使用元启发式算法对染料敏化太阳能电池的PV参数进行估算

《Energy Conversion and Management-X》：PV parameter estimation of dye-sensitized solar cells using metaheuristic algorithms

　　A.R. Kanimozhi | K. Priya | Ewelina Krawczak | Agata Zdyb | Michal Jan Geca | Rajasekar Natarajan
印度维洛尔大学工程学院

**摘要**
染料敏化太阳能电池（DSSCs）由于其低制造成本、简单的制备工艺以及在弱光条件下的优异性能而成为一种可行的替代方案，因此受到了广泛关注。然而，要提高DSSCs的适应性，需要进行大规模的系统建模。同时，精确的建模需要准确的模型参数估计。鉴于DSSCs的非线性特性、标准的I-V曲线数据集的缺乏以及不同染料材料的使用，这些挑战变得尤为突出。尽管存在多种等效电路模型，但对DSSC建模进行鲁棒优化算法的研究仍然非常重要且不可或缺，因为模型或方法的选择及其性能直接影响到整体的可重复性。因此，本研究考察了四种不同优化算法（Walrus Optimization Algorithm (WaOA)、Dynamic Control Cuckoo Search (DCCS)、Enhanced Barnacle Mating Optimization (EBMO) 和 Black Widow Optimization with Gaussian Mutation algorithm (BWOG) 在DSSC参数识别中的适用性。该研究采用了一种结合优化技术和非线性曲线拟合方法的协同框架，针对三种不同浓度的N719染料（0.25 mM、1 mM和2 mM）在无水乙醇溶液中的DSSCs进行了实验。此外，还通过对提取参数施加±20%的扰动进行了敏感性分析，并使用Wilcoxon符号秩检验和Friedman检验进行了统计验证，以确定最适合DSSC参数估计的方法。结果表明，WaOA方法在多次独立运行中有效平衡了探索、迁移和利用过程，以实现最优解。从统计数据来看，WaOA分别在三种浓度下获得了最低的目标函数值（4.5482E-05、3.1349E-05和4.8289E-05）。此外，RMSE值也显著提高了9.63%（0.25 mM）、10.37%（1 mM）和4.04%（2 mM）。与文献中的算法相比，WaOA的可靠性和稳定性得到了验证。

**引言**
随着各国对碳信用的重视，近年来全球对太阳能光伏（PV）的投资急剧增加[1]。总体而言，太阳能光伏约占全球电力生产的7%，预计在未来电力需求增长中占比接近一半[2]。光伏技术在可再生能源市场中占据了主导地位，其分类包括：第一代硅电池（效率约为25%[3]、[4]、[5]）；第二代薄膜电池（由CdTe、CuInGaSe和GaAs等材料制成，虽然成本效益高，但依赖于有毒且稀缺的材料[6]；以及第三代电池，如染料敏化太阳能电池（DSSCs），其效率已达到14.3%[7]、[8]。尽管DSSCs的效率低于早期世代，但它们得益于半导体掺杂和稳定的电解质（液态、凝胶态和固态）等策略[9]、[10]、[11]、[12]。此外，基于天然染料的DSSCs[13]具有低毒性、易于制造以及使用丰富且环保材料等优点[14]、[15]。另一方面，添加钌或卟啉基染料等掺杂剂可使效率达到11–12%，从而确保了它们在未来的太阳能技术中的地位[16]、[17]。

DSSC由光阳极（工作电极）、对电极（CE）、敏化剂和电解质组成[18]，通常被封装在一个密封结构中，如图1所示。光阳极通常由纳米结构金属氧化物制成，例如ZnO2、SnO2、TiO2、In2O3、CeO3和NbO3[9]、[19]。敏化剂扩展了可见光吸收范围，并将激发的电子注入TiO2的半导体导带[20]。除了灵活性、透明度和在漫射光条件下的良好性能外，DSSCs在包括便携式设备、农业光伏（agrovoltaics）和建筑集成光伏（BIPV）[21]、[22]、[23]等多种应用中具有巨大的商业化潜力。此外，如卷对卷加工等经济高效的制造技术使其适合大规模生产。

**术语表**
缩写：
DSSC：染料敏化太阳能电池
PV：光伏
WaOA：Walrus Optimization Algorithm
DCCS：Dynamic Control Cuckoo Search
EBMO：Enhanced Barnacle Mating Optimization
BWOG：Black Widow Optimization with Gaussian Mutation algorithm
SDM：单二极管模型
DDM：双二极管模型
TDM：三二极管模型
H-MPA：Heterogeneous Marine Predators Algorithm
SMA：Slime Mould Algorithm
TSO：Transient Search Optimization

