V级分类与W级分类 - 大级分类：基于非对称结构的函子类别及双函子

《Advances in Mathematics》：V -graded categories and V -W -bigraded categories: Functor categories and bifunctors over non-symmetric bases

　　罗里·B.B.·卢西辛-赖特
布兰登大学，曼尼托巴省布兰登，加拿大

**摘要**
在以幺半群范畴V为背景的范畴论中，使用V-丰富的函子范畴和双函子时，要求V具有对称性、编织结构或对偶结构。在本文中，我们建立了一套适用于任意幺半群范畴V的函子范畴和双函子理论，该理论既适用于V-丰富的范畴，也适用于V-作用范畴。我们通过研究(V-)分级范畴来实现这一点，这类范畴既包括V-丰富的范畴也包括V-作用范畴，它们最初由伍德（Wood）提出，称为大型V-范畴。我们为分级函子范畴和分级双函子开发了一个通用框架，这些函子和双函子的值取自双分级范畴，注意到V本身本身就是一个典型的双分级范畴。我们展示了V-分级模块（或称为多重函子）是分级双函子的例子，同时V-分级预层范畴也是V-分级函子的例子。在V是对称幺半群的特殊情况下，我们将上述分级概念与加纳（Garner）和洛佩兹·弗兰科（López Franco）提出的丰富双函子和函子范畴进行了比较。在此过程中，我们还探讨了分级范畴的几个基础方面，包括分级范畴的逆变基变换过程，以及通过将每个V-分级范畴自由嵌入到V-作用范畴中而产生的交换图形式主义。

**1. 引言**
由幺半群范畴V分级的范畴，或称为(V-)分级范畴，最初由伍德（Wood）在[47]、[48]中提出，并在[29]、[40]、[8]、[34]、[38]、[39]、[22]中进行了讨论，特别是在[33]、[14]、[18]中也有所涉及。在这里，我们使用“V-分级范畴”这一术语，它是利维（Levy）[34]提出的“局部V-分级范畴”的缩写，同时“pro范畴”这一术语也在[29]中使用。V-分级范畴同时对V-丰富范畴和V-作用范畴进行了推广，按照麦克鲁登（McCrudden）[37]的定义，这些范畴是配备了V作用的范畴，而这种作用符合贝纳布（Bénabou）[5, (2.3)]的定义，并且在非交换代数和表示论中被称为模块范畴[17]。实际上，V-范畴和V-作用范畴的2-范畴可以嵌入到V-分级范畴的2-范畴中，其中的1-胞元我们称之为V-分级函子。我们考虑的V-作用范畴之间的1-胞元是松散保持V作用的函子，这些函子也被称为强函子，在计算机科学中扮演着重要角色，相关讨论见于[39]及其参考文献。特别是，我们可以方便地将任意幺半群范畴V本身视为一个V-作用范畴，从而也视为一个V-分级范畴，即使V不一定满足封闭性。因此，我们恢复了由科克（Kock）[30]提出的强自函子F:V→V的概念。不过，V-分级范畴比V-作用范畴提供了更多的灵活性，因为V-丰富范畴和V-作用范畴的完全子范畴可以被视为V-分级范畴。

V-分级范畴可以简洁地定义为在函子范畴V?:=[Vop,SET]中富集的范畴，其中SET是（可能是大的）集合的范畴，而V?配备了Day卷积幺半群结构[11]。然而，V-分级范畴的概念也有一个直接的、逐元素的定义，这使得它本身成为一个基本的、直观的范畴概念。具体来说，一个V-分级范畴C由一个集合obC以及一组形如C(A,B)X（A,B∈obC,X∈obV）的集合组成，其元素我们称之为从A到B的分级态射，还具有某些额外数据（详见第3节）。在本文中，我们用C(X,A;B)表示C(A,B)X，用f:X,A→B表示f属于C(X,A;B)。例如，每个V-作用范畴C都对应于一个V-分级范畴，在该范畴中，分级态射f:X,A→B实际上是一个在C中的态射f:X.A→B，其中X.A是通过V的作用得到的对象。

任意幺半群范畴V可以被视为一个V-分级范畴，这是V-分级范畴在处理幺半群范畴V时的便利之处之一，因为对于V几乎不需要做任何假设。毕竟，V-分级范畴是在上述幺半群范畴V?=[Vop,SET]中富集的范畴，该范畴是双封闭的，并且具有SET-小的极限和余极限，而不需要对V做任何额外的假设。因此，已知在双封闭、完备和完备双幺半群范畴中富集的范畴的理论结果可以应用于V-分级范畴，这是通过富集基础V?来实现的，这允许使用在局部完备和（双）封闭双范畴中富集的范畴的方法；例如参见[45]、[6]、[23]。特别是，这意味着V-分级范畴允许进行V?-丰富模块的计算和加权余极限[45]、[6]的操作，甚至可以根据Street[45, §3]的定义形成某些V?-丰富预层的V-分级范畴。当V是对称幺半群时，双封闭的幺半群范畴V?也是对称的，因此可以在完备和完备对称幺半群范畴[28]中成熟的富集方法应用于V-分级范畴；因此，如果V是对称的，或者更一般地具有编织结构的，那么可以形成V-分级范畴A和B的幺半群积A?B，并且可以形成V-分级函子A?B→C，正如伍德[47]所讨论的那样。

但实际上，对于任意的幺半群范畴V，这些熟悉的V-分级函子范畴和幺半群积的构造是不可用的，V?-模块是一个独立的、基本的概念，并不定义为V-分级双函子。众所周知的丰富函子范畴[13]和双函子[16, III.4]的定义依赖于假设富集基础具有对称性或编织结构，或者更一般地具有正常对偶结构[20, §2, §3.2–3.4]。在本文中，我们为任意幺半群范畴V定义了一个V-分级函子范畴和双函子的框架，不假设V是对称的或对偶的。为此，我们还考虑了称为Vrev的幺半群范畴，它是V的逆范畴，具有与V相同的底层普通范畴，但配备了幺半群积?VrevY=Y?X。我们同时考虑了V-分级范畴和Vrev-分级范畴，前者称为左V-分级范畴，后者称为右V-分级范畴，它们分别推广了左V-作用范畴和右V-作用范畴。实际上，我们在一个更一般的环境中工作，即固定两个幺半群范畴V和W，并考虑左V-分级范畴和右W-分级范畴。关键的是，我们还定义了V-W-双分级范畴为左(V×Wrev)-分级范畴，这样每个V-W-双分级范畴都有一个底层的左V-分级范畴和一个底层的右W-分级范畴。例如，V本身就是一个V-V-分级范畴，V?也是如此。在V具有编织结构的特殊情况下（虽然我们不做这个假设），每个V-分级范畴都是V-V-双分级的。

给定一个左V-分级范畴A和一个V-W-分级范畴C，我们展示了（左）V-分级函子F:A→C是右侧W-分级范畴[A,C]的对象。类似地，如果B是一个右W-分级范畴而C是一个V-W-分级范畴，则右W-分级函子F:B→C是左侧V-分级范畴的对象。例如，如果A是一个左V-分级范畴，则[A,V]是一个右V-分级范畴；如果B是一个右V-分级范畴，则[B,V]是一个左V-分级范畴。

给定一个左V-分级范畴A、一个右W-分级范畴B和一个V-W-分级范畴C，我们定义了一个分级双函子F:A,B→C，它由左V-分级函子F(?,B):A→C（B∈obB）和右W-分级函子F(A,?):B→C（A∈obA）组成，它们在对象上是一致的，并满足某种兼容条件。分级双函子F:A,B→C属于一个特定的范畴。用、、分别表示左V-分级范畴、右W-分级范畴和V-W-分级范畴的2-范畴，我们展示了在中存在2-自然的同构，因此分级双函子F:A,B→C等价于一个左V-分级函子或一个右W-分级函子。

给定一个左V-分级范畴A和一个右W-分级范畴B，我们定义了一个V-W-分级范畴A?B，称为A和B的双分级积，其对象是对(A,B)，其中A∈obA且B∈obB。我们展示了在中存在2-自然的同构，因此V-W-分级函子F:A?B→C等价于一个分级双函子F:A,B→C。特别地，当V是对称幺半群时（我们假设W=V），左V-分级范畴和右V-分级范畴之间没有本质区别，每个V-分级范畴都是V-V-双分级的，我们因此恢复了对于对称幺半群范畴V?=[Vop,SET]的常规V?-丰富概念，尽管A?B并不与V?-范畴的幺半群积A?B完全相同。更一般地，如果V是一个在对称意义上正常的对偶范畴[2]（如任何具有编织结构的幺半群范畴），那么V?具有正常对偶范畴的结构[7]，因此也可以应用加纳和洛佩兹·弗兰科[20]的工作来定义V?-丰富双函子和函子范畴。此外，对于一个正常的对偶范畴V，我们可以看到加纳和洛佩兹·弗兰科[20, §3.2–3.4]中的概念可以作为上述分级双函子和函子范畴的实例。

对于任意幺半群范畴V，我们称V?-丰富模块（或V?-丰富多重函子）为V-分级模块。我们展示了V-分级模块是分级双函子的例子。具体来说，每个右V-分级范畴B确定了一个左V-分级范畴B°，我们称之为B的形式对偶，并且我们展示了如果A和B是右V-分级范畴，则V-分级模块等价于一个分级双函子M:B°,A→V?或一个V-V-双分级函子M:B°?A→V?，其中我们将V?视为一个V-V-分级范畴。

给定一个右V-分级范畴B，我们展示了Street的V?-丰富预层范畴PB[45, §3]在同构意义上可以恢复为一个分级函子范畴的例子，即其对象是左V-分级函子F:B°→V?。实际上，这是根据上述结果推导出来的，这些结果产生了右V-分级函子A→[B°,V?]、分级双函子B°,A→V?和V-分级模块之间的2-自然对应关系。在这些对应关系下，B上的单位模块对应于一个完全忠实的V-分级函子y:B→[B°,V?]，我们将其识别为Street的Yoneda嵌入[45, §3]，因此我们得到了一个V-分级Yoneda引理，即[B°,V?](yB,F)?FB，在B∈B和F∈[B°,V?]中是自然的。

我们的成果得益于我们在V-分级范畴中建立的一种新颖且方便的交换图形式主义，这是通过将每个V-分级范畴C自由嵌入到一个称为包围作用范畴的V-作用范畴中来实现的，我们构造了这个包围作用范畴作为C关于V的对象的自由余完备化，使用了[28]、[42]中针对丰富范畴理论中的权重类的自由余完备化方法。现在我们评论这项工作与其他两个通用框架之间的关系。首先，两侧富集的范畴和pro范畴[29]（从一个双范畴到另一个）分别推广了V-丰富范畴和V-分级范畴；它们在[29, §2.2, 6.2]中通过直接描述其数据来定义，这些数据比V-丰富或V-分级范畴的数据更为复杂。然而，在V和W都是幺半群范畴的特殊情况下，从V到W的pro范畴等价于(W×Vop)-分级范畴（参见[29, Proposition 6.11]），因此V-W-分级范畴等价于从Wrevop到V的pro范畴。此外，双分级积可以被视为[29, §6.11]中讨论的双侧pro范畴上的一个特殊操作。但是，对于两侧富集的范畴和pro范畴的函子范畴尚未进行发展，因此研究本文中的构造是否可以推广到那个环境将会很有趣；我们将这一工作留待未来的研究。其次，Wood [47]、[48]不仅定义了V-分级范畴的概念，还提出了一个更一般（也更复杂）的概念，即V-索引范畴；这些范畴是在V-索引集合的笛卡尔封闭范畴中丰富的范畴，V-索引集合的笛卡尔封闭范畴被定义为在余半群的有限极限理论的CAT上的纤维积，以及一个其纤维为预层范畴的特定范畴上的纤维化。由于丰富的基础是笛卡尔封闭的，因此可以形成V-索引函子范畴，但Wood在[48]中写道，“在V-索引范畴的2-范畴中明确计算函子范畴是相当困难的”。这与本文中对V-分级函子范畴的明确构造形成了对比。无论如何，研究这两种设置下的函子范畴之间的关系将是有趣的；我们也把这个问题留待未来的工作来探讨。现在我们概述本文的组织结构以及我们在过程中发展的V-分级范畴的支持方法。在第2节中，我们回顾了一些关于V-丰富范畴、V-作用范畴和Day卷积的背景材料。在第3节中，我们介绍了（左和右）V-分级范畴，并给出了包括单纯形、拓扑和立方体分级范畴在内的例子。在第4节中，我们研究了沿着op半群函子的分级范畴的逆变基变换过程。在第5节中，我们引入了V-W-双分级范畴。在第6节中，我们将每个V-分级范畴自由嵌入到一个V-作用范畴中，并讨论了V-分级范畴中交换图表的形式主义。在第7节中，我们发展了关于双分级范畴中分级交换平方的支持引理。在第8节中，我们定义了在双分级范畴中取值的分级函子范畴。在第9节中，我们定义了分级双函子和双分级乘积，并证明了后者可以表示前者。在第10节中，我们建立了分级函子范畴和分级双函子之间的关系。在第11节中，我们回顾了非对称设置中丰富模块/预函子的背景材料以及Street的预层范畴和Yoneda引理。在第12节中，我们讨论了V-分级模块、V-分级预层范畴和V-分级Yoneda引理。在第13节中，我们处理了V是正规duoidal的特殊情况，并研究了上述概念与Garner和López Franco [20]中的丰富函子范畴和双函子之间的关系。在附录（第14节）中，我们回顾了非对称设置中一类权重的自由余完备化的背景材料，这些材料仅在2.7节中使用（进而也在6.1节的证明中使用）。

致谢。我们感谢匿名审稿人的评论，这些评论促进了本文的改进。我们还要感谢Nathanael Arkor对V-分级范畴的建议和讨论。我们还要感谢Amélie Comtois和Richard Blute关于V-分级范畴的各种讨论。

1.1 大小约定和符号
本文的一个足够的集合论背景可以基于（Grothendieck）宇宙来构建。在符号上，我们将每个宇宙与其关联的集合范畴等同起来。我们固定一个宇宙SET，并称一个集合（或一个范畴）为SET-small，如果它是SET的一个对象（或一个在SET内部的范畴）。相应地，我们谈论SET-small（余）极限。在许多应用中，人们还会有一个小的集合的SET Small Sets，但我们仅在讨论某些例子时使用Set。我们还固定了一个宇宙SET′，使得SET是SET′-small的，我们将SET′的对象称为巨大的集合。除非另有说明，我们使用“范畴”这个术语作为SET-small范畴的同义词，并用CAT表示这样的范畴的2-范畴。我们将在SET′内部的范畴称为巨大范畴，并用CAT′表示这些范畴的2-范畴。我们简单地称松弛半群函子和op松弛半群函子为半群函子和op半群函子。我们使用“半群范畴”这个术语来指代SET-small半群范畴。这样的半群范畴之间的半群（或op半群）函子是一个2-范畴MCAT（或MCAToplax）的1-单元，其2-单元是半群（或op半群）变换。我们用MCATstrong表示由强半群函子生成的MCAT的局部满子2-范畴。我们类似地定义了2-范畴MCAT′、MCAToplax′、MCATstrong′，其对象是巨大的半群范畴。我们用2CAT表示在SET′内部的2-范畴的2-范畴，从此我们简单地将2CAT的对象称为2-范畴。

