一种改进的多域预处理器，用于具有复杂界面的大规模弹性问题中的快速多极边界元素方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：An Improved multi-domain preconditioner for fast multipole boundary element method in large-scale elasticity problems with complex interfaces

　　王志国|侯家月|陈永强
北京大学机械与工程科学学院，北京100871，中国

摘要
高效地数值模拟具有复杂多域界面的大规模弹性问题面临着重大挑战，这是由于快速多极边界元方法（FMMBEM）中传统预处理器的局限性所致。在传统的基于叶子的预处理器中，叶子单元的系数矩阵通常只涉及每个子域内的节点，忽略了与相邻子域共享的界面节点之间的耦合。这种疏忽可能导致界面叶子单元的矩阵不可逆，从而限制了FMMBEM在多域弹性问题中的应用。为了解决这些问题，本研究引入了一种改进的多域预处理器，它在保持传统基于叶子预处理器的计算效率和低内存占用量的同时，克服了其局限性。新方法构建了两种类型的可逆子矩阵：一种用于仅包含边界节点的叶子单元，其子矩阵直接从单元的系数矩阵中得出；另一种用于包含界面节点的叶子单元，其子矩阵由共享相同界面节点的所有子域中的叶子单元组装而成。这样可以确保矩阵的可逆性，并准确捕捉子域间的耦合效应。引入了一种子域树生成方法来对齐不同子域中的界面叶子单元，同时采用方程重排序策略将可逆子矩阵放在全局系统的对角线上，从而提升稳定性和计算效率。数值实验表明，所提出的预处理器在具有复杂界面的大规模三维弹性问题中非常有效。涉及数千个子域、数百万个自由度和复杂夹杂几何形状的模型证实，该方法显著减少了内存使用和计算时间，同时保持了高效率和可扩展性。

引言
边界元方法（BEM）是一种基于边界积分方程理论的高效数值方法，具有降维和高数值精确度的优点[1,2]。对于由异种材料或 irregular 几何形状组成的复杂结构，通常采用多域边界元方法（MD-BEM）将计算域划分为多个子域进行数值分析[[3], [4], [5], [6]]。尽管具有这些优势，但高效求解具有复杂界面的多域弹性问题仍然是一个重大挑战。MD-BEM 的系数矩阵呈现出块稀疏结构，但每个子域矩阵的存储需求随自由度（DOFs）的增加而呈 O(N2) 方增长。对于大规模问题，直接求解器[5,7] 和迭代求解器[[8], [9], [10]] 都会变得效率低下。早期的凝聚方法，如 Kane 等人[11] 和 Zhang 等人[12] 提出的方法，将系统简化为仅包含界面未知数的形式，从而缓解了内存瓶颈问题。Gao 等人[13] 进一步凝聚了内部和边界未知数，成功处理了异种材料问题。然而，这些方法在规模上仍有局限，通常无法有效处理需要精细界面离散化或大量界面的问题。

也采用了域分解策略。Kamiya 等人[14,15] 和 Meric[4] 开发了基于特定界面条件的独立子域解方法。De Araújo[16] 在子域分解框架内提出了一种块对角预处理器。然而，这些方法仅适用于子域和界面数量相对较少的问题，其在大规模、高度复杂的多域问题中的适用性仍不明确。快速多极算法的出现大大提高了 BEM 的计算效率。Greengard 和 Rokhlin[17] 提出的快速多极方法通过多极展开、局部展开和树状迭代方案，将多粒子相互作用的计算复杂性从 O(N2) 降低到 O(N)。Carrier 等人[18] 提出了可以根据节点分布自动调整的自适应树结构，进一步减少了存储和计算成本。快速多极方法与 BEM 的结合，即快速多极边界元方法（FMMBEM），通常通过预处理器来加速迭代收敛。Nishida[19] 开发了一种基于叶子单元内节点相互作用的基于叶子的预处理器，该方法已广泛应用于单域弹性问题。然而，基于叶子的预处理器不能直接应用于多域弹性问题，因为忽略了子域间界面节点的耦合。此外，在单域 FMMBEM 中广泛使用了构建近场矩阵稀疏逼近的代数预处理器。代表性方法包括块 ILU 和 SPAI。不完全LU（ILU）分解在受控填充条件下构建近场矩阵的近似分解[20,21]。SPAI（稀疏近似逆）预处理器基于最小二乘准则构建矩阵逆的稀疏逼近，在散射问题中得到了广泛研究[20,[22], [23], [24]]。这些方法与 FMMBEM 兼容，并在实践中作为轻量级预处理器被广泛使用。然而，对于界面问题，这些预处理器通常是基于近场矩阵的近似构建的，没有明确考虑相邻子域间共享的界面节点的耦合效应。在涉及复杂多域界面的问题中，界面相互作用变得越来越重要，这些预处理器在解决大规模多域弹性 FMMBEM 问题时的性能仍有待进一步系统研究。Liu 等人[25] 提出了一种基于 Schur 补充方法的多域 FMM。他们的方法分离了界面和边界自由度，并构建了一个 Schur 补充系统来求解多域问题，但尚未为 FMMBEM 开发预处理器。

