并且在第5节中提供的示例应用中也使用了它。由于微观结构生成和均质化在计算上非常耗费资源，因此采用了分阶段的优化方案。最初，对微观尺度潜空间进行粗略采样，以获得一个足够定位代理最优解PC?的稀疏数据集。然后在该初步最优解附近自适应地细化采样，并重新训练（或更新）微观替代模型M′，以提高该区域的预测准确性。随后使用细化后的替代模型来识别改进的最优解PC??。这种迭代的升级-优化可以重复多次，可能在几个有前景的次优区域周围进行，从而逐步收敛到全局最优的微观结构设计。

2.2 基于核的替代建模
替代建模是一种强大的方法，可以利用快速评估的模型来近似计算成本高昂的模拟。流行的技术包括多项式混沌展开[54]、径向基函数插值[55]、支持向量回归和神经网络[56] [57] [58] [59] [60]。其中，高斯过程回归（GPR）[61]被证明是一种特别有吸引力的方法[62] [63] [64] [65] [66] [67]，因为它不仅提供了输出预测，还提供了相关的不确定性度量。这使得GPR在工程设计和不确定性量化中特别有用，在这些情况下，预测的准确性和可靠性都很重要。与像神经网络这样的黑盒方法不同，GPR是非参数的、相对可解释的，并且基于贝叶斯推断。GPR可以理解为核岭回归（KRR）的随机扩展：如果从高斯先验中移除随机成分，得到的估计器与KRR[61]一致。这种二象性在选择替代模型时提供了有用的视角。虽然GPR提供了预测不确定性，因此非常适合需要不确定性量化的 problema，但KRR提供了一种更简单且计算效率更高的替代方法，在涉及重复模型评估的优化设置中具有优势。在本工作中，这种形式被用作通用框架。具体选择替代模型（GPR或KRR）、核参数和预处理步骤取决于应用，并在第5节中详细说明。特别是，在本研究中，替代模型是使用KRR实现的，而GPR作为一般参考框架被保留下来。正式地，我们得到了一个大小为N的训练数据集，包括输入数据(3)X={xi}i=1N，xi∈Rd，和输出数据(4)Y={yi}i=1N，yi∈R，其中每个输入xi是一个维度为d的参数向量，而每个标量输出yi对应于多维响应向量的一个选定分量。出于实际原因，对于多输出情况，我们训练多个独立的替代预测器——每个输出维度一个。在KRR和GPR中，未知输入x*的预测器都可以表示为形式(5)y*(x*)=∑ik(x*,xi)?αi，其中k(?,?)是核函数（见下文），α∈RN是通过解线性系统(6)(K+λI)α=Y获得的，核矩阵Kij=k(xi,xj)，λ≥0是正则化参数。在GPR中，λ对应于假设的噪声方差，而在KRR中它用作正则化参数。实际上，核方法对输入和输出变量的缩放非常敏感。因此，通常在训练之前会应用归一化或标准化来确保数值稳定性以及所有输入维度的均衡贡献。

一个核心的建模选择是核函数k(?,?)的选择。广泛使用的平方指数核或径向基函数（RBF）核假设函数非常平滑，这可能导致在数据有限或不规则的情况下产生过于乐观的外推。相反，我们采用了Matérn核[61]，[68]，它引入了一个额外的参数来控制核函数的平滑度，从而允许对其规则性进行灵活的控制。特别是3/2 Matérn核(7)，由于其灵活性和规则性之间的平衡，在实践中被广泛使用，它对应于一次均方可微函数，其形式为：(7)k(x,x*)=k3/2(r)=σ21+3r?exp?3r?，其中r=‖x?x*‖是两个向量之间的距离，σ2是方差，?是特征长度尺度。

总之，基于KRR/GPR的替代模型提供了一个基于核的方法框架，用于近似昂贵的模拟。通过将预测表示为涉及核函数评估的线性系统，它们在计算上高效并且能够捕捉非线性。在GPR和KRR之间的选择取决于是否需要不确定性量化。

在我们的双尺度流程（第2.1节）中，我们使用了两个替代模型。第一个是微观替代模型，它捕捉映射（8）M:Xmicro?Peff，其中Xmicro表示阳极微观结构的简化阶描述符，Peff表示相应的有效物理性质。然后这些性质作为输入传递给第二个模型，即宏观替代模型，该模型基于宏观SOFC模拟生成的数据集进行训练。正式地，它建立了映射（9）N:Peff?QSOFC，其中QSOFC表示决定电池性能的感兴趣量（例如，最大平均功率）。

3. 3D阳极微观结构的生成重建

重建SOFC阳极的真实三维（3D）微观结构是在多尺度优化流程中的一个关键但计算要求高的任务。这些重建需要生成统计上具有代表性的微观结构域，以反映实验成像中观察到的形态特征，例如通过聚焦离子束扫描电子显微镜（FIB-SEM）或X射线纳米断层扫描获得的特征。本节简要总结了生成SOFC电极微观结构的数值方法。这些重建代表了RVEs，它们作为预测有效性质的输入。此外，还解释了形态描述符的降维方法。