我们在普通范畴中的复合写作?（按非图示顺序）。在一个半群范畴V中，我们将半群积写作?，单位对象写作I或IV，结合子和单位元写作a,?,r。

2. 背景 I：丰富范畴、作用范畴和Day卷积
设V是一个半群范畴，这里允许V是巨大的（1.1）。

2.1 左V-范畴和右V-范畴
Bénabou [4]和Eilenberg与Kelly [16]的经典论文中使用的V-范畴一词有两种不同但相互可定义的含义，结果是Bénabou意义上的V-范畴正是Eilenberg和Kelly意义上的Vrev-范畴，其中Vrev是V的逆（§1）。在本文中，我们经常同时使用这两种概念，因此我们通过声明左V-范畴是Eilenberg和Kelly [16]意义上的V-范畴，而右V-范畴是Bénabou [4]意义上的V-范畴，即左Vrev-范畴，来将它们放在同一起跑线上。这两种概念的区别在于，左V-范畴C在其对象A,B,C的三元组下具有形式为mABC:C(B,C)?C(A,B)→C(A,C)的复合态射，而右V-范畴则具有形式为mABC:C(A,B)?C(B,C)→C(A,C)的复合态射。选择“左”和“右”术语的动机将在2.5、3.9、3.16、3.17、5.2–5.4、6.3和6.4中变得 clear。左V-范畴和右V-范畴的概念之间的区别可以直接扩展到在双范畴X中丰富的更一般的范畴设置中，文献中也使用了这两种约定：例如，Street [45]和Betti-Carboni-Street-Walters [6]使用右X-范畴，而Carboni-Kasangian-Walters [10]和Gordon-Power [23]、[24]使用左X-范畴。
为了方便处理只涉及左V-范畴的段落，我们也采用V-范畴作为左V-范畴概念的同义词。我们也采用相应的术语来指代丰富的函子：A（左）V-函子是Eilenberg和Kelly [16]意义上的V-函子，而右V-函子是Bénabou [4]意义上的V-函子，即左Vrev-函子。类似地，我们有（左）V-自然变换和右V-自然变换的概念。因此，我们有SET-small左V-范畴的2-范畴和SET-small右V-范畴的2-范畴；我们用表示巨大的左（或右）V-范畴的2-范畴。从此我们使用（左）V-范畴这个术语来指代SET-small的左V-范畴，右V-范畴也是如此。
在V是对称半群的特殊情况下，2-范畴之间存在一个同构，通过这个同构可以识别左右V-范畴的概念。更一般地，如果V是编织半群，那么V上的恒等函子是V?Vrev [27, Example 2.5]下的半群同构，其半群结构由编织提供；通常可以使用编织构造多个这样的同构，因为编织通常不同于其逆。

对于任意半群范畴V，考虑左右V-范畴的一个原因是以下观察，在[47, p. 32]、[29, §2.9]、[24]中有所提到：每个左V-范畴C决定了一个右V-范畴C°，它具有与C相同的对象，但其同对象C°(A,B)=C(B,A)并且复合态射C°(A,B)?C°(B,C)→C(A,C)定义为复合态射mCBA:C(B,A)?C(C,B)→C(C,A)。我们称右V-范畴C°为左V-范畴C的形式对立面。存在一个2-范畴的同构。当V是对称半群时，在[28, §1.4]中定义的C的对立面Cop是对应于C°在同构下的左V-范畴。例如，对于任意半群范畴V，一个对象的左V-范畴和一个对象的右V-范畴之间的区别纯是形式上的，因为两者都是V中的半群；给定一个半群R=(R,m,e)在V中，我们采用R也用来表示由此得到的左V-范畴；形式上的对立面R°实际上是相同的半群（R,m,e），但被视为右V-范畴；相比之下，如果V是对称的，那么Rop是一个真正不同的半群（R,m?cRR,e），其中cRR:R?R→R?R是对称性。

2.2 左V-作用范畴和右V-作用范畴
（左）V-作用范畴是一个配备了强半群函子Φ:V→CAT(C,C)的范畴，写作左作用X.A=(ΦX)A (X∈V,A∈C)，而如果Φ是严格的半群函子，我们说V-作用范畴C是严格的；参见§1以了解这个概念及其名称的起源。右V-作用范畴是一个配备了强半群函子Vrev→CAT(C,C)的范畴，写作右作用A.X=(ΦX)A。因此，右V-作用范畴等价于左Vrev-作用范畴。每个半群范畴V都具有左V-作用范畴和右V-作用范畴的结构，每种情况下都使用半群积作为作用。
左V-作用范畴等价于双范畴ΣV→CAT的（强）同态，其中ΣV是V作为一个单对象双范畴的悬挂。V-作用范畴的松弛态射则是这些双范畴同态之间的松弛变换，因此，具体来说，是由函子F:C→D给出的，它配备了在X∈V, A∈C时自然的态射λXAF:X.FA→F(X.A)，满足某些公理[23, (2.3)]。如果每个λXAF都是同构，则称F为强函子。根据[23, §2]，存在一个2-范畴，其1-单元是V-作用范畴的松弛态射，在这个2-范畴中，2-单元δ:F?G:C→D是与λXAF, λXAG在明显意义上交换的自然变换[23, (2.4)]。我们用表示由左V-作用范畴的强态射生成的局部满子2-范畴。

如果左V-范畴C的同对象具有（普通）函子（?）.A:V→C的右伴随，则该范畴C构成了一个具有同对象[26, §2]的左V-范畴。类似地，每个右V-范畴C对于每个A.(?)都有右伴随，因此构成了一个右V-范畴。
如果半群范畴V是双封闭的[32]，那么对于每个X∈obV，函子X?(?),(?)?X:V→V都有右伴随（?）X和（?），因此自然地属于X,Y,Z∈V。我们更喜欢使用这些符号ZX和，因为它们确保了ZX?Y?(ZX)Y并且在X,Y,Z∈V中自然。如果V是双封闭的，那么根据前一段，V构成了一个具有和的左V-范畴，以及一个具有的右V-范畴。
例子2.3(1)。用Δ表示增广的单纯形范畴，即具有单调映射的有限序数范畴。我们可以将Δ视为一个（非对称的）严格半群范畴，其半群积+在对象上由加法给出。这个半群范畴Δ具有一个众所周知的泛性质，这在[36, VII.5]中有所讨论，并且意味着一个严格的左Δ-作用范畴等价于配备有单子T=(T,μ,η)的范畴C，注意Δ-作用在对象上由n.A=TnA (n∈N=obΔ)给出。
(2)。用Top表示（小的）拓扑空间范畴，并让S是Top的任何满子范畴，其有限乘积被包含S?Top保持。然后我们可以将S视为一个笛卡尔半群范畴，并将Top视为在X.A=X×A (X∈S,A∈Top)作用下的左S-作用范畴。
(3)。用□表示受限的立方体站点[25]。具体来说，如果用Set2表示由2={0,1}的有限幂2n (n∈N)生成的Set的满子范畴，那么Set2是一个严格半群范畴，而□是Set2中最小的（非满的）子范畴，它在半群积下是封闭的，并包含唯一的映射ε:2→1=20以及选择元素0,1∈2的映射0,1:1?2。用这个符号，□是一个（非对称的）严格半群范畴，根据[25, 10.4]，一个左□-作用范畴等价于配备有圆筒函子T:C→C [3, I.3.1]的范畴C，即一个配备有自然变换α:T→1C和ξ0,ξ1:1C?T的内函子T，使得α?ξ0=1=α?ξ1。例如，[0,1]×(?) 是 Top.2.4 上的一个圆柱函子。给定一个单项范畴 V 的对象 X 和一个左 V-范畴 C 的对象 A，A 与 X 的余幂（或张量）是一个配备有态射 υ:X→C(A,X?A) 的对象 X?A，在 V 中，使得对于所有的 B∈obC 和 Y∈obV，函数 V(Y,C(X?A,B))→V(Y?X,C(A,B)) 由 f?mA,X?A,B?(f?υ) 给出，并且是一个双射 [41, 定义 3]。如果 V 是双闭合的，那么上述关于 υ 的条件等价于对于每个 B∈obC，有 υ?B 是 mA,X?A,B?(1?υ):C(X?A,B)?X→C(A,B) 的转置，因此我们恢复了 [23, §3] 中的张量概念的实例，这推广了 [28, (3.44)]。给定 V 中的一个单项运算 R，在左 V-范畴 C 中的左 R-模（或左 R-作用）是一个配备有结合律和单位元的左 R-作用 R.A→A 的对象 A。另一方面，左 V-范畴中的左 R-模是一个左 V-函子 R→C，其中我们将 R 视为一个单对象的左 V-范畴（2.1）。我们在 3.17 和 6.4 中观察到这些左 R-模的概念在左 V-分级范畴中有共同的推广。类似地，可以在右 V-范畴和右 V-范畴中定义右 R-模的概念（在后一种情况下，将 R 视为右 V-范畴 R°）。在本文的剩余部分，我们假设 V 是一个 SET-小的单项范畴（1.1）。我们写 V?:=V?(SET):=[Vop,SET]，回想一下 V? 通过 Day 乘积 [11] 拥有一个（巨大的）双闭合单项范畴的结构，使得 Yoneda 嵌入 Y:V→V? 是一个强单项函子。具体来说，V? 载带的单项积写作 ?，由 (P?Q)X=∫Y,Z∈VV(X,Y?Z)×PY×QZ(P,Q∈V?,X∈V) 给出，而单位对象是 Y(I)=V(?,I)。因此，在 P,Q,R∈V? 中，态射 θ:P?Q→R 和映射族 θXY:PX×QY→R(X?Y) 之间存在一个自然的双射对应关系，其中 P?Q 上的恒等对应于映射族 κPQXY:PX×QY→(P?Q)(X?Y)。V? 中的内态射由 QPX=V?(P,Q(??X)) 给出，并且在 P,Q∈V? 和 X∈V 中是自然的。因此 QY(X)?Q(X??)，并且在 Q∈V?, X∈V 中是自然的，所以我们写 QX:=Q(X??)。V? 上的恒等函子基于单项范畴的同构 Vrev??V?rev。在 Yoneda 双射 V?(YX,P)?PX (X∈V,P∈V?) 下，每个 p∈PX 对应于 V? 中的一个态射，我们用 p?:YX→P 来表示。给定 V 中的一个态射 α:Y→X，我们写 α?=Pα:PX→PY，并且对于每个 p∈PX，我们称 q=α?(p)∈PY 为沿着 α 重新索引 p，注意 q?=p??Yα。根据 [7, 2.1]，当配备有映射 ?:V(X,X′)×V(Y,Y′)→V(X?Y,X′?Y′) 时，V(?,?):Vop×V→SET 是一个（松弛的）单项函子，对于 V?(?,?) 也是如此。强单项函子 Y:V→V? 也可以被视为一个强 opmonoidal 函子，其二元 opmonoidal 约束是同构 dXY:Y(X?Y)→YX?YY。因此，函子 V?(Y?,?):Vop×V?→SET 携带一个单项结构。根据 [31, 第 269 页] 的单项 Yoneda 引理，当我们用上述映射 κ=κPQXY:PX×QY→(P?Q)(X?Y) 给评估函子 Ev 赋予单项结构时，Yoneda 双射 V?(YX,P)?PX (X∈V,P∈V?) 构成一个可逆的单项变换 V?(Y?,?)?Ev:Vop×V?→SET。特别是，Yoneda 同构与二元单项约束交换，这详细意味着对于所有的 p∈PX 和 q∈QY，κ(p,q)∈(P?Q)(X?Y) 对应于复合态射 Y(X?Y)→dXYYX?YY→p??q?P?Q。因此，如果 θ:P?Q→R 在 V? 中，则元素 θXY(p,q)∈R(X?Y) 通过 Yoneda 对应于复合态射 Y(X?Y)→dXYYX?YY→p??q?P?Q→θR。如果 V 是对称单项范畴（分别是编织单项范畴），那么 V? 也是；Yoneda 嵌入 Y:V→V? 是一个编织强单项函子 [11, 定理 3.6]（分别是 [12, 命题 1.1]）。类似地，如果 V 是 duoidal 范畴，那么 V? 也是一个 duoidal 范畴 [7, §4]；参见 5.9 和 13.15。由于给定的 SET-小单项范畴 V 特别是 SET′-小的，我们可以为 V?(SET′)=[Vop,SET′] 赋予其 Day 乘积单项结构，使得 V?(SET′) 是一个单项范畴（但不是 SET′-小的）。包含映射 SET?SET′ 保留了 SET-小的极限和余极限，因此诱导出一个完全忠实的、强单项函子 V?(SET)?V?(SET′)，它保留了所有的 SET-小的极限和余极限。我们现在回顾一下在 6.1 的证明中仅使用的关于余幂下的自由余完备化的结果（2.4），其中我们使用了相对于可表示元的 V?-范畴的自由余完备化。这些结果是关于相对于一类权重的自由余完备化的已知结果的特例，我们在附录中回顾了这些结果（§14）。设 V 是一个巨大的双闭合基，我们指的是一个局部 SET-小的并且具有 SET-小的极限和余极限的巨大双闭合单项范畴（如 V?）。同时，设 R 是 V 的一个 SET-小的全子范畴。给定具有 R-余幂的 V-范畴 D 和 E（即由 R 的对象组成的余幂），我们用 R-COCTS(D,E) 来表示由保持 R-余幂的 V-函子组成的全子范畴。给定一个（SET-小的左）V-范畴 C，C 在 R-余幂下的自由余完备化是一个具有 R-余幂的 V-范畴 R(C)，并且配备了一个 V-函子 K:C→R(C)，使得对于每个具有 R-余幂的 V-范畴 D，函子是一个等价。作为相对于一类权重的自由余完备化的特例，我们在 §14 中回顾了这一点，R(C) 在 R-余幂下存在并且是 SET-小的；此外，V-函子 K:C→R(C) 是完全忠实的，并且全子范畴 K={KA|A∈obC} 在 R-余幂下的闭包是 R(C) 本身（即没有 R(C) 的适当全子范畴包含 K 并且在 R-余幂下是闭合的）。3. 左右分级范畴：引言 设 V 是一个单项范畴（假设是 SET-小的，但不一定是小的，1.1）。定义 3.1 一个（左）V-分级范畴，按照定义，是一个（左）V?-范畴，其中 V?=[Vop,SET] 配备了 Day 乘积单项结构（2.6）。因此我们称其为（左）V-分级范畴的 2-范畴。关于这个概念的起源及其名称，请参见 §1。鉴于 2.6 中的讨论，一个（左）V-分级范畴等价于以下数据，最初在 [47, §2] 中建立：（1）一个 SET-小的集合 obC；（2）为每对 A,B∈obC 分配一个函子 C(A,B):Vop→SET；（3）为每组三元组 A,B,C∈obC 分配一组映射 °ABCYX:C(B,C)(Y)×C(A,B)(X)→C(A,C)(Y?X)，这些映射在 Y,X∈V 中是自然的；（4）为每个 A∈obC 分配一个元素 iA∈C(A,A)(I)；这些数据需要满足结合律和恒等公理，我们在 3.3(III, IV) 中以明确的逐元素形式陈述。但首先我们引入一些符号：3.2 为了在我们引入 6 节中的 V-分级范畴的交换图形式时变得明显，我们在（左）V-分级范畴 C 中引入以下新符号：给定对象 X∈obV 和 A,B∈obC，我们写 C(X,A;B):=C(A,B)(X)，并且我们写 f:X,A?B 表示 f∈C(X,A;B)，我们通过说 f 是一个从 A 到 B 的分级态射且等级为 X 来表达；相应地，我们将 C(?,A;B):=C(A,B)。因此，我们将分级态射 f 视为一个具有两个输入的态射，其中一个输入是 V 的对象 X，另一个输入是 C 的对象 A。3.3 V-分级范畴，具体来说 一个（左）V-分级范畴 C 包括：（a）一个 SET-小的集合 obC，其元素我们称为对象；（b）对于每对 A,B∈obC 和每个 X∈obV，一个 SET-小的集合 C(X,A;B)，其元素我们写为 f:X,A→B，并将其称为从 A 到 B 的分级态射且等级为 X；（c）为 C 中的每个分级态射 f:X,A→B 和 V 中的每个态射 α:Y→X 分配一个分级态射 α?(f):Y,A→B，称为沿着 α 重新索引 f；（d）为每对分级态射 f:X,A→B 和 g:Y,B→C 分配一个分级态射 g°f:Y?X,A→C；（e）对于每个 A∈obC，分配一个分级态射 iA:I,A→A，其等级是 V 的单位对象 I；这些数据需要满足以下公理：（I）重新索引的函子性。1X?(f)=f:X,A→B 和 (β?α)?(f)=α?(β?(f)) :Z,A→B，对于每个分级态射 f:X,A→B 和每对态射 α:Z→Y, β:Y→X 在 V 中；（II）复合的自然性。β?(g)°α?(f)=(β?α)?(g°f):Y′?X′,A→C，对于所有分级态射 f:X,A→B, g:Y,B→C 和所有态射 α:X′→X 和 β:Y′→Y 在 V 中，其中 β?α:Y′?X′→Y?X 是通过应用 V 中的单项积获得的；（III）基本的结合律。对于所有分级态射 f:X,A→B, g:Y,B→C, h:Z,C→D，分级态射 (h°g)°f:(Z?Y)?X,A→D 是沿着结合子 aZYX:(Z?Y)?X→～Z?(Y?X) 对 h°(g°f):Z?(Y?X)?X→～Z?X 的重新索引；（IV）基本的恒等性。对于每个分级态射 f:X,A→B，复合态射 f°iA:X?I,A→B 是沿着右单位元 rX:X?I→～X 的重新索引，iB°f:iA?X,A→B 是沿着左单位元 ?X:I?X→～X 的重新索引。注意（II）要求复合映射 °ABCYX:C(Y,B;C)×C(X,A;B)→C(Y?X,A;C) 在 Y,X∈V 中是自然的，对于所有 A,B,C∈obC。当 V 是严格单项范畴时，基本的结合律和恒等公理（III, IV）简化为严格的结合律和恒等公理，只需要方程（h°g)°f=h°(g°f):Z?Y?X,A→D 和 f°iA=f=iB°f。例如，对于终端单项范畴 1（序数 1）的 1-分级范畴正是（SET-小的）普通范畴。作为另一个简单的例子，将自然数离散范畴 N 视为在加法下的单项范畴；我们邀请读者描述 N-分级范畴。3.4 关于大小 我们将定义 3.1 中的 V-分级范畴称为 SET-小的 V-分级范畴，因为它们是 SET-小的 V?(SET)-范畴。根据定义，一个巨大的 V-分级范畴是一个 SET′-小的 V?(SET′)-范畴，使用 2.6 的符号。我们写 用于表示巨大的 V-分级范畴的 2-范畴。3.5 给定 V-分级范畴 C 和 D，一个（左）V-分级函子 F:C→D，按照定义，是一个（左）V?-函子，因此由以下内容给出：（1）为 C 的每个对象 A 分配一个 D 的对象 FA，（2）为每组分级态射 f:X,A→B 在 C 中分配一组映射 FABX:C(X,A;B)→D(X,FA;FB）（A,B∈obC,X∈obV），即（ii）F(g°f)=Fg°Ff:Y?X,FA→FC 和 FiA=iFA:I,FA→FA 对于所有 f:X,A→B 和 g:Y,B→C 在 C 中。这些公理（i）和（ii）要求（2）中的分配保留重新索引、复合和恒等。3.6 V-分级范畴 C 的基础普通范畴是 V?-范畴 C 的通常基础普通范畴 C0。从 A 到 B 的态射由一个从 A 到 B 的分级态射给出，其等级是 I。3.7 给定 V-分级函子 F,G:C→D，一个（左）V-分级自然变换 δ:F?G 是一个 V?-自然变换，等价于一系列在 D0 中的态射 δA:FA→GA（A∈obC），这些态射在 A∈C 中是（左）V-分级的，意味着对于每个分级态射 f:X,A→B 在 C 中，沿着 ?X?1:X→～I?X 的 δB°Ff:I?X,FA→GB 的重新索引等于沿着 rX?1:X→～X?I 的 Gf°δA:X?I,FA→GB 的重新索引。当 V 是严格单项范畴时，这等同于方程 δB°Ff=Gf°δA:X,FA→GB。示例 3.8 V-丰富范畴作为 V-分级范畴 自从 [47] 以来，已经知道 V-丰富范畴可以等价地描述为 suas hom-对象 C(A,B):Vop→SET 是可表示的 V-分级范畴 C。实际上，通过通常的丰富范畴基变换过程 [16]，完全忠实的、强单项函子 Y:V→V? 确定了一个完全忠实的 2-函子，它将每个（左）V-范畴 C 映射到一个 V-分级范畴 Y?(C)，其 hom-对象是可表示的预层 YC(A,B)=V(?,C(A,B)):Vop→SET，因此一个分级态射 f:X,A→B 在 Y?(C) 中由一个态射 f:X→C(A,B) 在 V 中给出。通过滥用符号，我们也将结果的 V-分级范畴 Y?(C) 表示为 C，以便我们可以写 C(X,A;B)=V(X,C(A,B))(X∈V)。因此我们得到了一个（严格的）2-等价，后者是由在局部可表示的 V-分级范畴组成的全子 2-范畴。示例 3.9 V-作用范畴作为 V-分级范畴 每个左 V-作用范畴 C 可以通过公式 C(X,A;B)=C(X.A,B)(X∈V) 被视为一个（左）V-分级范畴，因此一个分级态射 f:X,A→B 在 C 中是由一个分级态射 f:X.A→B 在 C 中给出的，而沿着 V 中的态射 α:X′→X 的 f 的重新索引是复合态射 f?(α.A):X′.A→B 在作用范畴 C 中。给定分级态射 f:X,A→B 和 g:Y,B→C，复合态射 g°f:Y?X,A→C 在 V-分级范畴 C 中是复合态射 Y?X.A→～Y例如，根据3.8，局部可表的V-分级范畴与具有V-余幂的范畴是等价的（即V-范畴，参见2.4）。我们用符号表示由具有V-余幂的V-分级范畴构成的整个子2-范畴。根据[23，定理3.4]，存在一个完全忠实的2-函子，它将每个对象C映射到带有V作用的C0，其中V作用通过X.A=X?A定义在对象上。但人们发现，这个2-函子在对象上也是本质上的满射，因为可以将每个左V-范畴视为上述的V-分级范畴。这表明存在一个（严格的）2-等价关系。此外，根据[23，推论3.5]，存在一个2-等价关系，它将某个集合与由保持V-余幂的V-分级函子构成的局部完全子2-范畴联系起来。因此，将每个V-范畴视为V-分级范畴后，我们也可以将V-范畴的每个完全子范畴视为V-分级范畴。注意，一个V-范畴C具有同态对象（参见2.2）当且仅当C作为V-分级范畴是局部可表的（参见3.8）。

