一种基于固定时间李雅普诺夫理论的新型混沌稳定性控制方法

《Ain Shams Engineering Journal》：A new fixed-time lyapunov-based method for chaos stabilization

　　伊斯扎尔·艾哈迈德|穆罕默德·沙菲克
数学与计算机科学系，艺术与科学教育学院，科平州立大学，巴尔的摩，马里兰州，美国

**摘要**
固定时间稳定（FTS）控制器能够在与初始条件无关的设定时间内将受扰动的系统状态驱动至平衡。本文提出了一种新型的固定时间控制器，它消除了对詹森不等式和利普希茨条件的依赖，从而简化了设计和分析过程。该控制器采用单一的幂律项替代了传统的两项结构，降低了计算复杂度，同时保持了FTS特性。通过引入连续的非线性函数来减轻抖振现象，确保控制信号平滑，而不会牺牲收敛速度和精度。基于李雅普诺夫的分析证明了所有信号的固定时间稳定性和有界性。所提出的方法在两个基准系统上进行了验证：一个混沌卫星模型和一个基于忆阻器的超混沌系统。与现有的固定时间控制器相比，该方法的稳定速度提高了12.5倍，控制能耗降低了89%，能量耗散率增加了86%。未来的工作将专注于将这种方法扩展到多智能体和不确定的混沌系统。

**1. 引言**
1.1 **研究背景**
混沌系统是非线性动力学的基础。它们对初始条件具有高度敏感性，并且行为难以预测[1]。系统参数的变化可以产生混沌振荡，这会放大信号的不规则性并增加复杂性[2]。尽管混沌系统的短期行为可能是可预测的，但其长期演化具有高度不确定性[3]。由于混沌系统在水下声学传感、信号检测、安全通信和电子电路等领域的广泛应用，对其稳定性的研究受到了广泛关注[2]、[3]、[4]、[5]等。为了解决稳定性问题，已经开发了多种控制策略，包括滑模控制[6]、采样数据控制[7]、自适应控制[8]、反步法[9]以及时间受限稳定技术[10]、[11]、[12]、[13]、[14]。其中，两种主要的混沌稳定方案被广泛讨论：
• **渐近稳定**：它通过在无限时间内确保收敛来提供长期稳定性[7]、[8]、[9]。然而，无法控制收敛时间限制了该方法在需要快速响应的应用中的有效性。
• **时间受限稳定（TCS）**：它保证在预先设定的时间范围内实现稳定[10]、[11]、[12]、[13]、[14]。文献中确定了三种主要的TCS形式：
- **有限时间稳定**：它在取决于初始条件的限定时间内确保收敛，引入了时间上的变异性[10]。
- **设定时间稳定**：它确保状态变量在预定义的时间域内达到平衡附近的区域[11]。
- **固定时间稳定（FTS）**：该方法保证系统在固定时间内达到稳定，不受初始状态条件的影响[12]。这一特性确保了精确和均匀的收敛，使得FTS特别适用于时间关键的场景[13]。
FTS已成为在实际环境中稳定混沌系统的强大框架。随着对时间敏感、任务关键系统中可靠、可预测行为的需求增加，进一步激发了对FTS策略的研究[13]、[14]。例如，在混沌电力系统中，快速稳定对于防止短路或负载变化等扰动后的故障和大规模停电至关重要[13]。在永磁同步电机系统中，固定时间控制提高了运行安全性和可预测性[14]。同样，在生态模型（如食物网系统）中，FTS能够在扰动后快速恢复，有助于保护生物多样性和防止种群崩溃[14]。这些应用场景强调了对于鲁棒、节能且收敛速度快的FTS方案的需求，这些方案能够应对现实世界混沌系统中的非线性、不确定性和复杂动态。

1.2 **研究空白与意义**
FTS方案在控制非线性动力学方面提供了显著的实际优势。已经开发出了先进的FTS方法，可以有效抑制系统的混沌行为，并确保在规定的时间范围内实现收敛。参考文献[12]基于菲利波夫理论开发了一种新的固定时间稳定性准则，并推导出了固定时间稳定性的充分条件。尽管该框架依赖于不连续的系统表示和非光滑分析，但这增加了分析和控制的复杂性。此外，FTS方法的不连续性可能会导致抖振，并限制其在实时混沌控制应用中的实际应用。在参考文献[13]中，提出了一种用于电力系统中混沌抑制的快速、固定时间、非奇异终端滑模控制策略。该设计在滑模框架内采用了双重功率项以确保固定时间收敛。虽然该方法相比传统的固定时间控制器提高了收敛速度，但它本质上依赖于滑模结构和多个非线性功率项，从而增加了控制器的复杂性。此外，与不连续控制动作相关的潜在抖振效应和执行器应力可能限制了其实际适用性和能源效率。参考文献[14]引入了基于双符号的不连续控制器，虽然提高了稳定性精度，但代价是大幅增加了能源消耗。这种权衡削弱了其在实时环境中的可行性，并限制了其在嵌入式或资源受限环境中的应用。作者[15]利用被动性理论开发了不确定混沌系统的固定时间控制和同步方法。这种方法结合了被动控制和固定时间稳定性。然而，所提出的FTS方案依赖于被动性假设和系统结构约束。此外，在受到扰动时，分析条件可能变得保守，而且对于高维混沌系统，控制器结构可能变得复杂。参考文献[16]引入了一种分数阶固定时间稳定性定理，并设计了无奇异性和无抖振的反步控制器。所提出的FTS控制设计增加了递归复杂性，且控制器结构仍然多层化，影响了实现的简洁性。其他工作探索了FTS在无人机轨迹引导[17]和忆阻器神经网络稳定[18]中的应用，进一步展示了FTS技术在不同非线性系统中的多功能性。
尽管应用范围广泛，但大多数现有的FTS方法[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]仍然依赖于限制性数学工具（特别是詹森不等式[19]和利普希茨条件[12]）来建立闭环固定时间稳定性。这些假设增加了分析和控制器结构的复杂性，降低了设计灵活性，并限制了适用于严格满足这些条件的系统的适用性。因此，当面对具有强非线性和时变有界扰动的实际混沌系统时，这些方法的有效性会降低。同样，大多数这些FTS方法在实现快速收敛的同时，会以高能耗为代价。实现快速收敛通常需要激进的控制动作，这可能会导致不稳定性、加速执行器磨损并降低能源效率。此外，基于消除的控制器的设计往往会抑制系统固有的非线性。虽然这种简化有助于稳定性分析，但可能会削弱系统的鲁棒性。因此，这些缺点限制了标准FTS方案在需要快速稳定和高效资源利用的场景中的实际应用。

