通过Ek-代数研究高维流形微分同胚群的同调稳定性

《Advances in Mathematics》：Homological stability of diffeomorphism groups of high dimensional manifolds via Ek-algebras

　　伊斯梅尔·塞拉

摘要
我们将使用Ek-代数研究流形Wg,1:=D2n#(Sn×Sn)#g的微分同胚群的同调稳定性。这将带来稳定性结果的新改进，特别是在处理有理系数时。此外，我们将证明一种新型的稳定性结果——量化同调稳定性，该结果表明要么最佳稳定性结果是斜率为1/2的线性界限，要么稳定性至少与斜率为2/3的线相当。

1. 引言
1.1. 结果陈述
对于一个带边界的d维流形W，我们用Diff?(W)表示固定边界邻域的W的微分同胚群。这个群的分类空间在几何上非常重要，因为它分类了具有纤维W并在?W上有平凡化的光滑纤维丛，因此H?(BDiff?(W))是这些丛的特征类环。由于同调本质上包含与上同调相同的信息量，计算H?(BDiff?(W))有很多潜在的应用。
我们将关注以下流形，这些流形将带有一个边界的分量的高维可定向曲面进行了推广：对于固定的n≥1，我们为每个g≥0定义以下2n维流形Wg,1:=D2n#(Sn×Sn)#g。我们可以将Wg,1视为Wg?1,1与W1,1的边界连通和，因此通过恒等映射得到包含关系Diff?(Wg?1,1)?Diff?(Wg,1)。根据[8]中的定理1.1和1.2，稳定的同调colimgHd(BDiff?(Wg,1))可以用某个Thom谱来表示，并且已经用有理系数明确计算出来。此外，根据[9]中的定理1.2，对于n≥3，映射Hd(BDiff?(Wg?1,1))→Hd(BDiff?(Wg,1))在2d≤g?4时是同构的。因此，我们可以访问d?g/2范围内的同调群Hd(BDiff?(Wg,1))。
本文的目标是改进同调稳定性界限，特别是对于群{Diff?(Wg,1)}g≥1的家族，从而扩大可以计算其同调群的范围。本文的主要结果是定理A：
对于n≥3且为奇数，考虑稳定化映射Hd(BDiff?(Wg?1,1);k)→Hd(BDiff?(Wg,1);k)：
(i) 如果n=3或7且k=Z，则对于3d≤2g?1它是满射，对于3d≤2g?4它是同构的。
(ii) 如果n≠3或7且k=Z，则对于2d≤g?2它是满射，对于2d≤g?4它是同构的。
(iii) 如果n≠3或7且k=Z[12]，则对于3d≤2g?4它是满射，对于3d≤2g?7它是同构的。
(iv) 如果n=3或7且k=Q，则对于d<3n?63n?5g它是满射，对于d<3n?63n?5g?1它是同构的。
(v) 如果n≠3或7且k=Q，则对于d<3n?63n?5(g?1)它是满射，对于d<3n?63n?5(g?1)?1它是同构的。
让我们简要评论一下这个结果的不同部分：第(ii)部分本质上与[9]中的定理1.2中发现的稳定性结果相同，但我们的证明使用了不同的方法。第(i)部分改进了之前已知的n=3或7时的稳定性结果。第(iii)部分在n≠3或7时改进了之前的稳定性结果，但仅在2的素数以外的情况下。最后，第(iv)和(v)部分在限制为有理系数时显著提高了同调稳定性。
为了证明定理A，我们将使用在[5]中开发的细胞Ek-代数方法，该方法已经在其他背景下应用于改进几个同调稳定性结果。从某种意义上说，本文是[6]中思想的高维类比，在[6]中使用了细胞E2-代数来证明可定向曲面的映射类群的最佳可能同调稳定性结果。本文的一个主要新颖之处在于它处理的是拓扑群Diff?(Wg,1)，而不是离散群，这是细胞Ek-代数方法在此背景下的第一个应用实例。
Ek-代数方法的一个主要特点是它可以为不同的系数提供不同的同调稳定性界限，正如定理A中所展示的。在我们的例子中，使用Q系数得到的稳定性范围是d?3n?63n?5g，这表明最佳稳定性界限的斜率至少应为1，即应该是d≤λg+c的形式，其中λ≥1且c是一个常数。
最后，让我们指出限制在n为奇数的原因是由于第6.10节中解释的一个技术步骤。这与Wg,1上的交形式是根据n的奇偶性是对称的还是反对称的有关的，这两种形式的 behaves 非常不同。第2、3、4节中的所有其他步骤都可以针对n为偶数的情况进行，实际上，通过使用与本文第6节中不同的“代数弧复形”， probabilty可以消除对n为奇数的限制。
利用定理A的证明成分和[17]中的结果，我们还将证明以下“量化稳定性”结果，正如在第4.15节中解释的，它与文献中的其他类似结果不同。
定理B
设n≥5且为奇数，n≠7，则以下两种情况之一成立：
(i) 相对同调群H2k(BDiff?(W4k,1),BDiff?(W4k?1,1);Z)对于所有k≥1都是非零的。
(ii) Hd(BDiff?(Wg?1,1);Z)→Hd(BDiff?(Wg,1);Z)对于3d≤2g?6是满射，对于3d≤2g?9是同构的。
换句话说，这表明要么定理A的第(ii)部分基本上是最优的，要么真实的稳定性结果的斜率至少为2/3。我们不知道这两种情况中哪一种是正确的。

1.2. 细胞Ek-代数概述
本节的目的是解释本文中使用的[5]中的方法：我们旨在进行非正式的讨论，并参考[5]以获取详细信息。
在本文的Ek-代数部分，我们将在sModkG范畴中工作，其中k是一个交换环，G是一个离散对称幺半群。形式上，sModkG表示从G到sModk的函子的范畴，G被视为一个对象为G中的元素且只有恒等态射的范畴。这意味着每个对象M由每个x∈G的一个单纯k-模M•(x)组成。此范畴中的张量积?由Day卷积给出，即(M?N)p(x)=?y+z=xMp(y)?kNp(z)，其中+表示G的幺半结构。
类似地，可以定义G-分级空间的范畴，记为TopG，并通过使用空间的笛卡尔积通过Day卷积为其赋予幺半结构。
Top中的小k-立方体operad具有n元操作，由直线嵌入Ik×{1,?,n}?Ik给出，使得立方体图像的内部是不相交的。（0元操作的空间是空的。）我们通过在sModk中应用对称幺半函子（?）k:Top→sModk来定义小k-立方体operad，该函子是在空间的奇异单纯集上的自由k-模。此外，（?）k可以提升为函子（?）k:TopG→sModkG，用于在分级范畴之间，我们通过将其集中在分级0中来定义这些操作，其中0∈G表示幺半群的恒等元。我们在使用的所有范畴Top、TopG、sModkG中都将这个operad表示为Ck，并将Ek-代数定义为在此operad上的代数。
Ek-代数R在sModkG中的Ek-不可分解元素由分级单纯k-模的精确序列?n≥2Ck(n)?R?n→R→QEk(R)→0来定义。
函子R?QEk(R)不是同伦不变的，但有一个派生函子QLEk(?)是同伦不变的。有关详细信息以及如何在更一般的范畴（如Ek-代数中的Top或TopG）中定义它，请参见[5]的第13节。R的Ek-同调群定义为Hx,dEk(R):=Hd(QLEk(R)(x))，对于x∈G和d∈N。派生不可分解元素的一个形式性质，见[5]的引理18.2，是它与（?）k交换，因此对于R∈AlgEk(TopG)，其带有k系数的Ek-同调与Rk的Ek-同调相同。
因此，为了研究带有不同系数的R的同调稳定性，我们可以使用Ek-代数Rk，它们具有更好的属性，因为它们是余纤维的，并且分级单纯k-模的范畴提供了一些技术优势，如[5]的第11节所解释的。然而，同时我们可以在Top中进行R的同调或Ek-同调的计算，然后将它们转移到sModk中。
在[5]的第6节中定义了CW Ek-代数的概念，它是通过按维数顺序在Ek-代数范畴中迭代附加单元来构建的自由Ek-代数。
设Δx,d∈sSetG是放置在分级x中的标准d-单纯形，让?Δx,d∈sSetG是其边界。通过应用自由k-模函子，我们得到对象Δkx,d,?Δkx,d∈sModkG。然后我们通过Skx,d:=Δkx,d/?Δkx,d在sModkG中定义分级球面，其中商表示边界包含到圆盘中的余纤维。在sModkG中，将单元附加到Ek-代数R的数据是一个附加映射e:?Δkx,d→R，这与单纯k-模的映射?Δkd→R(x)相同。为了附加单元，我们在AlgEk(sModkG)中形成推出。
一个弱等价C→～R被称为R的CW-近似，一个关键结果[5,定理11.21]是，如果R(0)?0，则R允许一个CW-近似。此外，每当k是一个域时，我们可以构造一个CW-近似，其中所需的(x,d)-单元的数量正好是Hx,dEk(R)的维数。通过“给出d-单元过滤d”，参见[5]的第11节，可以得到这个Ek-代数的骨架过滤和计算R的同调的谱序列。
为了讨论Ek-代数的同调稳定性，我们需要一些准备。在本节的其余部分，设R∈AlgEk(sModkG)，其中G配备了对称幺半函子rk:G→N；并假设我们给定一个同调类σ∈Hx,0(R)，满足rk(x)=1。根据定义，σ是映射σ:Skx,0→R的同伦类。
根据[5]的第12.2节，存在一个严格交换的代数R￣，它等价于单元化R+:=1⊕R，其中1是单纯模中的幺半单位。然后，σ通过使用R￣的结合积给出映射σ??:Skx,0?R￣→R￣。我们定义R￣/σ为这个映射的余纤维。注意，σ??本质上不是（左）R￣-模映射，所以余纤维R￣/σ不是（左）R￣-模。然而，对于k≥2，通过[5]的第12.2节中的“适配器构造”及其在[5]的第12.2.3节中的应用，可以定义一个在左R￣-模范畴中的余纤维序列S1,0?R￣→σ??R￣→R￣/σ，以至于忘记R￣-模结构可以恢复之前的构造；我们将在第2节和第5.7节的一些证明中使用这一事实。
通过构造，σ??诱导了R的不同分级分量之间的映射R(y)→R(x+y)，对象R￣/σ的同调捕获了这些的相对同调。因此，使用σ进行稳定的R的同调稳定性结果可以重新表述为Hx,d(R￣/σ)的范围消失；这样做的优点是使用R的CW近似的过滤也可以得到R￣/σ的过滤，从而获得能够检测范围消失的谱序列。
最后，在第2节和第5.7节中，我们还将使用一些bar构造，定义如下：
对于上述的R，M是一个右R￣-模，N是一个左R￣-模，我们定义bar构造B(M,R￣,N为半单纯对象B•(M,R￣,N)的几何实现，其中p-单纯形为M?R￣?p?N，面映射由使用R￣-模结构和乘法给出。通过[5]的引理9.16，B(M,R￣,N计算派生张量积M?R￣LN，并且通过[5]的推论9.17，定理13.7我们可以使用bar构造计算E1-不可分解元素。这个公式对于理解本文考虑的代数的Ek-同调将是必不可少的。