**例3.10 V是一个V-分级范畴**
范畴V本身通过公式X.A=X?A具有左V-范畴的结构，因此V构成了一个左V-分级范畴，其同态由V(X,A;B)=V(X?A,B)定义（其中X,A,B∈obV）。从现在开始，我们通过3.8和3.9将左V-范畴和左V-actegory隐含地视为左V-分级范畴。

**例3.11 单纯的、拓扑的以及立方分级的范畴**
(1) 用Δ表示增广单纯范畴（参见2.3），左Δ-分级范畴是在增广单纯集合范畴Δ?（带有并集乘积[15]）中丰富化的范畴，并且可以通过分级态射f:n,A→B（其中n∈N）来具体描述。根据2.3和3.9，每个带有单体T的范畴的完全子范畴构成了一个Δ-分级范畴，在该范畴中分级态射f:n,A→B是一个态射f:TnA→B。
(2) 设S是Top的任何完全子范畴，且它的有限乘积被包含映射S?Top所保持。根据2.3和3.9，每个Top的完全子范畴C构成了一个S-分级范畴，在该范畴中分级态射f:X,A→B是一个连续映射f:X×A→B，其中X∈obS且A,B∈obC。
(3) 用□表示受限立方场所（参见2.3），□-分级范畴是在（普通的）立方集合范畴□?（带有Day卷积乘积）中丰富化的范畴，并且可以通过分级态射f:2n,A→B（其中n∈N）来描述。根据2.3和3.9，每个带有圆柱体函子T的范畴的完全子范畴构成了一个□-分级范畴，在该范畴中分级态射f:2n,A→B是一个态射f:TnA→B。圆柱体函子为同伦理论的某些方面提供了一个抽象框架[3]，并且相对于圆柱体函子的同伦概念可以推广到□-分级范畴C的设置中，方法是声明对于C0中的态射f,g:A→B，从f到g的同伦是一个在C中的分级态射h:2,A→B，其中h0=f且h1=g，这里h0=0?(h)和h1=1?(h)表示沿0,1:1?2的重索引。例如，根据2.3，每个Top的完全子范畴C构成了一个□-分级范畴，在该范畴中同伦的概念是通常的那个。

**例3.12**
设G是V-分级范畴C中的一组分级态射，即?X∈obV中的子集，其中A,B∈obC(X,A;B)。我们用obG表示所有属于G的G°的集合，对于这些G°，存在某个f:X,A→B使得G?{A,B}。如果G在C中关于复合和重索引是封闭的，并且包含每个G°的iG，那么我们说G是C的一个V-分级子范畴。每个V-分级子范畴都可以被视为一个V-分级范畴；根据这种识别，C最大的V-分级子范畴就是C本身。存在一个最小的V-分级子范畴〈G〉包含给定的集合G。如果〈G〉=C，那么我们说G是C的分级态射的一个生成集。

**例3.13**
设C也是一个V-分级范畴。那么每个同态对象C(A,B)∈obV表示预层C(?,A;B):Vop→SET，该预层的余单位是一个分级态射uAB:C(A,B),A→B。集合{uAB|A,B∈obC}是C的分级态射的一个生成集。

**例3.14**
V=V?中的每个对象P决定了一个V-范畴，其对象集合为{0,1}，同态对象包括V的单位对象（即1）和初始对象（即0）。特别地，给定V中的一个对象X，我们可以得到一个V-分级范畴。Y(X)=V(?,X)的泛元是一个分级态射u:X,0→1。在中，每个分级态射都是u、i0或i1沿着V中的一个唯一态射的重索引，因此{u}是的分级态射的一个生成集（参见3.12）。对于任何V-分级范畴C，根据Yoneda引理，存在V-分级函子与C中的分级态射f:X,A→B之间的双射对应关系。

**定义3.15**
一个右V-分级范畴是一个左Vrev-分级范畴。由于Vrev??V?rev（根据2.6），右V-分级范畴可以与右V?-范畴等同起来。我们用符号表示右V-分级范畴的2-范畴，并将其1-胞和2-胞称为右V-分级函子和右V-分级自然变换。

**3.16**
给定右V-分级范畴C中的对象A和B，我们用C(A,B):Vop→SET表示相关的函子，并相应地用f:A,X?B表示f∈C(A,X;B)。如果f:A,X→B和g:B,Y→C都在C中，那么复合函子g°f是一个分级态射g°f:A,X?Y→C。每个右V-范畴C（即每个Vrev-范畴，参见2.1）都可以根据3.8被视为一个右V-分级范畴。类似地，每个右V-actegory C（即每个Vrev-actegory）也可以根据3.9被视为一个右V-分级范畴。单体范畴V本身具有右V-actegory的结构，因此也可以被视为一个右V-分级范畴。根据2.1，每个左V-分级范畴C决定了一个称为其形式对偶的右V-分级范畴C°，其中C°中的分级态射f:A,X→B是一个在C中的分级态射f:X,B→A；此外，根据2.1，存在2-范畴之间的同构。如果V是对称单体的，那么V?也是对称单体的（参见2.6），因此根据2.1我们得到一个同构，使得左V-分级范畴和右V-分级范畴可以等同起来。如果V是编织单体的，那么根据2.1通常可以构造多个这样的同构；我们将这种情况下的详细讨论留到5.9节。

**3.17**
设R=(R,m,e)是V中的一个单体。给定一个左V-分级范畴C，以下关于左R-模的概念涵盖了左V-actegories和左V-范畴中的类似概念（参见2.5）：C中的左R-模（或左R-act）是一个从R（被视为一个单对象的左V-范畴）到C的左V-分级函子，等价于一个具有分级态射a:R,A→A的C对象，该分级态射在C中是结合的且具有单位元，即m?(a)=a°a:R?R,A→A和e?(a)=iA:I,A→A。在6.4中我们讨论了一个等价的图表表述。右V-分级范畴C中的右R-模是从右V-范畴R°（参见2.1）到C的右V-分级函子，等价于具有分级态射a:A,R→A的C对象，该分级态射在C中是结合的且具有单位元。

**例3.18**
根据2.2，巨大的双向闭合单体范畴V?可以被视为一个（巨大的）左V?-范畴（或右V?-范畴），其同态对象分别为（参见P,Q∈obV?的P和Q）。换句话说，V?构成了一个（巨大的）左V-分级范畴以及一个右V-分级范畴。具体来说，左V-分级范畴V?中的分级态射?:X,P→Q是一个元素，因此根据2.6它精确地是一个自然变换?:P?QX=Q(X??)?QY(X)，或者等价地，一个自然变换Y(X)?P?Q。

**4. 分级范畴的逆基变换**
在本节中，我们展示了存在一个2-函子，它作用于对象上。这里我们使用1.1中的符号，用MCAToplax表示具有opmonoidal函子的（SET-小的）单体范畴的2-范畴，用2CAT表示2-范畴的2-范畴。我们通过以下方法证明这一点，其中用MCAT′表示巨大的单体范畴的2-范畴（参见1.1）。
**引理4.1**
存在一个2-函子（?）?:MCAToplaxcoop→MCAT′，它将每个SET-小的单体范畴V映射到巨大的单体范畴V?。**证明**
设×:MCAT′×MCAT′→MCAT′是通过在2-范畴MCAT′中取（圆锥）积给出的2-函子。给定任何SET-小的单体范畴V，我们得到范畴的同构（4.1.i）MCAT′(X,V?)?MCAT′(Vop×X,SET)在X∈MCAT′中是2-自然的，根据[31，第269页]，在这些范畴中，单体函子X→V?通过转置对应于单体函子Vop×X→SET。但是（4.1.i）的右侧不仅在X∈MCAT′中是2-函子的，在V∈MCAToplaxcoop中也是2-函子的，因为存在一个2-函子（?）op:MCAToplaxco→MCAT，通过复合我们得到一个2-函子MCAT′((?)op×(?),SET):MCAToplaxcoop×(MCAT′)op→CAT′。因此，根据[28，§1.10]，存在一个唯一的2-函子（?）?:MCAToplaxcoop→MCAT′，它作用于对象V?V?，并使得（4.1.i）中的同构在V∈MCAToplaxcoop中是2-自然的。□
**定理4.2**
存在一个2-函子，它将每个（SET-小的）单体范畴V映射到左V-分级范畴的2-范畴。类似地，也存在一个2-函子。**证明**
众所周知的丰富范畴的基变换过程[16，6.3]提供了一个2-函子，通过与引理4.1中的2-函子复合，我们得到了所需的2-函子。剩余的结论随之成立，因为存在一个2-范畴的同构（?）rev:MCAToplax→～MCAToplax。□
**4.3**
定理4.2中的2-函子将每个opmonoidal函子F:V→W映射到一个我们用符号表示的2-函子。每个W-分级范畴C通过F?映射到一个具有相同对象的V-分级范畴F?C，在其中分级态射f:X,A→B（其中等级X∈obV）按定义是C中的分级态射f:FX,A→B；此外，(F?C)(?,A;B)=C(F?,A;B):Vop→SET。F?C中的复合和恒等式是通过使用F?C中的复合和沿着与opmonoidal函子F相关联的结构态射δYX:F(Y?X)→FY?FX和ε:FIV→IW进行重索引得到的。

**4.4**
在单体范畴V中的余单体R=(R,d:R→R?R,c:R→I)等价于一个opmonoidal函子R:1→V，因此它诱导了一个2-函子。特别是，V的单位对象IV构成了V中的一个余单体，我们通过取其底层的普通范畴来获得。如果F:V→W是一个opmonoidal函子，那么我们可以将其单位约束ε:FIV→IW视为一个opmonoidal变换ε:FIV?IW，所以如果F是正规的（即ε是可逆的），那么根据4.2，2-函子与和交换，直到一个2-自然的同构，该同构由对象上的恒等函子组成；如果F是严格正规的（即ε是恒等的），那么这个同构是一个恒等映射。每个强单体函子都可以被视为一个正规的opmonoidal函子，我们在后续内容中隐含地使用了这一点。