1.3 **目标与范围**
本研究的主要目标是开发一种新型的固定时间稳定框架，用于混沌系统，该框架消除对詹森不等式和利普希茨条件的依赖，降低分析保守性，并提高实际应用性。具体而言，所提出的方法：
- 设计了一种具有均匀有界设定时间的简化单功率项固定时间控制器；
- 使用连续非线性函数来减轻抖振；
- 通过李雅普诺夫分析建立严格的固定时间稳定性；
- 通过基准仿真验证有效性。
本文介绍了一种FTS控制方法，该方法通过保证设定时间并改善整体系统性能解决了现有FTS技术的关键局限性。它通过单一的幂律项实现了固定时间稳定性，从而避免了詹森不等式的需要，并显著降低了分析和控制器结构的复杂性。使用固定时间稳定性方法和基于李雅普诺夫函数的分析验证了闭环固定时间稳定性和状态变量轨迹的收敛性改进。为了验证该方法，分析了两个结构不同的混沌系统：三维混沌卫星模型和基于忆阻器的超混沌模型。通过对机械和电子混沌系统的研究，证明了所提出的FTS策略的广泛应用性。所提出的方法使用一致的仿真设置和评估指标（包括收敛速度、能量耗散、控制能量水平和李雅普诺夫梯度行为）与现有的FTS控制器[18]进行了基准比较。

1.4 **动机、创新性和贡献**
本研究对该领域提出了以下原创性贡献：
1.4.1 **理论创新**
- **无需使用詹森不等式的新型固定时间稳定性框架**：本文提出了一种新的FTS法则，用于混沌系统，保证了闭环固定时间稳定性，而不依赖于现有的FTS分析中常用的詹森不等式和利普希茨条件。通过放宽这些要求，所提出的框架显著简化了基于李雅普诺夫的稳定性分析，同时保持了严格的固定时间收敛保证。这一理论进展降低了分析复杂性，并提高了FTS框架的通用性，适用于广泛的混沌系统类别。
1.4.2 **控制器结构创新**
- **简化的控制架构**：与使用多个指数或幂律项的传统FTS控制器不同，所提出的控制器采用单个幂律项结合连续非线性函数。这种结构简化降低了控制器复杂性，便于实际应用，并提高了数值稳定性。
- **连续非线性反馈法则**：控制器集成了连续函数（即asinh(·) 和 sech(·)）。这种控制器设计选择减少了抖振，简化了李雅普诺夫函数导数的计算，并提供了比现有FTS方法更优雅和紧凑的稳定性证明。
1.4.3 **性能改进**
- **加速且平滑的固定时间收敛**：所提出的策略确保了快速且平滑的固定时间收敛，有效抑制了状态轨迹和控制信号中的稳态振荡。这种方法解决了传统FTS方案的常见局限性。
- **提高的能源效率**：通过采用简化的控制器结构和平滑的非线性反馈，所提出的方法降低了控制努力和能耗。
- **优于现有方法**：全面的数值模拟确认，所提出的控制器在稳定性精度、收敛速度和能源效率方面优于文献[18]中报道的代表性FTS方案。这些结果突显了所提出方法对复杂混沌系统的实际优势。