1.3. 本文的组织结构和证明概要
在第2节中，我们将看到一些Ek-代数的通用同调稳定性结果。这些结果将从sModkG中的某个适当的G满足以下两种假设的Ek-代数X开始，并得出X的同调稳定性结果：
(i) “标准连通性估计”，意味着对于dN。我们将确立R的一些基本性质，并将其路径分量解释为对流形“一半边界”固定的微分同胚群的分类空间。最后我们将提出以下定理。定理C：对于n≥3且为奇数的情况，E2n?1-代数R满足Hx,dE1(R)=0，其中x∈Gn且d
在第4节中，我们将通过应用第2节中的通用稳定性结果和[17]中的一些结果来证明定理a和定理b。这将使用定理c以及对第3节中流形模空间同调群的一些计算，其中k为适当的系数。由于r的分量是对流形一半边界的微分同胚群的分类空间，而我们想要理解相对于完整边界的微分同胚群，因此需要比较这两种情况，这将在第4.2节中进行。最后，在第4.5节和第4.6节中我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

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本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明 在第4节中，我们将通过应用第2节中的通用稳定性结果和[17]中的一些结果来证明定理a和定理b。这将使用定理c以及对第3节中流形模空间同调群的一些计算，其中k为适当的系数。由于r的分量是对流形一半边界的微分同胚群的分类空间，而我们想要理解相对于完整边界的微分同胚群，因此需要比较这两种情况，这将在第4.2节中进行。最后，在第4.5节和第4.6节中我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。 本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6,>
在第4节中，我们将通过应用第2节中的通用稳定性结果和[17]中的一些结果来证明定理a和定理b。这将使用定理c以及对第3节中流形模空间同调群的一些计算，其中k为适当的系数。由于r的分量是对流形一半边界的微分同胚群的分类空间，而我们想要理解相对于完整边界的微分同胚群，因此需要比较这两种情况，这将在第4.2节中进行。最后，在第4.5节和第4.6节中我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

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本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

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本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明并利用弧复形的高连通性来证明这一点。接着，我们将定义一个称为分裂复形的半单纯空间，并使用[9, 定理5.6]中的证明思想来展示分裂复形的高连通性。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将把所有内容整合在一起。