为了重建真实的微观结构，从统计角度分析了实验FIB-SEM数据。因此，基于体素的微观结构M通过平移不变描述符D进行形态学表征。因此，表征函数fC将M映射到一组nD的静态描述符，即(10)fC:M?{Di}i=1nD。统计描述符包括：(i) 每个相p的体积分数，(ii) 两点函数，即两点相关函数和线路径函数，用于描述晶粒的形状和大小，(iii) 每个相渗透到燃料电池的必要组分，(iv) 每个相p和每个方向的曲折度，以及(v) 双相和三相边界。这些高维描述符决定了电极的有效物理性质。

微观结构重建过程是一个两步优化程序：首先使用可微微观结构表征和重建（DMCR）方法，然后是Yeong–Torquato算法。DMCR有效生成形态上合理的解决方案，而第二步减少噪声并微调某些描述符，从而改进解决方案。这两种方法都依赖于优化问题(11)Mrec=argminML{Di(M),Dides}i=1nD，以生成具有所需描述符Dides的数值重建微观结构Mrec。需要最小化的损失函数可以通过每次迭代后实际描述符Di与期望的Dides之间的均方误差（MSE）的加权总和来计算：(12)L(M)=∑i=1nD‖Di?Dides‖MSE。

关于描述符、表征、重建过程以及这种重建方法对于SOFC电极的局限性的详细信息可以在我们之前的工作[69]中找到。生成微观结构的计算开销相当大。生成一个高分辨率的三维样本通常需要在单个NVIDIA A100（40 GB HBM2）GPU上花费大约24小时的专用计算时间。重建过程的计算成本随域大小和所需的统计保真度而增加。由于描述符数组的长度包含数千个条目（取决于微观结构的体素数量以及描述符的类型和数量），因此需要降低D的维度。偏最小二乘判别分析（PLS-DA）[46]，[47]——主成分分析的监督版本——在降维空间中计算新特征，称为主成分（PCs）[44]。该方法在降低维度的同时保留了关于某些类标签的信息，例如制造过程中使用的晶粒尺寸。因此，PLS-DA在第一PCs中尽可能保留了原始数据与其标签之间的协方差。PCs可以通过(13)C=1(n?1)2XTCnyyTCnX计算得出，其中X∈Rn×m是一个包含n个样本和m维描述符条目的矩阵，Cn∈Rn×n是用于去除数据平均值的居中矩阵，y是包含关于特定类别（例如，粗、中、细）信息的标签向量。必须考虑的主成分数量取决于每个PC中包含的方差。不同晶粒尺寸制造的阳极微观结构降维的结果可以在第5.1节中找到。

4. 固体氧化物燃料电池的多尺度和多物理场建模

本节概述了用于确定有效性质（第4.1节）和用于计算燃料电池性能的宏观模型（第4.2节）的方法论，考虑了几何形状、操作条件和有效物理参数。

4.1. 有效性质

为了准确捕捉微观结构对SOFC行为的影响，必须确定有效传输性质。因此，首先应用一阶计算均质化，类似于我们之前的工作[69]，[70]。使用基于Python的开源有限元工具FEniCSx[71]计算电极的物理传输性质——热导率、电导率、离子导率和流体渗透率。人工生成的3D微观结构样本作为代表性体积元素（RVEs），并离散化为六面体有限元网格。所选的RVEs被假设为足够大以确保统计代表性。如果微观结构在整个电极域内表现出强烈的异质性，如Mahbub等人[72]中对阴极的具体显示，那么需要定义多个RVEs。可以在宏观模型中实现局部变化的有效性质，以更好地捕捉这种异质结构。为微观结构的每个相分配特定的材料性质，如热导率和电导率。对所有微观尺度问题应用周期性边界条件作为一阶均质化的一部分，以满足Hill–Mandel条件，确保微观尺度和宏观尺度之间的能量等效。对于微观分析，获得有效的二阶张量以考虑一般的各向异性。由于材料行为是线性的，因此需要三个独立的宏观加载情况来计算宏观材料响应。因此，解决方案可以用来表示有效的宏观材料行为。

对于热导率，求解热传导方程(14)???(κ(T)??T)=0，其中T是温度，κ是热导率张量。更具体地说，温度T被分为操作温度Top、宏观温度梯度?Tˉ和波动部分T?：T=Top+?Tˉ?x+T?。在施加周期性的同时求解波动部分。同样，通过求解连续性方程并应用欧姆定律(15)???(λel(T)???s)=0可以提取有效的电导率，其中λel是电导率张量。在求解带电离子的电荷平衡(16)???λion(T)????=0后计算宏观离子导率，其中λion是氧离子的导率。此外，?s和??分别是固体导体和电解质相中的电势。在方程(15)、(16)中，电势被加性分解为宏观梯度??ˉ?/s和波动???/s。使用均匀化的电势梯度和电子及离子的流动来评估有效导电率。

在微观尺度上求解斯托克斯方程(17)??v=0，??(?pI+2μ(T)d=0，以近似宏观尺度上的流体渗透率：(17)??v=0，??(?pI+2μ(T)d=0。这里，v是流体速度，p是流体压力，μ是动态粘度，I是单位张量，d是应变率张量。压力可以表示为p=?pˉ?x+p?。对于速度和压力都满足周期性。使用均匀化的压力〈p〉和速度〈v〉的解来使用达西定律计算有效渗透率张量Keff，即〈v〉=Keffμ〈?p〉。使用迭代求解器在高分辨率网格上高效计算相应的物理量。通过将我们的结果与经验方程[22]进行比较，并报告文献[73]、[74]中的值，确认了形态特征（例如，比表面积）和有效物理性质的有效性。

