基于克里金替代模型的可靠性分析方法，用于研究多尺度混合不确定性下的复合螺栓连接件

《COMPOSITE STRUCTURES》：Kriging surrogate model based reliability analysis method for composite bolted joints under multi-scale hybrid uncertainties

　　张志勇|周晓毅|P.D. 戈斯林|吴文清|班新琳
东南大学交通学院桥梁工程系，中国南京211189

摘要
材料属性和几何参数的几何多尺度特性以及多重来源的不确定性共同导致了准确预测复合螺栓接头机械性能散布的巨大挑战。本文提出了一种基于克里金（Kriging）模型的多尺度混合可靠性分析方法，用于量化复合螺栓接头的概率强度。该方法建立了一个模块化且自动化的综合分析框架，该框架依次整合了渐进损伤分析、样本集生成、替代模型构建和随机区间混合可靠性评估。该框架旨在建立组成材料属性的不确定性、跨尺度几何参数与宏观结构可靠性之间的定量关系。通过对一个典型的双搭接单螺栓复合层压接头进行数值案例研究，将所提出的方法与蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）方法进行了比较，证明了其在复杂不确定性下进行高效和准确可靠性评估的能力。此外，利用这一分析框架，初步研究了参数分散对接头结构微观失效的影响机制。

引言
纤维增强聚合物（FRP）复合材料，特别是碳纤维增强聚合物（CFRP），由于其优异的比强度和刚度、耐高温性、抗疲劳性、热稳定性以及设计灵活性，已成为传统金属材料的显著替代品。它们广泛应用于航空航天[1]、海洋[2]和汽车[3]行业，有效实现了结构重量的减轻和使用寿命的延长。在FRP结构中，部件之间的连接至关重要。作为主要的连接方法和载荷传递枢纽[4]，螺栓接头具有高承载能力、易于拆卸以及对表面处理不敏感等优点[5]。然而，螺栓接头也带来了显著的挑战：孔加工会破坏材料的连续性，导致孔周围产生显著的应力集中，使其成为复合材料结构中的薄弱点[6]。此外，钻孔过程容易在层压板的孔周引起初始损伤，如分层、撕裂和毛刺[7]，从而导致接头强度的显著散布，并给精确预测带来了困难。目前，通常采用较大的安全系数来确保安全。然而，这种方法不仅降低了复合材料的应用效率[8]，还增加了结构重量和成本，削弱了其轻量化的优势。因此，为了充分利用先进复合材料的性能优势，建立高效和准确的复合螺栓接头（CBJ）可靠性分析方法对于确保整体结构安全至关重要。

层压板的堆叠顺序、层厚、层角度、装配参数以及组成材料的各向异性都导致了复杂的应力状态，对准确预测CBJ的失效带来了重大挑战[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]。此外，组成材料的机械性能存在不确定性，而在制造过程中不可避免地会引入诸如纤维波浪度、基体孔隙率和纤维体积分数变化等缺陷[17]。这些微观尺度的不确定性会传播到层压板层面，并与层压板的宏观不确定性参数（如宽度、厚度、孔径、端部距离和边缘距离[18]）相结合。因此，CBJ的机械性能表现出显著的散布[19]。参数的不确定性直接影响结构可靠性。在对可靠性进行分析之前，量化这些参数不确定性以描述其统计特性是必要的。在现有的方法中，概率方法[20]是最常用的不确定性量化方法。该方法通过大量的实验样本来建立概率密度函数，以准确描述参数的分布。然而，由于参数测试的成本高昂和复杂性，数据不足往往使得难以精确确定参数的分布特性——这是认知不确定性的一个典型例子。在这种情况下，可以使用区间方法[21]来定义参数的上下界，而不考虑区间内的具体分布。值得注意的是，这种认知不确定性通常与随机不确定性共存。因此，CBJ中的不确定性来源在结构层面上表现出明显的多尺度特征，在参数类型上表现出多源属性。多尺度和多源不确定性显著降低了CBJ的可靠性，从而威胁到整个结构的安全性。在这里，需要澄清两个关键概念：多尺度特征和多源属性。多尺度特征指的是复合螺栓接头中的不确定因素涵盖了从组成材料属性到不同结构级别的几何参数等多个尺度的变量。多源属性表明，在每个尺度内，参数涉及两种不同类型的不确定性：随机变量和区间变量。因此，这种多尺度特征与多源不确定性共存的复杂不确定性情景也可以称为多尺度混合不确定性。