本文的其余部分致力于证明定理c。第5节将假设一个称为“弧复形”的单纯复形具有某种连通性属性，类似于[6, 第4节]中用于曲面的性质，并从中推导出定理c。为此，我们将首先定义一个类似于[6, 定理3.4]中出现的某种分裂偏序集，然后通过模仿[6, 定理3.4]的证明>我们的目标是证明δ≥D。由于对于d< />< /><δδ+1g，也有hg,dek(x,a)=0。根据[5, 定理15.9]以及ρ(g)=>< /><μ(g)，有hg,d(b(a￣ σ0,a￣,x￣))=0。最后，[5, 第12.2.4节，引理9.16]表明b(a￣ σ0,a￣,x￣)?x￣ σ0。□ 3. 流形空间与e2n?1-代数 3.1. 流形空间 在本小节中，我们定义了将要研究的流形模空间。在开始之前，让我们先确定一些符号：对于每个s∈n，我们用js:=?Is+1?(int(Is×{1})∪int({1}×Is))??Is+1来表示，其中I是单位区间[0,1]。这代表了标准(s+1)立方体的边界，在去除了顶部和右侧面的内部之后。从现在开始，让n表示一个大于或等于3的奇数自然数。 定义3.1 设a?i2n?1×r∞是一个光滑的、(n?2)-连通的、(2n?1)-流形，并且具有角点，使得a∩(?i2n?1×r∞)=?A=?I2n?1×{0}，并且A在其边界的邻域内与I2n?1×{0}一致。那么让M[A]表示所有W?I2n×R∞的集合，这些W是光滑的2n-子流形，并且具有角点，同时满足以下条件： (i) w是(n?1)-连通的并且s-可并行化的。 (ii) w∩(?i2n×r∞)=?W?J2n?1，并且W在J2n?1的邻域内与I2n×{0}一致。 (iii) ?w∩({1}×i2n?1×r∞)={1}×A。 (iv) d(w):=?W∩(I2n?1×{1}×R∞)?I2n?1×{1}×R∞是一个光滑的(2n?1)-子流形，并且具有角点，满足： (a) d(w)∩(?i2n?1×{1}×r∞)=?D(W)=?I2n?1×{1}×{0}，并且D(W)在其边界的邻域内与I2n?1×{1}×{0}一致。 (b) d(w)是可缩的（因此根据h-边界的定理，它与i2n?1同胚）。 (v) 我们有一个分解?w=??W∪D(W)，其中??W:=J2n?1∪{1}×A。 (vi) w在其边界附近具有乘积结构，具体来说：对于i2n的每个(2n?1)面f，让πf:i2n→f是到该面的正交投影。那么w在f×r∞的邻域内与{(u,x)∈i2n×r∞:(πf(u),x)∈?w}一致。（见图1。） 下载：下载高分辨率图像（19kb） 下载：下载全尺寸图像 图1. 当n=1时：虚线边代表A?{1}×I2n?1×R∞，虚线边代表给定的D(W)?I2n?1×{1}×R∞，J1由剩余的边和虚线边与实线边相交的顶点组成。 m[a]的拓扑结构分为两步定义如下： 首先，对于m[a]中的每个w，我们定义emb??wp(w,i2n×r∞)为空间，它具有c∞-拓扑结构，表示w到i2n×r∞的光滑嵌入，将w的内部映射到int(i2n)×r∞，并固定??w的某个邻域，同时在?w附近具有乘积结构，具体来说：对于emb??wp(w,i2n×r∞)中的每个?和i2n的每个(2n?1)面f，我们有?(?w∩(f×r∞))=??(W)∩(F×R∞)，并且存在?W∩(F×R∞中的一个小的邻域，使得当(u,x)∈该邻域时，有?(u,x)=(p1(?(πF(u),x))+u?πF(u),p2(?(πF(u),x)))，其中p1,p2是I2n×R∞到其各因子的投影。 然后我们通过???(w)得到一个从emb??wp(w,i2n×r∞)到m[a]的函数集合；并且我们给m[a]赋予最精细的拓扑结构，使得所有这些函数都是连续的。 最自然的模空间是考虑在i2n×r∞内与i2n×{0}在其边界附近逐点一致的流形集合，再加上一些关于流形的条件，如(n?1)-连通性和s-可并行性。这样的模空间通过“缩放和粘合立方体内的流形”自然地具有e2n-代数结构。 然而，在第5节的后续证明中，我们需要“切割流形的弧”并研究剩余的部分，所以我们不能仅限于边界为?i2n的流形。相反，我们对它们边界的唯一控制是将它们视为(n?2)-连通的。这与[6, 第4节]引入具有更多边界分量的曲面的情况类似，目的是为了理解只有一个边界分量的曲面。需要边界比标准圆盘更一般的流形空间，这 motivates 了上述定义中引入面a的原因。 另一方面，通过切割弧，我们可以得到边界为奇异球面的流形，如果这些流形也包含在ek-代数中，那将非常方便：详情见备注5.17。因此，我们引入了d(w)的进一步自由度，即使a是标准面，我们也允许边界为奇异球面，并且仍然得到一个ek-代数。这种新的自由度必须是“可移动的”，即d(w)依赖于w本身，以便以自然的方式得到ek-代数结构。 在3.3节中，我们将解释模空间m[a]作为分类固定边界某些部分的微分同胚群的空间的作用。在4.2节中，我们将这些模空间与我们最初感兴趣的相对于完整边界的微分同胚群的分类空间联系起来。 3.2. m[i2n?1]作为一个（分级的）e2n?1-代数 在本小节中，我们将给m[i2n?1]∈top赋予一个e2n?1-代数结构。这将是我们在本文其余部分研究的e2n?1-代数，只需做少量的修改。 为此，回顾第1.2节中给出的e2n?1-操作子的显式模型，它是由小的(2n?1)立方体到标准i2n?1中的直线嵌入空间组成的。然后通过使用这些直线嵌入来缩放流形，注意到任何直线嵌入e:i2n?1?i2n?1都会给出一个规范嵌入e×i×r∞:i2n×r∞?i2n×r∞，然后将其重新粘合在i2n×r∞内；这样在小的立方体外，流形仍然与i2n×{0}一致。得到的流形将满足定义3.1中的所有条件，包括s-可并行性：对于m[i2n?1]中的每个流形w，我们可以选择一个在??w?d2n?1的邻域内与给定框架一致的最稳定框架，然后我们可以沿着上述e2n?1-乘积将这些稳定框架粘合起来，得到一个稳定的框架。 我们希望对这个e2n?1-代数进行分级，以便跟踪不同的组成部分，因此自然的离散幺半群是gn:=π0(M[I2n?1])，其中(对称)幺半群结构由E2n?1-乘法给出。因此我们可以将M[I2n?1]视为AlgE2n?1(TopGn)。 我们将在3.4节中详细描述gn。 3.3. 将模空间解释为分类微分同胚空间的作用 在本小节的剩余部分，我们给所有的嵌入和微分同胚空间赋予c∞-拓扑结构。同时，w总是假设属于定义3.1中的m[a]空间之一。 让我们用diff??w(w)表示固定??w的邻域的w上的微分同胚群。我们说一个微分同胚?∈diff??w(w)在边界附近具有乘积结构，如果当它与包含映射w?i2n×r∞复合时，在定义3.1的意义上具有乘积结构。我们用diff??wp(w)表示固定??w的邻域并且在?w附近具有乘积结构的w上的微分同胚群。 命题3.2 w∈m[a]的路径组成部分与emb??wp(w,i2n×r∞)在m[a]内的像一致，并且它是bdiff??wp(w)的一个模型。因此，我们可以识别m[a]=?[W]BDiff??Wp(W)，其中余积是在路径组成部分上取得的。 证明 定义3.1中m[a]中的拓扑定义强制w的路径组成部分位于emb??wp(w,i2n×r∞)→m[a]的像中，并且由于whitney嵌入定理，emb??wp(w,i2n×r∞)是路径连通的，因此结果随之成立。 通过调整[15, 第13章]的证明，要求所有涉及的映射都具有乘积结构，商映射emb??wp(w,i2n×r∞)→emb??wp(w,i2n×r∞) diff??wp(w)具有切片，因此是一个主diff??wp(w)-丛。此外，它的基与emb??wp(w,i2n×r∞)→m[a]的像在规范意义上同胚。由于whitney嵌入定理，emb??wp(w,i2n×r∞)是弱可缩的，因此结果成立。 以下引理表明，在同伦意义上，乘积结构不起作用。然而，出于技术原因，在我们的模空间中拥有它是有方便的。 引理3.3 对于任何w，包含映射diff??wp(w)?diff??w(w)是一个同伦等价。因此m[a]??[w]bdiff??w(w) 证明 我们可以构造一个变形收缩diff??w(w)→diff??wp(w)，如下所示：首先观察到任何?∈diff??w(w)在除了可能的顶部面之外自动保持乘积结构。其次，w在其顶部面的乘积结构给出了一个-collar c:d(w)×[0,?]?w，并且我们在?w上选择了一个黎曼度量。最后，我们使用测地线插值修改?直到它在 collar 内保持乘积结构。 对于特殊情况a=I2n?1，我们将Diff12?(W):=Diff??W(W)，因为?W分裂为两个可缩部分：??W和D(W)的并集。我们将??W视为“固定的边界的一半”，因为它是一个标准部分，而另一个部分取决于W的选择。这种表示法和观点将在整个第4.3节中使用。 4.3.4. 确定分级 在本小节中，我们将明确确定gn=π0(M[I2n?1])，这解释了第2节中选择分级幺半群的原因。 任何w∈m[i2n?1]都可以通过规范平滑标准立方体i2n的角点，与一个光滑流形ws规范地识别。ws和ws是同胚的，并且具有微分同胚的内部。ws是s-可并行化的、(n?1)-连通的，并且其边界是一个同伦球面。根据[19, 页165-167]，我们可以将任何这样的流形ws与一个三元组(hn(ws),λws,qws)相关联，其中hn(ws)表示其中心同调；λws:hn(ws)?hn(ws)→z表示其交集乘积；qws:hn(ws)→z λn表示其二次精炼，这是根据ws的稳定并行性使用正规丛定义的，其中λn={Z如果n=3,7；否则为Z/2}。 由于hn(w)=Hn(Ws)，我们得到一个等价的三元组(Hn(W),λW,qW)。通过Poincaré对偶和n的奇数性质，双线性形式(Hn(W),λW)在自由有限生成的Z-模上是斜对称且非退化的，因此它同构于具有唯一g=g(W)∈N的g的标准的双曲形式。当n=3,7时，二次精炼消失为0；当n≠3,7时，它的值在Z/2中。对于g≥1，标准双曲形式上有两个Z/2-值的二次精炼的同构类，由所谓的Arf不变量区分。我们定义W的Arf不变量为Arf(W)∈{0,1}，它是相应qW的Arf不变量。当n=3,7时，Arf不变量简单地设置为0。 命题3.4 对于n=3,7，基因给出了一个幺半群的同构Gn?N。对于n≠3,7且为奇数，取基因和Arf不变量得到一个幺半群的同构Gn?H={0}?N>0×Z/2。
证明
让我们用Gn′表示当n=3,7时的幺半群N，否则用H表示。对于每个n，基因和Arf不变量给出了一个函数Ψ:M[I2n?1]→Gn′。由于基因和Arf不变量都是微分同胚不变量，因此Ψ通过Gn=π0(M[I2n?1])分解。此外，Ψ是幺半群的，因为基因和Arf不变量都在正交直和下是可加的，并且流形的E2n?1-乘积在其相关的代数数据上诱导了正交直和。
满射性：给定任何x∈Gn′，我们可以找到一个对应于正确基因和Arf不变量的二次形式(H,λ,q)。根据[19, 页168]，我们可以找到一个光滑的、(n?1)-连通的、s-可并行化的2n-流形Ws，使得(Hn(Ws),λWs,qWs)?(H,λ,q)。H的非退化性由Poincaré对偶性给出，因为?Ws是1-连通的。任何同伦球面都可以实现为具有角点Σ??I2n×R∞的光滑(2n?1)维流形的规范平滑，使得Σ在(J2n?1∪{1}×I2n?1)×R∞的邻域内与?I2n×{0}一致，并且Σ∩(I2n?1×{1}×R∞是可缩的。然后通过同伦扩展定理，我们可以将Ws实现为流形W∈M[I2n?1]的规范平滑。
单射性：假设W,W′∈M[I2n?1]满足Ψ(W)=Ψ(W′)，我们将证明[W]=[W′]∈π0(M[I2n?1])。根据定义，W和W′在??(W)=??(W′)=J2n?1∪{1}×I2n?1的I2n×R∞的邻域内与I2n×{0}一致。然后我们可以将W和W′写为U∩(I2n×{0})，并附加2g个n-手柄。根据[19, 页166]的相同论证，我们可以找到一个映射e:W′?W，它在U∩(I2n×{0})上是恒等的：这使用了(Hn(Ws),λWs,qWs)和(Hn(W′s),λW′s,qW′s)是同构的事实，因为Ψ(W)=Ψ(W′)并且基因和Arf不变量完全分类了非退化的斜对称二次形式。通过Whitehead定理，差W?im(e)￣是D(W)和D(W′)内部之间的h-边界，因此它是平凡的，由于端点的可缩性和h-边界定理。然后我们固定h-边界的平凡化，并使用这个由于后者的空间根据Whitney嵌入定理是路径连通的，因此W和W′位于相同的路径分量上。□

备注3.5
我们可以将流形Wg,1视为M[I2n?1]中的一个元素的（平滑化）表示。由于Wg,1的亏格为g且Arf不变量为0（当定义时），那么：
(i) 当n=3,7时，M[I2n?1]的每个路径分量都由一个Wg,1表示。
(ii) 当n≠3,7时，路径分量(g,0)∈Gn由Wg,1表示。

3.5 分级E2n?1-代数R
我们应该将M[I2n?1]视为我们研究的E2n?1-代数，但是Ek-代数的CW-逼近定理[5, 定理11.21]要求我们使用在分级0时为0的分级单纯模中的Ek-代数。为了实现这一点，我们希望我们的代数在空间中的分级为0时为空。

定义3.6
我们定义R∈AlgE2n?1(TopGn)为{W∈M[I2n?1]:g(W)>0}，即M[I2n?1]中亏格严格为正的流形子空间，因此根据定义R(0)=?。
通过构造，结合分配律和单位元素，对于所有x∈Gn，R?(x)是路径连通的。然后使用命题3.4中的Gn的幺半群结构，我们得到...

推论3.7
H?,0(R?)作为环是以以下方式给出的：
(i) 当n=3,7时，Z[σ]，其中σ∈H0(R(1);Z)是规范生成元。
(ii) 当n≠3,7时，Z[σ0,σ1](σ12?σ02)，其中σ?∈H0(R(1,?);Z)是规范生成元。

R具有一个关键性质，这使得我们能够研究其同调稳定性。这个性质是它的E2n?1-细胞上的一个a-先验消失线。我们将用rk:Gn→N来表示这个映射，它将亏格作为输入。

定理C
E2n?1-代数R满足Hx,dE1(R)=0，对于所有x∈Gn且d
证明
这是定理c和[5, 定理14.4]的直接结果。此外部分来自于[5, 引理18.2]。

这个定理的证明将推迟到第5节和第6节，因为我们已经从中推导出了主要的同调稳定性结果。

4. 同调稳定性结果
本节的目标是展示定理a和定理b中的同调稳定性结果。在第4.1节和第4.2节中，我们将比较相对于完整边界的微分同胚群的同调稳定性与r的同调稳定性。在第4.3节和第4.4节中，我们将进行一些同调计算。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将使用第2节的结果来整合所有内容。
让我们首先给出将在本节其余部分使用的稳定化映射的精确定义。给定wi∈m[i2n?1]，i∈{0,1}，我们可以使用m[i2n?1]上的e1-代数结构和元素[0,1/2]?[1/2,1]∈c1(2)来定义边界连通和操作，从而生成一个新的流形w0?w1∈m[i2n?1]。

定义4.1
对于固定的w0∈r，对应的（左）稳定化映射为：
(i) b(idw0??):bdiff12?(w1)→bdiff12?(w0?w1)
(ii) b(idw0??):bdiff?(w1)→bdiff?(w0?w1)，对于任何w1∈m[i2n?1]都是如此定义的。

备注4.2
在引理3.3中的识别r??[w]bdiff12?(w)下，稳定化映射(i)与使用第1.2.4节中的e2n?1-代数结构对应于w0∈r的稳定化映射是一致的。