本文的其余部分组织如下：
- 第2节提出了问题陈述和必要的预备知识；
- 第3节介绍了一种创新的固定时间混沌稳定和控制稳定性分析的控制法则；
- 第4节包括数值模拟和详细的比较分析；
- 第5节阐述了文章的发现，并提出了对未来研究方向的深思熟虑的建议。此外，稳定时间 τf 的最大值受到以下限制：(7) τf ≤ τmax = 1/?ε^(-1) + 1/κ1 - ρ。这保证了状态轨迹在预定义的均匀时间范围内收敛到原点，且与初始状态无关。注3 引理2 使用了两项李雅普诺夫导数不等式为FTS建立了条件：当 Vxt 的值较大时，第一项 ?Vxt^ε 起主导作用（当 xt 远离 x0 时加速收敛），而在接近原点时，第二项 κVxt^ρ 起主导作用，从而保证了快速趋近于平衡。综合这些结果，提供了一个与初始条件无关的稳定时间的通用上界。引理3（詹森不等式）[19] 对于非负标量 φi（i=1,2,?,D），以下不等式成立：(8) ∑_(i=1)^D φi (?φi/?t) ≥ D^(-1) - ?_∑_(i=1)^D φi (?φi/?t)，当 1 < ? < ∞ 时；(9) ∑_(i=1)^D φi (?φi/?t) ≥ ∑_(i=1)^D φi (?φi/?t)，当 0 < ? < 1 时，其中 D 是系统的维度。注4 所提出的方法消除了对詹森不等式和利普希茨条件的依赖，这两种条件是现有固定时间稳定性分析[12], [13], [14], [15], [16], [17], [18]中的标准工具。第3节还明确指出，在所提出方法的公式化或稳定性分析中没有使用詹森不等式和利普希茨条件，这为新方法提供了可靠性和信心。引理4（非线性项的界限引理）[22]：考虑 a, b, c ∈ R^+ 且 a, b, c ≤ K（K 为某个常数），则以下不等式成立：(10) a^2 + b^2 + c^2 ≤ K。3. 控制器设计和固定时间稳定性分析3.1 控制器设计为了解决现有FTS方案的局限性，本小节介绍了一种针对混沌系统的新型固定时间控制律，无论初始条件如何，都能保证均匀有界收敛。与依赖于对数项和限制性分析不等式的传统设计不同，所提出的控制器采用了一种简化的结构，在保持内在非线性动态的同时确保严格的固定时间稳定性。该控制律实现了快速收敛，降低了结构复杂性，并提高了能源效率，同时不牺牲理论保证。考虑以下在 (11) 中给出的固定时间控制律 ut ∈ R^(n×1)：(11) ut = -Lxt - Ψt·asinh(γxt) - ?xt^ε°sign(xt) - Psign(xt)，其中 ° 表示舒尔积，e 表示自然对数底数，L = diag(l_i)^(n×n)，Ψt = diag(ψ_i^i)^(n×n)，ψ_i^i = ψ_i / (1 - ?_e * sech(γxt))，P = diag(ρ_i)^(n×n) 是反馈增益矩阵。函数 asinh· 和 sech· 分别表示双曲正弦和双曲正割的逆函数。注5(i) 增益矩阵 L 被精心选择以保持反馈回路中线性部分的稳定性。它确保控制输入引导系统趋于稳定，同时防止过度控制或振荡。(ii) 非线性增益 Ψt 的引入是为了在系统状态严重偏离期望轨迹时增强控制律的有效性。它被精心选择以确保控制策略能够适应显著的状态变化，同时保持固定时间收敛。Ψt 的值根据系统的具体动态特性进行调整。它还通过根据状态变量轨迹向量 xt 动态调整并逐渐衰减到零来减轻非线性效应。自调整框架平滑了控制努力，最小化了抖动，并优化了整个系统的性能。常数 ? 和增益矩阵 P 的元素被选择以满足固定时间收敛标准。这些参数对于在规定的时间内驱动系统收敛至关重要，无论其初始状态如何。(iii) ?xt^ε°sign(xt) 和 Psign(xt) 项的共同作用确保了所提出控制律的闭环固定时间稳定性。这两个非线性组件在李雅普诺夫导数中引入了双重收敛结构：当状态较大时，超线性项 ?xt^ε°sign(xt) 起主导作用；而在接近原点时，不连续的 sign 项控制动态。这种双重机制行为满足了固定时间稳定性的充分条件，保证了与初始状态无关的显式有界稳定时间。注6 所提出的FTS控制律 (11) 相对于传统的FTS方法取得了显著的进步。现有的FTS方案[13], [14], [15], [16], [17], [18]等通常需要两个绝对指数项，并依赖于严格的条件，如詹森不等式[19]和全局利普希茨条件[12]来实现闭环固定时间稳定性。这些依赖性引入了分析复杂性，降低了设计灵活性，并限制了这些控制器应用于严格满足这些条件的狭窄类别的混沌系统；它们进一步限制了这些方法处理实际世界中非线性和混沌系统的实用性。所提出的控制器结合了单个指数反馈和平滑的连续非线性函数 asinh(γxt), sech(γxt)。这种设计简化了李雅普诺夫分析，显著减少了抖动，并产生了平滑的控制信号。减少振荡增强了鲁棒性，并减轻了潜在的不稳定性。此外，所提出的FTS方案在时间和能源效率方面都很高效，加快了稳定过程，使其成为对效率要求高的应用的理想解决方案。注7. 不连续的符号函数（sign(·)）会在控制律中引入抖动，其特征是控制信号中的高频振荡。