在过去二十年中，关于CBJ的可靠性研究取得了显著进展，包括静态强度的概率预测[22]、[23]、[24]、基于可靠性的设计优化[25]、[26]、[27]、高维问题的算法开发[28]、[29]、[30]以及结构安全评估[31]等方面。鉴于CBJ在复杂应力状态下失效行为的不确定性，大多数现有研究首先通过静态测试或有限元（FE）模拟获取静态强度数据集，然后应用统计方法来量化失效概率。Wang等人[32]和Khashaba等人[33]、[34]通过静态拉伸测试获得了复合层压螺栓接头试样的承载强度数据，并使用Weibull分布模型分析了静态强度数据的散布。Gupta等人[35]利用实验和统计方法研究了几何参数不确定性对CBJ可靠性的影响。然而，由于设计方案的高成本和技术限制，实验只能覆盖一部分不确定性因素，样本量不足，导致结果具有固有的随机性。因此，研究人员转向了数值模拟方法进行可靠性分析。Li等人[36]、[37]、[38]建立了一个二维渐进损伤模型（PDM），并结合点估计方法、最大熵方法和子集模拟等不确定性分析方法。他们对CBJ的静态强度进行了概率分析，将层压板的材料属性视为随机变量。Nakayama等人[39]、[40]结合了二维PDM、响应面方程和蒙特卡洛模拟（MCS）来预测考虑随机孔径和层压板纵向压缩强度的CBJ概率强度。他们进一步采用基于可靠性的设计方法来确定接头的合理拟合系数。Zhao等人[41]基于改进的特征曲线方法[42]为CBJ开发了一个参数化FE模型。结合MCS，他们提出了一个考虑几何参数和层压板材料属性随机性的概率强度预测模型。然而，该研究中层压板材料属性的统计模型仅基于15个样本的测试数据，忽略了同一样本不同响应之间的相关性[43]、[44]。Askri等人[45]结合了一个简化的FE模型、MCS和最坏情况方法，在给定可靠性水平下建立了公差与机械性能指标之间的分析关系。Liu等人[46]结合了基于弹簧的刚度方法[47]、失效包络方法[48]和MCS，开发了一个多螺栓复合接头的失效概率预测模型，考虑了层压板弹性属性、几何尺寸、销孔间隙和紧固件预紧力的随机性。Gao等人[49]采用三维PDM、响应面方法和设计点方法研究了层压板刚度和强度的随机性对CBJ可靠性的影响。Shan等人[50]结合三维PDM和区间分析来预测CBJ的失效载荷不确定性。然而，该方法只能提供失效载荷的分布区间，无法计算其失效概率。Lin等人[27]使用高保真三维PDM、数据驱动算法和MCS分析了装配过程偏差对CBJ可靠性的影响。这些研究主要采用数值方法，如渐进损伤分析（PDA）、特征曲线方法和失效包络方法来预测结构静态强度。通过将这些方法与各种可靠性计算方法相结合，他们建立了静态强度的概率分析模型，以量化参数不确定性对结构可靠性的影响。他们的方法论和发现为CBJ的可靠性分析提供了宝贵的参考。其中，渐进损伤方法在CBJ的静态强度可靠性分析中表现出显著优势，因为它不依赖于实验测试。然而，现有研究仍然局限于单一类型的不确定性（随机或认知），并且只考虑单个层压板尺度上的结构或材料参数。这种双重限制可能导致强度分布特征的显著误差，从而影响结构可靠性评估的准确性。此外，关于可靠性计算方法，大多数研究采用直接MCS或基于响应面方法的随机抽样技术。这些方法面临两个主要挑战：首先，高维和强非线性问题需要大量的抽样和复杂的结构分析，需要构建高效和准确的替代模型。其次，随机抽样方法只能提供失效概率；它们无法获得极限状态下的不确定变量值，也无法揭示复合螺栓接头的微观失效机制。

为了应对这些挑战，有必要整合多尺度方法、替代模型技术和随机区间混合可靠性计算方法，以建立在多源和多尺度不确定性下的CBJ可靠性分析模型。首先，为了考虑复合材料中不确定性的显著多尺度特性，必须将基于微观力学的均质化方法与不确定性分析方法相结合，以实现从组成材料级别到层压板级别的等效不确定性的跨尺度传播[51]。常用的用于预测复合层压板等效材料属性的均质化方法包括Mori-Tanaka模型[52]、Chamis模型[53]以及基于代表体积元素（RVEs）的数值方法[54]。考虑到计算精度和成本之间的平衡，基于Eshelby等效包含理论的Mori-Tanaka方法被认为更适合在复杂不确定性下的高效计算，因为它为等效弹性模量提供了明确的解析解[55]、[56]。此外，在处理涉及随机和认知类型的多源不确定性时，认知不确定性通常被视为区间变量。其在可行域内的值决定了结构失效概率的极端值。因此，随机区间混合可靠性分析（HRA）包括涉及概率分析和区间分析的双循环分析过程[57]。与MCS相比，基于一阶二矩（FOSM）方法的可靠性计算方法通过寻找最有可能的点（MPP）[58]来获得可靠性指数。这种方法不仅避免了大量抽样，还能直接提供极限状态下随机和区间变量的具体值。然而，可靠性计算过程需要频繁调用FE模型进行结构分析，对于复杂的复合结构来说可能非常耗时。为了应对这个问题，基于随机过程的克里金替代模型由于其估计方差小、无偏性和对高维强非线性问题的高逼近精度而在结构可靠性分析中被广泛采用[59]、[60]、[61]。