**5. 大分级范畴**
**5.1**
在1.1中的2-范畴MCAT、MCAToplax、MCATstrong中，通过对CAT中的乘积进行操作并赋予点态单体结构来形成圆锥有限乘积。给定单体范畴V和W，它们的单体结构分别记为?,I,a,?,r，我们可以因此形成单体范畴V×W。单位对象决定了强（op）单体函子I:1→V和I:1→W，所以我们得到强（op）单体函子U?=(?,I):V→V×W和Ur=(I,?):W→V×W，这些都是严格正规的（参见4.4）。通过逆基变换（4.2），这些函子决定了与CAT中的（?）0交换的2-函子。因此，每个左（V×W）-分级范畴C都有一个底层的左V-分级范畴U??C和一个底层的右W-分级范畴Ur?C，这些范畴具有与C相同的底层普通范畴。具体来说，obU??C=obUr?C=obC，而U??C中的分级态射f:X,A→B和Ur?C中的分级态射g:X′,A→B分别是在C中的分级态射f:(X,I),A→B和g:(I,X′),A→B。对称性CWV:W×V→V×W构成了一个严格的单体同构，并且根据4.2诱导了一个同构，使得U??C?=Ur?C?=U??。

**定义5.2**
给定单体范畴V和W，一个V-W-分级范畴是一个（左）(V×Wrev)-分级范畴。给定V-W-分级范畴C的对象A和B，我们用C(X,A,X′;B):=C((X,X′),A;B)来表示它们，并用f:X,A,X′?B来表示f:(X,X′),A→B。根据这个约定，如果f:X,A,X′→B和g:Y,B,Y′→C，则g°f:Y?X,A,X′?Y′→C。V-W-分级范畴的2-范畴被定义为…我们称其中的1-胞和2-胞分别为V-W-分级函子和V-W-分级自然变换。我们用符号表示巨大的V-W-分级范畴的2-范畴。根据5.1，我们有一个同构…根据5.1，每个V-W-分级范畴C都有一个底层的左V-分级范畴和一个底层的右W-分级范畴CW:=Ur?C。在中的分级态射f:X,A→B是一个在C中的分级态射f:X,A,I→B，而在CW中的分级态射g:A,X′→B是一个在C中的分级态射g:I,A,X′→B。我们在某些情况下将“and CW”简单地写作“C”，因此我们可以谈论在C中的分级态射f:X,A→B和g:A,X′→B。例如，V-W-双范畴[43]、[44]、[17]、[9]是一个同时具有左V-范畴和右W-范畴结构的范畴C，并且满足同构X。(A.X′)?(X.A).X′（其中X∈V,A∈C，X′∈W），这些同构满足某些公理[9, 4.3.1]。对于我们的目的来说，使用以下等价定义会更为方便[9, 4.3.6]：根据定义，V-W-双范畴C是一个（左）(V×Wrev)-范畴，其作用可以表示为X.A.X′=(X,X′).A（其中X∈V,A∈C，X′∈W），使得这个作用确定了一个形式为V×C×W→C的函子。根据3.9，每个V-W-双范畴都可以被视为一个V-W-双分级范畴，在这个范畴中，一个分级态射f:X,A,X′→B就是一个在C中的分级态射f:X.A.X′→B。注意，每个V-W-双范畴都有一个底层的左V-范畴和一个底层的右W-范畴，它们的作用分别由X.A=X.A.I和A.X′=I.A.X′给出（其中X∈V,A∈C，X′∈W）。使用这种表示法，我们有同构(X.A).X′?X.A.X′?X.(A.X′)，但有时我们会省略这些同构，因为读者在需要时可以很容易地补充它们。

示例5.3 每个单体范畴V本身通过X.A.X′=X?A?X′（实际上可以说是(X?A)?X′）成为一个V-V-双范畴，因此V是一个V-V-双分级范畴。类似地，巨大的单体范畴V?也是一个V?-V?-双范畴，因此通过沿强单体函子Y×Yrev:V×Vrev→V?×V?rev的限制，我们发现V?是一个(V×Vrev)-范畴，即一个V-V-双范畴，其中X.P.Y=Y(X)?P?Y(Y)在X,Y∈V, P∈V?范围内自然是成立的。每个函子X.(?).Y:V?→V?（X,Y∈obV）都有一个右伴随函子，根据2.6的符号定义，因为其中的自然性在Q∈V?范围内成立。因此，我们可以将V?视为一个巨大的V-V-双分级范畴，在这个范畴中，一个分级态射?:X,P,Y→Q在V?中是一个自然变换。

示例5.5 根据[25, 10.4]，存在一个强单体函子F:□→Top（在限制的立方体网站上，2.3, 3.11），它将□中的对象2映射到单位区间[0,1]，并将生成态射ε:2→1=20和0,1:1?2映射到唯一的映射[0,1]→1以及选择端点0,1∈[0,1]的映射1?[0,1]。根据5.4，Top是一个Top-Top-双范畴，因此通过沿强单体函子F×Frev:□×□rev→Top×Toprev的限制，Top是一个□-□-双范畴，因此可以将其视为非对称单体范畴□的一个□-□-双分级范畴。

示例5.6 V-1-分级范畴（分别是1-V-分级范畴）正好是左V-分级范畴（分别是右V-分级范畴）。我们在8.7(5)中进一步发展了双分级范畴的更多一般性例子。

5.7 存在一个2-函子(?)×(?)rev:MCAToplax×MCAToplax→MCAToplax，它作用于对象(V,W)?V×Wrev，因此根据定理4.2我们得到了一个2-函子。

5.8 由乘积V×W分级的范畴同样也是V-Wrev-双分级范畴。我们关注V-W-双分级范畴而不是V×W-分级范畴有三个原因。首先，V-W-双分级范畴支持一种方便的图形形式主义（6.4）。其次，V-W-分级范畴有助于表达分级双函子的概念，正如我们在9.5中讨论的。第三，对于任意的单体范畴V，我们可以将V和V?视为V-V-双分级范畴（5.4），但通常不能将其视为(V×V)-分级范畴。然而，在某些特殊情况下，由V×V分级的范畴非常普遍：

示例5.9 一个duoidal范畴V=(V,?,J,α,λ,ρ)包括一个单体范畴V（我们使用通常的符号），它配备了opmonoidal函子?:V×V→V、J:1→V以及opmonoidal变换α, λ, ρ，这些使得V成为MCAToplax中的伪单体，其中我们将MCAToplax视为一个具有（圆锥）有限乘积的2-范畴（5.1），因此也是一个单体2-范畴。如果opmonoidal函子?:V×V→V和J:1→V都是正规的（4.4），则称V为正规的。我们将在§13中更详细地讨论duoidal范畴，并参考[2, 6.1.1]了解公式的具体内容，以及[20]中关于duoidal范畴及其历史的进一步讨论。给定任何duoidal范畴V=(V,?,J,α,λ,ρ)，我们可以应用反向基变换（4.2）得到一个2-函子，它将每个（左）V-分级范畴映射到一个(V×V)-分级范畴C?:=??C，我们将在§13中讨论这一点。例如，如[20]中所讨论的，每个braided单体范畴V都具有正规duoidal范畴的结构，其中?=?且J=I。但是，根据[27, Example 2.5]，辫化映射c=cXY:X?Y→Y?X（X,Y∈V）赋予V上的恒等函子cˉ:Vrev→～V以强opmonoidal函子的结构，其单位约束是一个恒等映射。因此，我们有一个同构，通过这个同构，每个左V-分级范畴C对应于一个具有相同对象和分级态射的右V-分级范畴，但是复合操作是通过首先在C中复合然后沿着c重新索引来给出的。根据5.7，我们还可以得到另一个同构。因此，根据上述内容，每个左V-分级范畴C决定了一个V-W-分级范畴，在这个范畴中，一个分级态射f:X,A,X′→B是一个在C中的分级态射f:X?X′,A→B。

6. 分级范畴的包络图 给定一个单体范畴V，我们现在将每个（左）V-分级范畴C嵌入到一个（左）V-范畴中，然后使用这个来定义V-分级范畴的交换图的形式主义。

命题6.1 忘却的2-函子有一个左伴随函子，其单位由在对象上注射的完全忠实的V-分级函子组成。此外，给定任何V-分级范畴C，存在一个具有V-余幂的V-分级范畴以及一个具有以下属性的V-分级函子：（1）对于每个具有V-余幂的V-分级范畴D，函子是一个等价；（2）E在对象上是完全忠实且注射的；（3）的每个对象都是某个形式为EA（A∈obC）的对象的某个X∈obV的余幂。证明：取V=V?并让R?V是由可表示对象YX=V(?,X)（X∈obV）张成的满子范畴，注意到R是SET小的。根据2.7，我们可以形成在R-余幂下的自由余完成R(C)，它是SET小的，相关的V-函子K:C→R(C)是完全忠实的并且具有（1）中的泛性质。根据2.7，K={KA|A∈obC}?R(C)在R-余幂下的闭包Kˉ就是R(C)本身，但Kˉ只是{YX?KA|X∈obV,A∈obC}?R(C)的补充（即同构闭包），因为对于所有Y,X∈obV, A∈obC，都有YY?(YX?KA)?(YY?YX)?KA?Y(Y?X)?KA。因此R(C)的每个对象都是某个KA（A∈obC）的某个X∈obV的余幂，所以虽然K在对象上不一定是注射的，但它确实存在一个以obV×obC为对象集的V-分级范畴以及一个在对象上由(X,A)?X?KA给出的等价。因此，存在一个在对象上由A?(I,A)给出的V-分级函子，使得ΓE?K，结果随之得出。

推论6.2 规范的2-函子有一个左伴随函子，其单位由在对象上注射的完全忠实的V-分级函子组成。证明：根据3.9我们有一个（严格的）2-等价，U简单地是这个2-等价和遗忘的2-函子的复合，所以这可以从6.1中得出。

定义6.3 给定一个左V-分级范畴C，我们用来表示通过6.2中的左伴随函子发送到的左V-范畴。像往常一样，我们也用来表示V-分级范畴。因此，V-范畴配备了在对象上完全忠实且注射的V-分级函子。我们称这个V-范畴为C的包络范畴或actegorical包络。我们将由携带的V-作用表示为“”，并通过嵌入E我们将C与由对象EA张成的满V-分级子范畴识别，其中这些对象简单表示为A。因此，对于C中的每个分级态射f:X,A→B，我们简单地用f:X,A→B来表示与之相关的态射Ef:X,EA→EB。特别是，在C中的iA:I,A→A与在中的单位约束iA:I,A→～A是相同的（3.9）。根据6.1和6.2的证明，的每个对象都同构于通过将V-作用应用于某个X∈obV和A∈obC得到的对象X,A。

6.4 包络图 将左V-分级范畴C嵌入到其包络范畴中，使得可以使用交换图来表示C中的分级态射。给定分级态射f:X,A→B，g:Y,B→C在C中，以及一个在V中的态射α:X′→X，复合映射g°f:Y?X,A→C和重新索引α?(f):X′,A→B分别在中的复合映射为：Y?X,A→～Y,X,A→Y,fY,B→gCX′,A→α,AX,A→fB。我们有时省略与由携带的V-作用相关的同构Y,X,A?Y?X,A和I,A?A，因为读者在需要时可以很容易地补充这些同构。因此，我们可以在中使用某些交换图来表示左V-分级范畴C中的方程。在左V-分级范畴C中的包络图，按照定义，是完全用C中的分级态射和V中的态射表示的图。例如，给定一个monoid R=(R,m,e)在V中，以及一个左V-分级范畴C，根据3.17的意义，C中的左R-模块是一个配备有分级态射a:R,A→A的C的对象，使得以下包络图可以交换：

给定一个右V-分级范畴C，我们用来表示左Vrev-分级范畴C的包络范畴。由于是一个左Vrev-范畴，这意味着是一个右V-范畴，我们称之为C的包络范畴。我们有一个嵌入，通过这个嵌入我们将C与的一个满V-分级子范畴识别，我们用“”来表示上的V-作用。因此，我们可以将C中的每个分级态射f:A,X→B视为在V-范畴中的态射。给定分级态射f:A,X→B，g:B,Y→C在C中，复合映射g°f:A,X?Y→C在C中是复合映射A,X?Y→～A,X,Y→f,YB,Y→gC在右V-范畴中。

设C是单体范畴V和W的V-W-分级范畴。那么C是一个左(V×Wrev)-分级范畴，因此它的包络范畴是一个左(V×Wrev)-范畴，即一个V-W-双范畴，我们用表示，并称之为C的包络双范畴。我们将由携带的作用表示为X,D,X′，并且存在一个完全忠实的V-W-分级函子，它允许我们将C中的每个分级态射f:X,A,X′→B视为在V-W-双范畴中的态射。给定分级态射f:X,A,X′→B和g:Y,B,Y′→C在C中以及态射α:Z→X在V中和α′:Z′→X′在W中，复合映射g°f和重新索引(α,α′)?(f)在C中可以分别写作以下复合映射：Y?X,A,X′?Y′→～Y,X,A,X′,Y,f,Y′Y,B,Y′→gCZ,A,Z′→α,A,α′X,A,X′→fB。根据6.3，的每个对象都同构于形式为X,A,X′的对象，其中X∈obV，A∈obC，X′∈obW。根据5.3，还有一个底层的左V-范畴，其左V-作用由X,D=X,D,I给出，类似地也有一个底层的右W-范畴。特别是，给定X∈obV和A,B∈obC，从X,A=X,A,I到B的态射f在等价于在C中的分级态射f:X,A→B，即（在C下的）左V-分级范畴（5.2）中的分级态射f:X,A→B。类似的评论也适用于（在C下的）右W-分级范畴中的分级态射f:A,X′→B。如5.3中所讨论的，我们在中有同构(X,A),X′?X,A,X′?X,(A,X′)。在本文的剩余部分，我们自由使用6.4中的符号。

7.2 在双分级范畴中的双分级平方 我们在研究分级函子范畴和双函子时，以下概念将非常有用：

定义7.1 给定一个V-W-分级范畴C和对象X∈obV和X′∈obW，(X,X′)-双分级平方s=(f,g,?,?′)在C中由分级态射f:X,A→A′，g:X,B→B′，?:A,X′→B，?′:A′,X′→B′组成，使得以下包络图交换：（7.1.i）s的对角线Δs:X,A,X′→B′是（7.1.i）中的共同复合映射。我们使用以下示意图符号来表示(X,X′)-双分级平方s=(f,g,?,?′）：（7.1.ii）注意，根据5.2和6.4的约定，f,g是在中的分级态射，而?,?′是在CW中的分级态射，同时（7.1.i）是在中的一个图。虽然我们在处理双分级平方时通常使用包络图，但我们首先暂停来直接公式化双分级平方；稍后我们在§13中使用这个来检查在duoidal情况下双分级平方的意义。

注7.2 在图（7.1.i）中，我们省略了同构(X,A),X′?X,A,X′ ?X,(A,X′），以符合我们在6.4中的约定。另外，根据6.4，f和g可以写作在C中的形式为f:X,A,I→A′和g:X,B,I→B′的分级态射，而?和?′可以写作?:I,A,X′→B和?′:I,A′,X′→B′。此外，根据6.4节的内容，图(7.1.i)可以用双边的动作来重新表述如下：因此，图(7.1.i)的交换性可以在不使用包络图的情况下得到表述，尽管这样会在优雅性和简洁性上有所损失，具体表述如下：

命题7.3 在一个V-W-分级范畴C中，一个(X,X′)-分级方阵s=(f,g,?,?′)由分级态射f:(X,I),A→A′, g:(X,I),B→B′, ?:(I,X′),A→B和?′:(I,X′),A′→B′组成，在(V×Wrev)-分级范畴C中，这些态射满足复合态射g°?:(X?I,X′?I),A→B′,?′°f:(I?X,I?X′),A→B′之间的关系，由方程式(7.3.i)给出：(rX?1,rX′?1)?(g°?)=(?X?1,?X′?1)?(?′°f):(X,X′),A→B，其中(rX?1,rX′?1):(X,X′)→(X?I,X′?I)和(?X?1,?X′?1):(X,X′)→(I?X,I?X′)是由V和W中的左单位元和右单位元决定的态射。对角线Δs就是方程式(7.3.i)中的共同结果。