**参数**
RMSE：均方根误差（Root Mean Square Error）
IT：光伏电池的总输出电流
Iph：太阳能电池产生的光电流
ID1：扩散电流
ID2：复合或耗尽电流
ID3：泄漏电流
I01、I02和I03：分别代表二极管D1、D2和D3的反饱和电流
n1、n2和n3：分别代表二极管D1、D2和D3的理想因子
VT：电池的热电压
Rs：串联电阻
Rsh：并联电阻
LB：下限（Lower Bound）
UB：上限（Upper Bound）
IAE：个体绝对误差（Individual Absolute Error）
IAEI：个体绝对电流误差（Individual Absolute Current Error）
SAE：平方绝对误差（Square Absolute Error）
MAE：平均绝对误差（Mean Absolute Error）
MRE：平均相对误差（Mean Relative Error）
MSE：均方误差（Mean Square Error）
ARMPE：绝对相对最大功率误差（Absolute Relative Maximum Power Error）
COV：方差系数（Coefficient of Variance）
CC：相关系数（Correlation Coefficient）
EC或R2：效率系数或决定系数（Efficiency Coefficient or Coefficient of Determination）
OIMP：模型性能的总体指数（Overall Index of Model Performance）

**结论**
通常，电气等效电路模型被广泛用于分析光伏性能。模型的选择至关重要[8]，因为它用于在模拟中计算实际光伏系统的性能评估[24]。通过结合关键物理参数（如扩散系数、吸收系数、光阳极厚度、扩散长度、电子浓度、辐照度和温度）来优化I-V特性的数值建模方法被广泛使用[25]、[26]。然而，由于DSSCs具有介孔半导体结构和基于电解质的操作机制，其复杂的电气特性受到多种电荷传输和复合机制的影响。事实上，界面电荷转移、缺陷辅助复合和电解质诱导的泄漏电流显著影响了整个工作范围内的I-V曲线再现。这些非理想效应无法使用传统的二极管模型准确模拟。同时，三二极管模型（TDM）通过在整个工作范围内考虑多种复合路径，虽然提供了较为详细的物理表示，但由于存在大量未知参数，计算复杂性较高。

此外，强参数相互依赖性、识别问题以及对测量噪声的敏感性要求精确的DSSC模型参数估计。精确的参数估计和优化在可靠的建模和仿真中起着至关重要的作用[26]、[27]、[28]。传统的数值和分析方法往往对初始条件敏感，尤其是对于高维模型（如TDM）[29]。因此，由于元启发式优化算法具有全局搜索能力和在复杂非线性搜索空间中的出色性能，它们在DSSC参数提取中受到了关注。尽管已有几种元启发式方法用于DSSC参数估计，但大多数研究仅限于单二极管和双二极管模型，而对TDM的系统性研究尚不多[30]。此外，TDM中参数数量的增加加剧了收敛难度，常常导致结果不一致。因此，确定一种可靠且物理上有意义的参数估计方法仍然是一个未解决的研究挑战[31]。因此，本研究侧重于将不同的优化算法应用于TDM，以确定最适合DSSC I-V曲线预测的方法。此外，还比较了四种提出算法的结果，并确定了性能最佳的方法。结果还将这些结果与文献中的现有算法进行了对比。

本研究的工作成果包括：
- 对包括Walrus Optimization Algorithm、Enhanced Barnacle Mating Optimizer、Black Widow Optimization with Gaussian Mutation algorithm和Dynamic Control Cuckoo Search在内的多种元启发式优化算法进行了性能对比，用于三二极管DSSC模型参数的估计。
- 使用在不同染料浓度下获得的实验DSSC I-V曲线进行了验证。
- 基于RMSE、收敛行为、鲁棒性和一致性对优化算法进行了定量性能评估和统计比较。
- 与现有文献报告的算法进行了比较分析，以评估所识别优化方法的稳定性和可靠性。
- 通过对提取的光伏参数施加±20%的扰动进行了敏感性分析，评估了它们对不同DSSC染料浓度下RMSE的影响。

