利用相场方法建立的耦合弹性-粘塑性-损伤模型，用于分析热障涂层在有限变形和界面失效过程中的行为

《COMPOSITE STRUCTURES》：The coupled elasto-viscoplasticity-damage model for finite deformation and interface failure in thermal barrier coatings by using the phase field method

　　叶辉彪|天祥兰|惠龙仁|亚段|丁国彪|小英庄|蒂蒙·拉布楚克|岳光伟
北京大学力学与工程科学学院，北京100871，中国

摘要
热障涂层（TBCs）对于保护发动机涡轮叶片至关重要，但其性能经常因高温蠕变和材料属性不匹配导致的界面剥离和陶瓷剥落而受到影响。因此，本研究引入了一种在大变形理论框架内开发的耦合弹性-粘塑性-损伤本构模型，以研究TBCs中的界面损伤机制。该耦合模型独特地结合了裂纹相场和界面相场，前者用于模拟体内的断裂，后者用于表征不均匀材料边界处的不连续性质，从而能够以统一的方式描述这两种失效类型。通过Abaqus UMAT和UEL子程序进行的数值模拟表明，TBC的失效模式对涂层厚度非常敏感；较薄的涂层主要产生横向裂纹，而较厚的涂层则倾向于界面分层。此外，研究发现基材的塑性变形实际上可以抑制界面裂纹的扩展，尽管基材较低的硬化模量可能会加剧局部涂层剥落。最终，研究表明，通过调整界面与涂层断裂韧性的比率可以调节TBC的整体断裂行为，为优化分层微结构设计以提高发动机安全性提供了重要的计算基础。

引言
热障涂层（TBCs）在发动机涡轮叶片的热绝缘保护中发挥了重要作用[1]、[2]、[3]。界面剥离和涂层剥落失效会大大影响TBCs的性能和服务寿命[2]。主要问题归因于高温下的界面氧化和蠕变变形[4]、[5]、[6]、CMAS（钙镁铝硅酸盐）的渗透腐蚀[7]、[8]以及热诱导的残余应力[9]、[10]、[11]等。因此，研究界面分层和陶瓷涂层开裂的综合作用至关重要，这对于通过材料和分层微结构设计来改善TBCs的耐用性和可靠性至关重要。