这种不希望出现的现象可能导致能源消耗增加、机械磨损加快以及实际系统中的潜在不稳定性。为了解决这个问题，本文提出的方法引入了双曲正弦函数 asinh(·) 来处理抖动，确保控制信号快速、平滑。这种函数在区间（–1, 1）内的行为近似线性，减轻了对小跟踪误差的过度惩罚，这是传统基于切换的控制器中抖动的常见原因。此外，asinh· 函数在广泛的输入值范围内提供了平滑的过渡，使其在涉及显著初始误差的情景中特别有效。这些特性有助于提高控制性能，减少抖动，并提高整个系统的鲁棒性。通过将方程(11)应用于系统(1)，可以得到闭环表达式：(12) x?t = -L-Hxt + hxt - Ψt·asinh(γxt) - ?xt^ε°sign(xt) - Psign(xt)。3.2 固定时间稳定性分析通过以下定理建立了闭环FTS。定理1 考虑在所提出的反馈控制律 u(t) 下的闭环系统(1)。设 Vxt: R^n → R ≥ 0 是一个连续可微的、正定的、径向无界的李雅普诺夫函数。假设沿着闭环轨迹，Vxt 满足微分不等式：(13) V?xt ≤ -2ε + 1/2?Vxt^ε + 1/2 - 2ρ_i^imVxt^(1/2)，其中 ε > 1, ? > 0，ρ_i^im > 0 是设计常数。那么，闭环系统的平衡点 x(t) = 0 是全局固定时间稳定的，并且解在固定时间 τf 内达到原点，满足统一界限：(14) τf ≤ τmax = 2^(1/ε - 2?ε^(-1) + 2ρ_i^im)。其中 ρ_i^im 是 ρ_i 的最小值。证明分为两部分：首先验证全局渐近稳定性，然后证明FTS。(i) 全局渐近稳定性的证明。考虑 (15) Vxt = 1/2(x_t * t)，其中 Vxt > 0，? xt ≠ 0，并且当 xt = 0 时 Vxt = 0。由此可得 (16) V?xt = x_t * t * x?t。使用 (16) 和 (12) 可得：(17) V?xt = x_t * t - L-Hxt + hxt - Ψt·asinh(γxt) - ?xt^ε°sign(xt) - Psign(xt) = -x_t * t * L-Hxt + x_t * hxt - x_t * Ψt·asinh(γxt) - x_t * Ksign(xt) - ?x_t * t^ε°sign(xt) ? -x_t * t * L-Hxt + x_t * Qxt - x_t * Ψt·asinh(γxt) - ?x_t^ε + 1 - PΔt = -x_t * t * Bxt - x_t * Ψt·asinh(γxt) - ?x_t^ε + 1 - PΔt ? -x_t * t * Bxt + Ψt·asinh(γxt) - ?x_t^ε + 1 - PΔt = VBΨxt + V?xt + VPxt，其中 (18) VBΨxt = -x_t * t * Bxt - x_t * Ψt·asinh(γxt)^(19) V?xt = -?xt^ε + 1 (20) VPxt = -PΔt。矩阵 L-H-Qxt ∈ R^(n×n) 是一个正定的对称矩阵，PΔt 表示矩阵 P 的对角线元素组成的列向量，L ∈ R^(n×n) 是一个表示线性反馈增益的正定对角矩阵，H ∈ R^(n×n) 是系统参数矩阵，x_t * sign(xt) = xt。注8 为了便于进行易于处理的稳定性分析，连续且有界的非线性向量 hxt ∈ R^n 被分解为关于状态向量的二次形式：x_t * hxt = x_t * Qxt，其中 Qxt ∈ R^(n×n) 是一个状态依赖的矩阵。需要注意的是，这种分解纯粹是为了分析上的方便；矩阵 Qxt 不需要是对称的或正定的。其主要目的是系统地表示李雅普诺夫导数中的非线性项的贡献，从而能够随后对其进行界限化。表达式 x_t * L-H-Qxt 在评估所提出控制方案下的闭环行为时本质上出现在李雅普诺夫导数中。由于矩阵 L-H-Qxt ∈ R^(n×n) 是不对称的，直接分析其二次形式可能具有挑战性。为了便于进行可行且保守的稳定性分析，文章构造了一个辅助对称矩阵 Bt ∈ R^(n×n)，使得：-x_t * L-H-Qxt ≤ -x_t * Bxt，其中 Bt 被设计用于使用引理4来上界限制非线性和交叉积项。这种转换确保了一个对称的、对角线占优的矩阵保守地限制了非线性和不对称贡献。矩阵 Bt 使得可以使用标准的李雅普诺夫技术，同时保持数学上的严谨性。界限策略保证了当控制增益适当选择时，李雅普诺夫导数保持负定性。控制项中的反馈增益 lii 和 ψ_i^i 被选择以确保保持 Bt 和 Ψt·asinh(γxt) 的对角线优势，并建立 VBΨxt ≤ 0。这种转换在确保保守且可行的稳定性分析方面起到了关键作用。通过用对称的、对角线占优的矩阵来界限化不对称的二次形式，文章保持了分析的严谨性，同时便于应用标准的李雅普诺夫技术来建立全局稳定的闭环系统。由于 L 是一个对角矩阵，其元素 lii > 0，代表线性稳定项；H 是一个正定的系统参数矩阵；因此，选择 ψ_i^i > 0, γ > 0, ρ_i^i > 0, λ_i^i > 0, ? > 0 可以确保 VBΨxt ≤ 0, V?xt ≤ 0, VPxt ≤ 0。