**染料敏化太阳能电池的建模**
DSSC的准确数学公式对于模拟和理解其电气过程至关重要。电气建模有助于效率评估，并有助于识别性能优化的潜在途径[32]。因此，需要一种全面的建模方法。以下部分介绍采用了的三二极管模型及其详细分析。

**三二极管模型**
单二极管模型（SDM）通过假设单一主导复合机制来表示太阳能电池的行为，因此只提供了一种简化的DSSC表示。而双二极管模型（DDM）试图通过区分扩散过程和空间电荷区域复合过程来提高建模精度。DDM源于传统的硅太阳能电池理论，其中两个二极管描述了准中性区域（n = 1）的扩散电流和空间电荷区域（n = 2）的复合电流[30]。相比之下，DSSCs通过电化学过程运行，涉及染料分子的光激发、电子注入到多孔TiO2中以及通过基于电解质的氧化还原对（I?/I3?）的电荷传输。主要的损失机制是TiO2/电解质界面处的复合，通常通过单一路径发生，这与DDM中假设的双二极管表示不符[33]。因此，当应用于DSSCs时，DDM常常产生物理上不现实的参数，例如负的串联电阻或不理想的理想因子，尽管它可以保持准确的实验I-V数据拟合[34]。这是因为优化程序更重视曲线拟合而非物理一致性。具有多个与电阻相关的参数的模型通常会产生不一致的参数估计，且提取的理想因子可能取决于模型结构和染料性质，而不是器件的内在物理特性[35]。

尽管SDM可以通过捕捉主要复合过程可靠地预测DSSC的性能，但SDM和DDM都无法解释与表面态、晶界、陷阱能级和半导体-电解质界面缺陷相关的额外复合途径。这些因素显著影响DSSC的I-V预测，特别是在低电压和中等电压区域。DSSCs的理想因子经常超过2，这是由于电化学复合动力学的作用，这使得区分两个二极管的贡献变得复杂，并导致参数调整的偏差与物理相关性有限。因此，DDM处于一个不稳定的中间位置，虽然比SDM更复杂，但仍不足以准确表示DSSC的电化学过程。尽管在特定情况下（如DSSC模块的部分遮挡）应用了改进的双二极管配置，其中第二个二极管代表反向偏置的电池行为[36]，但这些实现主要用于不匹配分析而非一般参数提取。

为了解决这些问题，本研究采用了图2所示的TDM模型。该模型明确表示了DSSCs中的三种主导复合机制：扩散驱动的复合、耗尽或空间电荷区域复合以及缺陷和陷阱辅助的复合过程。此外，它通过允许提取九个光伏参数（Iph、I01、I02、I03、Rsh、Rs、n1、n2和n3）来评估太阳能电池的性能，这些参数共同构成了参数提取的决策向量（x）[37]。如图2所示，TDM电路包括一个光电流源（Iph），与三个二极管（D1、D2和D3）并联连接，以及串联（Rs）和并联（Rsh）电阻。

在TDM中，每个二极管对应于太阳能电池内的特定电荷传输或复合机制。D1捕获了准中性区域内少数载流子的扩散驱动复合，主要影响I-V曲线的高压区域。D2表示了空间电荷区域（特别是在半导体-电解质界面）的复合，这在中等电压范围内起关键作用。二极管D3负责缺陷和陷阱介导的复合，包括由于载流子在体材料中和半导体-电解质界面处的陷阱而产生的泄漏电流[38]。这种复合路径包括由于表面态、晶界和电解质诱导的泄漏路径而产生的损失，这些在短路条件下变得显著。这种机制受结构缺陷和电解质相互作用的控制，在染料敏化太阳能电池中尤为明显，并可能对器件性能产生不利影响。串联电阻（Rs）表示由于电流通过电池的半导体层和电气接触而产生的内部欧姆损失，而并联电阻（Rsh）表示允许电流绕过结点的泄漏路径。从数学上讲，SDM和TDM的电流-电压（I-V）关系可以表示为：

对于SDM：
(1) IPVcell = Iph - ID1 - IRsh

对于TDM：
(2) IPVcell = Iph - ID1 - ID2 - ID3 - IRsh

其中：
(3) ID1 = I01exp(VPVcell / RTn1)
(4) ID2 = I02exp(VPVcell / RTn2)
(5) ID3 = I03exp(VPVcell / RTn3)
(6) RT = kTq

这里ID1、ID2和ID3分别代表扩散电流、耗尽电流以及由缺陷引起的电流。IPVcell是光伏电池的总输出电流。Iph是太阳能电池产生的光电流。n1、n2和n3分别是二极管的理想因子。VT表示电池的热电压。I01、I02和I03分别是二极管D1、D2和D3的反向饱和电流，分别对应于与扩散相关的、界面相关的和由缺陷辅助的复合过程。将ID1、ID2、ID3和VT的值代入方程(2)后，I的表达式为方程(7)：

(7) IPVcell = Iph - I01exp(VPVcell / RTn1) - I02exp(VPVcell / RTn2) - I03exp(VPVcell / RTn3) - IPVcell / RTn3 - VPVcell - IPVcell / RSRsh

通过将三个二极管整合到其配置中，TDM能够更准确地描述DSSC在整个工作电压范围内的电行为，从低偏压条件到高偏压条件。它可以准确模拟复杂的复合过程、与缺陷相关的效应以及其他在实际太阳能电池中通常观察到的非理想特性。因此，TDM是一种有价值的方法，用于精确参数提取、性能评估和增强染料敏化及其他先进光伏技术的性能。