表1。表2。
理解TBCs损伤机制的主要挑战在于材料属性的不匹配和分层多材料的界面特性。这些TBCs分层结构中的失效通常包括界面剥离、体内裂纹的扩展以及裂纹在界面区域的弯曲和撞击相互作用。Théry等人[12]通过结合粘附测试，很好地确定了粘结涂层和顶层涂层之间的粘附能量及其在循环氧化过程中的演变。Planquesa等人[13]通过对比实验测试，有见解地揭示了完整TBC的机械行为。他们提供了一些具有工程意义的实验结果，包括圆盘形状试样的小冲孔测试。Mahfouz等人[14]通过实验研究了TBC系统在热循环过程中的气泡演变。他们发现，作用于粘结涂层皱褶的驱动力与气泡高度增加和TBC最终失效的驱动力相似。此外，还提出了各种数值方法来捕捉TBCs实验中观察到的复杂断裂模式，并揭示其相应的损伤机制，例如粘聚区模型（CZM）、iviodynamics和相场模型。最近，考虑CZM方法来研究TBC损伤的最新技术已经出现。Hille等人[15]采用CZM提供了对TBC系统中裂纹与TGO层生长之间复杂相互作用的全面见解。Soulignac等人[16]使用Needleman的粘聚区模型研究了陶瓷/金属界面形态对损伤演变的影响。Long等人[17]提出了一个等效的粘聚区模型来揭示基于涂层厚度的损伤机制。Qin等人[18]提出了拉格朗日乘数/粘聚区模型来捕捉陶瓷涂层和基材之间的内部界面裂纹相互作用。Xu等人[7]采用粘聚区模型研究了CMAS腐蚀引起的界面损伤机制。尽管CZM能够有效地描述界面区域的能量耗散，然而需要在体内预先定义裂纹扩展路径[19]。因此，粘聚区模型预测的裂纹路径可能严重依赖于有限网格。
为了克服定义裂纹路径的这一缺陷，Wang等人[9]采用基于键合的iviodynamics来研究界面粗糙度对TC/TGO（顶层涂层/热生长氧化物）界面区域热诱导裂纹行为的影响。由于控制方程在iviodynamics的背景下以积分形式表达，因此可以通过断裂iviodynamics键合来直接处理体内裂纹的萌生、扩展以及与界面裂纹的相互作用[20]。随后，Wu等人[21]应用与键合相关的非常规状态iviodynamics来研究高温保持时间、TGO厚度和界面形态对界面损伤机制的影响。Bie等人[22]、[23]在双视界iviodynamics框架内研究了氧化引起的界面剥落过程和外来颗粒侵蚀引起的失效。为了进一步提高计算效率，Bie等人[10]特别讨论了在Abaqus UEL和VUEL子程序中实现热机械iviodynamics模型的方法，开发了双视界iviodynamics有限元方法。然后他们研究了TBCs的热诱导界面损伤机制。实验现象如横向裂纹的扩展、顶层涂层的弯曲以及与界面裂纹的相互作用得到了很好的捕捉。尽管iviodynamics在研究TBCs的界面剥离和涂层剥落失效方面取得了重要进展，但上述大多数模型都是在小变形理论假设下的线性弹性本构模型。特别是在大变形假设下，很难在基于iviodynamics的非线性材料本构模型中同时整合能量和强度标准。
此外，相场模型（PFM）也受到了广泛关注，它可以无需特殊处理即可模拟裂纹的萌生、扩展和相互作用[24]、[25]、[26]。在PFM的背景下，裂纹表面密度定义为裂纹相场d∈0,1及其空间梯度?d的函数，用于平滑描述从未受损状态到完全受损状态的过渡。PFM在处理脆性裂纹、准脆性裂纹[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、复合结构裂纹[32]、[33]、[34]、[35]、延性裂纹[36]、[37]和动态裂纹[38]、[39]、[40]方面的多功能性，引起了人们对研究均匀和异质材料中损伤机制的极大兴趣。最近，PFM已被初步用于研究TBCs的损伤机制。Zhou等人[41]开发了PFM和CZM的耦合模型，以表征TGO层区域和TC/TGO界面剥离的失效演变。Min等人[42]提出了结合相场模型的耦合化学-热机械模型，以研究TBCs中的界面氧化诱导失效过程。Wang等人[43]将疲劳诱导的损伤机制引入PFM，以研究高温循环环境下的TBC失效过程。Zhang等人[44]提出了多晶相场模型，以研究CMAS腐蚀高温环境下的TBC失效。这些工作显著推进了相场模型在揭示由机械、热和化学载荷引起的涂层失效过程中的应用。应当注意的是，上述TBCs的相场模型都是在小变形假设下建立的，没有考虑高温引起的蠕变变形。Loeffel等人[45]报告称，TBCs中的等效应变最大值可以大于0.4。此外，Shen等人[46]报告称，在大变形假设下预测的TBCs最大应力值与实验结果更为接近。因此，仍有必要在大变形理论下开发损伤模型，以合理研究TBCs的失效机制。
在本文中，我们基于大变形理论提出了耦合弹性-粘塑性-损伤本构模型，以研究大变形理论下的热障涂层的蠕变变形和界面断裂过程。首先，通过热力学和耗散不等式推导出耦合弹性-粘塑性-损伤本构关系。开发了包含断裂强度和塑性耗散的损伤驱动力。引入裂纹相场和界面相场，以解决体内裂纹扩展和材料不均匀界面处的不连续性。这样，就可以统一描述体内裂纹扩展和界面裂纹扩展。然后，将耦合弹性-粘塑性-损伤模型的数值实现集成到Abaqus UMAT和UEL子程序中。最后，通过分析与解析解和现有实验的比较来验证该耦合模型。数值结果表明，弹性-粘塑性-损伤本构模型不仅可以有效描述不同压缩应力水平下的蠕变变形，还能揭示TBCs界面分层和陶瓷涂层开裂的复杂竞争行为。我们的研究结果可能为通过材料和微结构设计来调节TBCs的整体断裂行为提供新的见解和方向，以避免界面剥离和涂层剥落。为了提供有关界面裂纹扩展的代表性示例的更详细信息，附录A中提供了一些视频。此外，附录A中还提供了复制文章中代表性示例结果所需的Abaqus可执行文件和输入文件。