7.4 如果(f,g,?,?′)是一个V-W-分级范畴C中的分级方阵，则(?,?′,f,g)必须是5.1节中描述的Wrev-Vrev-分级范畴C?C中的一个分级方阵。

7.5 根据定义，一个(V×W)-分级范畴C中的分级方阵(f,g,?,?′)也是V-Wrev-分级范畴C中的一个分级方阵。因此，根据7.3节，它由分级态射f:(X,I),A→A′, g:(X,I),B→B′, ?:(I,X′),A→B和?′:(I,X′),A′→B′组成，这些态射满足复合态射g°?:(X?I,I?X′),A→B′和?′°f:(I?X,X′?I),A→B′满足方程式(rX?1,?X′?1)?(g??)=(?X?1,rX′?1)?(?′?f):(X,X′),A→B′。与7.1节相比，这种表述的复杂性增加，这也是我们更倾向于使用V-W分级范畴进行表述的原因之一。注意，我们可以将f,g,?,?′写成在U??C中的分级态射f:X,A→A′, g:X,B→B′和在Ur?C中的分级态射?:X′,A→B, ?′:X′,A′→B′。

示例7.6 现在我们来描述V-V-分级范畴V? (5.4)中的分级方阵。设f:X,P→P′, g:X,Q→Q′, ?:P,X′→Q, 和 ?′:P′,X′→Q′是V?中的分级态射，即自然变换f:P?P′(X??), g:Q?Q′(X??), ?:P?Q(??X′), 和 ?′:P′?Q′(??X′)。那么(f,g,?,?′)是V?中的一个分级方阵当且仅当以下图表交换，这里我们省略了通过沿V中的结合子重新索引得到的同构Q′(X?(??X′))?Q′((X??)?X′)：

在本节的剩余部分，我们将确定一个V-W-分级范畴C，并发展我们后续会使用的分级方阵的一般结果。我们的第一个基本结果可以使用包络图或7.3节轻松验证：

命题7.7 设f:X,A→A′ 和 ?:A,X′→B 在C中。那么(f,f,iA,iA′) 和 (iA,iB,?,?) 分别是C中的分级方阵，其对角线分别为f和?。

命题7.8 设F:C→D是一个V-W-分级函子，且s=(f,g,?,?′)是C中的一个(X,X′)-分级方阵。那么Fs:=(Ff,Fg,F?,Fψ)是D中的一个(X,X′)-分级方阵，其对角线为Δ(Fs)=F(Δs)。

证明 由于F保持复合和重新索引的性质，这一点可以从7.3节得出。

命题7.9 给定一个在C中的(X,X′)-分级方阵s=(f,g,?,?′)和一个在V×Wrev中的态射(α,β):(Y,Y′)→(X,X′)，我们可以得到一个(Y,Y′)-分级方阵(α,β)?(s):=(α?(f),α?(g),β?(?),β?(?′))，其中α? 和 β? 分别表示在和中进行的重新索引。此外，Δ((α,β)?(s))=(α,β)?(Δs)是在C中沿(α,β)进行的重新索引。

证明 将s按照7.1节通常的方式表示，我们得到了一个包络图(7.9.i)，其外围就是以下包络图：

命题7.10 假设在C中给出了以下形式的分级方阵：那么我们可以得到新的分级方阵，其中°表示在中和在CW中的复合。最右侧方阵的对角线是复合态射Δ(g′,h′,ψ′,ψ″)°Δ(f,g,?,?′):Y?X,A,X′?Y′→C″。

证明 我们处理最右侧的分级方阵，而将前两个方阵作为练习留给读者自己处理，可以使用类似的方法；另见评论7.11。我们得到了一个交换的包络图：通过与同构Y?X,A,X′?Y′→～Y,X,A,X′,Y′的复合，我们得到了一个交换的包络图，其中共同的复合态射是Δ(g′,h′,ψ′,ψ″)°Δ(f,g,?,?′)。

7.11 我们将7.10中构造的第一个和第二个分级方阵分别称为水平复合和垂直复合。这些操作满足相关的交换律，即在7.10的情况下，如果我们写作s=(f,g,?,?′), s′=(f′,g′,?′,?″), t=(g,h,ψ,ψ′), t′=(g′,h′,ψ′,ψ″)，并将水平复合写作°，垂直复合写作?，那么(t′?t)°(s′?s)=(t′°s′)?(t°s)。 latter方程式中的共同结果就是7.10中最右侧的方阵，而且它可以被证明是一个分级方阵，这是通过水平和垂直复合得出的，但在7.10中我们直接处理它以便于其特征描述。通常水平和垂直复合并不严格满足结合律；我们将在未来的工作中探讨分级方阵是否可以被视为[46, §1.6]意义上的双双范畴的单元。

8. 在分级范畴中值的分级函子范畴
定义8.1 设V和W是范畴，A是一个左V-分级范畴，C是一个V-W-分级范畴。给定左V-分级函子F,G:A→C和一个对象X′∈obW，一个分级变换?:F,X′?G是一组在C中的分级态射?A:FA,X′→GA (A∈obA)，这些态射在A∈A中是左V-分级的自然变换，意味着对于A中的每个分级态射f:X,A→B，以下包络图交换：(8.1.i) 我们还说(?A)A∈obA在f处是自然的。在这个定义中，我们采用了5.2和6.4中的约定，因此F和G是在中值的分级函子，?的组成部分?A是在CW中的分级态射。包络图(8.1.i)的交换性正是要求(Ff,Gf,?A,?B)在C中是一个分级方阵(7.1)，因此根据7.3，它可以表示为方程式(rX?1,rX′?1)?(Gf??A)=(?X?1,?X′?1)?(?B?Ff):(X,X′),FA→GB。如果V和W是严格的单体范畴，这个方程式简单地就是Gf??A=?B?Ff。我们称?f:=(Ff,Gf,?A,?B)为?在f处的自然性方阵，并将其表示为：

命题8.2 在8.1的情况下，如果G是A的分级态射的一个生成集(3.12)，那么一组?=(?A:FA,X′→GA)A∈obA在A∈A中是左V-分级的自然的当且仅当?在G中的每个f处都是自然的。

证明 设F是A中所有满足?在f处是自然的分级态射的集合。那么根据7.7, 7.9, 7.10，F是A的一个V-分级子范畴。因此如果G?F，那么根据我们对G的假设，F=A。

定理8.3 设V和W是单体范畴。(1) 如果A是一个左V-分级范畴并且C是一个V-W-分级范畴，那么从A到C的左V-分级函子构成了一个右W-分级范畴[A,C]的的对象，在[A,C]中，一个分级态射是一个分级变换。(2) 同样地，如果B是一个右W-分级范畴并且C是一个V-W-分级范畴，那么从B到C的右W-分级函子构成了一个左V-分级范畴[B,C]的对象。使用5.2中的符号。我们通过[A,C]中的复合和重新索引逐点定义复合和重新索引。具体来说，给定分级变换?:F,X′?G和ψ:G,Y′?H，我们定义ψ??:F,X′?Y′?H由复合态射ψA??A:FA,X′?Y′→HA (A∈obA)在CW中组成。这些构成一个分级变换，因为对于A中的每个f:X,A→B，水平复合ψf??f=(Ff,Hf,ψA??A,ψB)是一个分级方阵。给定β:Z′→X′在W中，我们定义β?(?):F,Z′?G由在CW中的重新索引β?(?A):FA,Z′→GA组成，这些构成一个分级变换，因为对于A中的每个f:X,A→B，我们可以应用7.9到自然性方阵?f=(Ff,Gf,?A,?B)得到一个分级方阵(1X,β)?(?f)=(Ff,Gf,β?(?A),β?(?B))。[A,C]中的恒等式是根据CW中的恒等式逐点形成的。

8.4 通过将定理8.3应用于全集SET′而不是SET，我们得到了类似的结果，从而得到了一个巨大的右W-分级范畴[A,C]和一个巨大的左V-分级范畴[B,C]。

8.5 给定一个右W-分级范畴B，一个V-W-分级范畴C，以及定理8.3第(2)部分中的右W-分级函子F,G:B→C，一个在[B,C]中的分级态射?:X,F→G是一个分级变换?:X,F?G，即一组在C中的分级态射?A:X,FA→GA (A∈obB)，这些态射在B中是右W-分级的自然的，意味着对于B中的每个分级态射f:X,A→B，四元组(?A,?B,Ff,Gf)是一个分级方阵，我们也可以说?在f处是自然的。实际上，这是根据7.4得出的。

8.6 在8.3的情况下。(1) 由于每个单体范畴V都具有V-V-分级范畴的结构，每个左V-分级范畴A决定了一个右V-分级范畴[A,V]，每个右V-分级范畴B决定了一个左V-分级范畴[B,V]。(2) 给定V中的任何单体R，(左V-分级范畴C)中的左R-模块是右W-分级范畴的对象。特别地，取V=W和C=C，我们发现V中的左R-模块是右V-分级范畴的对象。(3) 设C是一个V-W-分级范畴，X是V的一个对象。根据3.14和8.3，存在一个右W-分级范畴，其中的一个对象由三元组(A,A′,f)给出，其中包括C的对象A,A′和分级态射f:X,A→A′。根据3.14，单元素{u:X,0→1}是的分级态射的一个生成集，因此根据8.2，一个分级态射(?,?′):(A,A′,f),X′→(B,B′,g)在C中由一个(X,X′)-分级方阵(f,g,?,?′)给出。例如，如果C是□-□-分级范畴，对于受限的立方体站点□ (2.3, 3.11)，那么是右□-分级范畴，其对象是C中的同伦f:2,A→A′。例如，取C=Top (5.5)，那么的对象是通常意义上的同伦。(4) 给定一个单体范畴V，我们现在考虑8.3(1)的特殊情况，其中我们将W取为终端单体范畴，那么右1-分级范畴是普通范畴。给定一个普通范畴B和一个左V-分级范畴C，我们可以将C视为一个V-1-分级范畴[V,C]0=CAT(B,C)。(5) 给定一个普通范畴B和一个V-W-分级范畴C，我们可以将C视为一个左(V×Wrev)-分级范畴，并应用(4)得到一个左(V×Wrev)-分级范畴，因此[B,C]在这种情况下是一个V-W-分级范畴，其中[B,C]0=CAT(B,C)。因此，CAT(B,V)的每个满子范畴都基础了一个V-V-分级范畴；例如，对于任何Lawvere理论T，V中的T-代数范畴都基础了一个V-V-分级范畴。

8.5 根据定理8.3，我们可以得到一个类似的结果，适用于巨大的A, B, C，从而得到一个巨大的右W-分级范畴[A,C]和一个巨大的左V-分级范畴[B,C]。

8.6 在8.3中，如果F,G:A→U??C是V-分级函子，那么在W-分级范畴[A,C]r中的分级态射?:X′,F→G是一组在Ur?C中的分级态射?A:X′,FA→GA，即?A:(I,X′),FA→GA在C（A∈obA），对于A中的每个分级态射f:X,A→B，四元组(Ff,Gf,?A,?B)是C中的一个分级方阵，等价于(根据7.5) (rX?1,?X′?1)?(Gf??A)=(?X?1,rX′?1)?(?B?Ff):(X,X′),FA→GB。同样地，根据8.5，如果F,G:B→Ur?C是W-分级函子，那么在[B,C]?中的分级态射?:X,F→G是一组在U??C中的分级态射?A:X,FA→GA，对于B中的每个f:X′,A→B，(?A,?B,Ff,Gf)是C中的一个分级方阵。

9. 分级双函子和分级乘积
定义9.1 设V和W是单体范畴。设A是一个左V-分级范畴，B是一个右W-分级范畴，C是一个V-W-分级范畴。一个(A, B-)分级半函子F:A,B→C包括：(1) 为obA中的每对对象A,B分配一个对象F(A,B)∈obC；(2) 对于每个B∈obB，一个左V-分级函子F(?,B):A→C；(3) 对于每个A∈obA，一个右W-分级函子F(A,?):B→C。根据5.2中的约定，左V-分级函子F(?,B)的余域是，而右W-分级函子F(A,?)的余域是CW=Ur?C。