4.2. 宏观建模

本节介绍了用于确定有效性质（第4.1节）和用于计算燃料电池性能的宏观模型（第4.2节）的方法论，考虑了几何形状、操作条件和有效物理参数。请注意，γ和Eact对于两种电极来说都有很大的变化范围，因为它们既取决于微观结构形态，也取决于操作条件，例如燃料的温度和湿度[73]。质量平衡方程（27）考虑了每种物质的质量守恒：?(ρφ)?t+??ρv=W?，其中φ是孔隙率，ρ是流体密度，v是流体速度，W?是方程（28）中的质量源项，负责与电化学反应的耦合：在阳极处W?=(MH2O?MH2)i/(2F)；在阴极处W?=?MO2i/(4F)；在其他地方W?=0。物质i的分子量用Mi表示。在流体的线性动量平衡中也考虑了反应物之间的转化，该平衡使用广泛应用的Brinkman方程（29）来定义：ρφ?v?t+vφ?(?v)=??p+??μφ?v+v??2/3(??v)I?μK?1,eff+W?φ2I?v+f。这里，K是多孔结构的有效渗透率，I是单位张量，f是机械体积力密度。物质守恒方程（30）描述了每种物质i通过电极向电解质中的传输。由于孔隙比气体的平均自由路径小，因此采用Knudsen扩散与Fick定律结合的方法来进行多组分质量传输：?(ρφωi)?t+??ρωiv=??ρωixiDi??xi+R?i。其中ωi是质量分数，xi是摩尔分数，Di是有效扩散张量，R?i是方程（31）中的质量产生率，具体为R?H2=?MH2i/(2F)在阳极处，R?H2O=MH2Oi/(2F)在阴极处，R?O2=?MO2i/(4F)在其他地方。计算温度T的平衡方程是能量平衡方程（32）：?(ρCpeffT)?t+??ρCpfTv=??(κ??T)+H?。这里，Cp是有效热容，κ是有效热导率张量，H?（方程（33））是由焦耳加热、理想反应释放的热量以及电化学反应活化释放的热量定义的热源：H?=0在气体通道处，H?=????λion????在电解质处，H?=??s?λel???s+????λion????+ineFTΔS+iη在电极处。宏观模型使用Shao等人[78]提供的材料和几何属性，通过实验数据[77]进行了验证。

5. 应用于Ni-YSZ阳极微观结构的优化
在本节中，SOFC优化流程应用于燃料电池的阳极这一特定层。重点不是改变燃料电池的设计或其操作条件，而是识别最适合的阳极微观结构，以提高SOFC的电化学性能，特别是最大功率密度。

5.1 基于实验的微观尺度数据生成
优化电极微观结构的起点是实验断层扫描数据[5]。利用FIB-SEM程序获取的图像重建了由镍和YSZ组成的多孔阳极，见图3。制备了具有（i）细晶粒大小，（ii）中等晶粒大小，以及（iii）粗晶粒大小的复合阳极。每个阳极都经历了八个氧化还原循环，因此这些电极已经处于退化状态，与烧结后的电极相比有所不同。
如第3节所讨论的，使用某些描述符对电极进行形态学表征会产生大量数据。使用过多的输入数据训练替代模型是不可行的，因为这需要大量的训练数据。因此，使用偏最小二乘判别分析（PLS-DA）[46] [47]将描述符数组简化为三个主要成分，如图4(a)所示。选择三个主要成分（PCs）是因为它们已经包含了X和y之间的大部分协方差。更具体地说，这三个PCs捕获了高维描述符X的98.5%的方差和类别标记向量y的92.9%的方差。此外，从（i）原始描述符以及（ii）降维到低维空间后重新转换的描述符构建的微观结构显示出非常相似的有效特性，这一点在重建过程的变异性范围内是成立的。