4.1 技术性结果
为了比较定义4.1中的两种稳定化映射，我们需要理解对于任意w∈m[i2n?1]的映射bdiff?(w)→bdiff12?(w)。以下结果将在整个第4节中使用。

定理4.3
如果w∈m[i2n?1]，那么bdiff?(w)→binclbdiff12?(w)→bresbdiff?,0(d(w))是一个同伦纤维化序列，其中diff?,0(d(w))?diff?(d(w))表示恒等元的路径分量。

证明
主要步骤是证明对于w∈m[i2n?1]，π0(res):π0(diff12?(w))→π0(diff?(d(w)))的像是平凡的。
假设上述条件成立，bres:bdiff12?(w)→bdiff?(d(w))诱导了一个映射bres:bdiff12?(w)→bdiff?,0(d(w))。根据同伦扩展定理，映射diff12?(w)→resdiff?,0(d(w))是一个serre纤维化，其在id上的纤维与diff?(w)同伦等价。通过对相应群纤维化取分类空间，我们可以得到结果。

现在让我们展示主要步骤：给定?∈diff12?(w)，我们需要证明?|d(w)相对于?d(w)与恒等元同伦。设m:=w?w∈m[i2n?1]，φ:=??idw∈diff(m)，以及d:=?m?d(w0)?，其中w0表示w的左副本（见图2）。

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图2. 流形m，其中虚线部分是d??m，虚线处是执行边界连通和的位置。

设?φ:=φ|?m∈diff(?m,d)，那么只需证明?φ相对于d与id?m同伦。由于m∈m[i2n?1]有g(m)=2g，且arf(m)=2arf(w)=0，根据命题3.4和备注3.5，存在一个微分同胚f:m→?w2g,1。（此外，根据命题3.2，f可以保持定向。）因此，φ诱导了一个微分同胚w2g:=w2g,1∪id?d2nd2n→f°φ°f?1∪idd2nw2g,1∪?f°?φ°?f?1d2n=w2g#σ[?f°?φ°?f?1]。根据[10, 定理3.1]，w2g的惯性群是平凡的，因此?f°?φ°?f?1与ids2n?1同伦，所以?φ与id?m同伦。只需证明存在一个从?φ到id?m的同伦：固定一个同伦h:i→diff+(?m)使得h(0)=id?m且h(1)=?φ；然后我们得到一个交换平方...

压缩这个映射的障碍是[(h,?h)]∈π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)。
声称π1(diff+(?m),id)→π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)是满射。
鉴于这个声明，我们可以完成证明：选择一个以id为起点的循环γ:i→diff+(?m)，并将其映射到?[(h,?h)]∈π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)，然后新的同伦h′:=γ?h:i→diff+(?m)具有压缩性，这将是所需的同伦。

证明
通过同伦扩展，diff+(?m)→resemb+(d,?m)是一个纤维化，其在包含d??m上的纤维是diff(?m,d)。因此我们可以将π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)?π1(emb+(d,?m),incl)。由于d与一个圆盘微分同胚，并且?m?s2n?1通过?f，所以emb+(d,?m)=emb+(d2n?1,s2n?1)?fr+(ts2n?1)=so(2n)。组合so(2n)?diff+(s2n?1)?diff+(?m)→emb+(d,?m)?fr+(ts2n?1)=so(2n)是一个同伦等价，因此在π1(?)上诱导了一个同构，从而得到了所需的满射性。

4.2 比较r与微分同胚群的同调稳定性
我们的最终目标是展示定理a和定理b中的同调稳定性结果。在第4.1节和第4.2节中，我们将比较相对于完整边界的微分同胚群的同调稳定性与r的同调稳定性。在第4.3节和第4.4节中，我们将进行一些同调计算。最后在第4.5节和第4.6节中，我们将使用第2节的结果来整合所有内容。

让我们首先给出本节其余部分将使用的稳定化映射的精确定义。给定wi∈m[i2n?1]，i∈{0,1}，我们可以使用m[i2n?1]上的e1-代数结构和元素[0,1/2]?[1/2,1]∈c1(2)来定义边界连通和操作，从而生成一个新的流形w0?w1∈m[i2n?1]。

定义4.1
对于固定的w0∈r，对应的（左）稳定化映射为：
(i) b(idw0??):bdiff12?(w1)→bdiff12?(w0?w1)
(ii) b(idw0??):bdiff?(w1)→bdiff?(w0?w1)，对于任何w1∈m[i2n?1]都是如此定义的。

备注4.2
在引理3.3中的识别r??[w]bdiff12?(w)下，稳定化映射(i)与使用第1.2节中的e2n?1-代数结构对应于w0∈r的稳定化映射是一致的。

4.1 技术性结果
为了比较定义4.1中的两种稳定化映射，我们需要理解对于任意w∈m[i2n?1]的映射bdiff?(w)→bdiff12?(w)。以下结果将在整个第4节中使用。

定理4.3
如果w∈m[i2n?1]，那么bdiff?(w)→binclbdiff12?(w)→bresbdiff?,0(d(w))是一个同伦纤维化序列，其中diff?,0(d(w))?diff?(d(w))表示恒等元。

证明
主要步骤是证明对于w∈m[i2n?1]，π0(res):π0(diff12?(w))→π0(diff?(d(w)))的像是平凡的。
假设上述条件成立，bres:bdiff12?(w)→bdiff?(d(w))诱导了一个映射bres:bdiff12?(w)→bdiff?,0(d(w))。根据同伦扩展定理，映射diff12?(w)→resdiff?,0(d(w))是一个serre纤维化，其在id上的纤维与diff?(w)同伦等价。在相应的群纤维化上取分类空间可以得到结果。

现在让我们展示主要步骤：给定?∈diff12?(w)，我们需要证明?|d(w)相对于?d(w)与恒等元同伦。设m:=w?w∈m[i2n?1]，φ:=??idw∈diff(m)，以及d:=?m?d(w0)?，其中w0表示w的左副本（见图2）。 证明 这是定理c和[5, 定理14.4]的直接结果。此外部分来自于[5, 引理18.2]。 这个定理的证明将推迟到第5节和第6节，因为我们已经从中推导出了主要的同调稳定性结果。 4. 同调稳定性结果 本节的目标是展示定理a和定理b中的同调稳定性结果。在第4.1节和第4.2节中，我们将比较相对于完整边界的微分同胚群的同调稳定性与r的同调稳定性。在第4.3节和第4.4节中，我们将进行一些同调计算。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将使用第2节的结果来整合所有内容。 让我们首先给出将在本节其余部分使用的稳定化映射的精确定义。给定wi∈m[i2n?1]，i∈{0,1}，我们可以使用m[i2n?1]上的e1-代数结构和元素[0,1 2]?[1 2,1]∈c1(2)来定义边界连通和操作，从而生成一个新的流形w0?w1∈m[i2n?1]。 定义4.1 对于固定的w0∈r，对应的（左）稳定化映射为： (i) b(idw0??):bdiff12?(w1)→bdiff12?(w0?w1) (ii) b(idw0??):bdiff?(w1)→bdiff?(w0?w1)，对于任何w1∈m[i2n?1]都是如此定义的。 备注4.2 在引理3.3中的识别r??[w]bdiff12?(w)下，稳定化映射(i)与使用第1.2.4节中的e2n?1-代数结构对应于w0∈r的稳定化映射是一致的。 4.1 技术性结果 为了比较定义4.1中的两种稳定化映射，我们需要理解对于任意w∈m[i2n?1]的映射bdiff?(w)→bdiff12?(w)。以下结果将在整个第4节中使用。 定理4.3 如果w∈m[i2n?1]，那么bdiff?(w)→binclbdiff12?(w)→bresbdiff?,0(d(w))是一个同伦纤维化序列，其中diff?,0(d(w))?diff?(d(w))表示恒等元的路径分量。 证明 主要步骤是证明对于w∈m[i2n?1]，π0(res):π0(diff12?(w))→π0(diff?(d(w)))的像是平凡的。 假设上述条件成立，bres:bdiff12?(w)→bdiff?(d(w))诱导了一个映射bres:bdiff12?(w)→bdiff?,0(d(w))。根据同伦扩展定理，映射diff12?(w)→resdiff?,0(d(w))是一个serre纤维化，其在id上的纤维与diff?(w)同伦等价。通过对相应群纤维化取分类空间，我们可以得到结果。 现在让我们展示主要步骤：给定?∈diff12?(w)，我们需要证明?|d(w)相对于?d(w)与恒等元同伦。设m:=W?W∈M[I2n?1]，Φ:=??idW∈Diff(M)，以及D:=?M?D(W0)?，其中W0表示W的左副本（见图2）。 下载：下载高分辨率图像（9kb） 下载：下载全尺寸图像 图2. 流形m，其中虚线部分是d??m，虚线处是执行边界连通和的位置。 设?φ:=Φ|?M∈Diff(?M,D)，那么只需证明?Φ相对于D与id?M同伦。由于M∈M[I2n?1]有g(M)=2g，且Arf(M)=2Arf(W)=0，根据命题3.4和备注3.5，存在一个微分同胚f:M→?W2g,1。（此外，根据命题3.2，f可以保持定向。）因此，Φ诱导了一个微分同胚W2g:=W2g,1∪id?D2nD2n→f°Φ°f?1∪idD2nW2g,1∪?f°?Φ°?f?1D2n=W2g#Σ[?f°?Φ°?f?1]。根据[10, 定理3.1]，w2g的惯性群是平凡的，因此?f°?φ°?f?1与ids2n?1同伦，所以?φ与id?m同伦。只需证明存在一个从?φ到id?m的同伦：固定一个同伦h:i→diff+(?m)使得h(0)=id?M且H(1)=?Φ；然后我们得到一个交换平方... 压缩这个映射的障碍是[(h,?h)]∈π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)。 声称π1(diff+(?m),id)→π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)是满射。 鉴于这个声明，我们可以完成证明：选择一个以id为起点的循环γ:i→diff+(?m)，并将其映射到?[(h,?h)]∈π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)，然后新的同伦h′:=γ?H:I→Diff+(?M)具有压缩性，这将是所需的同伦。 证明 通过同伦扩展，diff+(?m)→resemb+(d,?m)是一个纤维化，其在包含d??m上的纤维是diff(?m,d)。因此我们可以将π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)?π1(emb+(d,?m),incl)。由于d与一个圆盘微分同胚，并且?m?s2n?1通过?f，所以emb+(d,?m)=Emb+(D2n?1,S2n?1)?Fr+(TS2n?1)=SO(2n)。组合SO(2n)?Diff+(S2n?1)?Diff+(?M)→Emb+(D,?M)?Fr+(TS2n?1)=SO(2n)是一个同伦等价，因此在π1(?)上诱导了一个同构，从而得到了所需的满射性。 4.2 比较r与微分同胚群的同调稳定性 我们的最终目标是展示定理a和定理b中的同调稳定性结果。在第4.1节和第4.2节中，我们将比较相对于完整边界的微分同胚群的同调稳定性与r的同调稳定性。在第4.3节和第4.4节中，我们将进行一些同调计算。最后在第4.5节和第4.6节中，我们将使用第2节的结果来整合所有内容。 让我们首先给出本节其余部分将使用的稳定化映射的精确定义。给定wi∈m[i2n?1]，i∈{0,1}，我们可以使用m[i2n?1]上的e1-代数结构和元素[0,1 2]?[1 2,1]∈c1(2)来定义边界连通和操作，从而生成一个新的流形w0?w1∈m[i2n?1]。 定义4.1 对于固定的w0∈r，对应的（左）稳定化映射为： (i) b(idw0??):bdiff12?(w1)→bdiff12?(w0?w1) (ii) b(idw0??):bdiff?(w1)→bdiff?(w0?w1)，对于任何w1∈m[i2n?1]都是如此定义的。 备注4.2 在引理3.3中的识别r??[w]bdiff12?(w)下，稳定化映射(i)与使用第1.2节中的e2n?1-代数结构对应于w0∈r的稳定化映射是一致的。 4.1 技术性结果 为了比较定义4.1中的两种稳定化映射，我们需要理解对于任意w∈m[i2n?1]的映射bdiff?(w)→bdiff12?(w)。以下结果将在整个第4节中使用。 定理4.3 如果w∈m[i2n?1]，那么bdiff?(w)→binclbdiff12?(w)→bresbdiff?,0(d(w))是一个同伦纤维化序列，其中diff?,0(d(w))?diff?(d(w))表示恒等元。 证明 主要步骤是证明对于w∈m[i2n?1]，π0(res):π0(diff12?(w))→π0(diff?(d(w)))的像是平凡的。 假设上述条件成立，bres:bdiff12?(w)→bdiff?(d(w))诱导了一个映射bres:bdiff12?(w)→bdiff?,0(d(w))。根据同伦扩展定理，映射diff12?(w)→resdiff?,0(d(w))是一个serre纤维化，其在id上的纤维与diff?(w)同伦等价。在相应的群纤维化上取分类空间可以得到结果。 现在让我们展示主要步骤：给定?∈diff12?(w)，我们需要证明?|d(w)相对于?d(w)与恒等元同伦。设m:=>
证明
这是定理c和[5, 定理14.4]的直接结果。此外部分来自于[5, 引理18.2]。