定义9.2 设F:A,B→C是一个V-W-分级半函子，f:X,A→A′在A中是分级态射，g:B,X′→B′在B中是分级态射。我们说函数 f 在 F 下与 g 交换，并且如果下面的包图交换，则写作 f⊥Fg：(9.2.i) 这个图的交换性要求恰好满足 Ffg:=(F(f,B),F(f,B′),F(A,g),F(A′,g)) 是 C 中的一个双分次平方，我们可以如下表示：我们在 9.2 中引入的术语和符号是对 [35, §5] 中用于丰富代数理论的克罗内克积的特殊情况的变体。9.3 在 9.2 的情况下，以下条件等价（使用 8.1 和 8.5 的术语）：(1) f⊥Fg，(2) 分次态射 F(A,g):F(A,B),X′→F(A,B′) （A∈obA）在 f 处是自然的，(3) 分次态射 F(f,B):X,F(A,B)→F(A′,B) （B∈obB）在 g 处是自然的。定义 9.4 一个 (V-W-) 分次双函子 F:A,B→C 是一个 V-W- 分次半函子，使得对于 A 中的所有分次态射 f 和 B 中的所有分次态射 g，都有 f⊥Fg。备注 9.5 上述定义可以推广到在 (V×W)- 分次范畴 C 中的值。如果 A 是一个 (左) V- 分次范畴，B 是一个 (左) W- 分次范畴，那么一个分次半函子 F:A,B→C 本质上是一个 V-Wrev- 分次半函子。现在我们详细解释这一点。一个分次半函子 F:A,B→C 由 V- 分次函子 F(?,B):A→U??C （B∈obB）和 W- 分次函子 F(A,?):B→Ur?C （A∈obA）组成，它们在对象上是相同的。在这里我们必须保留 U??C 和 Ur?C 的符号，这些符号在 9.1 中由于使用了右分次和左分次而变得不必要。分次半函子 F 是一个分次双函子当且仅当对于 A 中的所有 f:X,A→A′ 和 B 中的所有 g:X′,B→B′，分次态射 F(f,B) 和 F(A,g) 在 U??C 中，以及 F(A′,g) 在 Ur?C 中构成一个双分次平方。根据 7.5 的定义。以一定的经济性为代价，我们可以直接用 7.5 中的方法表达后者。命题 9.6 设 F:A,B→C 是一个 V-W- 分次半函子，并且设 F 和 G 分别是 A 和 B 的生成集的分次态射（3.12）。那么 F 是一个 V-W- 分次双函子当且仅当对于 F 中的所有分次态射 f 和 B 中的所有分次态射 g，都有 f⊥Fg。证明 根据 8.2 和 9.3，F 是一个分次双函子当且仅当对于 F 中的所有分次态射 f 和 B 中的所有分次态射 g，都有 f⊥Fg，再次应用 8.2 和 9.3 可以得到结果。□示例 9.7 设 C 是一个 V-W- 双分次范畴，R 是 V 中的一个幺半群，S 是 W 中的一个幺半群。默认情况下，我们将 R 和 S 视为只包含一个对象的左 V- 范畴和右 W- 范畴（2.1）。根据定义，一个 R-S-双模在 C 中是一个 V-W- 分次双函子 M:R,S°→C，并且（根据 3.13, 3.17, 9.6）等价于一个 C 中的对象 M 和分次态射 λ:R,M→M 以及 ρ:M,S→M，使得 (M,λ) 是 C 中的一个左 R-模，(M,ρ) 是 C 中的一个右 S-模，并且 λ 与 ρ 交换，即 (λ,λ,ρ,ρ) 是一个双分次平方。9.8 一个 V-W- 分次半函子 F 和 G 之间的变换 θ:F?G:A,B→C 定义为在 C0 中的一族态射 θAB:F(A,B)→G(A,B)（A∈obA,B∈obB），满足 (i) 对于每个 B∈obB，态射 θAB 在 A∈A 中是左 V- 分次自然的；(ii) 对于每个 A∈obA，态射 θAB 在 B∈B 中是右 W- 分次自然的。注意 (i) 和 (ii) 是良定义的，因为根据 5.1。分次半函子及其变换构成一个范畴，其中的一个子范畴由分次双函子组成；我们也将其表示为 GSes(A,B;C) 和 GBif(A,B;C)。注意，在 CAT 中，这是一个（圆锥的）拉回，对应于一个明显的余跨度：(9.8.i) 对于固定的 A 和 B，这些表达式在 2-函子上是函子性的，因此我们可以将 (9.8.i) 视为一个 2-函子的余跨度，其逐点的（圆锥的）拉回是一个 2-函子。特别地，如果 F:A,B→C 是一个分次半函子，R:C→C′ 是一个 V-W- 双函子，那么我们得到一个分次双函子 RF:A,B→C′。此外，如果 F 是一个分次双函子，那么 RF 也是一个分次双函子，因为 R 保持双分次平方（7.8）。因此我们也得到一个 2-函子。总之，(9.8.i) 中的表达式通常不在 A 和 B 上都是 2-函子性的，即使它们在所有三个变量上的 1-单元上都是函子性的；但是参见 9.13 关于这一点。定义 9.9 设 A 是一个左 V- 分次范畴，B 是一个右 W- 分次范畴。A 和 B 的 (V-W-) 双分次积定义为 A?B：首先，ob(A?B)=obA×obB。其次，A?B 中的分次态射 (f,g):X,(A,B),X′→(A′,B′) 是一对由 A 中的分次态射 f:X,A→A′ 和 B 中的分次态射 g:B,X′→B′ 组成的。在 A?B 中的复合和重索引是按分量定义的，即 (f′,g′)°(f,g)=(f′°f,g′°g) 对于分次态射 (f,g):X,(A,B),X′→(A′,B′) 和 (f′,g′):Y,(A′,B′),Y′→(A″,B″)，如果我们给定 V 中的态射 α:Z→X 和 W 中的态射 β:Z′→X′，那么沿 (α,β) 在 A?B 中重索引 (f,g) 是 (α,β)?(f,g)=(α?(f),β?(g)):Z,(A,B),Z′→(A′,B′)。A?B 中的身份也是按分量给出的。注意 A?B 满足公理 3.3(I)–(IV)，因为 A 和 B 满足这些条件。命题 9.10 存在一个 2-函子，它在对象上定义为 (A,B)?A?B。详细来说，(1) 给定 1-单元 P:A→A′ 和 Q:B→B′，我们得到一个 V-W- 双函子 P?Q:A?B→A′?B，在对象上定义为 (A,B)?(PA,QB)，在分次态射上定义为 (f,g)?(Pf,Qg)；(2) 给定 2-单元 ξ:P?P′:A→A′ 和 ζ:Q?Q′:B→B′，我们得到一个 2-单元 ξ?ζ:P?Q?P′?Q′，由在 (A′?B′)0=A0′×B0′（A∈obA,B∈obB）中的态射 (ξA,ζB):(PA,QB)→(P′A,Q′B) 组成。证明 验证是直接的。□命题 9.11 (1) 在定义 9.9 的情况下，存在一个分次双函子 Pair=(?,?):A,B→A?B，其左 V- 分次函子 (?,B):A→A?B 在对象上定义为 A?(A,B)，在分次态射上定义为 f?(f,iB)；其右 W- 分次函子 (A,?):B→A?B 在对象上类似地定义。 (2) 对于 A?B 中的每个分次态射 (f,g):X,(A,B),X′→(A′,B′)，双分次平方 Pairfg=((f,B),(f,B′),(A,g),(A′,g)) 有对角线 (f,g)。 (3) 形式为 (f,B) 或 (A,g) 的所有分次态射构成了 A?B 中的一个生成集。证明 鉴于 5.2 和 9.1 的约定，(?,B) 被要求是在构成 A?B 的左 V- 分次范畴中的左 V- 分次函子，这从后面的 V- 分次范畴的定义（5.1, 5.2）中很容易看出。类似的评论也适用于 (A,?)。让我们像在 7.3 中那样写出 (f,B):(X,I),(A,B)→(A′,B), (f,B′):(X,I),(A,B′)→(A′,B), (A,g):(I,X′),(A,B)→(A′,B), (A′,g):(I,X′),(A′,B)→(A′,B′)。计算复合态射 (f,B′)°(A,g)=(f°iA,iB′°g):(X?I,X′?I),(A,B)→(A′,B′) 和 (A′,g)°(f,B)=(iA′°f,g°iB):(I?X,I?X′),(A,B)→(A′,B′)，并应用本质身份公理 (3.3)，可以得出陈述 (1) 和 (2)。 (2) 中的对角线 (f,g) 是复合态射 (f,B′)°(A,g) 的重索引，因此 (3) 成立。□定理 9.12 设 A 是一个左 V- 分次范畴，B 是一个右 W- 分次范畴。那么存在同构 (9.12.i) 在 2-函子中是 2-自然的，通过复合与 Pair 给出。等价地，Pair 是 2-函子的一个表示的单位。证明 我们有一个函子，首先证明它在对象上是双射的。设 F:A,B→C 是一个分次双函子。任何满足 GPair=F 的双分次函子 G:A?B→C 必须在对象上定义为 (A,B)?F(A,B)，并且根据 7.8 和 9.11，必须将 A?B 中的每个分次态射 (f,g):X,(A,B),X′→(A′,B′) 映射到 9.2 中双分次平方 Ffg 的对角线 Δ(Ffg)，使得 G(f,g)=Δ(Ffg):X,F(A,B),X′→F(A′,B′)。为了证明 G 的存在，让我们以这种方式定义 G:A?B→C 并展示 G 是一个双分次函子；然后很容易得出 GPair=F 的陈述，使用 7.7。首先，G 将 (A,B) 上的恒等态射 (iA,iB) 映射到 G(A,B) 上的恒等态射，这是由于 7.7 和 F(A,?) 以及 F(?,B) 保持恒等性。在 A?B 中沿态射 (α,β):(Y,Y)→(X,X′) 重索引分次态射 (f,g):X,(A,B),X′→(A′,B′) 为 (α,β)?(f,g)，因此 G 将其映射到双分次平方的对角线，根据 7.9 这正是重索引 (α,β)?(Δ(Ffg))=(α,β)?(G(f,g))。关于复合，假设我们还在 A?B 中给定 (f′,g′):Y,(A′,B′),Y′→(A″,B″)。那么双分次平方 Ffg, Ffg′, Ff′g, Ff′g′ 的形式如下：(9.12.ii) 根据 7.10，这些复合产生一个双分次平方 (9.12.iii) 其对角线是 (9.12.ii) 中对角线的复合，因此正是 Δ(Ff′g′)°Δ(Ffg)=G(f′,g′)°G(f,g)。但是 F 的分次半函子性质意味着 (9.12.iii) 正是平方 Ff′°f,g′°g′，因此 G(f′°f,g′°g)=Δ(Ff′°f,g′°g)=G(f′,g′)。这表明 Pair? 在对象上是双射的；它也是完全忠实的，因为如果 G,H:A?B→C 是双分次函子，那么根据 8.2，一组态射 δ=(δ(A,B):G(A,B)→H(A,B) 是 2-单元 G?H，在每个生成集中的分次态射上都是自然的，当且仅当 δ 是变换 GPair?HPair。□推论 9.13 存在一个唯一的 2-函子，它在对象上定义为，并使得 (9.12.i) 中的同构在 2-函子中是 2-自然的。应用上述定义和结果相对于 SET′，我们也可以考虑当 A,B,C 是巨大的时候的分次双函子和半函子 F:A,B→C，并因此得到一个在巨大范畴的 2-范畴中取值的 2-函子。回想一下 和 ，我们还有通过 5.2 得到的一个同构。根据 7.4，每个 V-W- 分次双函子 F:A,B→C 决定了一个 Wrev-Vrev- 分次双函子 Fswap:B,A→C?C，定义为 Fswap(?,A)=F(A,?) 和 Fswap(B,?)=F(?,B)。因此我们得到命题 9.14，在 2-范畴中是 2-自然的。10. 分次函子范畴与双函子之间的关系10.1 评估函子设 C 是一个 V-W- 双分次范畴，B 是一个右 W- 分次范畴。根据定理 8.3，我们有一个左 V- 分次范畴，并且我们现在定义一个分次双函子 Ev:[B,C],B→C，在对象上定义为 Ev(F,B)=FB。对于每个右 W- 分次函子 F:B→C，我们定义 Ev(F,?)=F。对于 B 的每个对象 B，我们定义一个左 V- 分次函子 Ev(?,B):[B,C]→C，它将 [B,C] 中的每个分次态射 ?:X,F→G 映射到 C 中的分次态射 ?B:X,FB→GB。实际上，Ev(?,B) 保持复合、身份和重索引，因为这些在 [B,C] 中是逐点定义的。这些数据满足公理 (9.2.i)，因为分次态射在 [B,C] 中的定义中有自然性条件（8.5）。定理 10.2 设 B 是一个右 W- 分次范畴，C 是一个 V-W- 双分次范畴。那么存在同构在 2-函子中是 2-自然的。即，左 V- 范畴 表示 2-函子。证明 作为表示的余单元，我们使用评估函子 Ev:[B,C],B→C。给定一个左 V- 分次范畴 A，只需证明诱导的函子是同构，其中 Ev?H=Ev(H?,?):A,B→C 对于每个 H:A→[B,C]。设 F:A,B→C 是一个分次双函子。那么我们得到一个左 V- 分次函子 F?:A→[B,C]，在对象上定义为 F?A=F(A,?)，在分次态射上定义为如下。给定 f:X,A→A′ 在 A 中，分次态射 F(f,B) (B∈obB) 构成一个分次变换 F?f=F(f,?):X,F(A,?)?F(A′,?)。F? 保持复合、身份和重索引，因为这些在 [B,C] 中是逐点定义的，并且 F 在其第一个参数中保持这些性质。结果左 V- 分次函子 F?:A→[B,C] 显然满足 Ev(F??,?)=F，并且在这种情况下是唯一的。因此 Ev? 在对象上是双射的，并且根据在 [B,C] 中的态射和复合、重索引的逐点定义，Ev? 是完全忠实的。□使用 [28, §1.10] 我们得到推论 10.3 存在一个唯一的 2-函子，它在对象上定义为，并使得 (9.12) 中的同构在 2-函子中是 2-给定两个巨大的右V-范畴A和B，一个V-模块或V-函子由以下部分组成：(1) V中的对象M(B,A)（其中B∈obB且A∈obA）；(2) 在V中的态射λBAB′:B(B,B′)?M(B′,A)→M(B,A)（其中B,B′∈obB且A∈obA）；(3) 在V中的态射ρBAA′:M(B,A′)?A(A′,A)→M(B,A)（其中B∈obB且A,A′∈obA），这些态射满足一些公理，确保λ是结合的且具有单位元，ρ也是结合的且具有单位元，并且λ与ρ可以交换，即对于所有B,B′∈obB和A,A′∈obA，以下图表（我们省略了结合子）是交换的：(11.0.i) 我们称λ为B的（逆变左）作用，称ρ为A的（协变右）作用。给定两个巨大的右V-范畴A和B，我们用MODV(A,B)来表示这个巨大的范畴，在这个范畴中，一个对象是一个V-模块，一个态射是V-模块之间的变换，即一系列在V中的态射?BA:M(B,A)→M′(B,A)（其中B∈obB且A∈obA），这些态射与M和M′所携带的作用相交换。根据[45, §3]，对于V-模块M和M′，如果复合态射存在，它是由(N?M)(C,A)（其中C∈obC且A∈obA）定义的V-模块，这是由一系列在V中的图表组成的余极限，该图表包括跨度N(C,B)?M(B,A)←ρ?1N(C,B′)?B(B′,B)→1?λN(C,B′)?M(B′,A)（其中B,B′∈obB）。N?M上的作用λ和ρ分别由λ和ρ在N上诱导。如果B是SET-小的（即B中的对象数量是有限的），那么复合态射总是存在的。给定一个V-模块，一个双变换β:N,M?P（参见[21, 6.1]）是一系列在V中的态射βCAB:N(C,B)→P(C,A)（其中C∈obC且B∈obB且A∈obA），这些态射与左C作用和右A作用相交换，并且为上述图表中的每一对固定的C,A提供一个余锥。如果复合态射N?M存在，那么变换β:N,M?P等价于一个双变换β:N,M?P。给定两个巨大的右V-范畴A和B之间的右V-函子F:A′→A和G:B′→B以及一个V-模块，对象M(GB,FA)（其中B∈obB′且A∈obA′）构成了一个V-模块，具有显而易见的作用，而V-自然变换?:F?F′和ψ:G′?G产生了变换M(ψ,?):M(G,F)→M(G′,F′）。因此，我们得到一个2-函子(11.0.ii)MODV:(CATV′)op×(CATV′)coop→CAT′，它在对象上定义为(A,B)?MODV(A,B)，在同态上定义为(MODV(F,G))M=M(G,F)。存在一个双范畴，其对象、1-单元和2-单元分别是（SET-小的）右V-范畴、V-模块和变换。给定任何巨大的右V-范畴A，我们简单地将由同态对象A(A′,A)（其中A′,A∈obA）构成的V-模块记为MODV(A,B)，这些同态对象的作用是通过复合定义的，注意如果A是SET-小的，那么MODV(A,B)就是A上的单位1-单元。双范畴中的单位元是由作用λ和ρ诱导的。单位V-范畴I是由V中的幺半群(I,?I=rI,1I)确定的单元素右（或左）V-范畴，回想一下I°=I（2.1）。给定一个巨大的右V-范畴C，一个V-模块等价于一个右V-函子M:C→V，其中我们将V视为一个巨大的右V-范畴。