由于其高载客量、运行可靠性以及能源和土地资源的有效利用，城市轨道交通（URT）系统在中国得到了快速发展（Ma等人，2016年；Lin等人，2021年）。作为主要的URT方式，地铁网络越来越多地建设在靠近 vibrancy 敏感结构和设施的地方，这主要是由于基础设施密度的增加。由列车运行引起的地面振动会通过土壤介质传播，可能威胁到相邻建筑的结构安全（Zhou等人，2022年；He等人，2023年），干扰精密仪器的工作（Zhao等人，2025年），并影响人类舒适度（Zhang等人，2025年）。因此，开发准确和高效的振动预测方法对于科学评估和减轻振动影响至关重要，从而保障结构完整性和公共福祉。
车辆、轨道和隧道之间的动态相互作用及其对振动、噪音和结构退化的后果长期以来一直被认为是关键的工程挑战。为了解决这些问题，研究人员建立了多种研究框架。这些方法可以大致分为三类：经验方法、数值方法和分析方法。
经验方法常用于初步设计阶段，以快速估计整体振动强度（Ma等人，2016年）。然而，经验公式的推导需要对现场测量数据集进行广泛而严谨的处理（Avillez等人，2012年）。除了联邦交通管理局（FTA）（Quagliata A, Shumway MA, Boeker E, Roof C, Meister L, Singleton HL，《交通噪声和振动影响评估手册》，2018年）和瑞士联邦铁路（SBB）（Kuppelwieser和Ziegler，1996年）提出的既定关系之外，几乎没有经过验证的经验模型可用于预测列车引起的地面振动。当需要更高保真的评估或更严格的精度要求时，这些方法的可靠性会显著降低（Arcos等人，2021年）。
数值方法在研究列车-轨道-隧道-土壤（TTTS）系统的动态响应方面仍然至关重要，因为它们在设计优化和性能评估方面具有多样性。有限元方法（FEM）被广泛使用，3D模型能够有效地捕捉列车载荷、轨道结构、隧道衬砌和周围土壤之间的相互作用（Zhou等人，2022年；Ma等人，2016年；Real等人，2015年）。然而，在使用FEM处理大范围土壤区域时，通常需要人工边界来减少由于截断引起的波反射误差，常用的方法包括人工弹簧边界（Yang等人，2019年；Liu和Li，2005年）；完美匹配层（PML）技术（Lopes等人，2014年；Ma等人，2021年）等。为了解决这一限制，研究人员将有限元方法（FEM）与边界元素方法（BEM）（He等人，2017年；Barbosa等人，2015年；Romero和Galvín，2015年；López-Mendoza等人，2020年）或无限元方法（IEM）（Xu和Zhai，2021年）相结合，这两种方法本质上都能满足无穷远处的辐射条件。这种混合方法广泛用于TTTS系统的动态分析，平衡了准确性和效率，但需要在接口处进行严格的数值耦合，从而增加了计算复杂性。为了提高计算效率，研究人员广泛采用了降阶建模方法，如Floquet理论（Chebli等人，2008年；Clouteau等人，2005年）和2.5D有限元技术（Sheng等人，2005年；He等人，2017年；Zhang等人，2019年）。这些方法仍然需要精细离散化才能解析高频成分，使得它们在参数化或迭代分析中计算起来非常困难。相比之下，分析方法具有较高的计算效率（He等人，2018年）。
分析和半分析方法旨在在物理保真度和计算效率之间取得平衡。早期的研究将隧道和土壤建模为2D梁-弹性基础系统（Metrikine和Vrouwenvelder，2000年），但精度有限。Forrest和Hunt（Forrest和Hunt，2006年；Forrest和Hunt，2006年）提出了管中管（PiP）模型来计算均匀空间中隧道引起的地面振动，并将其扩展到分层场地条件（Hussein等人，2014年）。这些研究促进了TTTS系统3D理论的发展。大多数现有方法采用两步框架（Yang等人，2019年；Kouroussis等人，2011年）：首先在时间域计算列车-轨道相互作用力（Zhai，2019年），然后将其作为输入应用于隧道-土壤模型。然而，这种解耦策略忽略了子系统之间的动态反馈，妨碍了对振动传输的准确表示。因此，最近的研究越来越多地尝试开发车辆、轨道、隧道和土壤的集成模型，以更准确地表示系统耦合效应（Yang等人，2025年）。随之而来的挑战是计算成本的显著增加。为了减轻这一点，研究人员提出了多时间步策略（Zhu等人，2018年）和各种高效的集成算法（Xu等人，2022年）。相比之下，频域解决方案提供了更高的效率，尽管它们难以解释接触非线性等现象。在总体计算中，土壤域通常构成主要的计算负担。简化方案包括PiP模型、多层次圆柱壳单元（CLE）（Yang等人，2019年；Yang等人，2025年）和传递矩阵方法（He等人，2018年；He等人，2025年；Li等人，2025年）。这些方法提高了计算效率，但它们往往过度简化了隧道和轨道结构。对轨道系统的过度简化可能会错误地表示组件之间的振动传输，从而导致对隧道内振动能量分布的估计不准确。
能量方法，如Rayleigh-Ritz方法，将微分边界值问题转化为变分极值问题，非常适合轨道结构的理论建模。近年来，其在轨道振动研究中的应用有所增加。然而，构建同时满足运动方程和边界条件的位移函数仍然具有挑战性。已经使用了诸如Lagrange乘数方法（Ilanko和Monterrubio，2014年）和虚拟弹簧方法（Guo等人，2022年；Guo等人，2025年）之类的方法，但这些方法经常面临数值收敛性和稳定性问题。为了克服这些问题，提出了线性表达方法（LEM）（Guo等人，2024年）。LEM通过使用零空间方法（Deng等人，2022年）、SVD分解（Yang等人，2025年）或高斯消元（Guo等人，2024年）从原始系统中提取独立解集，并将这些解集的线性组合表示为总解，从而实现变分解。此外，将能量方法与组件模式合成（CMS）结合使用以减少矩阵维数并提高计算效率也越来越被采用（Yang等人，2025年；Deng等人，2023年）。
在这项研究中，开发了一个基于频域框架的TTTS系统半分析振动耦合模型，利用能量方法纳入了精细的轨道-隧道结构。本文结构如下：第2节概述了使用线性表达方法和子结构模型降阶技术构建耦合模型的方法；第3节介绍了模型的核心特征，包括可行性评估、通过有限元分析和现场测量验证的准确性以及定义的应用范围；第4节使用半分析模型分析了支撑刚度和隧道节段连接刚度对隧道结构振动的影响机制。