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图3. 由Holzer等人[5]通过3D FIB-SEM断层扫描图像数值重建的微观结构。阳极由镍相、YSZ相和孔隙组成。微观结构样品分别具有（左）细晶粒，（中）中等晶粒，以及（右）粗晶粒，并在经历八个氧化还原循环后进行了断层扫描。（关于图中颜色参考的解释，请参阅本文的网络版本。）
在图4(a)中，可以看到两个2D图：（左）PC1–PC2平面和（右）PC1–PC3平面，以清晰地可视化降维主成分空间中的坐标。从细微观结构中切出九个部分来分别表征每个样品，以便有更多的样本数量用于降维。同样，每种情况中也分别使用了中等和粗微观结构的四个部分。“细”类的样品彼此之间更为接近。这是由于每个微观结构部分内部的变异性：边长为9.4μm的细晶粒样品比边长为11.5μm的中等晶粒样品和边长为12.4μm的粗晶粒样品具有更高的统计代表性。粗微观结构在主成分PC3上的变异性特别大，部分原因是PC3包含的方差最小。带有黑色边界的较大符号表示每个类别的平均点，即某个类别的所有样品的平均值。值得注意的是，中等晶粒大小的微观结构并不位于细晶粒和粗晶粒类别之间，而是三个平均点（F、M、C）在3D空间中形成了一个三角形。这些点突出了采样的实验真相，这将在第5.4节中讨论。
由于实验样品的成本和可用性有限，因此通过数值方法重建微观结构以匹配真实样品的统计描述符，也参见第3节。一般来说，从足够大的真实微观结构数据集中，可以估计出降维空间中的概率函数。从这个分布中采样可以生成新的、与实验观察结果在统计上相似的数据点。在目前的情况下，由于只有三个真实微观结构样品可用，因此通过在低维空间中进行线性插值来人工生成额外的样品，例如在[79]中那样做。目标是开发结合了三种初始结构特征的微观形态。在低维描述符空间中使用的插值方法作为生成新微观结构的近似方法。然而，这种方法在准确捕捉高维描述符空间内的复杂关系方面存在局限性。未来需要开发非线性插值方法，以更好地满足描述符之间的关系，例如两点相关函数与体积分数之间的相关性。这些先进的方法将确保更准确地表示微观结构特性及其相互作用，从而最终提高生成形态的预测能力。图4(b)展示了两个生成的具有细晶粒和粗晶粒的微观结构示例。

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(a). 使用PLS-DA对细晶粒、中等晶粒和粗晶粒微观结构在主成分PC1–PC2平面（左）和PC1–PC3平面（右）进行降维。每个类别（F、M、C）的平均点是每种分类微观样品的平均主成分。
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(b). 人工生成的具有细晶粒（左）和粗晶粒（右）的微观结构。阳极由镍相（黄色）、YSZ相（绿色）和孔隙（空隙）组成。

图4. 从主成分空间进行降维和生成具有细晶粒和粗晶粒的微观结构。（关于图中颜色参考的解释，请参阅本文的网络版本。）
尽管插值重建的微观结构可能无法完全反映可制造的配置，但它们为方法论发展提供了合理的基础，并且随着更多数据的可用可以在未来的工作中进一步完善。对于未来的改进，可以解决几个问题：（i）随着更多实验成像数据的获得，用真实样品替换人工微生物结构；（ii）在降维空间中开发非线性插值方案；（iii）估计一个明确的概率分布以生成统计上合理的微观结构实现。

5.2 宏观尺度数据生成
用于生成宏观数据的燃料电池模型如图5(a)所示。值得注意的是，燃料电池的层厚度对电化学性能有很大影响。因此，在未来的研究中可以使用现实的阳极支撑、电解质支撑或阴极支撑的燃料电池配置来准确预测电池的功率密度。为了模拟燃料电池运行过程中的物理过程，定义边界条件是至关重要的。电池电压差通过定义电势?s来规定：（i）在阳极底部接地；（ii）沿着阴极的肋侧为Vcell=0.2V，…，0.95V。由于致密的YSZ是绝缘材料，因此电子不会通过电解质膜传导。此外，在电极和气体通道之间的外边界以及离子或电子也没有流动条件。气体通道进出口之间的压力差由Dirichlet边界条件规定，阳极为2Pa，阴极为6Pa。在多孔电极的右侧和左侧为流体规定滑移条件，在阴极和阳极的顶部、底部、前面和后面以及气体通道的边界处指定无滑移条件。气体通道上游流的温度在入口处设定为T=800°C。此外，在其他任何边界处都假设没有垂直方向的热流。
考虑了以下气体的质量分数：在阳极侧ωH2=0.4和ωH2O=0.6，对应于加湿的氢燃料流；在阴极侧ωO2=0.227，ωH2O=0.037和ωN2=0.736，描述了大约90%相对湿度的空气吸入。这些值在所有模拟中保持不变，以便能够清楚地评估电极微观结构的变化如何影响电池的电化学功率密度，而不受燃料成分变化的干扰。这些值作为研究微观结构优化的统一基线。应该注意的是，最佳微观结构取决于操作条件，如燃料成分和入口流速。在这项工作中，选择的条件用于分析经过八个氧化还原循环后退化的阳极，这直接影响最终的功率密度。
图5(b)描绘了电化学单元电池的中间长度横截面，并可视化了几个关键的传输现象。电解质电势??的等高线显示出从?0.11V到?0.507V的梯度，这是由于整个区域内的电化学活性造成的。电流密度i?的流线揭示了电荷传输的横向变化，这影响了物质的生产和消耗。值得注意的是，在H2流场中存在一个涡旋。这种循环可能是由水蒸气产生驱动的，它导致轻H2气体和较重的H2O蒸汽之间的流动相互作用。图5(c)展示了高温电化学传输现象。通过颜色等高线可视化的电势?s的分布驱动了非均匀的电子电流密度，在角落通道和肋-接触界面处达到峰值。最大的电流密度为is=12.2kAm?2。这种局部化现象识别出电化学活动加剧的区域，其中氢氧化（阳极）和氧还原（阴极）最为显著。在当前的操作温度下，水仅以蒸汽形式存在，引入了强烈的热和组成浮力效应。阴极侧的H2O流线涡旋，其最大通量为53.6gm?2s?1，因此是热对流的结果——其中局部加热的气体从放热反应中上升——与物质驱动的浮力结合：较轻的剩余O2缺乏气体与较重的产物水蒸气混合，产生了引起浮力驱动的循环。同时，阳极侧显示了正常的H2O扩散（最大通量为10gm?2s?1），这与氢氧化反应产生的蒸汽被携带在燃料流中一致。观察到的涡旋突出了电化学驱动的热释放、非均匀电流分布和高温气体动力学之间的相互作用，在SOFC中这种循环可以增强局部混合和反应物的 доступ性。

