一种用于奇异扰动反应-扩散问题的稳定虚拟元素方法：鲁棒性分析

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A stabilized virtual element method for singularly perturbed reaction–diffusion problem: A robustness analysis

　　苏迪尔·米什拉（Sudheer Mishra）| 苏达拉拉詹·纳塔拉詹（Sundararajan Natarajan）
机械工程系，印度理工学院马德拉斯分校，金奈600036，印度

摘要
我们提出并分析了一种针对奇异扰动反应-扩散方程的稳定虚拟元素方法（VEM），该方法适用于反应主导和扩散主导的两种情况。通过引入一个依赖于网格的项来实现稳定化，该项是从与扩散-反应方程相关的残差梯度的最小二乘公式中推导出来的。理论分析确保了稳定离散形式的适定性，并提供了能量范数和L2范数的先验误差估计，证明了最优的收敛速率。值得注意的是，该方法在能量范数上对扩散参数具有完全的鲁棒性，因为即使在扩散参数趋于零的极限情况下，误差估计也保持一致。此外，所提出的方法不需要调整或缩放稳定化参数。通过几个数值示例展示了该方法的有效性和效率，并验证了理论观察到的收敛速率。

引言
本工作是致力于开发和分析奇异扰动反应-扩散（SPRD）问题稳定虚拟元素公式系列研究的首篇论文。模型问题表述如下：寻找标量场u，使得...，其中Ω是R2中的有界凸多边形域，其边界为?Ω；扩散参数用μ表示，满足0<μ≤1；反应系数用σ>0表示；外部载荷项f∈L2(Ω)。

反应-扩散系统在物理、化学、生物和工程学中模拟空间分布过程方面起着重要作用，在这些过程中，局部反应动力学与扩散传输机制相结合[1][2]。自从图灵关于形态发生的研究[3]以来，这类系统一直被视为理解非线性介质中的模式形成、波传播和自组织的关键数学框架。从计算角度来看，反应-扩散方程通常涉及刚度、多尺度行为和强非线性，这对数值模拟提出了重大挑战。因此，设计和分析鲁棒、准确和高效的反应-扩散系统数值方法一直受到科学计算界的持续关注[4][5][6]。传统的伽辽金有限元方法对于扩散参数趋近于零的反应-扩散问题是不适用的，因为它会失去稳定性。简而言之，对于任何通用函数v，经典能量范数????v?1,μ2?μ‖?v‖0,Ω2+σ‖v‖0,Ω2在μ→0时变得退化，实际上归结为L2范数。因此，由于无法控制解的H1-半范数，这种方法无法准确捕捉信息。除非使用足够小的网格尺寸，否则通常会遇到这种情况。因此，稳定性的缺失在理论和数值方面都带来了重大挑战。已经开发了几种有限元公式用于SPRD方程，包括稳定FEM、混合FEM、自适应FEM和不连续FEM[7][8][9][10][11][12][13][14]。有兴趣的读者可以参考参考文献[15]，以了解有限元策略在反应和扩散方程中的演变。

过去十年中，引入了一种通用的有限元框架，称为虚拟元素方法（VEM），用于Poisson问题[16][17]，该框架允许使用一般的多面体元素。VEM的显著特点是它可以在不需要显式基础函数信息的情况下结合任意形状的多边形和多面体网格。上述大多数FEM都受到网格形状和域的复杂几何形状的限制。自适应FEM需要重新划分网格以避免悬挂节点，而VEM在这方面具有很高的灵活性，能够更好地逼近复杂域和数据几何形状。VEM已被应用于各种问题[18][19][20][21][22][23][24][25][26][27][28]。VEM还成功地应用于对流-扩散问题，采用了SUPG稳定化[29][30][31]、最小二乘稳定化[32][33]、局部投影稳定化[34][35]和连续内部惩罚[36][37]。对于不可压缩流动问题，提出了一种使用等阶逼近的稳定虚拟元素方法（VEM）[38]，从而绕过了离散inf-sup条件。该框架随后被扩展到Oseen问题[39]和耦合的Stokes-温度流动[40]。最近，Dauphin和Vacca[41]引入了一种用于对流-反应问题的SUPG稳定VEM。

基于上述讨论，人们认为稳定的VEM在包括对流-扩散-反应模型、对流-反应方程、不可压缩流动问题（Stokes、Oseen和Navier-Stokes）以及热耦合流动在内的广泛问题中表现出强大的性能。然而，将其扩展到SPRD问题仍然是一个未解决的问题。SPRD问题引入了与之前研究的对流-扩散-反应模型和对流-反应方程不同的特定挑战。缺乏对流项从根本上改变了稳定化要求，使得现有的SUPG稳定和最小二乘稳定VEM框架不适用于当前情况。更确切地说，最小二乘稳定VEM仅对解的L2范数进行控制（参见备注2）。因此，需要仔细构建离散问题以在引入额外正则性的同时保持稳定性和准确性。

在这项工作中，我们提出并分析了一种针对SPRD问题的新型稳定虚拟元素公式，与所有现有的稳定VEM不同。稳定化方法基于SPRD方程的残差梯度，并通过加入投影来避免额外的正则性，具有几个区别特征，具体如下：
- 来自[8]的一个关键观察是，?u∈V?H01(Ω)需要H3-正则性来进行误差分析，而当前方法避免了对任何额外正则性的假设。
- 在[8]中，假设载荷项f属于H1(Ω)，而在当前工作中没有这样的正则性要求。
- [8]中的FEM变体仅在能量范数下进行了分析，而当前方法允许在能量和L2范数下进行误差估计。
- 早期的研究[8][9]仅限于线性元素，而当前框架不仅可以适应任意形状的元素，还可以处理更高阶的元素。