因此，V?xt ≤ 0 证明了 (12) 的全局稳定性。(ii) 固定时间稳定性的证明。(17) 得出 (21) V?xt ≤ VBΨxt + V?xt + VPxt ≤ V?xt + VPxt。将 (19) 重新表述为：(22) V?xt = -?xt^ε + 1 = -2ε + 1/2?1/2(x_t * t^ε + 1/2 = -2ε + 1/2?Vxt^ε + 1/2，将 (20) 重新表述为：(23) VPxt = -Pxt ≤ -ρ_i^im ||xt|| = -2ρ_i^imVxt^(1/2)，因此，将 (22) 和 (23) 代入 (21) 得到：(24) V?xt ≤ -2ε + 1/2?Vxt^ε + 1/2 - 2ρ_i^imVxt^(1/2)。根据引理2，不等式(24)确认了闭环系统(12)的FTS，相应的固定时间 τf 使用 (14) 计算得出。□。注9 从不等式(21)得出的固定时间稳定性在现有文献[12], [13], [14], [15], [16], [17], [18]中通常通过应用詹森不等式来验证，以建立不等式(24)，这是证明[12], [13], [14], [15], [16], [17], [18]中固定时间稳定性的前提条件。詹森不等式通常对李雅普诺夫函数施加凸性约束，并引入额外的调整变量或条件，必须满足这些条件才能得出固定时间界限。所提出的控制器结构设计使得在基于李雅普诺夫的证明中不需要詹森不等式；这大大简化了证明过程。通过避免詹森不等式，所提出的方法允许更灵活地选择李雅普诺夫函数，简化了参数选择，并减少了分析和控制器结构的复杂性，特别是当应用于具有强非线性或不确定性的系统时。此外，这种方法论简化了在计算资源有限的嵌入式系统或能源受限环境中实施控制律的可行性。注10. 所提出的控制律(11)中涉及的参数 ε, ?, ρ_i^im, ψ_i^i, 和 ?（相关的设计增益）是基于以下控制目标和稳定性标准选择的：1) 固定时间稳定性：根据定理1和不等式(24)，参数 ε, ?, 和 ρ_i^im 在确保系统的固定时间收敛方面起着关键作用。特别是条件 0 < ε < ∞ 以及 ?, ρ_i^im > 0，确认了李雅普诺夫导数的负定性。这些选择直接影响了收敛时间 τf，如方程(14)中所述，确保在预定义的有限时间内收敛，无论初始条件如何。2) 误差动态的平滑性和鲁棒性：动态增益矩阵 Ψt = diag(ψ_i^i)^(n×n)，其中 ψ_i^i = ψ_i / (1 - ?_e * sech(γxt)；? > 0，旨在增强对状态轨迹大偏差的鲁棒性，同时抑制不希望的振荡。参数 ψ_i^i 决定了自适应增益的上界，而 ? 控制了其相对于状态幅度的变化。较大的 ψ_i^i 和 ? 值会加速收敛，但可能会增加控制信号的变异性。相反，较小的值会提高平滑性，但可能会延迟收敛。这些参数应通过实验进行调整，以平衡性能和能源效率。此外，将 Ψt 纳入反馈控制律(11) 可通过在状态显著偏离时加强校正动作来提高瞬态性能，从而加速收敛到平衡。随着状态幅度的减小，Ψt 的自适应性质减少了控制 effort，减轻了不希望的振荡，并在接近原点时提高了平滑性。这种动态增益调节改善了收敛速度和瞬态响应，同时不牺牲已建立的固定时间稳定性保证。3) 实际调整方法：在实践中，参数 ε, ?, ρ_i^i, ψ_i^i 和 ? 是通过基于模拟的调整或基于优化的技术迭代选择的，旨在在收敛速度、鲁棒性和控制平滑性之间实现满意的权衡。根据定理1中推导出的理论条件和稳定性不等式(24)，参数选择指南在表1中总结，作为模拟环境中参数选择的起点。对于物理硬件的实际实现，这些参数需要进一步调整，考虑到执行器饱和度、采样率和测量噪声，这超出了本理论和模拟研究的范围。表1. 基于模拟的指南和理论约束。参数主要作用增加值的效应基于模拟的指南和理论约束ε收敛指数更快地实现初始收敛，但会影响(14)中的界限约束：1 < ε < ∞ 对于FTS有效(1, 2)中的值在模拟中表现良好ρ超线性项增益加快收敛速度，可能会增加控制 effort约束：ρ > 0 从 ρ ∈ 0.1 开始。通过调整 ρ_i^i 来平衡(14)中所需的 τmax，同时监控控制信号的平滑性ρ_i^i不连续项增益确保固定时间界限，抑制不确定性。高值可能会导致抖动。使用最小值以确保稳定性。从低值(0.1–2)开始。如果出现抖动，通过增加 ρ 或 γ 来减少 ρ_i^i 并进行补偿平滑 asinh(·)减少抖动，使控制在接近原点时更加线性约束：γ > 0。5到50之间的数值可以在不影响较大误差ψii收敛速度的情况下，有效平滑原点附近的控制信号。自适应增益的幅度增强了系统对大偏差的鲁棒性。约束条件：ψii>0。通常，中等数值（0.5–3）就足够了。更高的数值虽然可以提高从大初始条件开始的收敛速度，但可能会增加控制力度。自适应增益的形状调整可以改变自适应增益Ψ(t)对状态的敏感度。约束条件：?>0。指导原则：较小的数值（0.01–0.3）可以确保自适应项1-?sech(γxit)保持正值，并提供平稳的调整。