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(a).用于有限元模拟的燃料电池单元模型，其尺寸如下：hchannel=500μm, hanode=100μm, hcathode=100μm, helectrolyte=100μm, bchannel=500μm, b=1mm, L=10mm。下载：下载高分辨率图像（517KB）下载：下载全尺寸图像（b）。颜色等高线显示了电解质电位??的分布。穿过电极的矢量流线表示电解质电流密度i?。电流密度从阳极向阴极方向流动，在膜内的最大强度为i?=2.2kAm?2。总质量流线显示阴极侧的O2扩散是均匀的，最大值为jch=14.1gm?2s?1，而在阳极侧，H2流线在中心形成一个涡旋，最大值为jch=5gm?2s?1。下载：下载高分辨率图像（442KB）下载：下载全尺寸图像（c）。颜色等高线显示了电位?s的分布。穿过电极的矢量流线表示电子电流密度。矢量线从中心指向极化接触点，在角通道和肋接触处的最大强度为is=12.2kAm?2。总质量流线显示阳极侧的H2O扩散是垂直的，最大通量为jch=10gm?2s?1，而在阴极侧，流线在中心形成一个涡旋，最大值为jch=53.6gm?2s?1。图5. 固体氧化物燃料电池的尺寸（a）以及x=5mm处单元的物理场（b,c）。物理场是在燃料电池极化电压Vcell=0.45V的情况下评估的。（关于该图例中颜色参考的解释，请参阅本文的网络版本。）第4.2节描述的宏观物理模型中使用的形态和物理参数列在表1中。应当注意的是，忽略了物理传输属性的各向异性，采用了各向同性的估计值。除了阳极和阴极外，电解质还具有良好的离子导电性λion=1.21Sm?1和热导率κ=5Wm?1K?1（在T=800°C时）。由于重点是优化阳极，因此阴极的属性保持不变，其值取自[73]、[83]中的报告值。阳极的属性主要来自样本的微观分析（见第4.1节）。活性比表面积aV是镍颗粒与YSZ颗粒之间的界面密度[84]、[85]。这是对人工构建的微结构测量的。典型的aV值在1?105到1?107m?1的范围内，可以在[73]、[86]中找到。对于已经降解的电极（经过几次氧化还原循环后），活性比表面积的范围为0.4?106 – 0.7?106m?1。这个值相对较低，但由于与三相边界密度减少和镍颗粒粗化相关的微观结构变化是现实的。阳极的渗透率范围是通过放大Stokes方程确定的，并且与[74]、[87]中报告的结果非常吻合。多孔相的迂回度τ(p)仅用于气体物种的扩散，因为表中列出的其他有效传输属性不需要通过某些经验参数进行修改。表1. 在T=800°C的温度下用于燃料电池模型的阴极和阳极的参数，以生成替代模型的数据。阴极的值取自文献[73]、[80]、[81]、[82]。* 阳极的值是通过分析微观结构确定的。参数 符号 单位 阴极 阳极 ? 孔隙率 φpore 0.38 – 0.5 孔隙的迂回度 τpore 4.04.0 比表面积 aV m?1 1.0?106(4 – 7)?105 渗透率 K μ μm2 8.0?10?3(2 – 15)?10?3 电导率 λel Sm?1 4.0?104(1 – 30)?104 离子导电率 λion Sm?1 1.00.2 – 0.6 热导率 κ Wm?1K?1 8.01.5 交换电流密度 i0 Am?2 2.2 144.16 反应传递系数 αa –3.5 0.5 αc –0.51.5 使用Halton序列在阳极参数的设计空间中生成分布点，以训练宏观替代模型N。共进行了350次模拟，生成了270个训练数据和80个测试数据。采样策略和训练点数量的结合产生了可靠且准确的宏观替代模型，在测试数据中的平均相对误差为0.5%。通过考虑极化（U–I）和功率密度（P–I）曲线来展示固体氧化物燃料电池的效率。图6展示了训练数据中的高性能和低性能案例。高性能案例显示最佳功率输出为950W/m2，低性能案例显示最佳功率输出为783W/m2。用于生成最大和最小性能的数据基于表1中列出的阳极微观结构参数的具体组合。然而，将有效属性随机组合到宏观模型中在物理上是不可行的，因为无法通过物理上可接受的阳极微观结构实现（见第5.4节）。下载：下载高分辨率图像（366KB）下载：下载全尺寸图像图6. 最大和最小SOFC性能曲线：极化曲线（U–I）和功率密度曲线（P–I），适用于表1中的电极属性。5.3. 替代模型配置和预处理在当前应用中，微观和宏观替代模型都是使用带有3/2 Matérn核的Kernel Ridge Regression（KRR）实现的，见方程（7）。虽然高斯过程回归（GPR）提供了预测不确定性，但这里采用KRR是因为其计算成本较低，并且在优化循环内的重复评估中具有足够的准确性，见第2.2节的讨论。所有输入和输出变量都使用训练数据的统计信息进行了逐分量归一化。这种预处理改善了数值条件，确保了输入维度之间的平衡缩放。在训练和推理过程中始终应用相同的归一化。微观替代模型分为两个阶段构建，分别对应于粗略和精细的数据集。对于粗略模型，使用核长度尺度?=1.2；对于精细（上采样）模型，使用更小的长度尺度?=0.6以更好地解析感兴趣区域中增加的样本密度。在这两种情况下，正则化参数都设置为λ=10?2。相对较大的正则化反映了由于随机微观结构重建过程而产生的有效属性的变异性。对于宏观替代模型，超参数为?=1.0和λ=10?5，这对应于更平滑的响应和更低的有效噪声水平，因为一旦有效属性确定，宏观模拟就是确定性的。5.4. 微观结构优化每个类别（精细、中等、粗糙）的角点形成一个三角形，在其中均匀分布了15个点，见图7(a)。这些重建的有效属性被用来训练微观替代模型M，作为优化点的第一次猜测，使用稀疏数据集。此外，还随机在ξ1–ξ2平面上放置了7个点来测试替代模型，该平面用于将三角形表面从3D空间投影到2D空间，见图7(a)。