这个定理的证明将推迟到第5节和第6节，因为我们已经从中推导出了主要的同调稳定性结果。

4. 同调稳定性结果
本节的目标是展示定理a和定理b中的同调稳定性结果。在第4.1节和第4.2节中，我们将比较相对于完整边界的微分同胚群的同调稳定性与r的同调稳定性。在第4.3节和第4.4节中，我们将进行一些同调计算。最后，在第4.5节和第4.6节中，我们将使用第2节的结果来整合所有内容。
让我们首先给出将在本节其余部分使用的稳定化映射的精确定义。给定wi∈m[i2n?1]，i∈{0,1}，我们可以使用m[i2n?1]上的e1-代数结构和元素[0,1/2]?[1/2,1]∈c1(2)来定义边界连通和操作，从而生成一个新的流形w0?w1∈m[i2n?1]。

定义4.1
对于固定的w0∈r，对应的（左）稳定化映射为：
(i) b(idw0??):bdiff12?(w1)→bdiff12?(w0?w1)
(ii) b(idw0??):bdiff?(w1)→bdiff?(w0?w1)，对于任何w1∈m[i2n?1]都是如此定义的。

备注4.2
在引理3.3中的识别r??[w]bdiff12?(w)下，稳定化映射(i)与使用第1.2.4节中的e2n?1-代数结构对应于w0∈r的稳定化映射是一致的。

4.1 技术性结果
为了比较定义4.1中的两种稳定化映射，我们需要理解对于任意w∈m[i2n?1]的映射bdiff?(w)→bdiff12?(w)。以下结果将在整个第4节中使用。

定理4.3
如果w∈m[i2n?1]，那么bdiff?(w)→binclbdiff12?(w)→bresbdiff?,0(d(w))是一个同伦纤维化序列，其中diff?,0(d(w))?diff?(d(w))表示恒等元的路径分量。

证明
主要步骤是证明对于w∈m[i2n?1]，π0(res):π0(diff12?(w))→π0(diff?(d(w)))的像是平凡的。
假设上述条件成立，bres:bdiff12?(w)→bdiff?(d(w))诱导了一个映射bres:bdiff12?(w)→bdiff?,0(d(w))。根据同伦扩展定理，映射diff12?(w)→resdiff?,0(d(w))是一个serre纤维化，其在id上的纤维与diff?(w)同伦等价。通过对相应群纤维化取分类空间，我们可以得到结果。

现在让我们展示主要步骤：给定?∈diff12?(w)，我们需要证明?|d(w)相对于?d(w)与恒等元同伦。设m:=w?w∈m[i2n?1]，φ:=??idw∈diff(m)，以及d:=?m?d(w0)?，其中w0表示w的左副本（见图2）。

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图2. 流形m，其中虚线部分是d??m，虚线处是执行边界连通和的位置。

设?φ:=φ|?m∈diff(?m,d)，那么只需证明?φ相对于d与id?m同伦。由于m∈m[i2n?1]有g(m)=2g，且arf(m)=2arf(w)=0，根据命题3.4和备注3.5，存在一个微分同胚f:m→?w2g,1。（此外，根据命题3.2，f可以保持定向。）因此，φ诱导了一个微分同胚w2g:=w2g,1∪id?d2nd2n→f°φ°f?1∪idd2nw2g,1∪?f°?φ°?f?1d2n=w2g#σ[?f°?φ°?f?1]。根据[10, 定理3.1]，w2g的惯性群是平凡的，因此?f°?φ°?f?1与ids2n?1同伦，所以?φ与id?m同伦。只需证明存在一个从?φ到id?m的同伦：固定一个同伦h:i→diff+(?m)使得h(0)=id?m且h(1)=?φ；然后我们得到一个交换平方...

压缩这个映射的障碍是[(h,?h)]∈π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)。
声称π1(diff+(?m),id)→π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)是满射。
鉴于这个声明，我们可以完成证明：选择一个以id为起点的循环γ:i→diff+(?m)，并将其映射到?[(h,?h)]∈π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)，然后新的同伦h′:=γ?h:i→diff+(?m)具有压缩性，这将是所需的同伦。

证明
通过同伦扩展，diff+(?m)→resemb+(d,?m)是一个纤维化，其在包含d??m上的纤维是diff(?m,d)。因此我们可以将π1(diff+(?m),diff(?m,d),id)?π1(emb+(d,?m),incl)。由于d与一个圆盘微分同胚，并且?m?s2n?1通过?f，所以emb+(d,?m)=emb+(d2n?1,s2n?1)?fr+(ts2n?1)=so(2n)。组合so(2n)?diff+(s2n?1)?diff+(?m)→emb+(d,?m)?fr+(ts2n?1)=so(2n)是一个同伦等价，因此在π1(?)上诱导了一个同构，从而得到了所需的满射性。

4.2 比较r与微分同胚群的同调稳定性
我们的最终目标是展示定理a和定理b中的同调稳定性结果。在第4.1节和第4.2节中，我们将比较相对于完整边界的微分同胚群的同调稳定性与r的同调稳定性。在第4.3节和第4.4节中，我们将进行一些同调计算。最后在第4.5节和第4.6节中，我们将使用第2节的结果来整合所有内容。

让我们首先给出本节其余部分将使用的稳定化映射的精确定义。给定wi∈m[i2n?1]，i∈{0,1}，我们可以使用m[i2n?1]上的e1-代数结构和元素[0,1/2]?[1/2,1]∈c1(2)来定义边界连通和操作，从而生成一个新的流形w0?w1∈m[i2n?1]。

定义4.1
对于固定的w0∈r，对应的（左）稳定化映射为：
(i) b(idw0??):bdiff12?(w1)→bdiff12?(w0?w1)
(ii) b(idw0??):bdiff?(w1)→bdiff?(w0?w1)，对于任何w1∈m[i2n?1]都是如此定义的。

备注4.2
在引理3.3中的识别r??[w]bdiff12?(w)下，稳定化映射(i)与使用第1.2节中的e2n?1-代数结构对应于w0∈r的稳定化映射是一致的。

4.1 技术性结果
为了比较定义4.1中的两种稳定化映射，我们需要理解对于任意w∈m[i2n?1]的映射bdiff?(w)→bdiff12?(w)。以下结果将在整个第4节中使用。

定理4.3
如果w∈m[i2n?1]，那么bdiff?(w)→binclbdiff12?(w)→bresbdiff?,0(d(w))是一个同伦纤维化序列，其中diff?,0(d(w))?diff?(d(w))表示恒等元。