4. 数值模拟结果、讨论和比较分析
为了证明所提出的FTS方案的有效性，本节对两种结构不同的混沌系统进行了全面的数值模拟，分别是三维混沌卫星（TDCS）和基于忆阻器的超混沌（MBH）系统，其描述分别在（25）和（31）中给出。随后将获得的结果与[18]中报告的参考方法进行比较，以突出在收敛速度、控制性能和整体稳定性方面的改进。

在示例1中，进行了计算机模拟以实现TDCS（25）在原点的稳定；在示例2中，对MBH系统（31）进行了相同的稳定操作，以评估所提出的控制器（11）的效果。

示例3对所提出的FTS控制律（11）和[18]中引入的FTS方法（34）进行了比较分析。该评估是通过应用于TDCS系统（25）和MBH系统（31）的相同稳定模型的数值模拟来进行的。这项比较研究提供了一个一致的基准框架，用于评估两种控制策略的相对性能和有效性。

所有数值模拟都是在配备Intel Core i7-12700 K处理器和32 GB RAM的计算机系统上使用Mathematica 14.3软件进行的。植物和控制器模型使用NDSolve求解器实现，时间步长可变，相对容差为1e-6。

1. 示例1：TDCS系统稳定
TDCS模型表现出极端的多稳态特性，这可以通过其Kaplan-Yorke维数、Lyapunov指数和分岔特性来证明[23]。因此，稳定TDCS系统对于确保任务精度、资源效率和运行安全至关重要。TDCS系统中观察到的混沌行为通常由非线性扭矩、重力扰动或内部结构灵活性引起，可能会产生不可预测的姿态和轨道动力学。这种不稳定性可能会显著影响关键任务，包括天线指向、传感器对齐和交会操作[24]。实施有效的稳定策略可以增强姿态调节，减少执行器能耗，并保持可靠的通信和数据采集性能，特别是在深空和长期任务中[25]。此外，TDCS系统中的混沌控制有助于在先进的航空航天应用中进行安全和精确的机动，例如卫星编队飞行、再入轨迹引导以及系绳或柔性航天器的稳定[26]。
方程（25）表示使用控制律（11）的反馈控制TDCS系统。
(25)
x?t=Pxt+hxt+ut,
xt=x1×t×t×t×3t,
TH=-η10160η20-60-η3,
hxt=13×t×t×3t-x1×t×t×1×t×2t,
η1=0.4,
η2=0.175,
这些都是常数系统参数，ut∈R3×1是控制输入。
现在考虑
(26)
Vxt=xt×30301200012×t×Tt。
对（26）求导并代入（25），得到：
V?xt≤-xTtl11+η1000l22-η2000l33+η3×xt-?xtε+1-PDTxt+2×x1×t×t×3t
(27)
V?xt?-xTtl11+η1000l22-η2000l33+η3×xt-?xtε+1-PDTxt+2×x1×t×t×3t=-xTtl11+η1000l22-η2000l33+η3×xt-?xtε+1-PDTxt+xTt
Qxt=xt,
=-xTtl11+η10-2×2t0l22-η2000l33+η3×xt-?xtε+1-PDTxt=-xTt
L-H-Qxt=xt-?xtε+1-PDTxt，
其中
(28)
Qxt=002×2t000000,
(29)
L-H-Qxt=l11+η10-2×2t0l22-η2000l33+η3,
(30)
Bt=l11+η1-K000l22-η2-K000l33+η3-K。
注11：关于Qxt∈R3×3、L-H-Qxt∈R3×3和Bt∈R3×3的推导，请参阅文章末尾的附录A。
状态向量的初始值x10=1, x20=-0.2, x30=0.5，控制器（11）的参数取为lii=1, ρii=0.1, ?=0.5, ψii=1, ?=0.01, γ=35, ε=95。
图1(a)显示了TDCS系统的3-D相位图。图1(b)显示了开环系统的瞬态变量姿态，表明缺乏稳定性。
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图1. (a) 3-D相位图，(b) 开环状态轨迹的瞬态行为。

图2(a)的结果表明，使用所提出的固定时间控制方案（11）稳定TDCS系统对于i=1,2,3是有效的。闭环状态轨迹迅速收敛到零，观测到的 settling 时间约为 τf≈0.4秒。这个值显著小于从定理1中的固定时间稳定性条件计算出的理论上限 τmax≈12.5秒，从而证实了分析界限的有效性和保守性。快速收敛（约0.4秒）是由于超线性项?xtε和自适应增益Ψt的联合效应。图2(b)显示相应的控制信号平滑且迅速衰减到零，表明控制有效且振荡减少，对执行器友好。
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图2. (a) 闭环状态轨迹的瞬态行为，(b) 控制信号（11）。

4.2. 示例2：MBH系统稳定
MBH模型表现出极端的多稳态特性，这可以通过其Kaplan-Yorke维数、Lyapunov指数和分岔图[27]来证明。稳定此类混沌系统在加密、同步和电解等工业流程中具有广泛的应用，这些应用对于提高各种领域的效率和安全性至关重要[28]。
方程（31）表示使用反馈控制器（11）的MBH系统对于i=1,2,3。
(31)
x?t=Hxt+hxt+ut，
其中，
xt=x1×t×t×t×4t，
T,H=η1η2001-1100-η3-η401000，
hxt=3η1×t×42t×1t000，
η1=2, η2=10, η3=14, η4=0.1，这些都是常数系统参数，
ut∈R4×1，
xTthxt=xTt，
Qxt=xTt×3η1×t×42t0000000000000000xt，
(32)
Qxt=q11=3η1×t×42t，
qij=0?i,j=2,3,4，
(33)
Bt=bii∈R4×4，
b11=l11-η1-η2+η3-32,
b22=l22-η2-12,
b33=l33-η3-12,
b44=l44-12，
x10=1, x20=-0.2, x30=0.5, x40=-0.5是初始条件，控制器（11）的参数取为lii= ρii=?=1, ψii=1, ?=0.1, γ=20, ε=53。
图3(a–c)显示了MBH系统（31）的3D相位图。图3(d)显示了开环状态轨迹的瞬态行为，表明缺乏混沌稳定性。
图4(a)的结果表明，使用FTS技术（11）稳定系统对于i=1,2,3是有效的。它显示闭环状态轨迹在大约0.7秒内平滑且迅速收敛到原点。Settling 时间τf≈0.7秒。图4(b)显示控制信号平滑且迅速收敛到零。
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图4. (a) 闭环状态轨迹的瞬态行为，(b) 控制信号（11）。

4.3. 示例3：比较性能分析
本小节通过两个示例提供了FTS方案（11）和（34）的比较分析。示例3(a)展示了稳定TDCS系统（25）的数值模拟，示例3(b)专注于使用[18]中提出的FTS方法（34）稳定MBH系统（31）。