对于具有夹杂物的界面问题，FMMBEM 已被应用于包含多个球形颗粒的三维弹性体[26] 和含有数万根碳纳米管的复合材料[[27], [28], [29]]。Wang 等人[[30], [31], [32], [33]] 将 FMMBEM 与重复子域方法相结合，开发了一种用于复合结构的预处理器。虽然这些方法对某些夹杂问题有效，但它们要么限于简单的几何形状，要么在应用于具有精细界面离散化的大规模问题时会导致显著的内存和计算成本。尽管付出了这些努力，仍缺乏一种高效且通用的预处理器来解决具有复杂界面的大规模三维多域弹性问题。这样的预处理器应保持低计算成本和低内存占用量，同时适用于具有任意几何形状的界面问题。为了解决这一缺口，本研究提出了一种用于三维弹性问题中 MD-FMMBEM 的新型多域预处理器。该方法通过构建两种类型的可逆子矩阵来扩展基于叶子的预处理器的适用性，这些子矩阵能够捕捉边界和界面节点的相互作用。首先，提出了一种基于全局树结构的派生子域树生成策略。根据子域所有权和界面识别规则，从全局单元中选择性地生成子域单元。派生过程不仅传输了几何信息，还传输了与节点相关的物理和数值属性，并建立了全局单元与子域单元之间的直接结构连接。此外，引入了最小包围单元标准来重新定义每个子域树的根单元并压缩树层，从而减少了冗余的上下路径，形成了更紧凑的树结构。定义了一个结构化的派生叶子集，以更自然和高效地处理弹性界面处的位移连续性和牵引平衡条件。每个派生叶子集包含所有共享相同界面的相邻子域的叶子单元。与派生叶子集相关的子矩阵是通过组合该集合中所有叶子单元的局部矩阵构建的。它完全捕捉了界面节点对相邻子域的机械耦合效应，并可直接用于预处理器中的子矩阵定义。基于叶子和派生单元集的概念，进一步开发了用于弹性问题预处理器的可逆子矩阵的构建方案，以及相应的方程排序策略。

数值实验表明，所提出的预处理器在解决大规模弹性问题时显著加速了收敛速度，同时保持了低内存使用、高可扩展性和强大的通用性。

部分摘录
三维弹性问题的单域 FMMBEM
本节概述了用于三维弹性的单域快速多极边界元方法（SD-FMMBEM）。强调了该方法的两个核心组成部分：自适应树结构和基于叶子的预处理器。这两种核心技术构成了本研究的方法论基础。在后续章节中，这两个概念被扩展并推广到多域 FMMBEM 框架中，从而支持弹性问题的 MD-FMMBEM。
虽然单域 FMMBEM 在解决三维弹性问题时具有高效率和低内存使用量，但许多实际工程应用涉及异种材料或复合结构，这自然需要多域建模。在这种情况下，计算域被划分为多个子域，每个子域具有自己的材料属性或几何特性。将 FMMBEM 扩展到多域问题中可以引入额外的……

改进的多域预处理器，用于具有复杂界面的弹性问题中的 MD-FMMBEM
为了解决 MD-FMMBEM 中传统基于叶子预处理器的固有限制，本文提出了一种新颖的多域预处理策略，这是本文的主要创新。所提出的预处理器由两种类型的可逆矩阵组成。对于仅包含边界节点的叶子，相关的平方矩阵可以直接用作预处理器中的子矩阵。相比之下，界面叶子单元……

数值示例
为了评估使用改进的多域预处理器的 MD-FMMBEM 的计算性能、稳定性和可靠性，设计并进行了系列数值实验。这些数值实验从多个角度系统评估了所提出的方法，包括计算效率、内存消耗、准确性及其在具有复杂多域界面的大规模问题中的适用性。

结论
本研究提出了一种改进的多域预处理器，用于高效解决大规模多域弹性问题，特别是那些涉及复杂几何形状和大量界面的问题。涉及复杂界面三维弹性问题的数值示例证明了所提方法的高效率、可扩展性和通用性。新的预处理器基于三个关键创新：子域……

CRediT 作者贡献声明
王志国：撰写——原始草案、验证、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。
侯家月：撰写——审阅与编辑。
陈永强：撰写——审阅与编辑。