关于XLindley分布的终身性能指数及其在化疗生存数据中的应用

《Journal of Radiation Research and Applied Sciences》：On the lifetime performance index of the XLindley distribution with applications to chemotherapy survival data

　　哈迪尔·阿尔卡迪 | 玛亚莎·埃尔马希·阿卜杜勒瓦哈布 | 海法·阿尔卡赫塔尼 | 阿尔哈努夫·阿尔布拉伊坎 | 艾哈迈德·穆罕默德·埃尔加扎尔
沙特阿拉伯贾赞大学理学院数学系，邮政信箱114，贾赞，45142

**摘要**
性能指数已成为评估产品和过程质量和可靠性的重要工具。本文提出使用XLindley分布来建模寿命数据并评估性能指标（CL）。XLindley分布的数学特性，包括其概率密度函数和累积分布函数，被开发并用于性能指数的估计。评估了多种估计方法，包括最大似然估计、最大间隔乘积估计以及利用不同损失函数的贝叶斯估计。仿真结果表明，随着样本量的增加，最大似然和贝叶斯方法通常提供更准确的点估计和区间估计。通过一个真实的实际数据集来说明所提出方法的适用性。研究结果表明，贝叶斯估计器比传统方法提供更精确和一致的估计结果，而XLindley分布在建模寿命数据属性方面具有更好的灵活性。本研究表明，所提出的方法可以有效地应用于工业和医疗领域，以监控和提升产品性能。

**1. 引言**
已经开发了多种统计工具和方法框架，以识别和减少数据收集、处理及后续分析过程中潜在的偏差、错误和不一致性。在质量监控中最广泛使用的方法是统计过程控制（PC）图表和过程能力分析。PC图表通常评估关键的过程特性，即均值、范围和标准差，系统性地偏离预期模式可能表明需要进一步调查和纠正措施。文献对此主题给予了相当大的关注；例如，Raza等人（Raza, Ali, Shah, & Butt, 2020）引入了基于中值的Weibull分布的累积和图表，而Ali等人（Ali et al., 2020）研究了估计误差对风险调整监控方案的影响（参见（Akram et al., 2022; Ali et al., 2022; Hyder et al., 2021; Raza, Ali, Shah, Wang, & Yue, 2020））。
与对整体产品质量的通用评估不同，SPC图表旨在跟踪整个生产过程中质量的稳定性和一致性。尽管它们在工业中得到广泛应用，但传统的PC方法受到无法实时洞察过程能力或持续监控质量性能的限制。此外，产品规格和测量尺度的差异要求从业者首先定义适当的参考值和容差限制，才能进行有意义和可靠的过程能力评估。
过程能力指数（PCIs）是评估过程满足规定要求程度的关键指标。这些指数被广泛认为是评估过程质量的最有效方法。其中，寿命性能指数（CL）对于在“越大越好”标准下评估电子元件可靠性尤为重要，其中下限规格（LSL）作为阈值。现代组织越来越多地依赖这些指数来评估产品质量并使服务符合客户期望。正如Montgomery（Montgomery, 2020）和Kane（Kane, 1986）所强调的，PCIs是质量控制文献中研究最广泛且实际应用最多的指标之一。
近年来，在多种概率模型下对寿命性能指数（CL）进行了广泛研究，其应用涉及医学、工程和可靠性研究。这些指数提供了实际措施，用于评估产品的寿命是否符合所需规格，确保产品质量和客户满意度。例如，最近的研究利用寿命性能指数来监控电子元件和医疗设备的可靠性，表明它们在工业和医疗环境中的重要性（参见（Li et al., 2020），（Zhang et al., 2021））。一些研究者使用渐进性审查方案研究了CL，例如Rady等人（Rady et al., 2021）针对Topp–Leone Alpha Power Exponential分布，Mahmoud等人（Mahmoud et al., 2020）针对Power Rayleigh模型。应用还包括贝叶斯推断，用于Pareto分布（Ahmadi & Doostparast, 2021）、Burr类型III（Hassan & Assar, 2021）、Lindley（Hassanein, 2018）和Weighted Lomax分布（Ramadan, 2021），以及涉及Weibull（Wu et al., 2021）、Gamma（Shaabani & Jafari, 2022）和Rayleigh乘积（Lee et al., 2011）的分析。此外，CL还应用于Gompertz（Wu & Hsieh, 2019）、Ishita（Ahmad et al., 2023）和Stacy分布（Elhaddad et al., 2023），证实了它作为评估不同实际数据集中可靠性和质量性能的强大工具的多功能性。最近的研究还探讨了使用贝叶斯方法估计寿命性能指数。这些方法在处理复杂模型和实际数据集时提供了更高的精度和可靠性。贝叶斯推断允许结合先验知识，并即使在数据有限的情况下也能提供稳健的估计（参见（Liu et al., 2021））。此外，计算技术如马尔可夫链蒙特卡洛增强了贝叶斯方法在实际场景中的适用性，提供了一种更有效的估计模型参数及其不确定性的方法。
现代数值技术在医学、金融、生物学和工程科学中得到广泛应用，其中统计学通过使用概率模型发挥着核心作用。然而，许多实际问题无法用标准模型描述。Lindley分布（LND）最初由Lindley（Lindley, 1958）提出，后来Sankaran（Sankaran, 1970）将其扩展为Poisson–Lindley分布，由此产生了许多广义形式和混合分布，包括零截断和Pareto Poisson–LND（Asgharzadeh et al., 2013; Beghriche & Zeghdoudi, 2019; Bouchahed & Zeghdoudi, 2018; Ghitany et al., 2008a, 2008b; Zeghdoudi & Nedjar, 2016），Gamma–Lindley分布（Nedjar & Zeghdoudi, 2016）和双参数LND模型（Shanker et al., 2013）。
更近期的研究，Chouia和Zeghdoudi（Chouia & Zeghdoudi, 2021）提出了XLindley分布（XLND）。XLND是一种灵活的混合分布，结合了指数分布和Lindley分布的元素，适用于建模具有偏度和变异性的寿命数据。它由以下概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）定义：
(1) \(f(x) = \frac{\theta^2}{(2+\theta+x)e^{-\theta x}(1+\theta)^2}\)，
(2) \(F(x) = 1-\frac{1}{(1+\theta x)(1+\theta)^2}e^{-\theta x}\)，
其中 \(\theta > 0\) 是尺度参数。
该模型因其简单性和易于应用而特别吸引人。均值、方差、变异系数、偏度和峰度的公式相对简单，为实际应用提供了有用的近似值。通常，在使用更复杂的模型之前，应用更简单的模型更为合适，而XLND已被证明是分析寿命数据的有效工具。
将XLND应用于化疗患者的生存数据在医学领域尤为重要。XLND的灵活性使其能够捕捉临床生存时间中常见的变异性和偏度，从而比传统模型提供更准确的评估。通过将这种分布与寿命性能指数（CL）结合起来，研究人员可以评估治疗结果是否符合期望的临床标准，从而为改进治疗策略和患者护理提供有价值的指导。该数据集记录了仅接受化疗的患者的生存时间。在这种医疗背景下，应用寿命性能指数（CL）尤其有价值，因为它提供了一种统计措施，以确定观察到的生存结果是否满足预期的临床标准。
本文的其余部分：第2节详细说明了XLND的寿命性能指数；第3节确定了符合率；第4节介绍了估计方法，包括似然估计、最大间隔乘积估计和贝叶斯估计以及置信限；第5节涵盖了CL的测试技术；第6节进行了仿真研究；第7节给出了关于患者生存时间的实际数据集。