问题表述

估计DSSC参数的目标函数特别旨在通过使用优化方法实现最低的均方根误差（RMSE）来最小化估计电流数据与测量电流数据之间的差异，如方程(8)所定义。根据获得的最低RMSE值来检验提取的TDM参数的可靠性[39]、[40]。三极管模型的目标函数用电压和电流表示，如方程(9)所示：

(8) RMSE = 1/N * ∑(i=1 to N) |JVk, Ik, x|2

其中N是测量电流数据的总数。

对于三极管模型：
(9) JVk, Ik, x = Iph - I01exp(Vk) + IkRSn1/Vt - 1 - I02exp(Vk) + IkRSn2/Vt - 1 - I03exp(Vk) + IkRSn3/Vt - 1 - Vik + IkRSRsh - Ik

其中，x = (Iph, I01, I02, I03, RS, Rsh, n1, n2, n3)被称为决策向量。

Walrus优化算法（WaOA）

Walrus优化算法是一种新的、受生物启发的优化技术，它利用了海象在自然界中的社会、狩猎和觅食行为[41]。海象栖息在北极海洋的沿海区域和浮冰上[42]。海象的社会互动和狩猎特征被用来解决具有复杂搜索空间的优化问题[43]。该算法平衡探索和利用的能力使其成为广泛应用的有希望的选择[44]。完整的优化过程如图3所示，包括以下步骤：

图3. 提出算法的概括流程图。

步骤1. 初始化：WaOA从一组‘N’只海象开始，每只海象代表一个候选解向量‘x’，具有‘n’个控制变量，受到下限和上限的限制（即Lbj, Ubj, j = 1, 2, …, n），以矩阵形式表示如下：
(10) X = x11 ? ? ? xN1 ? xNn

步骤2. 升级海象的位置：WaOA采用三个阶段，这些阶段受到海象本能行为的影响，来更新其位置：探索、迁移和利用。
(i) 第一阶段-探索：海象用它们敏感的獠牙搜寻猎物，由最强壮的个体领导。这种行为用于探索阶段，新位置使用方程(11)计算，最优解使用方程(12)获得。
(11) xi,j1 = xi,j + randi,j * SWj - Ii,j
(12) Xi = Xi1, Fi1 < Fi → Xi,否则
其中xi,j1和Fi1分别代表第i只海象更新后的位置，第j维，以及根据第一阶段的目标函数值；randi,j是0到1之间的随机数；SW是目标函数值最好的最强壮的海象；Ii,j是1到2之间的整数。

(ii) 第二阶段-迁移：海象迁移到食物丰富的浅水区。这种行为被模仿用来促进全局搜索。因此，第i只海象在第二阶段的位置使用方程(13)更新，结果解根据方程(14)中的适应度比较来接受。
(13) xi,j1 = xi,j + randi,j * xk,j - Ii,j * xi,j, Fi < Fi → Xi,否则
其中Xk表示随机选出的引导迁移的海象，Xi2, xi,j2和Fi2分别代表第i只海象更新后的位置，第j维，以及目标函数值。

(iii) 第三阶段-利用：海象的逃离行为通过将搜索限制在局部区域来增强局部利用。位置更新表示为
(15) xi,j3 = xi,j + lblocal,jp + ublocal,jp - randlb,jp
并使用方程(16)进行评估
(16) Xi = Xi3, Fi3 < Fi → Yi,否则
其中localbounds定义为
(17) Localbounds: lblocal,jp = lbj, ublocal,jp = ubjp