请注意，坐标（ξ1, ξ2）到三角形平面上的投影仅用于可视化目的。结合优化函数的解决方案（见第2.1.3节）（34）PC?=argmaxPCf(Pmax(PC))在三维PC空间中找到了一个初步的最优点，最大功率密度Pmax=924.1Wm?2（见图7(b)中的三角形域位置）。显然，最优点靠近实验得出的中等平均值点（M）。由于第一次优化步骤的替代模型仅使用粗略数据集进行训练，因此在同一3D平面内选择了一个圆形范围Xopt|step=1来生成额外的数据点。特别是，使用第3节中解释的方法数值重建了27个训练数据和5个测试数据点，并通过均质化方法计算了有效导电率和渗透率（见第4.1节）。基于这些新的采样点数据集，重新训练了微观替代模型M′，以在主成分空间和有效属性之间建立更准确的联系。使用嵌套的替代模型N°M′和优化函数（34），找到了一个更新的优化点Xopt|step=2(PC)，见图7(b)。第一次优化步骤将优化搜索限制在三角形域内。第二次优化步骤将搜索限制在最优点χopt|step=1周围的圆形域内。尽管第二步的搜索空间不受三角形域的限制，但Xopt|step=2在主成分空间中与Xopt|step=1非常接近。功率密度曲线中的最大功率密度预测为Pmax(Xopt|step=2)=927.2Wm?2。圆内的颜色等高线表明微观结构的主成分的微小变化会导致功率密度的明显变化。这种行为可能会受到生成微观结构重建方法的变化的影响。值得注意的是，图6中最佳性能对应的最大功率密度没有被达到。这种差异是因为有效属性受到物理可实现微结构的限制。因此，结果表明不能选择任意的Peff组合，因为它们无法通过微观结构实现。为了评估所提出的优化流程的数据准确性，生成了20个优化点Xopt|step=2的重建。由于重建方法的变异性（详见第3节和参考文献[69]），每次生成都会得到一个不同的、但在统计上相似的微观结构。然而，由于重建过程也是一个通过局部优化算法解决的优化问题，它通常只能找到局部最优解而不是全局最优解。均质化的响应会有所变化，导致有效属性的范围。假设有效属性大致服从正态分布，评估了每个属性的平均值μ及其标准差σ，这些值被应用于物理宏观模型中。优化的阳极由镍组成，体积分数为φNi=(37.64±0)%，YSZ的体积分数为φYSZ=(22.24±0)%，多孔体积分数为φpore=(40.12±0)%。比表面积，即Ni和YSZ之间的界面面积为aV=(0.567±0.008)?106m?1。此外，有效物理属性包括电子导电率λel=(1.36±0.07)?105Sm?1、离子导电率λion=(0.384±0.009)Sm?1和渗透率K=(4.115±0.171)?10?3(μm)2。某些重建的有效属性可以在表3中找到。请注意，这些微观结构属性并不是声称的全局最优值，包括所有可能的微观结构变体。最佳微观结构特性取决于操作条件[34]。Shi和Xue [34]发现，最佳孔隙率大约在0.4到0.5之间，这取决于燃料成分和燃料及空气的入口流量。此外，Vivet等人[21]通过实验研究了五种微观结构，并确定理想体积分数为φpore=41%、φYSZ=33%、φNi=26%，以最大化三相边界密度和电导率。在当前工作中，微观结构属性的优化被限制在一个三角形域内。通过包含更多的实验FIB-SEM断层扫描数据或数值生成的代表性体积元素，可以扩大这个域。下载：下载高分辨率图像（229KB）下载：下载全尺寸图像(a)。采样点用于（i）在主成分和有效属性Xtrain之间训练替代模型，包括每个类别标签的平均点，以及（ii）在优化步骤1（三角形）和2（蓝色虚线圆）测试替代模型Xtest。下载：下载高分辨率图像（372KB）下载：下载全尺寸图像(b)。热图显示了在优化步骤1时，使用（i）粗略数据替代流程（N°M）（PC）对三角形域和（ii）精细替代流程（N°M′）（PC）对圆形域预测的最大功率密度Pmax。这里，M和M′分别代表用粗略和精细数据集训练的微观替代模型。标记点分别表示基于粗略数据的初步最优点和基于精细采样策略的优化点。图7. 微观替代模型的采样点（a），以及最大功率密度的热图（b）。为了可视化，3D主成分（PC）空间中的三角形域PC被投影到ξ1–ξ2平面上。（关于此图例中颜色参考的解释，请参阅本文的网络版本。）对于平均有效属性的微结构，可实现的最大功率为Pmax=925.8Wm?2。因此，嵌套替代模型与重构结果的最大功率之间的相对误差为0.18%。计算20个重构结果中的每个的最大功率密度后，可以计算出平均功率及其标准偏差，即Pmax=(925.2±1.7)Wm?2。这意味着嵌套替代模型预测的Pmax不在μ±1.0σ范围内，而是在μ±1.165σ范围内。表2总结了微观替代模型的偏差和相对误差，以及预测的最大功率密度。Pmax的最终误差主要是由于有效性质的偏差造成的，因为宏观替代模型N非常准确。为了解释图7(b)中观察到的最大功率密度趋势，分析了三角形区域的微观结构特性。粗微观结构（C）具有最高的渗透率和电导率。而细微观结构（F）的电导率虽然高于中等微观结构（M），但其渗透率大约低三分之一。中等微观结构（M）由于其优越的离子导电性和有利的活性比表面积而实现了最高的功率密度。具体来说，（M）的离子导电率比（C）高25%，比（F）高70%。此外，（M）的比表面积aV是（C）的134%，但只有（F）的85%。需要注意的是，比表面积（通常称为镍和YSZ之间的界面面积）直接与活性三相边界（TPB）的密度相关。对ρTPB的评估显示，（M）的TPB密度是（C）的两倍，但只有（F）的60%。这些发现与已确立的原则一致：（i）离子导电率是电化学反应的重要限制因素；（ii）更高的TPB密度增加了反应位点的数量，从而实现了更多的同时氧化还原反应。将中等微观结构（M）与优化后的微观结构（χopt|step=2）进行比较时，发现λion和aV几乎保持不变。然而，渗透率K增加了，这解释了优化过程后功率密度的轻微提高。