证明
主要步骤是证明对于w∈m[i2n?1]，π0(res):π0(diff12?(w))→π0(diff?(d(w)))的像是平凡的。
假设上述条件成立，bres:bdiff12?(w)→bdiff?(d(w))诱导了一个映射bres:bdiff12?(w)→bdiff?,0(d(w))。根据同伦扩展定理，映射diff12?(w)→resdiff?,0(d(w))是一个serre纤维化，其在id上的纤维与diff?(w)同伦等价。在相应的群纤维化上取分类空间可以得到结果。

现在让我们展示主要步骤：给定?∈diff12?(w)，我们需要证明?|d(w)相对于?d(w)与恒等元同伦。设m:=w?w∈m[i2n?1]，φ:=??idw∈diff(m)，以及d:=?m?d(w0)?，其中w0表示w的左副本（见图2）。>定理4.9 Krannich：稳定性映射H1(BSp2(Z);Z)→σg?1??H1(BSp2g(Z);Z)始终是满射。用Sp2g?(Z)表示亏格为g的二次辛群，Arf不变量为?∈{0,1}，使得Sp2g0(Z)=Sp2gq(Z)和Sp2g1(Z)=Sp2ga(Z)。定理4.10：对于任何?∈{0,1}，稳定性映射H1(BSp2δ??(Z);Z)→σ??σ0g?2??H1(BSp2gδ(Z);Z) (i) 如果δ=0且g=2时，其上核同构于由QZ1(σ0)=QZ1(σ1)生成的Z2Z；(ii) 如果δ=1且g=2时是满射；(iii) 如果g≥3时对于任何δ也是满射。上述两个结果以及定理4.8共同推导出了推论4.11：(i) 如果n=3,7，则对于任何g≥2，稳定性映射H1,1(R)→Hg,1(R)是满射；(ii) 如果n是奇数且n≠3,7，并且?∈{0,1}，则稳定性映射H(1,δ??),1(R)→H(g,δ),1(R) (i) 如果δ=0且g=2时，其上核同构于由QZ1(σ0)生成的Z2Z；(ii) 如果δ=1且g=2时是满射；(iii) 如果g≥3时对于任何δ也是满射。特别地，对于δ=0，σ1???QZ1(σ0)属于σ?2??：H(1,1??),1(R)→H(3,1??),1(R)的像。4.4. 关于微分同胚群有理同调的结果：本小节的目的是理解我们感兴趣的微分同胚群的有理同调。定理4.12 Berglund-Madsen, Krannich：对于W∈R，稳定性映射Hd(BDiff?(W);Q)→Hd(BDiff?(W1,1?W);Q)在d≤min?{g(W),3n?7}时是满射，在d≤min?{g(W)?1,3n?7}时是同构。需要指出的是，这个证明只是[12, 定理A]中给出的证明的一个小推广，它允许W属于R但不一定是Wg,1的情况，因此我们将重点解释其中的差异，并建议参考原始论文以获取详细论证。证明：通过结合[14, 命题4.3, 定理4.1]可以得知，对于V=W和V=W1,1?W，BDiff?(D2n)→BDiff?(V)→BDiff??(V)是一个有理纤维序列，且其度数小于或等于3n?7。注意，我们需要稍微修改上述引用以考虑V∈R可能不是Wg,1的情况，但证明方法仍然适用。此外，π1(BDiff??(V))在BDiff?(D2n)上的作用是平凡的，因为任何微分同胚都可以通过等变操作固定在边界附近的一个圆盘上。现在考虑对于V=W和V=W1,1?W对应的合理纤维化图表，并在行之间使用稳定性映射。BDiff?(D2n)上的映射是一种自同伦等价。因此，根据类似于引理4.5的相对Serre谱序列，只需证明稳定性映射Hd(BDiff??(W);Q)→Hd(BDiff??(W1,1?W);Q)在d≤g(W)时是满射，在d≤g(W)?1时是同构即可。在我们的上下文中[12, 定理1.1]也同样适用，唯一的区别在于当n≠3,7时，被称为Gg的群可能是Sp2gq或Sp2ga，这取决于流形的Arf不变量。为了获得比同构范围高一个度数的满射性，我们需要[12, 定理1.1]中的满射性范围也比同构范围高一个度数。我们可以通过[18, 定理2]来改进满射性范围：只需证明Hg(Sp2g?(Z);Q)→Hg(Sp2(g+1)?(Z);Q)在?为q或a时是满射即可。由于Borel的工作，已知二次辛群的正有理同调与常规辛群的正有理同调是同构的，因此Hg(Sp2g?(Z);Q)→Hg(Sp2g(Z);Q)在?为任意值时是满射。此外，根据[12, 定理1.1]，群Hg(Sp2(g+1)?(Z);Q)已经是稳定的。因此，只需证明Hg(Sp2g(Z);Q)→Hg(Sp2(g+1)(Z);Q)是满射，这正是[7, 命题12]的内容。[12, 第2节]中的所有内容也适用于我们的情况：[2]中的方法可以推广到任何W∈R，并且给出了与Wg(W),1的同调相同的块微分同胚的同调表达式，这是因为在有理数范围内，W和Wg(W),1具有相同的同调、交积和边界映射。因此，[12]中提出的谱序列论证也适用于我们的情况，而在一个度数上更高的算术群上的满射性结果也确保了块微分同胚所需的满射性范围。□4.5. 定理A的证明：现在我们将分两部分最终证明定理A：一部分针对Z和Z[1/2]-系数，另一部分针对Q系数。定理4.13：对于n≥3且为奇数，考虑稳定性映射Hd(BDiff?(Wg?1,1);k)→Hd(BDiff?(Wg,1);k)。然后 (i) 如果n=3,7且k=Z，则当3d≤2g?1时是满射，当3d≤2g?4时是同构；(ii) 如果n≠3,7且k=Z，则当2d≤g?2时是满射，当2d≤g?4时是同构；(iii) 如果n≠3,7且k=Z[12]，则当3d≤2g?4时是满射，当3d≤2g?7时是同构。定理4.13的证明：根据注释4.2、注释3.5和定理4.4，只需证明R的相应稳定性结果即可。正如我们在第1.2节中所解释的，我们可以为Rk证明这些结果。当n=3,7时，应用[5, 定理18.1]：需要验证的假设包括E2-同调中的消失线（由定理C和推论3.8得出），稳定性映射在第一同调上的满射性以及分级2（由推论4.11(i)得出），以及零阶同调的计算（由推论3.7得出）。当n≠3,7时，对于部分(ii)取k=Z或对于部分(iii)取k=Z[1/2]。然后应用引理2.1、引理2.2：E2-同调中的消失线由定理C和推论3.8得出，其余假设由推论3.7以及同调中的泛系数定理和推论4.11得出。□定理4.14：对于n≥3且为奇数，稳定性映射Hd(BDiff?(Wg?1,1);Q)→Hd(BDiff?(Wg,1);Q)在d<3n?63n?5(g?cn)时是满射，在d<3n?63n?5(g?cn)?1时是同构，其中cn=0对于n=3,7，否则cn=1。证明：我们按照上述证明的方法进行，将其简化为验证定理2.4对于X=RQ和D=3n?6的假设。E2n?1-同调中的消失线由定理C和推论3.8得出。适当映射A→RQ的存在性由注释2.3得出。现在我们需要验证假设(i)在n=3,7时的情况，或者假设(ii)在其他情况。当g=1时，只需考虑d=0的情况，但根据注释2.3这没问题。当g≥2时，注释3.5指出类σ0由W1,1的一个模型生成，因此根据定理4.4，只需检查对于任何W∈R，稳定性映射Hd(BDiff?(W);Q)→Hd(BDiff?(W1,1?W);Q)在d≤min?{g(W),3n?7}时是满射，在d≤min?{g(W)?1,3n?7}时是同构，这由定理4.12得出。□定理4.6的证明：定理B的证明基于[17, 推论3.5]，该定理指出：设X∈AlgE2(sModF2H)满足引理2.2的假设（但k=F2），并且σ0?Q21(σ0)被σ0破坏了两次，则以下两种情况之一成立：(i) 对于所有k≥1，H(4k,0),2k(X￣/σ?)≠0，特别是稳定性的最优斜率为1/2；(ii) 对于3d≤2rk(x)?6，Hx,d(X￣/σ?)=0，因此X至少具有2/3的斜率同调稳定性。这个结果的证明基于[17, 定理2.3]中给出的一个次级稳定性结果。现在我们可以最终证明定理B。证明：我们设X=RF2且?=0，那么它满足应用[17, 推论3.5]所需的所有假设，这由定理C、推论3.8、推论3.7以及泛系数定理和推论4.11得出。现在我们有两种情况需要考虑。情况(i) 假设对于所有k≥1，H(4k,0),2k(RF2￣/σ0)≠0。根据注释3.5和定理4.4，这意味着对于每个k≥1都存在某个d(k)≤2k，使得Hd(k)(BDiff?(W4k,1),BDiff?(W4k?1,1);F2)≠0。根据定理A(ii)和泛系数定理，我们有d(k)≥2k，因此H2k(BDiff?(W4k,1),BDiff?(W4k?1,1);Z)对于所有k≥1也是满射。情况(ii) 假设对于3d≤2rk(x)?6，Hx,d(RF2￣/σ0)=0。那么根据注释3.5和定理4.4，我们有Hd(BDiff?(Wg,1),BDiff?(Wg?1,1);F2)=0对于3d≤2g?6。此外，根据定理A(iii)，Hd(BDiff?(Wg,1),BDiff?(Wg?1,1);Z[1/2])=0对于3d≤2g?4。最后，所需的积分消失性是根据泛系数定理以及Hd(BDiff?(Wg,1);Z)对于任何g,d的有限生成性得出的，这由[1, 定理6.1, 注释6.2]得出。□注释4.15：在[17]中，我们找到了使用[17, 定理A, 定理B, 推论3.5]的“量化稳定性结果”，但这些结果是次级稳定性结果的一个后果。然而，我们的情况不同：次级稳定性映射存在于代数R本身，但它不是在?gBDiff?(Wg,1)中定义的。不过，定理4.4允许我们从R“拉回”量化稳定性，即使我们不能拉回次级稳定性。我们还要提到，引用[1, 定理6.1, 注释6.2]中的同调群的有限生成性实际上是不必要的：人们可以使用[17, 定理2.1、2.2、2.3]的证明思想来消除有限生成的假设，并避免使用更复杂的CW E2-代数模型。5. 分裂复形和定理C的证明：在本节中，我们将证明定理C。整个论证基于[6, 第4节]，但我们需要一些额外的步骤来处理与微分同胚群的非离散性相关的问题。5.1. 弧形复形：我们将使用[6, 定义4.7]中启发的“弧形复形”的高维类比。其直觉是用Sn?1的嵌入的同伦类来替换边界上的两个点的选择，用Dn的嵌入来替换弧形，并用相应“切割流形”保持(n?1)-连通的假设来替换“非分离”。注意，当n=1时，我们基本上恢复了曲面的弧形复形，只是在曲面的情况下，弧形只考虑同伦。定义5.1：一个有效的几何数据是一对(W,Δ)，其中W∈M[A]，Δ是Sn?1?{1}×int(A)??W的嵌入的同伦类。定义5.2：给定一个有效的几何数据(W,Δ)，我们定义弧形复形A(W,Δ)为以下单纯复形：(1) 一个顶点是嵌入a:Dn?W，使得(i) 其边界?a:=a|?Dn的像包含在int(A)?W中，并且位于同伦类Δ中；(ii) a僅与?W在?a处相交，并且交点是横截的；(iii) 切割流形W?a:=W?a(Dn)是(n?1)-连通的。(2) 顶点a0,?,ap构成一个p-单纯形当且仅当(i) 嵌入ai的像两两不相交；(ii) （联合）切割流形W?{a0,?,ap}:=W??i=0pai(Dn)是(n?1)-连通的。关于弧形复形的关键属性是以下结果，这是[6, 定理4.8]的一个类比。其证明将推迟到第6节。定理5.3：如果(W,Δ)是有效的几何数据，则A(W,Δ)是(g(W)?2)-连通的。5.2. 分裂复形和偏序集的定义：对于W∈M[A]，我们定义(E1-)分裂复形S•E1(W)为以下半单纯空间：(1) 0-单纯形的空间S0E1(W)由三元组((ω,t,?)组成，称为“墙”，其中ω:[t??,t+?]×I2n?1?W是一个嵌入，0< />< />因此，神经N•P定义了一个半单纯空间，其层次可以通过Pp=NpP:={x0< />< /><由1-单纯形的空间给出。示例5.8：给定任何拓扑偏序集(p,<)，我们可以构造其离散化(pδ,<)，其底层集合是具有离散拓扑的p，并且我们使用相同的严格偏序。根据定义，p•δ是通过逐层离散化p•得到的半单纯集。特别是，我们可以形成离散化的(e1)-分裂偏序集se1,δ(w)，其神经是离散化的分裂复形。 5.3 关于单纯复形和偏序集的回顾 为了陈述证明定理c的一些中间结果，我们需要一些关于单纯复形和偏序集的定义和构造。本节中出现的所有复形和偏序集都假设是离散的。 让我们首先回顾偏序集和单纯复形之间的关系：任何偏序集都可以生成一个单纯复形，其顶点是偏序集的元素，当且仅当这些顶点严格有序时，一组p+1个顶点定义了一个p-单纯形。这个单纯复形具有与偏序集的神经相同的几何实现。相反，任何单纯复形都有一个相关的面偏序集，其元素是单纯形，偏序由包含关系给出。任何复形的面偏序集相关联的单纯复形是原始复形的重心细分，因此与原始复形是同胚的。 在本文的其余部分，我们将偏序集的拓扑性质称为其相关联的单纯复形的性质。因此，单纯复形的拓扑性质与其面偏序集的性质是一致的；在本文的其余部分，我们不会区分单纯复形或其面偏序集的拓扑性质。 如果(p,<)是一个偏序集且x∈p，我们定义dim?(x):=>< />x是(n?2?f(x))-连通的。