WalOA的伪代码：
1. 为n个控制变量初始化种群Xn中的海象
2. 计算种群‘N’中每只海象的适应度
3. 根据它们的适应度估计对海象进行排序
4. 当（迭代<最大迭代次数）时 - 根据适应度函数识别最强壮的海象 - 每只海象经历一系列阶段 - 第一阶段-探索：使用方程(11)计算海象的新位置 - 使用方程(12)更新其新位置 - 第二阶段-迁移：使用方程(13)确定迁移后海象的当前位置。使用方程(14)更新其新位置 - 第三阶段-利用：使用方程(15)、(17)计算海象在局部搜索空间中的新位置。使用方程(16)更新其新位置 - 根据它们的适应度估计对海象进行排序并更新种群 iter=iter + 1 结束 增强型藤壶交配优化器（ebmo） 藤壶是主要栖息在潮汐和浅水中的水生生物，它们附着在海水中的硬表面上，在海洋环境中广泛分布。它们在湍流环境中通过调节其延长的生殖器官来平衡配偶吸引[45]。受到这种自然行为的启发，引入了藤壶交配优化器（bmo）[46]。通过整合多样保留、控制选择压力和自适应交叉等机制，它有助于高效解决复杂的优化问题。 增强型藤壶交配优化器（ebmo）的优化过程如图3所示，包括以下步骤： 步骤1. 初始化：ebmo初始化一个表示控制变量向量‘x’的‘n’只藤壶种群，受lbj, ubj（j=1, 2, …, n）的限制，并使用方程(10)将它们排列成n维矩阵。 步骤2. 选择过程：选择过程模仿藤壶的行为，在以下假设下进行： (i) 每只藤壶都可以释放和接收精子，但一次只能被一只藤壶受精。 (ii) 随机选择受到藤壶阴茎长度（pl）的限制。 (iii) 由于自交的罕见性，模型中排除了自交，因为不会产生后代。 (iv) 当给定迭代中的选择距离超过设定的阴茎长度（pl）时，触发精子释放。 选择机制数学表示如下： (18) barncled=randperm(N) (19) barnclem=randperm(N) 其中barncled和barnclem分别表示父代和母代。 步骤3. 繁殖过程（交叉）：应用哈代-温伯格理论通过结合亲本遗传特征和后代基因型频率来模拟繁殖过程。新后代的生成可以表示为： (20) xin_new=p.xbarncledN + q.xbarnclemn 其中，p是在[1]之间均匀分布的随机数，q=1-p。 阴茎长度（pl）控制利用和探索之间的平衡。当交配距离超过pl时，发生精子释放（探索），后代生成如下： (21) xin_new=rand().xbarnclemN 其中rand() ∈ [1]。 步骤4. 增强过程：引入突变、自适应选择压力、多样性保留和最优局部搜索技术来改善收敛行为和解的质量。 - 突变引入后代表基因组的随机变化，以增强种群多样性，解决方案向量x更新如下： (22) xi_mutatedn_new=xiN_new + α * rand(0,1) * (ubi - lbi) 其中xi_mutatedn_new是第i个组分的突变值，α是突变缩放因子。 自适应选择压力 选择压力通过偏好在较高水平上表现出更高适应度的解决方案来控制繁殖传播，同时在较低水平上促进多样性。自适应选择压力根据种群多样性在代际间动态调整，如方程(23)所定义： (23) pt=Pmin + (pmax - pmin) * exp(-s * dt - θ) 其中pmin和pmax分别是选择压力的最小值和最大值。 dt是第t代的多样性度量。θ是控制pt增加的阈值。 多样性保留 使用拥挤效应来保持多样性，这种效应惩罚高度相似的解决方案。拥挤距离di量化了搜索空间内两个解决方案的接近程度，表示为方程(24)： (24) di=∑(j=1 to n) |xij - xkj| ebmo的伪代码： 1. 为n个控制变量初始化种群xn中的藤壶 2. 计算种群‘n’中每只藤壶的适应度 3. 根据它们的适应度估计对藤壶进行排序 4.><最大迭代次数）时
- 根据方程(18)、(19)进行随机选择父代藤壶
- 对于每只父代藤壶
- 选择相应的母代藤壶
- 如果父代和母代藤壶的选择在pl范围内
- 使用方程(20)生成后代。否则
- 使用方程(21)生成后代
- 根据它们的适应度估计对藤壶进行排序

增强型黑寡妇优化算法（bwo）结合了高斯突变算法

黑寡妇优化（bwo）算法模仿了黑寡妇蜘蛛的独特交配行为和生活方式[47]。雌性黑寡妇的繁殖周期包括：
1. 繁殖方式
2. 兄弟姐妹间的同类相食

为了增强bwo算法，在繁殖过程中应用高斯突变，对后代引入小的随机扰动，使搜索能够围绕最佳个体进行探索，如图3所示。黑寡妇优化算法（bwog）的优化过程包括以下步骤：

步骤1. 初始化：bwoa从一组‘n’只个体开始，这些个体在控制变量‘x’的上下限（即lbj, ubj, j = 1, 2, …, n）内，使用方程(10)表示为一个‘n’个控制变量的矩阵。

步骤2. 繁殖方式 ? 繁殖。为了生成后代y1和y2，随机选择两个父母x1和x2并计算：
(25) y1 = α.x1 + 1 - α.x2
(26) y2 = α.x2 + 1 - α.x1
其中‘α’是一个与种群大小相匹配的随机数数组。这个过程重复‘n/2’次，不重复选择父母。

步骤3. 同类相食。bwo结合了三种同类相食策略：
1. 性别同类相食 - 雌性黑寡妇在交配过程中或之后吃掉雄性
2. 兄弟姐妹间的同类相食 - 强壮的幼蛛吃掉较弱的幼蛛
3. 未受精的幼蛛相食 - 幼蛛吃掉它们的母亲