表2. 在优化点Xopt|step=2时，阳极的有效性质Peff由重构结果Mrec的均值和标准偏差以及微观替代模型M′的预测值表示。最大功率是根据Mrec和M′的有效性质通过宏观替代模型N计算得出的。相对误差用??表示。渗透率的较大偏差归因于其对微观结构连通性和重构变异性的高敏感性。

由于重建微观结构的有效性质的变异性，以及圆形区域内采样点相对较少，替代模型的精度有限。特别是渗透率表现出显著的变异性，因为在重构过程中没有明确强制执行迂曲度[69]。由于计算资源和生成微观结构所需的时间，每个采样点只进行了一次重构。为了提高替代模型M′的精度，需要更大的微观数据集。这意味着要么需要对每个采样点进行多次重构过程以考虑替代建模中的变异性（见第2.2节），要么需要细化采样分布（即增加密度）。未来，这可以通过实验样品或使用更快的重构方法生成更多代表性的体积元素来实现。

总体而言，结果非常令人满意，证明了优化流程的有效性，并且可以根据实验数据定制阳极微观结构以优化最大功率密度。具体来说，与中等、粗粒度和细粒度参考微观结构相比，最大功率密度分别提高了约1%、4%和超过10%。这种方法可以适应类似的双尺度优化问题或更复杂的优化函数。

基于图2(c)中所示的双尺度优化循环，生成了优化点Xopt|step=2的二十个重构结果。尽管我们使用了相同的形态描述符来生成最优微观结构，但由于应用了局部优化器，生成微观结构的方法并不是确定性的，而是依赖于随机种子（即微观结构的初始化）。这导致有效性质存在轻微的变化，见表3。然而，所有实现中的有效参数（包括孔隙率、比表面积、电子导电率、离子导电率和渗透率）的变异性都很低。这证实了优化流程的稳健性和重构过程的统计一致性。

重构结果的有效性质Peff被用作高保真COMSOL Multiphysics仿真的输入，以验证预测的性能。通过比较宏观物理模型和宏观替代模型在特定微观结构参数集下的结果，可以看出替代模型能够高精度地预测最大电化学功率密度。通过比较图8中显示的极化（U–I）和功率密度（P–I）曲线，可以评估微观结构变化的影响和敏感性。曲线表明，优化后的微观结构始终能够实现高功率输出，并且在Case 3（最大功率为Pmax=926.85Wm?2）和Case 14（最大功率为Pmax=921.52Wm?2）之间的性能散布最小。这验证了基于替代的优化方法的有效性。然而，应该注意的是，Case 14与平均最大功率Pmax=925.2Wm?2的偏差最大。如图8所示，随着极化的增加，曲线之间的偏差也增加，因此电池电压较低。这意味着在最优点的各个实现中，激活极化高度一致。然而，欧姆极化略有不同，这可以归因于离子和电子的传输电阻差异。如表3所示，Case 14的离子导电率是所有实现中最低的之一。此外，其渗透率也低于其他重构结果。这导致浓度极化增加。这两个参数的结合导致了二十个重构结果中最低的最大功率密度。