4.3.1. 示例3(a)：TDCS系统稳定
FTS方案[18]提出了以下生成控制信号的定律：
(34)
uit=-liixit-ρiixitεsignxit-?xit，
i=1,2,3。
图5(a-b)显示了在[18]中的固定时间控制律（34）下TDCS系统（25）的数值模拟结果。为了确保公平和一致的比较，初始条件和控制器参数与示例1中的相同。如图5(a)所示，状态变量轨迹表现出平滑行为，并在τf≈5秒内收敛到原点。此外，图5(b)表明控制器（34）产生的控制输入在大约3.5秒内衰减到零。
两种控制策略之间的直接比较清楚地表明，所提出的FTS控制器（11）比基准方法（34）实现了更快的收敛速度。这种显著减少的settling时间突显了所提出的FTS方案（11）的优越收敛性能。
图3(a-b)和图5(a-b)表明控制律（11）在收敛速度上优于（34），实现更快的FTS。
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图5. (a) 使用FTS方案（34）的状态变量轨迹的瞬态行为，(b) 控制信号（34）的瞬态行为。
基准控制器（34）生成的控制信号（图5(b)）在模拟中由于数值求解器（NDSolve）的平滑插值而看起来平滑。实际上，其符号?项本质上是不连续的，在具有有限采样的物理实现中会产生显著的抖动。所提出的控制器的asinhγxt和sechγxt项不仅在连续时间理论中提供了固有的结构平滑性，而且在离散时间实现中也提供了实际优势。
能量函数的减少反映了控制器在稳定动态系统方面的有效性。设E(t)=1/2×t×t表示系统能量。图6中的模拟结果提供了FTS技术（11）和（34）对应的能量函数E1xt和E2xt的比较可视化。这些能量函数作为类似Lyapunov的指标，反映了系统在各自控制器影响下的瞬态能量消耗和耗散。仔细观察图表可以发现，E1xt的衰减速度比E2xt快，表明策略（11）导致能量耗散更快，混沌系统的稳定更快。这种更快的能量下降突显了控制器从系统动态中有效提取能量的能力，并确保状态变量在更短的时间内收敛到零。
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图6. E1xt和E2xt的比较。
Lyapunov函数的梯度在控制器设计、稳定性验证和确保有效收敛到平衡方面起着关键作用。Lyapunov函数沿系统轨迹的负变化率表明能量的持续减少，这对于维持稳定性至关重要[21]，而更陡的负斜率指定了更快的能量耗散速率，这是针对快速稳定性的控制策略所期望的特性[22]。
图7显示了控制策略（11）和（34）在2.5秒内的耗散动态。其中，V?1xt的衰减速率最快，在最初的0.3秒内收敛到零；这表明在该时间点之后，系统不再向外界提供或耗散额外的能量，从而证实了FTS方案（11）下的闭环系统的FTS。这与FTS方法（34）相比，收敛时间减少了86.34%，Lyapunov衰减率增加了大约7.32倍。这些结果证明了所提出的FTS方案在瞬态性能和加速稳定能力方面的优越性。
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图7. V?1xt和V?2xt的比较。
瞬时控制力是控制策略的实际可行性和能量效率的关键指标。图8显示了控制力的演变，定义为uCEt=uT(t)u(t)。该指标衡量控制动作的实时强度。较高的值表示激进的执行、增加的瞬时能量消耗和更大的执行器应力；较低的值表示更平滑、更节能的操作。图8显示了控制策略（11）和（34）的瞬时控制力uCE1(t)和uCE2(t)。所提出的控制器（11）（实线曲线）显示出一个短暂的瞬态爆发，随后uCE1(t)迅速衰减到接近零，表明快速消除误差和最小的稳态调节需求。相比之下，FTS控制器（34）（虚线曲线）显示出较慢的控制力衰减，意味着在瞬态阶段需要持续的校正动作，因此需要更大的累积执行力。从Lyapunov的角度来看，控制器（11）下uCE1(t)的更快崩溃与闭环能量函数的更强收缩率一致，从而提高了瞬态性能和实际效率。
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图8. FTS控制器（11）（实线）与FTS控制策略[18]（虚线）的瞬时控制力uCE1t和uCE2t的比较。
为了量化所提方法相对于[18]中方案的性能优势，表2比较了关键指标，包括收敛时间、能量函数、Lyapunov梯度和瞬时控制力。所提出的控制器一致地显示出更快的收敛速度、更低的控制力、更少的能量使用和更快的Lyapunov梯度，体现了其实际优越性和理论上的优雅性。
表2. 所提出的FTS方案（11）与FTS方法（34）的比较评估。
S. No
指标
提出的FTS方案（11）
FTS方法（34）
性能增益
1
收敛时间
0.4秒（图2(a））
5秒（图4(a）)
快12.5倍
2
能量函数值
高耗散率
低耗散率
更节能
3
Lyapunov梯度
更陡且快速衰减
慢速衰减
收敛速度大约提高86%
4
瞬时控制力uCEt
低
高
瞬时控制力降低数个数量级
表3和附文总结了定量比较分析。
•定量比较：这部分比较分解了每个时间步长每个状态变量所需的操作。所提出的控制器（11）需要1个双曲函数asinh·、1个双曲函数sech·、1个实数幂运算和1个符号函数。基准控制器（34）[18]需要2个实数幂运算ε和1个符号函数和2个符号函数。虽然两者基本算术运算的数量相似，但关键区别在于用更平滑且通常计算更高效的asinh和sech函数替换了第二个更复杂的幂运算xt1ε（其中1<ε<∞）。