步骤4. 高斯突变：后代经历高斯突变，概率为指定的突变率（mutation rate），其中正常分布的噪声被添加到它们的位置中，以增强探索并避免陷入局部最优解，如方程(27)所示：
(27) xnew = xold + n(0,σ)
其中xold是当前解决方案，n(0,σ2)对应于均值为0、标准差为σ的高斯噪声，控制突变的范围。 - 根据方程(18)、(19)进行随机选择父代藤壶 - 对于每只父代藤壶 - 选择相应的母代藤壶 - 如果父代和母代藤壶的选择在pl范围内 - 使用方程(20)生成后代。否则 - 使用方程(21)生成后代 - 根据它们的适应度估计对藤壶进行排序 增强型黑寡妇优化算法（bwo）结合了高斯突变算法 黑寡妇优化（bwo）算法模仿了黑寡妇蜘蛛的独特交配行为和生活方式[47]。雌性黑寡妇的繁殖周期包括： 1. 繁殖方式 2. 兄弟姐妹间的同类相食 为了增强bwo算法，在繁殖过程中应用高斯突变，对后代引入小的随机扰动，使搜索能够围绕最佳个体进行探索，如图3所示。黑寡妇优化算法（bwog）的优化过程包括以下步骤： 步骤1. 初始化：bwoa从一组‘n’只个体开始，这些个体在控制变量‘x’的上下限（即lbj, ubj, j=1, 2, …, n）内，使用方程(10)表示为一个‘n’个控制变量的矩阵。 步骤2. 繁殖方式 ? 繁殖。为了生成后代y1和y2，随机选择两个父母x1和x2并计算： (25) y1=α.x1 + 1 - α.x2 (26) y2=α.x2 + 1 - α.x1 其中‘α’是一个与种群大小相匹配的随机数数组。这个过程重复‘n 2’次，不重复选择父母。 步骤3. 同类相食。bwo结合了三种同类相食策略： 1. 性别同类相食 - 雌性黑寡妇在交配过程中或之后吃掉雄性 2. 兄弟姐妹间的同类相食 - 强壮的幼蛛吃掉较弱的幼蛛 3. 未受精的幼蛛相食 - 幼蛛吃掉它们的母亲 步骤4. 高斯突变：后代经历高斯突变，概率为指定的突变率（mutation rate），其中正常分布的噪声被添加到它们的位置中，以增强探索并避免陷入局部最优解，如方程(27)所示： (27) xnew=xold + n(0,σ)> - 根据方程(18)、(19)进行随机选择父代藤壶
- 对于每只父代藤壶
- 选择相应的母代藤壶
- 如果父代和母代藤壶的选择在pl范围内
- 使用方程(20)生成后代。否则
- 使用方程(21)生成后代
- 根据它们的适应度估计对藤壶进行排序

增强型黑寡妇优化算法（bwo）结合了高斯突变算法

黑寡妇优化（bwo）算法模仿了黑寡妇蜘蛛的独特交配行为和生活方式[47]。雌性黑寡妇的繁殖周期包括：
1. 繁殖方式
2. 兄弟姐妹间的同类相食

为了增强bwo算法，在繁殖过程中应用高斯突变，对后代引入小的随机扰动，使搜索能够围绕最佳个体进行探索，如图3所示。黑寡妇优化算法（bwog）的优化过程包括以下步骤：

步骤1. 初始化：bwoa从一组‘n’只个体开始，这些个体在控制变量‘x’的上下限（即lbj, ubj, j = 1, 2, …, n）内，使用方程(10)表示为一个‘n’个控制变量的矩阵。

步骤2. 繁殖方式 ? 繁殖。为了生成后代y1和y2，随机选择两个父母x1和x2并计算：
(25) y1 = α.x1 + 1 - α.x2
(26) y2 = α.x2 + 1 - α.x1
其中‘α’是一个与种群大小相匹配的随机数数组。这个过程重复‘n/2’次，不重复选择父母。

步骤3. 同类相食。bwo结合了三种同类相食策略：
1. 性别同类相食 - 雌性黑寡妇在交配过程中或之后吃掉雄性
2. 兄弟姐妹间的同类相食 - 强壮的幼蛛吃掉较弱的幼蛛
3. 未受精的幼蛛相食 - 幼蛛吃掉它们的母亲