我们有同构MODV(C,I)?CATV′(C,V)，这些同构在C∈CATV′中是2-自然的。如[24]中所观察到的，一个V-模块也可以等价于一个左V-函子M:C°→V，其中我们将V视为一个巨大的左V-范畴。我们有同构在C∈CATV′中是2-自然的。右V-范畴A的对象可以识别为右V-函子A:I→A。给定一个V-模块和一个V-对象A∈obA、B∈obB，我们得到V-模块M(GB,FA)和M(?,A)，即一个右V-函子M(B,?):A→V和一个左V-函子M(?,A):B°→V。此外，一个V-模块等价于由V-模块（A∈obA）和（B∈obB）构成，并且它们的左右作用满足(11.0.i)中的条件。我们将MODV(A,B)与V等同起来，因此MODV(A,B)是V中的对象M(B,A)。给定两个巨大的右V-范畴A、B和C以及V-模块和，沿着N的L的右提升（参见[45]、[21]）是一个V-模块，它配备了一个双变换ε:N,LN?L，这个双变换在某种意义上是通用的，即对于每个V-模块和每个双变换β:N,M?L，都存在一个唯一的变换β′:M?LN，使得对于所有C∈obC、B∈obB、A∈obA，有βCAB=εCAB?(1?βBA′):N(C,B)?M(B,A)→L(C,A)。在特别的情况下，对于每个M∈obV，复合态射存在，即(MN?M)C=NC?M（其中C∈obC），其作用是显而易见的，并且沿着N的L的右提升正好是一个具有变换ε:N?LN?L的对象LN，该变换具有以下性质：由L和N分别携带的左作用在V中诱导的图表LCNC→LDC(D,C)?NC←LDND(C,D∈obC)的转置LN→LC展示了LN作为右提升L(1,A)N(1,B)。此外，对于任意的和，如果对于所有B∈obB、A∈obA，存在沿着N(1,B):I→C的L(1,A)的右提升L(1,A)N(1,B)，那么存在一个右提升，并且它是逐点构造的，即通用的双变换ε:N,LN?L由一系列在V中的态射εCAB:N(C,B)→L(C,A)（其中C∈obC、B∈obB、A∈obA）组成，这些态射展示了LN(B,A)作为L(1,A)N(1,B)的右提升。如果C是SET-小的，那么存在一个右提升LN，并且它是逐点构造的；如果A、B、C都是SET-小的，那么LN是双范畴中沿着N的L的右提升（按照[45, §2]中的意义）。给定两个巨大的右V-范畴A和B，我们写作，我们声明一个V-模块是根据定义属于后者的范畴。我们定义。11.1 Street的预层V-范畴和Yoneda引理设C是一个（SET-小的）右V-范畴。那么存在一个巨大的右V-范畴PC，其对象是V-模块，等价于左V-函子F:C°→V；实际上，这一点在[45]中已经证明，并且在[6]、[24]中进一步讨论了在双范畴中富化的更一般设置。如[6]中所提到的，与PC中的一对对象F、G相关联的同态对象是G沿着F的右提升。因此，(PC)(F,G)是V中的一个对象，对于X∈V，存在一个双射，它在态射?:X→(PC)(F,G)和一系列在V中的态射?A:FA?X→GA（其中A∈obC）之间是自然的，这些态射与F和G所携带的左C作用相交换。巨大的右V-范畴PC通过以下通用性质在同构的意义上被表征：根据[45, §3]，PC表示2-函子MODV(?,C):(CATV′)op→CAT′，因此我们有同构(11.1.i)CATV′(A,PC)?MODV(A,C)在A∈CATV′中是2-自然的，这种表示的余单元是由E(A,F)=FA（其中A∈obC、F∈obPC）给出的V-模块，其作用是显而易见的。因此，每个右V-函子H:A→PC在这种同构下对应于一个V-模块。给定右V-函子H:A→PC和K:B→PC，V-模块是沿着的右提升，即(PC)(K,H)?HˉKˉ，因为右提升是逐点的。Street在[45]中建立了Yoneda引路的以下版本。给定一个V-模块，其中的左单元λF:C?F?～F展示了F作为沿着的右提升FC，因为它的通用性质是显而易见的。因此，由于右提升的逐点性质，对于C的每个对象A，作用态射λA′FA:=λA′A:C(A′,A)?FA→FA′（其中A′∈obC）构成了一个变换λFA:C(1,A)?FA?F，这展示了FA作为右提升FC(1,A)，因此λFA的转置是一个同构λF,A′:FA→～FC(1,A)=(PC)(C(1,A),F)在V中。在同构(11.1.i)下，对应于一个右V-函子y:C→PC，它由方程唯一确定，并且在对象上定义为yA=C(1,A)。右V-函子y:C→PC是完全忠实的，因为它的结构态射yAB:C(A,B)→(PC)(C(1,A),C(1,B))=C(1,B)C(1,A)正是同构λC(1,B),A′。上述Yoneda引理的一个加强版本如下获得。虽然y在同构(11.1.i)下对应于，但单位1PC对应于表示的余单元。因此，根据上述观察，我们发现(PC)(y,1PC)?1ˉPCyˉ=EC，即是沿着的右提升。但是左作用λ:C,E?E展示了E本身作为一个右提升EC，因为对于所有A∈obC和F∈obPC，态射λA′FA:C(A′,A)?FA→F（其中A′∈obC）展示了FA作为FC(1,A)。因此，我们得到V-模块的同构(11.1.ii)与上述组件λF,A′。11.2将11.1应用于Vrev，我们将每个（SET-小的）左V-范畴C关联到一个巨大的左V-范畴PC，其对象是V-模块，等价于右V-函子F:C°→V，其中我们将V视为一个巨大的右V-范畴；每个同态对象(PC)(F,G)由存在一个双射来表征，这个双射在X∈V中是自然的，它在V中与态射?:X→(PC)(F,G)和一系列在V中的态射?A:X?FA→GA（其中A∈obC）之间是交换的，这些态射与所携带的C作用相交换。根据上述内容，我们有一个完全忠实的左V-函子y:C→PC和一个左V-范畴的Yoneda引理。12. 示例：V-分等级模块、预层和Yoneda对于任何幺半范畴V，我们按照§11中的定义将V?-模块称为V-分等级模块或V-分等级函子。给定两个巨大的右V-分等级范畴（分别是巨大的左V-分等级范畴）A和B，我们写作GMODV(A,B):=MODV?(A,B)（分别是）。根据(11.0.ii)，我们有一个2-函子GMODV:=MODV?:(GCATV′)op×(GCATV′)coop→CAT′，类似地也有一个2-函子。我们有一个双范畴（分别是），其1-单元是（SET-小的）右V-分等级范畴（分别是左V-分等级范畴）之间的V-分等级模块。根据这个术语，V-分等级模块是分等级双函子的例子，根据以下结果，其中我们将V?视为一个巨大的V-V-双分等级范畴，如5.4中所讨论的。定理12.1存在同构（12.1.i）在A,B∈GCATV′中是2-自然的。同样，也存在同构在。证明给定两个巨大的右V-分等级范畴A和B，是CAT′中的余跨度的拉回。但是根据§11，我们有同构（12.1.ii）在A,B∈GCATV′中是2-自然的。因此，可以与CAT′中的余跨度GMODV(I,B)obA→V?obB×obA←GMODV(A,I)obB的拉回等同起来，因此的一个对象M等价于由V-分等级模块（A∈obA）和（B∈obB）构成，并且这些对象在V?中满足（11.0.i）中的条件。但现在我们展示M满足后者条件（11.0.i）当且仅当M是一个分等级双函子。为此，注意对于每个B∈obB，右V-分等级函子M(B,?):A→V?将A中的每个分等级态射g:A,X′→A′发送到V?中的分等级态射M(B,g):M(B,A),X′→M(B,A′)，即一个自然变换M(B,g):M(B,A)?M(B,A′)(??X′):Vop→SET。左V-分等级函子M(?,A):B°→V将B中的每个分等级态射f:B′,X→B发送到V?中的分等级态射M(f,A):X,M(B,A)→M(B′,A)，即一个自然变换M(f,A):M(B,A)?M(B′,A)(X??)。考虑到这一点，上述作用是通过2.6由映射MA:B(B′,X;B)×M(B,A)Y→M(B′,A)(X?Y)MB:M(B,A)Y×A(A,X′;A′)→M(B,A′)(Y?X′)诱导的，其中X,Y,X′∈obV，由MA(f,μ)=M(f,A)Y(μ)和MB(μ,g)=M(B,g)Y(μ)给出。因此，(11.0.i)中的交换性等价于以下形式的图表中的交换性，在这些图表中我们省略了V中的结合子的使用：这要求对于所有f:B′,X→B在B和g:A,X′→A′在A中，以下图表对于每个Y∈obV是交换的：但是根据7.6，这等价于分等级态射M(f,A), M(f,A′), M(B,g), M(B′,g)在V?中形成一个双分等级平方的要求。因此，我们得到形式为（12.1.i）的同构，并且它们在每个变量中的2-自然性是由（12.1.ii）中的同构的2-自然性所保证的。因此第一个声明得到证明，第二个声明也随之得到证明，因为根据9.14，在中2-自然地。应用定理9.12相对于SET′，这导致以下结果：推论12.2存在同构在A,B∈GCATV′中是2-自然的。同样，也存在同构在。示例12.3 V-分等级同态设B是一个右V-分等级范畴。在定理12.1的同构下，恒等V-分等级模块对应于一个分等级双函子B(?,?):B°,B→V，它由右V-分等级函子B(A,?):B→V?（A∈obB）和左V-分等级函子B(?,B):B°→V?（B∈obB）组成。具体来说，B(A,?)将B中的每个分等级态射g:B,X′→B′发送到V?中的分等级态射B(A,g):B(A,B),X′→B(A,B′)，即由一系列映射B(A,Y;g):B(A,Y;B)→B(A,Y?X′;B′）组成（其中Y∈obV），这些映射将每个分等级态射f:A,Y→B发送到复合映射g°f:A,Y?X′→B′。另一方面，B(?,B)将B中的每个分等级态射f:A,X→A′发送到V?中的分等级态射B(f,B):X,B(A′,B)→B(A,B)，即由映射B(f,Y;B):B(A′,Y;B)→B(A,X?Y;B）组成（其中Y∈obV），这些映射将每个分等级态射g:A′,Y→B发送到复合映射g°f:A,X?Y→B。示例12.4 V-分等级Yoneda嵌入和Yoneda引理设B是一个右V-分等级范畴。那么B°是一个左V-分等级范畴，因此根据V-丰富的Yoneda引理（11.1.ii）以及定理12.1，我们得到了分级双函子之间的同构（12.4.ii）[B°,V?](y?,?)?Ev:B°,[B°,V?]→V?，其中Ev是评估双函子，即（12.4.i）中表示的余单位元。我们用另一种方式表达这个同构（12.4.ii），即[B°,V?](B(?,B),F)?FB，在B∈B和F∈[B°,V?]中自然分级，并将这个结果称为（右）V-丰富的Yoneda引理。13. 示例：由duoidal范畴丰富和分级的范畴在这个部分，我们讨论了V基于一个正常duoidal范畴V（5.9）的特殊情况，在这种情况下，我们将我们的分级函子范畴和双函子与Garner和López Franco [20]定义的相对于正常duoidal范畴的丰富函子范畴和双函子进行比较。如5.9所讨论的，duoidal范畴V=(V,?,J,α,λ,ρ)按定义是MCAToplax中的伪单体。等价地，duoidal范畴V由一个单体范畴V=(V,?,I,a,?,r)给出，其底层的普通范畴配备了第二个单体结构?,J,α,λ,ρ以及一系列在X,X′,Y,Y′∈V中自然的一对一映射ξ=ξ(Y,Y′)(X,X′):(Y?X)?(Y′?X′)→(Y?Y′)?(X?X′)，以及映射μ:I?I→I, ν:J→I, γ:J→J?J，这些映射满足某些公理，具体在[2, 6.1.1]中给出；我们称ξ为交换子。因此我们也将V表示为（V,?,J,α,λ,ρ,ξ,μ,ν,γ）。当V是正常的duoidal范畴时，如果opmonoidal函子?:V×V→V和J:1→V都是正常的（4.4），则称V为正常的duoidal范畴；等价地，如果ν:J→I是可逆的[20, §2.2]。当V是正常的duoidal范畴时，我们不失一般性地假设J=I和ν=1I，并为了简洁起见，我们将V简单地写作(V,?)。接下来我们使用[20, (2.2)中的符号。通过V-enriched Yoneda引理（11.1.ii）和定理12.1，我们得到了分级双函子之间的同构（12.4.ii）[B°,V?](y?,?)?Ev:B°,[B°,V?]→V?，其中Ev是评估双函子，即（12.4.i）中表示的余单位元。我们还表达这个同构（12.4.ii）说我也可以说[B°,V?](B(?,B),F)在B∈B和F∈[B°,V?]中自然分级，我们将这个结果称为（右）V-丰富的Yoneda引理。13. 示例：由duoidal范畴丰富和分级的范畴。在本节中，我们讨论了V基于一个正常duoidal范畴V（5.9）的特殊情况，在这种情况下，我们将我们的分级函子范畴和双函子与Garner和López Franco [20]定义的相对于正常duoidal范畴的丰富函子范畴和双函子进行比较。如5.9所讨论的，duoidal范畴V=(V,?,J,α,λ,ρ)按定义是MCAToplax中的伪单体。等价地，duoidal范畴V由一个单体范畴V=(V,?,I,a,?,r)给出，其底层的普通范畴配备了第二个单体结构?,J,α,λ,ρ以及一系列在X,X′,Y,Y′∈V中自然的一对一映射ξ=ξ(Y,Y′)(X,X′):(Y?X)?(Y′?X′)→(Y?Y′)?(X?X′)，以及映射μ:I?I→I, ν:J→I, γ:J→J?J，这些映射满足某些公理，具体在[2, 6.1.1]中给出；我们称ξ为交换子。因此我们也将V表示为（V,?,J,α,λ,ρ,ξ,μ,ν,γ）。当V是正常的duoidal范畴时，如果opmonoidal函子?:V×V→V和J:1→V都是正常的（4.4），则称V为正常的duoidal范畴；等价地，如果ν:J→I是可逆的[20, §2.2]。当V是正常的duoidal范畴时，我们不失一般性地假设J=I和ν=1I，并为了简洁起见，我们将V简单地写作(V,?)。接下来我们使用[20, (2.2)中的符号。通过V-enriched Yoneda引理（11.1.ii）和定理12.1，我们得到了分级双函子之间的同构（12.4.ii）[B°,V?](y?,?)?Ev:B°,[B°,V?]→V?，其中Ev是评估双函子，即（12.4.i）中表示的余单位元。我们还表达这个同构（12.4.ii）说我也可以说[B°,V?](B(?,B),F)在B∈B和F∈[B°,V?]中自然分级，并将这个结果称为（右）V-丰富的Yoneda引理。13. 示例：由duoidal范畴丰富和分级的范畴。在本节中，我们讨论了V基于一个正常duoidal范畴V（5.9）的特殊情况，在这种情况下，我们将我们的分级函子范畴和双函子与Garner和López Franco [20]定义的相对于正常duoidal范畴的丰富函子范畴和双函子进行比较。如5.9所讨论的，duoidal范畴V=(V,?,J,α,λ,ρ)按定义是MCAToplax中的伪单体。等价地，duoidal范畴V由一个单体范畴V=(V,?,I,a,?,r)给出，其底层的普通范畴配备了第二个单体结构?,J,α,λ,ρ以及一系列在X,X′,Y,Y′∈V中自然的一对一映射ξ=ξ(Y,Y′)(X,X′):(Y?X)?(Y′?X′)→(Y?Y′)?(X?X′)，以及映射μ:I?I→I, ν:J→I, γ:J→J?J，这些映射满足某些公理，具体在[2, 6.1.1]中给出；我们称ξ为交换子。因此我们也将V表示为（V,?,J,α,λ,ρ,ξ,μ,ν,γ）。当V是正常的duoidal范畴时，如果opmonoidal函子?:V×V→V和J:1→V都是正常的（4.4），则称V为正常的duoidal范畴；等价地，如果ν:J→I是可逆的[20, §2.2]。当V是正常的duoidal范畴时，我们不失一般性地假设J=I和ν=1I，并为了简洁起见，我们将V简单地写作(V,?)。接下来我们使用[20, (2.2)中的符号。通过V-enriched Yoneda引理（11.1.ii）和定理12.1，我们得到了分级双函子之间的同构（12.4.ii）[B°,V?](y?,?)?Ev:B°,[B°,V?]→V?，其中Ev是评估双函子，即（12.4.i）中表示的余单位元。我们还表达这个同构（12.4.ii）说我也可以说[B°,V?](B(?,B),F)在B∈B和F∈[B°,V?]中自然分级，并将这个结果称为（右）V-丰富的Yoneda引理。13. 示例：由duoidal范畴丰富和分级的范畴。在这个部分，我们讨论了V基于一个正常duoidal范畴V（5.9）的特殊情况，在这种情况下，我们将我们的分级函子范畴和双函子与Garner和López Franco [20]定义的相对于正常duoidal范畴的丰富函子范畴和双函子进行比较。如5.9所讨论的，duoidal范畴V=(V,?,J,α,λ,ρ)按定义是MCAToplax中的伪单体。