动态优化的分数阶模型预测控制，用于高精度航天器近距离操作

《Aerospace Science and Technology》：Dynamically Optimized Fractional-Order Model Predictive Control for High-Precision Spacecraft Proximity Operations

　　李景汉|施鹏|王继哲|周迪
北京航空航天大学宇航学院，北京100191，中国

**摘要**
近距离航天器操作对高精度空间任务至关重要，但其性能常常受到姿态-轨道耦合效应的限制。双四元数框架提供了一种有效的数学工具，能够以紧凑且无奇异性的形式描述此类6自由度（6DOF）的耦合动力学。在各种控制策略中，模型预测控制（MPC）因其处理约束的能力和滚动优化机制而在航空航天领域得到广泛应用。然而，其性能受到整数阶成本函数的限制。尽管分数阶MPC（FOMPC）通过引入分数阶运算符扩展了设计灵活性，但在复杂情况下固定阶策略仍可能表现欠佳。为解决这一问题，本文提出了一种基于蜘蛛黄蜂优化的FOMPC（SWO-FOMPC）方法，该方法可动态调整分数阶。首先使用双四元数建立非线性耦合动力学模型，并在操作点进行线性化处理。然后引入分数阶成本函数，应用SWO算法动态优化分数阶，从而形成SWO-FOMPC控制器。在名义条件和扰动条件下的仿真表明，所提出方法的稳态误差始终低于FOMPC和MPC，并且在多个性能指标上表现出更好的鲁棒性。

**引言**
随着空间技术的进步，航天器的近距离机动已成为现代空间任务的关键。这些操作对于在轨服务、太空垃圾清除和小行星探索等应用至关重要[1]。为了确保在复杂条件下的成功执行，航天器轨道控制系统需要具备高精度和可靠性[2]。在早期的空间任务中，通常忽略航天器的平移运动与其姿态动力学的耦合，如参考文献[3]中的Hill-Clohessy-Wiltshire（HCW）相对运动方程所示。这种方法降低了设计复杂性，并提高了任务的适应性。然而，在短程空间精确协作任务中，忽略姿态-轨道耦合效应可能导致模型不匹配，从而限制控制精度。这种局限性源于这些任务通常使用固定于航天器本体的坐标系来描述相对运动，而该坐标系相对于惯性空间的平移和旋转引入了动态耦合[4]。值得注意的是，精确的耦合动力学建模是整个航空航天领域的共同挑战。例如，飞机工程领域的研究人员广泛研究了复杂的动态行为和气动弹性耦合，如全可动水平尾翼的自由play非线性[5, 7]以及带可折叠翼尖的柔性飞机的综合飞行动力学[6]。这些研究共同证明了精确建模对高精度动态控制的重要性。

为了精确描述航天器的6DOF相对动力学模型，许多学者开发了多种耦合动力学建模方法。与包含耦合补偿的解耦模型[[8], [9]]和Lie群SE(3)[[10], [11]]相比，双四元数具有紧凑性、一致性和无奇异性操作的优点[4]。这种方法可以提供计算效率高且本质上耦合的动力学框架，为高精度控制器设计提供严格的数学基础。此外，对于基于推进器的航天器姿态和轨道控制系统（如三轴稳定卫星），双四元数模型可以在其动力学框架内自然描述固有的推力耦合效应，从而避免额外的建模和补偿，简化设计并提高精度。基于Chasles定理的双四元数方法自21世纪初以来已在航空航天工程中得到应用[12]。利用基于双四元数的耦合动力学模型，研究人员为不同应用场景开发了各种控制方法。例如[13]设计了一种考虑模型不确定性及外部干扰的自适应鲁棒控制器[14]，采用主动干扰跟踪控制[15]开发了用于重力回收任务中航天器编队的Lyapunov控制器[16]。考虑到耦合模型的复杂动态，一些研究采用比例-积分-微分（PID）方法设计控制器[17]。在[16]中，提出了一种适用于刚性航天器的基于事件的PI型控制器，以 rejection干扰和处理不确定性[18]。此外，许多研究利用滑模控制（SMC）策略[[17], [18]]设计终端SMC控制器以确保航天器在固定时间内跟踪所需位置和姿态[19]，提出了一种用于受干扰航天器编队问题的基于事件的自适应SMC律[20]。对于航天器环绕任务[20]，提出了一种基于切比雪夫神经网络的奇异快速终端SMC控制器[21]。这些方法在控制和干扰抑制方面非常有效。同时，模型预测控制（MPC）因其能够显式处理约束并有效优化性能而在航空航天控制领域得到广泛应用[21, 22, 23]。例如，[24]和[25]在多卫星编队任务中采用了MPC。针对太阳帆编队飞行中的挑战[26]，设计了一种考虑轨道-姿态耦合动力学的基于MPC的控制器[27]。对于交会和近距离操作[27]，提出了一种基于集合成员过滤的MPC方案，用于处理受测量噪声和未知但有界干扰的时变离散系统[27]。为了提高涡流减阻的效率[28]，通过将移动视界估计与MPC结合设计了鲁棒控制器，实现安全和精确的近距离操作[28]。这些研究共同证明了MPC在近距离航天器控制中的有效性。因此，在双四元数框架内制定MPC为耦合控制提供了一个可行的方向。