应当指出，本工作的核心贡献是在大变形理论框架内开发了弹性-粘塑性-损伤本构模型，以研究TBCs中的界面损伤机制。引言的重点是回顾用于解决TBCs分层结构中界面损伤机制的损伤模型（通常包括界面剥离、体内裂纹扩展以及裂纹在界面区域的弯曲和撞击相互作用）。诚然，也有类似的耦合本构模型从字面上被提出，用于研究热塑性聚合物的机械行为。例如，Krairi等人[47]提出了一个基于热力学的本构模型，将渐进损伤、粘弹性和粘塑性耦合起来，用于任意载荷下的热塑性聚合物。Nan等人[48]提出了一个新的有限应变本构模型，结合了粘弹性、粘塑性和损伤，以表征热塑性聚合物的弹塑性响应。连续损伤模型通常用于仅捕捉均匀材料的损伤演变[47]、[48]，而没有考虑临界能量释放率标准。与这些工作[47]、[48]相比，本文的区别和优势如下：(a) 本文中的损伤演变由相场模型控制，裂纹扩展和相互作用可以容易地表征；(b) 同时使用了强度标准和能量标准；(c) 耦合界面损伤模型可以统一描述体内裂纹和界面裂纹的扩展。最后但同样重要的是，研究对象不同，弹性-粘塑性-损伤本构模型是为TBCs中的界面损伤机制提出的。

**部分摘录**
如果一个材料点的运动由函数x=y(X,t)表示，则变形梯度F、速度v和速度梯度L的数学表达式可以写为：
F=?y,v=y?，
L=F?
F-1
当对F应用乘法分解时，它可以分离为弹性变形梯度Fe和塑性变形梯度Fp [49]、[50]、[51]，如图1(a)所示：
F=Fe
Fp，
Je=detFe，
Jp=detFp，
J=JeJp
其中Je、Jp和J分别表示弹性、塑性和总体积变化。

**单纤维增强矩阵复合材料微观结构**
单纤维增强矩阵复合材料微观结构的经典基准示例[19]、[57]、[59]通常用于展示界面损伤模型在解决界面裂纹扩展方面的有效性。与参考文献[19]、[57]、[59]一样，模拟单纤维增强基体复合材料的目的在于验证所提出的耦合界面损伤模型在处理大变形假设下的界面裂纹扩展问题时的有效性。结论：本文提出了一种耦合的弹性-粘塑性-损伤本构模型，用于研究热障涂层在大变形理论下的蠕变变形和界面断裂过程。引入了裂纹相场和界面相场来描述材料内部的裂纹扩展以及非均匀材料界面的不连续性。通过这种方式，可以同时考虑材料内部的裂纹扩展和界面裂纹的扩展。

作者贡献声明：
- 贝慧辉：负责写作、审稿与编辑、原始稿撰写、软件使用、资源准备、方法论设计、研究开展、资金筹集、数据管理以及概念构思。
- 莲天祥：负责写作、审稿与编辑、软件使用、资源准备、方法论设计、形式化分析以及数据管理。
- 任慧龙：负责写作、审稿与编辑、模型验证、研究开展以及数据管理。
- 段雅：负责写作、审稿与编辑、模型验证、软件使用以及研究开展。
- 布伊廷国：负责写作、审稿与编辑。

利益冲突声明：作者声明没有已知的可能影响本文研究工作的财务利益冲突或个人关系。

致谢：本研究得到了国家自然科学基金（项目编号123B2028、12032001、12432003）和国家科技重大项目（项目编号J2022-V-003-0029）的资助。