步骤4. 高斯突变：后代经历高斯突变，概率为指定的突变率（mutation rate），其中正常分布的噪声被添加到它们的位置中，以增强探索并避免陷入局部最优解，如方程(27)所示：
(27) xnew = xold + n(0,σ)
其中xold是当前解决方案，n(0,σ2)对应于均值为0、标准差为σ的高斯噪声，控制突变的范围。>CS算法的灵感来源于杜鹃鸟的繁殖行为，并遵循三个关键原则：(i) 在宿主巢中产卵；(ii) 保留最佳解决方案以供下一代使用；(iii) 以概率Pa ∈ [1]检测宿主，导致卵被拒绝或巢被替换[53]。Levy飞行是一种随机游走，其步长来自一个重尾分布[54]，这使得算法能够偶尔进行长距离跳跃和频繁的短距离移动，从而实现有效的全局探索和局部利用[55]。更新后的解决方案xiN_new由以下公式给出：(28)xiN_new=xiN+αLevy(λ)，其中α是步长缩放因子，Levy (λ)是根据以下公式生成的随机步长：(29)Levy(λ)≈vuλ，其中u∈N0,1–是一个标准正态分布的随机变量，λ是Levy分布的指数，范围在(1?Isc，从而排除非物理解决方案，例如不切实际的高Iph值[35]。在本工作中，Iph被限制在Isc和1.05×Isc的范围内。(33)Iph_min=Isc (34)Iph_max=1.05×IscRs和Rsh的上限分别根据开路和短路条件下的I-V曲线梯度估算[57]，使用公式(33)、(34)。Rsh的下限是根据最大功率点约束[58]使用公式(37)获得的。(35)Rs≈-dVdI|I≈0 (36)Rsh≈-dVdI|V≈0 (37)Rsh_min=Vmp(Isc-Imp)-(Voc-Vmp)Impln(I) –V的梯度用于估算理想因子。分析在Vmp和0.9×Voc之间的二极管主导区域内进行，如公式(38)中指定的，使用Macabebe和van Dyk提出的线性回归技术[59]。最初该方法是为暗态I-V特性开发的，后来考虑到在此区域内串联电阻的影响可以忽略，因此也应用于光照曲线。在DSSC中，理想因子由亚线性复合动力学控制，其中复合顺序(β?原因可能是由于参数Rsh、n1、n2和n3的优化（见表5）。下载：下载高分辨率图像（323KB）下载：下载全尺寸图像。图6. 使用(a) 0.25 mM (b) 1 mM (c) 2 mM 浓度的染料的DSSC的IAE图。表3. 四种提出的方法对DSSC的TDM进行实验数据和估计数据的比较，染料浓度为0.25 mM。项目 实验数据 WaOA 估计电流数据 DCCS 估计电流数据 EBMO 估计电流数据 BWOG 估计电流数据 空细胞 V (V) I (A) Iest (A) IAE(A) Iest (A) IAE(A) Iest (A) IAE(A) Iest (A) IAE(A) Iest (A) IAE(A) 100.00 91 40.00 91 50.00 93 38 84 73 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65 54 33 65每种算法都执行了10次独立运行，结果以平均值±标准差（mean±std）的形式在表10中报告，以量化平均性能和变异性[68]。如表10所示，WaOA在所有实验案例中始终显示出最低的标准差和最接近最小RMSE的平均值。在Wilcoxon符号秩检验中，WaOA与竞争算法之间的成对RMSE差异（di）根据其绝对值（|di|）进行排序，符号秩表示性能差异的方向。正秩对应于相对于WaOA的更高RMSE值，表明WaOA的曲线拟合精度更高。从表10中可以明显看出，TSO在0.25 mM和1 mM浓度下获得了最大的正秩和，这突显了其相对于WaOA的性能最差。所得到的秩和在5%的水平上具有统计显著性。

在Friedman检验中，根据每次运行的RMSE对算法进行排序，并计算所有运行的平均秩。WaOA以最低的平均秩获得总体排名第一，并在独立运行中表现出一致性，而TSO在所有算法中排名最差。

对于不同染料浓度的DSSC，对其提取参数进行了敏感性分析。敏感性分析用于研究PV模型参数变化对目标函数的影响，从而评估参数不确定性对估计结果的影响[67]、[69]。参数提取后，进行了局部敏感性分析，以评估拟合过程的稳健性并识别对模型输出（RMSE）影响最大的参数。每个参数在保持其他参数不变的情况下，分别在其最优值的±20%范围内进行变化。图16显示了在0.25 mM、1 mM和2 mM染料浓度下DSSC的RMSE变化结果。

在各种参数中，理想因子n1、n2和n3以及串联电阻Rs是最敏感的参数，因为小幅度的变化会导致RMSE显著增加。相比之下，光电流（Iph）和饱和电流（I01、I02和I03）的敏感性较低，表明它们的确切值对整体拟合精度的影响有限。对于高度敏感的参数，观察到非对称的RMSE响应，即负扰动通常会产生比正扰动更大的误差，这表明在某些方向上对参数估计有更强的约束。敏感性模式随染料浓度的变化而变化。例如，在低浓度（0.25 mM）下，器件性能主要受光吸收影响，导致Iph相对更为显著。在中等浓度（1 mM）下，模型的RMSE较低，并且对RS的敏感性增加。在高浓度（2 mM）下，由于复合效应的增加，与复合相关的参数（n2和n3）变得更为重要。总体而言，分析证实与复合和串联电阻相关的参数对于准确的DSSC建模最为关键，而饱和电流在优化过程中的可识别性较低。