总之，虽然现有研究主要采用PDA结合概率方法来评估CBJ的静态强度不确定性和可靠性，但它们主要关注层压板级别的结构和材料参数，常常忽略多尺度不确定性的耦合效应。此外，这些研究通常依赖于概率可靠性分析框架，其有效性在很大程度上依赖于随机变量概率密度函数的准确表征——这在工程实践中往往难以满足。本文提出了一种在多源和多尺度不确定性下的CBJ可靠性分析模型。该模型通过将均质化方法与三维PDM相结合，建立了接头静态强度与不同尺度上的组成材料属性及结构参数之间的定量关系。随后，通过批量模拟构建了用于强度预测的克里金模型。最终，实现了一种用于随机区间高可靠性分析（HRA）的序贯迭代算法，该算法能够考虑多源和多尺度不确定性，从而量化composite bolted joint（CBJ）的概率强度。此外，基于已建立的可靠性分析模型，本研究进一步探讨了参数分散对结构失效的影响机制。本文的其余部分安排如下：第2节回顾了复合层压板PDA模型的相关理论和关键组成部分，并提出了构建用于CBJ不确定性失效预测的克里金（Kriging）模型的一般工作流程。第3节介绍了多尺度混合可靠性模型及其分析方法，提出了基于克里金的CBJ多尺度HRA工作流程。第4节以典型的双搭接单螺栓复合层压板接头为例进行了研究，应用所提出的方法进行了确定性建模和可靠性分析。第5节在同一研究对象上进一步研究了参数分散对接头结构微观失效的影响机制。第6节总结了研究结果。

### 复合螺栓连接件的渐进损伤分析模型
PDA模型包括应力分析模型、失效准则和材料性能退化模型（MPDM）[63]。在数值模拟中，通过将包含损伤本构关系的材料模型与三维固体有限元（FE）技术相结合，并定义边界条件、接触对和载荷步长，可以模拟结构响应的完整过程——从初始线性弹性、损伤起始、损伤扩展到最终灾难性失效。

### 复合螺栓连接件强度的多尺度混合可靠性模型
CBJ的强度（即极限失效载荷Fult）受到微观成分和宏观结构的多尺度不确定参数的影响。这些参数同时具有随机性和区间特性。为了量化其结构可靠性，必须构建一个能够处理随机变量和区间变量的混合可靠性模型。因此，结构性能函数定义如下：
$$ G(X,Y) = F_{ult}(X,Y) - S^2Q $$
其中：$ X = \{X_i \} $ 表示所有相关参数集。

### 复合螺栓连接件试样的描述和实验结果
复合螺栓连接件结构的设计参照了ASTM D5961/D5961M-23标准中规定的双搭接单螺栓层压板试样[71]。图3显示了该接头结构的示意图。该层压板通过以[45/0/-45/90]4S的对称铺设顺序堆叠T700碳纤维/双马来酰亚胺（BMI）树脂单向预浸料制成，每层厚度相同，共32层。

### 对参数分散对接头结构微观失效影响机制的初步研究
在静态拉伸载荷下，CBJ的宏观失效起源于各种微观失效模式的累积。在接头结构的渐进失效过程中，纤维断裂、基体开裂和分层等微观失效模式交替发生。同时，螺栓孔周围的应力和应变不断增加，最终导致结构灾难性失效。值得注意的是，在最终失效点，

### 结论
本文通过整合四大核心模块——渐进损伤分析（PDA）、实验设计（DoE）、克里金模型和混合可靠性分析（HRA）——提出了一个全面的、全流程的分析框架，以准确高效地量化多尺度和多源不确定性条件下的CBJ概率强度。所提出的方法应用于典型的双搭接单螺栓复合层压板接头，得到了确定性和不确定性分析结果。

### CRediT作者贡献声明
张志勇：撰写——原始稿件、可视化、验证、数据管理。
周晓义：撰写——审核与编辑、方法论、研究、概念化。
P.D. Gosling：撰写——审核与编辑、正式分析、概念化。
吴文清：监督、项目管理、资金获取。
班新林：资源协调、资金获取、正式分析。

### 利益冲突声明
作者声明没有已知的财务利益冲突或个人关系可能影响本文的研究结果。

### 致谢
我们衷心感谢国家自然科学基金（52595692、22275035）、江苏省自然科学基金（BZ2024015）以及高速铁路轨道技术国家重点实验室（2023YJ375）的支持。