据作者所知，这是第一个针对SPRD问题的稳定虚拟元素公式。我们通过将稳定化方法纳入虚拟元素公式中恢复了经典VEM的稳定性。在稳定虚拟元素公式中，弱范数?????1,μ被一个满足对称性和强单调性的强能量范数所取代。我们证明了稳定离散问题的强制性，随后证明了离散问题的适定性。针对反应主导和扩散主导两种情况，我们推导出了最优阶误差估计。此外，能量范数中的误差估计是一致的，并且与扩散参数无关，显示出对扩散参数的完全鲁棒性。数值实验表明，在不同类型的网格（规则多边形、Voronoi镶嵌、变形网格）上获得了最优收敛，并通过捕捉不同扩散参数下的平方和L形域的边界层验证了所提出方法的效率。

本文的其余结构如下：第2节介绍了模型问题的原始变分公式及其适定性。第3节讨论了稳定化方法的构建、虚拟元素方法的简要概述以及稳定离散问题的推导。第4节提出了稳定离散解的存在性和唯一性以及能量范数和L2范数的先验误差估计。第5节通过进行多个数值示例来研究所提出方法的效率。第6节简要讨论了本文的主要结论。

在整个工作中，遵循[42]采用了标准的Sobolev空间符号。L2(Ω)内积和L2范数分别用(?,?)Ω和‖?‖0,Ω表示。对于任何有界子域ω?Ω，Wpk(ω)表示阶数为k∈N∪{0}的Sobolev空间，具有可积指数p≥1，并赋予范数‖?‖k,p,ω和半范数|?|k,p,ω。除非会引起混淆，否则(?,?)Ω中的下标Ω将被省略。粗体符号用于表示向量值函数和张量。正常数CP表示Poincaré常数。此外，我们引入了a?b来表示a小于b，这个差值是一个与网格尺寸和物理参数μ、σ无关的乘法常数。它可能取决于方法的稳定性常数、Poincare常数和网格规则性参数。

功能空间、弱形式及其适定性
让我们用?V?H01(Ω)表示标量场的测试空间和试验空间。在(1.1)乘以适当的测试函数后使用分部积分，问题(P)的变分公式表示如下：寻找u∈V，使得A(u,v)=(f,v)Ω，对所有v∈V成立，其中双线性形式?A(v,w)?a(v,w)+c(v,w)由??a(v,w)?μ∫Ω?v??wdΩ,c(v,w)?σ∫ΩvwdΩ给出，对所有v,w∈V成立。
回顾Lax–Milgram引理，我们可以很容易地保证变分公式(2.1)的适定性。

稳定虚拟元素框架
在本节中，我们首先介绍VEM和稳定虚拟元素问题的预备知识。为此，我们从网格假设规则性开始，然后简要介绍GGLS方法。

(A0) 网格假设。我们假设E表示一个具有边界?E的多边形元素，其重心为xE∈R2，面积为|E|。设E的直径和边长分别为hE和e。此外，其边界?E的向外单位法向量表示为nE。

理论分析
在本节中，我们分析所提出方法(3.17)的稳定性并推导出能量和L2范数中的误差估计。我们首先回顾一些初步结果。
- 引理1 [46] 在假设(A0)下，对于任何w∈Hs(E)且E∈Ωh，有以下关系：‖w?Πk?,Ew‖l,E≤ChEs?l|w|s,Es,l∈N,s≥1,l≤s≤k+1，‖w?Πk0,Ew‖l,E≤ChEs?l|w|s,Es,l∈N,l≤s≤k+1，其中常数C不依赖于网格尺寸。
- 引理2 [47] 在假设(A0)下，对于任何w∈Hs+1(E)，存在wI∈Vh(E)使得‖w?wI‖0,E+hE|w?wI|

数值结果
在本节中，通过进行一系列以边界层为特征的三个示例，系统地研究了所提出框架的收敛性质和鲁棒性，特别是在反应主导的情况下。首先研究了随网格尺寸变化的收敛速率。在Matlab中开发了一个自定义代码，所有模拟都在64 GB RAM、Intel Core i9-10900X × 20处理器（3.7 GHz）上执行。

结论
本研究提出了一种新的稳定虚拟元素方法，用于解决主导反应-扩散方程。稳定化项满足残差梯度的最小二乘性质，从而对解的梯度提供了合理的控制。利用投影算子和GGLS稳定化，我们推导出了稳定虚拟元素问题。使用Lax–Milgram引理证明了稳定虚拟元素问题的适定性。

作者贡献声明
苏迪尔·米什拉（Sudheer Mishra）：撰写——审阅与编辑、原始草稿写作、可视化、验证、软件、资源、方法论、调查、形式分析、概念化。
苏达拉拉詹·纳塔拉詹（Sundararajan Natarajan）：撰写——审阅与编辑、可视化、监督、资源、方法论、调查、概念化。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能会影响本文所报告工作的财务利益或个人关系。

致谢
作者衷心感谢Kameswararao Anupindi教授对反应-扩散方程的深刻讨论。作者还感谢匿名审稿人的仔细阅读和建设性评论，这些评论显著改进了手稿。