等价地，duoidal范畴V由一个单体范畴V=(V,?,I,a,?,r)给出，其底层的普通范畴配备了第二个单体结构?,J,α,λ,ρ以及一系列在X,X′,Y,Y′∈V中自然的一对一映射ξ=ξ(Y,Y′)(X,X′):(Y?X)?(Y′?X′)→(Y?Y′)?(X?X′)，以及映射μ:I?I→I, ν:J→I, γ:J→J?J，这些映射满足某些公理，具体在[2, 6.1.1]中给出；我们称ξ为交换子。因此我们也将V表示为（V,?,J,α,λ,ρ,ξ,μ,ν,γ）。当V是正常的duoidal范畴时，如果opmonoidal函子?:V×V→V和J:1→V都是正常的（4.4），则称V为正常的duoidal范畴；等价地，如果ν:J→I是可逆的[20, §2.2]。当V是正常的duoidal范畴时，我们不失一般性地假设J=I和ν=1I，并为了简洁起见，我们将V简单地写作(V,?)。接下来我们使用[20, (2.2)中的符号。通过V-enriched Yoneda引理（11.1.ii）和定理12.1，我们得到了分级双函子之间的同构（12.4.ii）[B°,V?](y?,?)?Ev:B°,[B°,V?]→V?，其中Ev是评估双函子，即（12.4.i）中表示的余单位元。我们还表达这个同构（12.4.ii）说我也可以说[B°,V?](B(?,B),F)在B∈B和F∈[B°,V?]中自然分级，并将这个结果称为（右）V-丰富的Yoneda引理。13. 示例：由duoidal范畴丰富和分级的范畴。在这个部分，我们讨论了V基于一个正常duoidal范畴V（5.9）的特殊情况，在这种情况下，我们将我们的分级函子范畴和双函子与Garner和López Franco [20]定义的相对于正常duoidal范畴的丰富函子范畴和双函子进行比较。如5.9所讨论的，duoidal范畴V=(V,?,J,α,λ,ρ)按定义是MCAToplax中的伪单体。等价地，duoidal范畴V由一个单体范畴V=(V,?,I,a,?,r)给出，其底层的普通范畴配备了第二个单体结构?,J,α,λ,ρ以及一系列在X,X′,Y,Y′∈V中自然的一对一映射ξ=ξ(Y,Y′)(X,X′):(Y?X)?(Y′?X′)→(Y?Y′)?(X?X′)，以及映射μ:I?I→I, ν:J→I, γ:J→J?J，这些映射满足某些公理，具体在[2, 6.1.1]中给出；我们称ξ为交换子。因此我们也将V表示为（V,?,J,α,λ,ρ,ξ,μ,ν,γ）。当V是正常的duoidal范畴时，如果opmonoidal函子?:V×V→V和J:1→V都是正常的（4.4），则称V为正常的duoidal范畴；等价地，如果ν:J→I是可逆的[20, §2.2]。当V是正常的duoidal范畴时，我们不失一般性地假设J=I和ν=1I，并为了简洁起见，我们将V简单地写作(V,?)。接下来我们使用[20, (2.2)中的符号。通过V-enriched Yoneda引理（11.1.ii）和定理12.1，我们得到了分级双函子之间的同构（12.4.ii）[B°,V?](y?,?)?Ev:B°,[B°,V?]→V?，其中Ev是评估双函子，即（12.4.i）中表示的余单位元。我们还表达这个同构（12.4.ii）说我也可以说[B°,V?](B(?,B),F)在B∈B和F∈[B°,V?]中自然分级，并将这个结果称为（右）V-丰富的Yoneda引理。13. 示例：由duoidal范畴丰富和分级的范畴。在这个部分，我们讨论了V基于一个正常duoidal范畴V（5.9）的特殊情况，在这种情况下，我们将我们的分级函子范畴和双函子与Garner和López Franco [20]定义的相对于正常duoidal范畴的丰富函子范畴和双函子进行比较。如5.9所讨论的，duoidal范畴V=(V,?,J,α,λ,ρ)按定义是MCAToplax中的伪单体。等价地，duoidal范畴V由一个单体范畴V=(V,?,I,a,?,r)给出，其底层的普通范畴配备了第二个单体结构?,J,α,λ,ρ以及一系列在X,X′,Y,Y′∈V中自然的一对一映射ξ=ξ(Y,Y′)(X,X′):(Y?X)?(Y′?X′)→(Y?Y′)?(X?X′)，以及映射μ:I?I→I, ν:J→I, γ:J→J?J，这些映射满足某些公理，具体在[2, 6.1.1]中给出；我们称ξ为交换子。因此我们也将V表示为（V,?,J,α,λ,ρ,ξ,μ,ν,γ）。当V是正常的duoidal范畴时，如果opmonoidal函子?:V×V→V和J:1→V都是正常的（4.4），则称V为正常的duoidal范畴；等价地，如果ν:J→I是可逆的[20, §2.2]。当V是正常的duoidal范畴时，我们不失一般性地假设J=I和ν=1I，并为了简洁起见，我们将V简单地写作(V,?)。接下来我们使用[20, (2.2)中的符号。通过V-enriched Yoneda引理（11.1.ii）和定理12.1，我们得到了分级双函子之间的同构（12.4.ii）[B°,V?](y?,?)?Ev:B°,[B°,V?]→V?，其中Ev是评估双函子，即（12.4.i）中表示的余单位元。我们还表达这个同构（12.4.ii）说我也可以说[B°,V?](B(?,B),F)在B∈B和F∈[B°,V?]中自然分级，并将这个结果称为（右）V-丰富的Yoneda引理。13. 示例：由duoidal范畴丰富和分级的范畴。在这个部分，我们讨论了V基于一个正常duoidal范畴V（5.9）的特殊情况，在这种情况下，我们将我们的分级函子范畴和双函子与Garner和López Franco [20]定义的相对于正常duoidal范畴的丰富函子范畴和双函子进行比较。如5.9所讨论的，duoidal范畴V=(V,?,J,α,λ,ρ)按定义是MCAToplax中的伪单体。等价地，duoidal范畴V由一个单体范畴V=(V,?,I,a,?,r)给出，其底层的普通范畴配备了第二个单体结构?,J,α,λ,ρ以及一系列在X,X′,Y,Y′∈V中自然的一对一映射ξ=ξ(Y,Y′)(X,X′):(Y?X)?(Y′?X′)→(Y?Y′)?(X?X′)，以及映射μ:I?I→I, ν:J→I, γ:J→J?J，这些映射满足某些公理，具体在[2, 6.1.1]中给出；我们称ξ为交换子。因此我们也将V表示为（V,?,J,α,λ,ρ,ξ,μ,ν,γ）。当V是正常的duoidal范畴时，如果opmonoidal函子?:V×V→V和J:1→V都是正常的（4.结果现在通过13.12得出，利用了σ和τ的自然性质。□13.15 由于V=(V,?)是一个正规的二元对偶范畴，根据[7, 4.8]可知V?具有一个（巨大的）正规二元对偶范畴的结构，我们用V?来表示它，这样Yoneda嵌入Y:V→V?就构成了一个强二元对偶函子Y:V→V?。具体来说，幺半群积?,?:V?×V??V?是通过Day卷积从?,?:V×V→V得到的。接下来我们比较V-分级方阵和V?-富集方阵。我们用f?:YX=V(?,X)?C(A,A′)=C(?,A;A′):Vop→SET来表示一个对应于V-分级范畴C中分级态射f∈C(X,A;A′)的自然变换。引理13.16 设f:X,A→A′, g:X,B→B′, ?:X′,A→B, ?′:X′,A′→B′是V-分级范畴C中的分级态射。那么(f,g,?,?′)是一个V-分级方阵当且仅当(f?,g?,??,?′?)是一个在V?-范畴C中的V?-富集方阵。证明(f?,g?,??,?′?)是一个V?-富集方阵当且仅当下图中的矩形（1）交换，但由于Y:V→V?是一个强二元对偶函子，标记为（2）和（3）的单元格必然也交换，这里我们用d?和d?表示与Y相关的（可逆的）二元运算幺半群约束。同时，(f,g,?,?′)是一个V-分级方阵当且仅当σ?(g°?)=τ?(?′°f):X?X′,A→B′。但是根据2.6，图外围的两个复合态射正好是σ?(g°?)?,τ?(?′°f)?:Y(X?X′)?C(A,B′)。□引理13.17 设C是一个V-分级范畴。那么C中的一个V?-富集方阵是一个四元组(f,g,?,?′)，它由自然变换f:P?C(?,A;A′), g=P?C(?,B;B′), ?:Q?C(?,A;B), ?′:Q?C(?,A′;B′)组成，使得对于所有X,X′∈obV, p∈PX, q∈QX′，有fX(p):X,A→A′,gX(p):X,B→B′,?X′(q):X′,A′→B′在C中是一个V-分级方阵。证明根据Yoneda引理，存在一个在V?中的上态射γP=(p?:YX→P)X∈obV,p∈PX，其中γP是一个?-稳定的上态射，因为V?是?-双闭的。类似地，γQ=(q?:YX′→Q)X′∈obV,q∈QX′也是一个?-稳定的上态射。现在结果可以根据引理13.14和引理13.16得出。□根据13.12中对V-富集方阵的描述，以下是定义Garner和López Franco [20, 定义10]中的富集双函子概念的等价方法：定义13.18 给定一个正规二元对偶范畴V=(V,?)和V-范畴A, B, C，一个V-富集双函子F:A,B→C由（左）V-函子F(?,B):A→C (B∈obB)和F(A,?):B→C (A∈obA)组成，它们在对象上是一致的，这样对于所有A,A′∈obA和B,B′∈obB，态射F(?,B)AA′,F(?,B′)AA′,F(A,?)BB′,F(A′,?)BB′在C中构成了一个如下形式的V-富集方阵：根据[20, §3.2]，V-富集双函子F:A,B→C是范畴V-Bif(A,B;C)的对象，具有明显的态射，这产生了一个2-函子。我们现在展示V-富集双函子等价于V-分级双函子，这些双函子介于V-富集范畴之间。定理13.19 设V=(V,?)是一个正规二元对偶范畴。给定V-范畴A,B,C，一个V-富集双函子F:A,B→C等价于一个V-分级双函子F:A,B→C（通过3.8将A,B,C视为V-分级范畴），或者等价于一个分级双函子F:A,B→C?。此外，存在同构V-Bif(A,B;C)?V-GBif(A,B;C)?GBif(A,B;C?)，这些同构在范畴中是2-自然的，这里我们从符号中省略了3.8中的2-函子。证明根据13.13和13.14，如果在对象上一致的V-函子F(?,B):A→C (B∈obB)和F(A,?):B→C (A∈obA)构成一个V-富集双函子，那么对于所有A,A′∈obA, B,B′∈obB, f:X→C(A,A′), 和g:X′→C(B,B′)在V中，有(F(?,B)AA′?f,F(?,B′)AA′?f,F(A,?)BB′?g,F(A′,?)BB′?g)是一个V-富集方阵。由于Y?是完全忠实的，因此结果可以通过定理13.7和13.8得出。□相反地，我们现在展示对于一个正规的二元对偶V，V-分级双函子正好是V?-富集双函子：定理13.20 设V=(V,?)是一个正规的二元对偶范畴。给定V-分级范畴A,B,C，一个V-分级双函子F:A,B→C正好是一个V?-富集双函子F:A,B→C。此外。证明这是根据引理13.17和定义13.6, 定义13.18得出的。□13.21 Garner和López Franco [20]展示了如果V=(V,?)是一个既完备又是?-双闭的正规二元对偶范畴（13.13），那么当A和C是V-范畴且A是小的时候，2-函子是可表示的。在这种情况下，我们将相应的表示对象写作[A,C]rV和[A,C]?V，并称它们为Garner和López Franco的V-富集函子范畴；我们遵循[20]中关于下标“r”和“?”的约定。具体来说，[A,C]rV和[A,C]?V的对象（在两种情况下）都是V-函子F:A→C。为了描述前者的同态对象，让我们遵循[20]的写法，用[X,?]r表示X?(?):V→V（X∈obV）的右伴随函子。设F,G:A?C是V-函子。对于每对A,B∈obA，我们可以在V中形成以下复合态射：mFA,GA,GB?(GAB?1)?σ:A(A,B)?C(FA,GA)→C(FA,GB)，mFA,FB,GB?(1?FAB)?τ:A(A,B)?C(FB,GB)→C(FA,GB)。取这些态射的转置，我们在V中得到一个如下形式的图：C(FA,GA)→[A(A,B),C(FA,GB)]r←C(FB,GB)(A,B∈obA)，其极限作为同态对象[A,C]rV(F,G)。在[A,C]rV中的复合使用这样的极限的泛性质和C中的复合来定义，而[A,C]?V的构造类似，使用的是函子(?)?X的右伴随。[13.22]我们现在展示对于任意一个正规的二元对偶范畴V，13.9中的V-分级函子范畴可以被视为Garner和López Franco的富集函子范畴的例子，相对于富集基V?。这个（巨大的）正规二元对偶范畴V?具有所有SET-小的极限并且是?-双闭的，所以如果A和C是（SET-小的）V-分级范畴，那么通过相对于富集基V?和宇宙SET应用13.21，我们可以形成Garner和López Franco的V?-富集函子范畴[A,C]rV?和[A,C]?V?。根据13.21和定理13.20，我们有在范畴中2-自然的同构。因此我们得到以下结论，类似地也可以对于[A,C]?V?得出相同的结果。定理13.23 设A和B是正规二元对偶范畴V的V-分级范畴。那么[A,C]rV?[A,C]r和[A,C]?V?[A,C]?。转向V是完备且?-双闭的情况，我们现在展示Garner和López Franco的V-富集函子范畴可以被视为13.9中的V-分级函子范畴的例子，而这些又是8.8和8.3中的分级函子范畴的例子：定理13.24 设V=(V,?)是一个完备且?-双闭的正规二元对偶范畴，设A和C是V-范畴，并且假设A是小的。那么[A,C]rV?[A,C]r和[A,C]?V?[A,C]?，在这里我们通过3.8将V-范畴A, C, [A,C]rV, [A,C]?V视为V-分级范畴，因此省略了我们的符号中的应用。证明由于Y:V→V?是一个强二元对偶函子并且保持所有极限，从13.21中富集函子范畴的构造可以清楚地看出Y?[A,C]rV?[Y?A,Y?C]rV?和Y?[A,C]?V?[Y?A,Y?C]?V，结果可以通过13.23得出。□附录 - 背景III：加权余极限和余完备性在这一节中，我们固定了一个根据2.7定义的巨大双闭基V，并回顾了仅在2.7中使用的背景材料（以及6.1中的材料）。14.1 加权余极限Street [45]将[28]中的富集加权余极限理论推广到了双范畴中的富集设置，使用了一般的富集模块作为权重。我们现在回顾Gordon和Power的[24]版本中Street理论的幺半群情况，即在左V-范畴中使用预层作为权重的情况。权重（对于左V-范畴中的余极限）是一个右V-函子W:K°→V，对于给定的（SET-小的）左V-范畴K；因此权重等价于一个V-模块（§11）。给定一个巨大的左V-范畴C和一个左V-函子D:K→C，一个加权余极限W?D是C中的一个对象，它配备了一个右V-自然变换γ:W?C(D?,W?D):K°→V，等价于一个2-单元格，使得对于C中的每个对象A，诱导的态射γ?A:C(W?D,A)→(PK)(W,C(D?,A))在V中是同构的。这里γ?A是通过11.2由复合态射C(W?D,A)?WK→1?γKC(W?D,A)?C(DK,W?D)→mC(DK,A)在V中诱导出来的。余幂（或张量）是加权余极限的一个特例：给定一个巨大的左V-范畴C，一个左V-函子A:I→C由C中的一个对象给出，而一个右V-函子X:I°=I→V由V中的一个对象给出。根据这些识别，一个加权余极限X?A在C中正好是一个余幂X?A。14.2 对于一类权重的余完备性Kelly研究了相对于一类权重的富集范畴的自由余完备性[28, §5.7]，以及Power, Cattani和Winskel [42]将Kelly的方法扩展到了非对称幺半群范畴中的富集设置；在更一般的设置中进行了处理，并给出了明确的证明[21, §12]。特别是，根据[42, 定理6]，如果C是一个（SET-小的）左V-范畴并且Φ是一组SET-小的权重，那么存在一个左V-范畴Φ(C)它是Φ-完备的（即允许所有权重位于Φ中的加权余极限），并且配备了一个完全忠实的（左）V-函子K:C→Φ(C)，使得对于每个Φ-完备的左V-范畴D，函子是等价的，其中Φ-COCTS(Φ(C),D)是由保持Φ-加权余极限的V-函子构成的完全子范畴。具体来说，Φ(C)是由在Φ-加权余极限下可表示的对象作为闭包在PC中获得的完全子范畴[42, 定理6]，并且K:C→Φ(C)将C中的每个对象A映射到可表示的右V-函子C(?,A):C°→V。Φ(C)的SET-小性来自于Φ和C的SET-小性，因为Φ(C)可以通过与[28, §3.5, 5.7]中相同的方式通过无穷递归构建（在后续步骤中取Φ-余极限，在极限步骤中取并集）。我们还建议读者参考[21, 定理12.1]，以了解关于自由Φ-余完备性的更一般设置的扩展以及明确的证明。