表3. 从优化循环中确定的最优阳极微观结构的参数。

基于图2(c)中所示的双尺度优化循环，生成了优化点Xopt|step=2的二十个重构结果。尽管我们使用了相同的形态描述符来生成最优微观结构，但由于应用了局部优化器，生成微观结构的方法并不是确定性的，而是依赖于随机种子（即微观结构的初始化）。这导致有效性质存在轻微的变化。然而，所有实现中的有效参数（包括孔隙率、比表面积、电子导电率、离子导电率和渗透率）的变异性都很低。这证实了优化流程的稳健性和重构过程的统计一致性。

重构结果的有效性质Peff被用作高保真COMSOL Multiphysics仿真的输入，以验证预测的性能。通过比较宏观物理模型和宏观替代模型在特定微观结构参数集下的结果，可以看出替代模型能够高精度地预测最大电化学功率密度。通过比较图8显示的极化（U–I）和功率密度（P–I）曲线，可以评估微观结构变化的影响和敏感性。曲线表明，优化后的微观结构始终能够实现高功率输出，并且在Case 3（最大功率Pmax=926.85Wm?2）和Case 14（最大功率Pmax=921.52Wm?2）之间的性能散布最小。这验证了基于替代的优化方法的有效性。然而，应该注意的是，Case 14与平均最大功率Pmax=925.2Wm?2的偏差最大。如图8所示，随着极化的增加，曲线之间的偏差也增加。

6. 结论

本研究建立了一个新颖的多尺度优化框架，该框架结合了微观结构重构、均化和基于替代的优化流程，以获得在特定操作条件下固体氧化物燃料电池（SOFC）的最大功率密度最优阳极微观结构。该研究基于实验测量的镍（Ni）和氧化钇稳定的氧化锆（YSZ）三维阳极。微观结构通过高维描述符进行形态学描述，有效物理性质通过计算均化获得。传输特性被纳入单个燃料电池级别的多物理场模型中，以计算极化和功率密度曲线。为了扩展结构-性质和性质-性能关系的数据库，通过在低维主成分空间内插值来数值重构人工微观结构。这些数据用于训练微观和宏观替代模型，这些模型能够在两个优化步骤中高效准确地优化阳极微观结构以实现最大效率。仅从三个实验样本中就确定了最优的Ni-YSZ微观结构并进行了表征。所提出的优化框架也可用于优化更广泛的数据集。例如，它可以用于找到具有不同材料组成的训练数据集的最优微观结构。为了考虑机械退化，必须将机械场纳入微观和宏观模型中。特别是，必须从微观结构中通过均化获得有效的机械性质，如弹性张量、热膨胀和蠕变行为。此外，模拟带有机械场的单个固体氧化物燃料电池会导致层内的时间依赖应力。替代模型必须扩展以额外考虑机械行为。优化变成了多目标优化，因为最大化电性能和将最大机械应力限制在某个应力水平以下是必要的。为了纳入捕捉微观结构演变的进化模型，从而考虑电化学退化，还需要在微观尺度模型中考虑时间依赖行为。

除了整合实验数据、微观结构表征和重构以及性能预测之外，这个复杂的优化流程还提供了很高的通用性。也就是说，可以根据每个案例研究修改或替换个别方法和模块。未来，可以解决几个问题以改进本研究的结果。例如，（i）为不同家族的微观结构（例如不同的复合材料）获取更多实验数据；（ii）在优化流程中包含不确定性信息。潜在的改进包括（iii）开发用于重构物理上合理且可制造微观结构的主成分之间的非线性插值方法；（iv）同时优化阳极和阴极。此外，（v）目标函数可以扩展，以包括不仅电化学性能指标，还包括机械耐用性的关键指标，以提高燃料电池的机械稳定性。最终的目标是直接将制造过程与性能指标联系起来。层的制造过程对SOFC的性能起着至关重要的作用。为了捕捉工艺条件和粉末参数（如颗粒大小和颗粒大小分布）的影响，（vi）需要建立整个过程-结构-性质-性能联系的流程，以优化工艺参数并将耐用性延长至80,000小时以上。

CRediT作者贡献声明
Eric Langner：撰写——原始草案、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、概念化。
Jakub Lengiewicz：撰写——原始草案、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、概念化。
Artem Semenov：撰写——审阅与编辑、方法论、概念化。
Ahmed Makradi：方法论、概念化。
Sylvain Gouttebroze：方法论、概念化。
Gaston Rauchs：方法论、概念化。
Qian Shao：方法论、概念化。
Heinz A. Preisig：撰写——审阅与编辑、方法论、概念化。
Thomas Wallmersperger：撰写——审阅与编辑、资源、方法论、资金获取、概念化。
Salim Belouettar：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草案、资源、方法论、资金获取、概念化。
Mohamed El Hachemi：撰写——原始草案、可视化、验证、软件、方法论、形式分析、概念化。