•数值问题：对于实时实现，计算可能是负数的非整数幂1ε需要谨慎处理，例如，使用xit1εsignxit，这增加了条件逻辑。相比之下，asinhγxit和sechγxit是对所有实数输入都定义的平滑函数，并且在大多数嵌入式数学库中作为高度优化的库函数提供。>
•数值问题：对于实时实现，计算可能是负数的非整数幂1ε需要谨慎处理，例如，使用xit1εsignxit，这增加了条件逻辑。相比之下，asinhγxit和sechγxit是对所有实数输入都定义的平滑函数，并且在大多数嵌入式数学库中作为高度优化的库函数提供。>他们的使用消除了条件性检查，并降低了数值不稳定的风险，直接有助于实现实施复杂性的降低。表3. 控制律的州级计算操作次数。操作类型 提议的控制器（11）基准控制器（34）[18]乘法/除法≈6≈6加法/减法≈3≈3特殊函数调用1 asinh?, 1 sech ?, 1 xtε1 xtε, 1 xt1ε不连续函数1 sign?2 sign?关键数值考虑具有单一幂律项的光滑、稳定函数包括一个分数指数（1/ε）的两个实数幂项，需要仔细处理符号每个时间步长的浮点运算次数（FLOPs）在表3.4.3.2示例3(b)：MBH系统稳定中进行了总结。在（34）中给出的FTS方案，对于i=1,2,3,4，被应用于MBH系统（31）以实现其混沌动态的全局稳定。为了保持一致性和客观性基准测试，MBH系统参数、初始条件和控制器设置与示例2中使用的完全相同。这种设置确保在等效条件下对控制性能进行公平比较。图9(a-b)中展示的仿真结果表明，状态轨迹和相应的控制信号表现出持续的振荡行为，并没有收敛到稳态。这些观察表明控制策略（34）无法抑制MBH系统（31）的混沌动态。下载：下载高分辨率图像（223KB）下载：下载全尺寸图像图9. 使用FTS方案[18]的(a)状态变量轨迹和(b)控制信号（34）[18]的瞬态行为。这个例子突显了FTS方法（34）在应用于高阶、强非线性混沌系统（如MBH模型（31）时的一个根本缺点。缺乏收敛性和持续的振荡态度表明，控制器缺乏管理系统复杂动态所需的鲁棒性和动态适应性。与其在低阶或简单系统中的表现相比，方法（34）在更具有挑战性的动态条件下无法确保稳定性和平滑控制。比较研究清楚地表明，所提出的固定时间稳定控制器（11）的性能优于基准方法（34）。所提出的方案实现了更快的收敛速度，表现出明显更高的能量耗散率，并确保了更快的李雅普诺夫衰减，从而显著提高了瞬态性能。此外，它以较低的瞬时控制力实现了稳定，凸显了其卓越的执行器效率和实际应用性。总的来说，这些发现证实了所提出的控制器为混沌系统的固定时间稳定提供了一种更节省时间和能量的、动态上更加稳健的解决方案。为了确保所有仿真结果的可重复性，表4提供了每个系统和控制器使用的参数的完整摘要。表4. 仿真参数的可重复性总结。参数/系统TDCS系统MBH系统备注初始状态，xT01-0.20.5T1-0.20.5-0.5求解器/步长NDSolve，可变步长，RelTol = 1e-6NDSolve，可变步长，RelTol = 1e-6Mathematica 14.3系统参数η1=η3=0.4, η2=0.175η1=2, η2=10, η3=14, η4=0.1如（25）和（31）中定义的提出的FTS控制器（11）基准控制器（34）[18]备注线性增益，lii11对于所有i功率增益，ρii0.10.1对于所有i功率增益，?0.50.5指数，ε9595自适应增益，ψii1–对于所有i成形参数，?0.01–平滑增益，γ35–5.5. 结论5.1. 主要发现本研究开发了一种基于李雅普诺夫的固定时间控制策略，用于混沌系统的稳定，强调理论严谨性和实际应用。通过采用单一指数反馈机制和连续非线性函数，所提出的控制器实现了固定时间收敛，同时保持了紧凑和计算效率高的结构。由此产生的控制律避免了与Jensen不等式和Lipschitz条件相关的分析和实现负担，从而简化了稳定性分析和控制器设计。通过直接李雅普诺夫方法建立了全局固定时间稳定性的理论保证，得出了一个不依赖于初始条件的明确、统一的稳定时间界限。在对三维混沌航天器模型和基于忆阻器的超混沌系统进行的广泛数值研究表明，所提出的策略实现了快速收敛，并且控制轨迹平滑，控制力降低。进一步比较仿真表明，相对于已建立的固定时间稳定方法，所提出的控制器实现了更快的收敛速度和更好的能量效率，同时减轻了控制信号中的振荡行为。总体而言，结果证实了通过简化控制器架构可以实现固定时间稳定，而不会牺牲鲁棒性或性能，为文献中报道的更复杂、不连续的固定时间控制设计提供了一个可行的替代方案。5.2. 研究的局限性尽管所提出的固定时间控制方案在仿真中表现良好，但其验证仅限于理想化的数值设置。实际因素如建模不确定性、时间延迟、测量噪声、执行器饱和和采样效应尚未明确解决，可能会影响实际性能。5.3. 对未来研究的建议未来的工作应解决外部干扰、参数不确定性和物理系统中的实际约束。建议进行实验验证和实时硬件实现，以增强实际应用性。此外，将该固定时间控制方法扩展到更高维度的、互连的或网络化的混沌系统，如多智能体系统和分布式混沌网络，代表了推进其理论范围和实际相关性的一个有前景的方向。CRediT作者贡献声明Israr Ahmad：撰写——审稿与编辑，撰写——原始草稿，方法论，调查，形式分析，概念化。Muhammad Shafiq：撰写——原始草稿，监督，调查，形式分析。