(iv) 对于P中的每一个x< />< /><ω、se1,δ(w)>ω和SE1,δ(W)ω<ω?se1,δ(w≤ω)。 (ii) se1,δ(w)>ω?SE1,δ(W≥ω)。
此外，对于(ω′,t′,?′)>(ω,t,?)，我们有SE1,δ(W)ω<ω)?e°ω?并重新参数化其“增厚坐标”来给出的，使其中心位于坐标t? t，并且与乘积兼容。让我们检查它确实定义了一面墙：条件(i)、(ii)和(iii)的定义5.4自动成立。条件(iv)成立，因为w≤ω?=(W≤ω)≤ω?且Wω?≤?≤ω=(W≤ω)≥ω?，所以两者都有非零的n-同调。 对应关系是一个双射，是因为我们可以通过与e?1预复合并重新参数化来写出一个逆映射。 部分(ii)与部分(i)类似。><ω′?se1,δ(w≤ω′)，然后对右侧使用部分(ii)与ω。 □ 以类似的方式，我们有以下引理，它使我们能够理解通过切割一组弧得到的流形的分裂复形，并对其进行解释。这在证明定理5.15时非常有用。在陈述它之前，我们需要对离散化的分裂复形进行一个小修改，这在一节中也有用。 定义5.13：对于w∈m[a]，我们定义离散偏序集s?(w)与se1,δ(w)相同，但改变了条件(1)(iv)，即每个墙ω上的hn(w≤ω)≠0，因此没有对hn(w≥ω)的条件。排序关系与定义5.4中的相同。 引理5.14：设(w,δ)是一个有效的几何数据，其中w∈m[a]，并且让α={a0,?,ap}是A(W,Δ)中的一个p-单纯形。用A′表示通过对边界?ai进行适当框架化后对A进行手术的结果，对于0≤i≤p；那么A′是有效的，存在W′∈M[A′]使得D(W′)=D(W)，并且 (i) w′和w?α的内部通过一个在j2n?1∪d(w)的邻域内恒等的微分同胚?是微分同胚的。 (ii) 通过在j2n?1∪d(w)上扩展?恒等映射，可以在墙ω∈se1,δ(w)的偏序集之间诱导出一个双射，使得im(ai)严格位于im(ω)的右侧，对于0≤i≤p，以及偏序集s?(w′)。 我们需要在陈述中使用s?(w′)的原因是，在w′中得到的墙ω′可能满足hn(w≥ω′′)=0。然而，条件Hn(W≤ω′′)≠0将被保证，因为在以下证明中构造双射时我们有W≤ω′′?W≤ω。 证明：对于每个弧ai，选择一个平凡化它的法丛得到一个嵌入ai?:dn×dn?w，使得ai?|dn×{0}=ai，ai?(?Dn×Dn)?int(A)，ai?与?W横截相交，并且ai??1(?W)=?Dn×Dn。如果需要，缩小增厚部分以确保ai?的图像是两两不相交的。设W?:=W??i=0pai?(Dn×int(Dn))。那么W?是一个带有边界的紧凑2n-流形，其边界是对?W沿嵌入ai?|?Dn×Dn进行手术的结果；因此我们可以将其分解为J2n?1∪D(W)∪A′，其中A′是对A进行手术的结果。由于A是(n?2)-连通的，那么A′也是，由于手术发生在A的内部，所以A和A′在它们的边界附近的邻域上是一致的。此外，int(W?)通过一个可以选择在J2n?1∪D(W)附近恒等的微分同胚??与int(W?α)微分同胚。使用同伦扩展，我们选择一个从包含映射A′?I2n×R∞到图像包含在最右侧面{1}×I2n?1×R∞中的嵌入，使得同伦在A′的边界附近是恒等的。然后我们使用同伦扩展将e扩展到W?的整个上，使其内部映射到int(I2n)×R∞。剩下的是检查流形im(e)?I2n×R∞是否属于M[I2n?1]：(n?1)-连通性通过Seifert-Van kampen和mayer-vietoris应用于分解w=W≤ω∪I2n?1W≥ω得到；s-平行化性是立即的，因为W本身是s-可平行化的。条件(ii)、(iii)、(iv)(a)、(v)和(vi)根据构造成立；因此剩下的是验证条件(iv)(b)，即D(im(e))是可缩的。这通过再次应用Seifert-Van kampen和mayer-vietoris得到，这次是对沿i2n?2分解的d(w)。 对于路径分量的唯一性，假设e′是另一个嵌入，那么??(im(e))=??(im(e′))=J2n?1∪{1}×I2n?1且e′°e?1∈Emb??im(e)p(im(e),I2n×R∞)，根据条件a(v)。由于嵌入空间是路径连接的，根据Whitney嵌入定理，结果随之成立。□ 根据引理5.10和引理5.11，我们可以有意义地将se1(w≤ω)、se1(w≥ω)及其离散化类比真正理解为引理5.11中对于e的im(e)上的相应分裂复形。通过连续应用部分(a)和(b)引理5.11，我们也可以理解se1(wω≤?≤ω′)。 推论5.12：对于w∈m[a]和(ω,t,?)∈s0e1(w)，我们有偏序集的同构： (i)><ω?se1,δ(w≤ω)。 (ii) se1,δ(w)>ω?SE1,δ(W≥ω)。
此外，对于(ω′,t′,?′)>(ω,t,?)，我们有SE1,δ(W)ω<ω)?e°ω?并重新参数化其“增厚坐标”来给出的，使其中心位于坐标t? t，并且与乘积兼容。让我们检查它确实定义了一面墙：条件(i)、(ii)和(iii)的定义5.4自动成立。条件(iv)成立，因为w≤ω?=(W≤ω)≤ω?且Wω?≤?≤ω=(W≤ω)≥ω?，所以两者都有非零的n-同调。 对应关系是一个双射是因为我们可以通过与e?1预复合并重新参数化来写出一个逆映射。 部分(ii)与部分(i)类似。><ω′?se1,δ(w≤ω′)，然后对右侧使用部分(ii)与ω。
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以类似的方式，我们有以下引理，它允许我们理解通过切割一组弧得到的流形的分裂复形，并对其给出解释。 □>□
以类似的方式，我们有以下引理，它允许我们理解通过切割一组弧得到的流形的分裂复形，并对其给出解释。>我们将在第6.1.2节更详细地研究斜对称形式，并展示其属的一些基本性质；但现阶段我们需要的性质是：g(W)=g(W≤ω)+g(W≥ω)，这是由于属在正交直和下的可加性（见第6.1.2节）以及Mayer-Vietoris分解 (Hn(W),λW)?(Hn(W≤ω),λW≤ω)⊕(Hn(W≥ω),λW≥ω) 所导致的。定理5.15 设 W∈M[A]，则：(i) SE1,δ(W) 是 (g(W)?3+C(A))-连通的，其中如果 Hn?1(A)=0 则 C(A)=0，否则 C(A)=1。(ii) S?(W) 是 (g(W)?2)-连通的。在证明之前，让我们先介绍一个技术性引理。引理5.16：(i) 如果 Hn?1(A)≠0，则 S?(W)=SE1,δ(W)。(ii) 如果 Hn?1(A)=0，则 SE1,δ(W) 是 S?(W) 的一个偏序集，并且偏序集 S?(W)?SE1,δ(W) 不包含任何关系；对于任何 ω∈S?(W)?SE1,δ(W)，我们有 S?(W)>ω=? 且 S?(W)<ω?se1,δ(w≤ω)。(iii) 如果 hn?1(a)=0，则包含映射 se1,δ(w)?s?(w) 在同伦群中诱导零映射。部分(i)和(ii)是一些基本性质，而部分(iii)则较为技术性，它将在定理5.15的证明中被用来推断当 hn?1(a)=0 时 s?(w) 的连通性比 se1,δ(w) 更高。证明：存在一个自然的偏序集包含关系 se1,δ(w)?s?(w)。部分(i)：我们将证明这个包含关系是满射。设 ω∈s?(w)，我们需要证明 ω∈se1,δ(w)，即 hn(w≥ω)≠0。根据引理5.11，我们可以将 w≥ω 视为 m[a] 中的一个元素，其边界是 a 与沿着 ?a=?I2n?1 的一个可缩 (2n?1)-流形的并集，因此 hn?1(?w≥ω)?hn?1(a)≠0。由于 w≤ω 是 (n?1)-连通的，(w≤ω,?w≤ω) 的同调长正合序列表明 hn(w≥ω,?w≤ω)→hn?1(a) 是满射，根据poincaré-lefschetz定理可知 hn(w≥ω)≠0。因此根据泛系数定理和 w≥ω 的 (n?1)-连通性，我们得到 hn(w≥ω)≠0。部分(ii)：对于任何 ω∈s?(w)?se1,δ(w)，我们有 hn(w≥ω)=0，由于两块之间的部分具有非零的 n-th 同调，所以 se1,δ(w)>ω=? 且 S?(W)?SE1,δ(W) 不包含任何关系。根据类似于推论5.12的论证，我们有 S?(W)<ω?se1,δ(w≤ω)。部分(iii)：如果 hn?1(a)=0，则包含映射 se1,δ(w)?s?(w) 在同伦群中诱导零映射。部分(i)和(ii)是一些基本性质，而部分(iii)则更为技术性，它将在定理5.15的证明中被用来推断当 hn?1(a)=0 时 s?(w) 的连通性比 se1,δ(w) 更高。 hn?1(a)=0，则包含映射 se1,δ(w)?s?(w) 在同伦群中诱导零映射。部分(i)和(ii)是一些基本性质，而部分(iii)则更为技术性，它将在定理5.15的证明中被用来推断当 hn?1(a)=0 时 s?(w) 的连通性比 se1,δ(w)>根据构造，如果我们应用函子 (?)Z，那么我们会得到 B(RZ′,RZ￣,RZ′)→B(RZ￣,RZ￣,RZ′)?RZ′。因此，当 ddi的值是某种不变量，形式如下；而数字r=r(M)满足2r是Tors(?M)??i=1rZ/diZ⊕Z/diZ的最小生成元数量。实际上，当(M,λ)被写成标准形式时，有?M=?i=1r(Z/diZ⊕Z/diZ)⊕Zrk(M)?2r?2g。注释6.8指出标准形式给出了g(M)和t(M)的公式，这些公式稍后将会用到：g(M)=1/2(rk(M)?rk(?M)?2r(M))以及t(M)=2g(M)。属数的可加性来自于定理6.7：通过对标准形式矩阵进行Smith标准化处理，我们可以看出g(M)是对角线上1的数量的两倍。Smith标准形式中1的数量在矩阵的直和下是可加的。