尽管MPC具有诸多优势，但其性能在某些方面仍有改进空间[29]。其中一个方面是其整数阶成本函数的动态调节能力。分数阶微积分是将微分和积分推广到非整数阶的方法，可以描述具有记忆效应和遗传效应的复杂系统[30]，并已逐渐应用于航空航天控制领域[31]。因此，采用分数阶成本函数可能成为提升MPC性能的途径[32]。在[32]中，基于Takagi-Sugeno模糊优化的分数阶MPC（FOMPC）控制器被用于车辆悬挂系统[32]。为应对快速强交互系统中的控制挑战[33]，设计并验证了一种分布式FOMPC方案，并以景观办公系统作为案例研究[34]，实现了用于海洋锅炉-涡轮机系统功率跟踪控制的FOMPC控制器[34]。在[35]中，设计了一种FOMPC控制器，提高了无人水面船（USV）的航向控制稳定性，结果表明该控制器将USV的位置误差减少了75%，航向角误差减少了57%，同时提高了鲁棒性[35]。此外，FOMPC也应用于航空航天领域[36]，为配备两个反作用轮的航天器设计了FOMPC姿态控制器，显著提高了姿态控制精度[36]。这些研究共同表明，采用分数阶成本可以有效提升MPC系统的性能。

然而，上述研究中的分数阶大多是固定的离线参数，可能影响控制器在复杂任务中的性能和鲁棒性。在实际的航天器近距离操作中，控制问题受到安全关键约束的影响，如避障、视距限制和进近走廊要求[37]，这增加了实现高精度控制的难度。在这种条件下，控制性能对参数调整非常敏感，固定阶配置可能仅适用于特定操作条件。此外，已经在相关系统中探索了自适应分数阶MPC，并显示出在处理变化干扰和改善跟踪性能方面的潜力[38]。因此，开发新的分数阶动态优化策略可能有助于提升系统性能。在过去几十年中，开发了多种元启发式算法来解决复杂优化问题，如遗传算法[39]、粒子群优化[40]、差分进化[41]和鲸鱼优化算法[42]。尽管这些方法已得到广泛应用，但它们仍常面临收敛速度慢和平衡探索与利用之间的困难。近年来，蜘蛛黄蜂优化（SWO）作为一种新的元启发式算法受到关注[43]。通过模拟蜘蛛黄蜂的觅食和繁殖行为，它在全局搜索能力和收敛速度方面表现出优势，同时避免了过早收敛并提高了局部搜索精度[43]。这些特性使其非常适合FOMPC中的在线参数优化。

基于前述分析，本文旨在提出一种基于SWO算法的动态优化FOMPC方法，以实现高精度和鲁棒的航天器近距离操作。本文的主要贡献是首次提出了基于蜘蛛黄蜂优化的分数阶模型预测控制（SWO-FOMPC）方法，用于耦合航天器的近距离控制。该方法将分数阶MPC与基于SWO的动态优化相结合，使分数阶可以在线调整而非固定离线调整。此外，与FOMPC和MPC方法相比，SWO-FOMPC方法提高了航天器的轨道控制精度和鲁棒性。本文结构如下：
1) 第2节介绍了基于双四元数的相对耦合动力学模型及其线性化形式，并提供了分数阶微积分的基本知识。
2) 第3节详细介绍了所提出的SWO-FOMPC方法，包括基于双四元数的FOMPC公式及其稳定性证明，以及基于SWO的动态调整分数阶的策略。
3) 第4节展示了LTV-FOMPC控制器在名义条件和扰动条件下的仿真结果，并将其性能与FOMPC和MPC控制系统进行了比较。
4) 第5节对本文进行了总结。

**问题陈述**
本节回顾了本文中使用的一些基本数学工具和符号。此外，建立了基于双四元数的航天器相对动力学模型并进行了线性化处理，为其控制器设计提供了基础。

**FOMPC方法**
FOMPC控制器将成本函数推广为分数阶积分形式。通过引入积分阶作为新参数，可以扩展闭环系统的设计维度，从而在不影响鲁棒性的情况下提高动态性能。假设系统（10）是一个满足以下条件的慢变时系统，以降低FOMPC算法的计算复杂性：
${A_k^i = A_k, \quad i=1,2,\cdots,N$
${B_k^i = B_k, \quad i=1,2,\cdots,N$
其中$N_p$是预测周期。

**仿真**
本节进行了一系列航天器近距离操作的仿真，以评估所提出的SWO-FOMPC方法的有效性和鲁棒性，将其与标准的无动态优化的FOMPC和传统的MPC进行了对比。在名义条件和存在恒定干扰的情况下对这两种方法的闭环性能进行了测试。这些仿真的初始化时间为$t_0=240$秒，并运行100秒。

**结论**
本文首次提出了一种基于双四元数姿态-轨道耦合模型的分数阶模型预测控制方法，用于解决航天器近距离操作问题。此外，引入了SWO算法来实现FOMPC框架内的分数阶动态优化，形成了用于在线分数阶调整的集成SWO-FOMPC方案。所提出的SWO-FOMPC方法旨在改善时变操作条件下的控制精度和鲁棒性。

**作者贡献声明**
李景汉：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原始稿、验证、软件、方法论、概念化。
施鹏：资源、项目管理、资金获取。
王继哲：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原始稿、软件、方法论。
周迪：资源、项目管理。