WaOA在PV参数提取方面的性能提升归因于：(i) 它能够有效处理PV模型的高度非线性和多模态误差面；(ii) 其双重 adaptive exploration–exploitation 机制在早期迭代中增强了全局搜索，并在后期阶段促进了稳定的收敛，减少了陷入局部最小值的可能性；(iii) 其交互和搜索策略提高了对测量噪声和强参数耦合的稳定性，从而加快了收敛速度，并相对于其他算法一致地降低了RMSE值；(iv) WaOA使用较少的控制参数，简化了实现方式，同时保持了建模精度。

除了精度之外，提高的拟合精度还通过准确估计参数（如二极管理想因子、串联和并联电阻以及光电流）来惠及DSSC应用，从而允许在不同工作条件下进行可靠的建模，并有助于器件设计和材料优化。此外，参数估计还通过识别电阻损耗、泄漏路径和早期退化来加强诊断分析，并支持基于DSSC系统的最大功率点跟踪（MPPT）和能量管理，确保不同研究之间的一致性评估。

功率转换效率（PCE）的提升并非主要关注点。相反，这项工作侧重于使用实验获得的稳态I-V特性来基准测试现有的元启发式优化器，用于三二极管DSSC参数提取，而不是开发新的优化方法或制定新的DSSC物理模型。统一的评估框架使优化器的性能能够得到一致性的评估，尽管估计过程仍然容易受到测量噪声的影响。这里没有考虑温度和长期退化的影响，这些将在未来的研究中进行探讨。

结论

通过单一目标方法使用TDM研究了DSSC参数提取，评估了四种元启发式算法在三种染料浓度下的表现。TDM很好地捕捉了复合和泄漏效应，从而提供了更准确和现实的DSSC特性描述。在评估的方法中，WaOA获得了最低的RMSE值：0.25 mM时为4.5482E-05，1 mM时为3.1349E-05，2 mM时为4.8289E-05，使得估计值与实验观测到的I-V和P-V特性更加吻合。其性能的提升归因于两阶段探索策略和受控的随机性，这建立了平衡的探索-利用搜索动态。这种方法提高了估计精度，并能够有效地管理非线性和多模态优化问题，避免了过早收敛。即使作为独立方法，它在所有情况下也保持了最低的RMSE，表现出与先进和混合算法相比的竞争力。WaOA获得的错误指标（如RMSE、MAE、MSE、MRE和SAE）在所有情况下都有显著降低。从10次独立运行中获得的结果，以平均值±标准差表示，表明WaOA一致地表现出低变异性和接近最小RMSE的平均值，显示出高可靠性和稳定性。基于Wilcoxon和Friedman测试的统计评估进一步证实了WaOA结果的一致性和有效性。Wilcoxon测试中正秩的占优表明其RMSE低于竞争算法，而Friedman测试中的最低平均秩确立了其总体排名第一和一致的性能。敏感性分析评估了PV模型参数变化对目标函数的影响，量化了参数不确定性对估计精度的影响。通过将每个参数在其最优值的±20%范围内变化来进行局部分析，并在不同染料浓度下检查RMSE的变化。在0.25 mM时，模型行为主要由光电流（Iph）控制，因为光吸收效应占主导。在1 mM时，随着对RS的敏感性增加，精度得到了提高。在2 mM时，模型主要受复合相关参数（n1、n2和n3）的影响，而饱和电流（I01、I02和I03）的影响较小。在同一数据集和超参数配置下与现有方法的比较进一步突显了WaOA的一致性和可靠性。由于其有效性和适应性，WaOA成为一种非常有前景的方法。参数提取的改进加强了DSSC建模、器件设计和诊断洞察力。分析仅限于稳态I-V特性，其中估计容易受到实验噪声的影响。没有考虑温度变化和长期退化的影响，这为进一步的研究留下了空间。

CRediT作者贡献声明

A.R. Kanimozhi：概念化、数据整理、形式分析、调查、方法论、初稿撰写。
K. Priya：形式分析、资源管理、软件使用、可视化。
Ewelina Krawczak：验证、监督、形式分析。
Agata Zdyb：可视化、软件使用、资源管理。
Michal Jan Geca：撰写-审阅与编辑、监督、项目管理。
Rajasekar Natarajan：撰写-审阅与编辑、验证、监督、项目管理。