6.1.3. 截面的性质
在本节中，我们将展示在证明定理5.15时所需的截面性质。
引理6.9
假设(M,?,δ)是有效的代数数据，使得?M≠0且δ∈?M是?M的一个最大阶循环直和项的生成元。设α∈M∨是单元模的，且满足[α]=δ∈?M，记M′=ker?(α)，λ′:=λ|M′。那么g(M′)=g(M)。

证明
设δ′∈?M′的定义如下：α∈M∨是单元模的，因此存在x∈M使得α(x)=1，那么λ(x,?)|M′∈(M′)∨，我们定义δ′:=[λ(x,?)|M′]∈?M′。这个元素是良定义的，即与x的选择无关，因为如果我们给定x′使得α(x′)=1，那么x?x′∈ker?(α)=M′，所以λ(x?x′,?)|M′∈λ∨(M′)。我们声称存在一个同构?M/〈δ〉??M′/〈δ′〉。
实际上，考虑映射的复合?:M∨→(M′)∨→?M′/〈δ′〉。只需证明ker?(?)是由λ∨(M)和α在M∨中生成的子群即可。为此，我们检查两个包含关系：如果β∈ker?(?)，那么对于某个y∈M′和k∈Z，有β|M′=λ(y,?)|M′+kλ(x,?)|M′，因为δ′=[λ(x,?)|M′]∈?M′。因此，β=λ(y+kx,?)?λ(y,x)α，这是因为方程的两边在M′和x上是一致的，而M是由M′和x生成的；所以β属于由λ∨(M)和α生成的M∨的子群。反之，如果β=λ(z,?)+lα，对于某个z∈M和l∈Z，那么我们可以写z=z′+α(z)x，其中z′∈M′，那么β|M′=λ(z′,?)|M′+α(z)λ(x,?)|M′+0，因此?(β)=0。
根据秩-零度定理，我们有rk(M′)=rk(M)?1。现在我们有两种情况需要考虑：
(i) δ的阶是无限的。我们声称映射rad(M)→HomZ(?M,Z)，x?(β?β(x))是一个同构。实际上，HomZ(?M,Z)=Ann(λ∨(M)?M∨)，在评估同构M→?(M∨)∨下，这个零化子恰好是rad(M)。（这是?W中Poincaré对偶的代数类比。）由于δ∈?M生成一个自由的Z-和项，因此存在x∈rad(M)使得α(x)=1。但是那么δ′=0，因为x∈rad(M)。因此?M′??M〈δ〉，所以rk(?M′)=rk(?M)?1，从而r(M)=r(M′)，根据注释6.8得到g(M)=g(M′)。
(ii) δ的阶是有限的，所以?M必须是挠的，通过取标准形式我们可以假设δ生成了最后一个ZdrZ和项。我们声称δ′∈?M′必须具有无限阶：否则设N∈Z>0使得Nδ′=0，那么存在某个x′∈M′使得Nλ(x,?)|M′=λ(x′,?)|M′，其中x∈M满足α(x)=1。由于δ的阶是有限的dr，所以drα=λ(t,?)对于某个t∈M。那么，0≠Ndr=α(Ndrx)=λ(t,Nx)=?Nλ(x,t)=?λ(x′,t)=drα(x′)=0，这里我们使用了x′∈M′=ker?(α)以及t∈M′，因为drα(t)=λ(t,t)=0。这导致了一个矛盾，因此证明了我们的结论。由于?M是挠的，那么?M/〈δ〉也是挠的，它与?M′/〈δ′〉同构；因此rk(?M′)=1，而Tors(?M′)?Tors(?M′/〈δ′〉)=?M/〈δ〉=(?i=1r?1Z/diZ⊕Z/diZ)⊕Z/drZ。特别地，r(M′)< />< />我们可以使用haefliger的技巧来同伦变换as，使其变得嵌入，同时不改变上述不相交的条件和as在边界附近的行为：对于每个自交点，消除过程发生在那个点的小邻域内，并且由于2+n<2n并且没有三重交点，所以没有新的交点产生。这样的同伦变换改变了?as，但它保持在int(a)中和同伦类δ中，并且我们总是可以使用横截性来确保条件(ii)仍然成立。
最后，我们可以使用haefliger的技巧来同伦变换as，使其变得嵌入，同时保持上述不相交的条件和as在边界附近的行为：对于每个自交点，消除过程发生在那个点的小邻域内，并且如前所述，每个whitney圆盘都与ai不相交，也不与f(w)相交。 我们可以使用haefliger的技巧来同伦变换as，使其变得嵌入，同时不改变上述不相交的条件和as在边界附近的行为：对于每个自交点，消除过程发生在那个点的小邻域内，并且由于2+n<2n并且没有三重交点，所以没有新的交点产生。这样的同伦变换改变了?as，但它保持在int(a)中和同伦类δ中，并且我们总是可以使用横截性来确保条件(ii)仍然成立。>我们可以使用haefliger的技巧来同伦变换as，使其变得嵌入，同时不改变上述不相交的条件和as在边界附近的行为：对于每个自交点，消除过程发生在那个点的小邻域内，并且由于2+n<2n并且没有三重交点，所以没有新的交点产生。这样的同伦变换改变了?as，但它保持在int(a)中和同伦类δ中，并且我们总是可以使用横截性来确保条件(ii)仍然成立。
最后，我们可以使用haefliger的技巧来同伦变换as，使其变得嵌入，同时保持上述不相交的条件和as在边界附近的行为：对于每个自交点，消除过程发生在那个点的小邻域内，并且如前所述，每个whitney圆盘都与ai不相交，也不与f(w)相交。>