**2. 寿命性能指数**
寿命性能指数（CL）是评估产品质量和可靠性的关键指标。它提供了一个实用的标准，以确定产品或系统的寿命是否满足所需规格，使其在质量控制和可靠性分析中至关重要。
设X表示产品的寿命，由方程（1）、（2）中指定的XLND的pdf和cdf表征。随后，CL定义如下：
\(CL = \mu - L\sigma\)，
其中L表示下限规格，\(\mu\)是过程均值，\(\sigma\)代表过程标准差，由下式给出：
\(μ = \frac{1}{(1+\theta)^2}\)，
\(σ = \frac{1}{\theta(1+\theta)^2(1+\theta)^4+4\theta^2+6\theta+1}\)。
为了评估产品的寿命性能，我们可以使用方程（4）、（5）计算XLND的CL：
\(CL = \frac{1}{(1+\theta)^2-\theta(1+\theta)^2}\cdot L\left(1+\theta\right)^4+4\theta^2+6\theta+1}\)，
其中 \(\lim_{x\to\infty} CL < \frac{1}{(1+\theta)^2}\left(1+\theta\right)^4+4\theta^2+6\theta+1\)。

**3. 符合率**
符合率（Pr）是用于评估满足所需规格的产品比例的重要指标。它与寿命性能指数（CL）直接相关，后者量化了产品寿命满足规定标准的程度。它是质量控制中的关键指标，因为它直接反映了过程产生可接受结果的能力。较高的符合率意味着更好的过程性能和客户满意度，而较低的符合率则表明需要采取纠正措施来提高质量。寿命性能指数CL与符合率Pr之间的关系如下：
\(Pr = P(X \geq L) = 1-\frac{F(L)}{1-\sigma\times CL-\mu-L}\)。
因此，
\(Pr = \frac{1}{(1+\theta)^2\left[1+\theta\right)^2\theta(1+\theta)^2-\left(1-\theta\right)^2\left(1+\theta\right)^4+4\theta^2+6\theta+1\cdot CL\]}\)，
其中 \(\frac{1}{(1+\theta)^2}\left(1+\theta\right)^4+4\theta^2+6\theta+1} > L\)，\(\theta > 0\) 且 \(CL > 0\)。
表1报告了在\(\theta = 1.2\)时CL与Cl对应的Pr值。结果显示CL与Pr之间存在明显的正相关关系；随着CL的增加，Pr也随之增加。例如，当CL = 1.1819时，符合率达到最大值1。

**表1. 寿命性能指数CL与符合率Pr的关系（\(\theta = 1.2\)）**
| CL | Pr |
|---|---|
| 1.13 | 1.8 × 10^-6 |
| 0.37 | 0.38 |
| 0.49 | 0.62 |
| 0.63 | 0.84 |
| 0.75 | 0.93 |
| 0.81 | 0.95 |
| 0.99 | 1.00 |
| 1.13 | 1.82 |
| 1.18 | 1.41 |
| 1.48 | 1.84 |
| 1.80 | 1.85 |
| 1.90 | 1.96 |
| 1.93 | 2.00 |
| 2.04 | 2.18 |
| 2.25 | 2.39 |
| 2.48 | 2.58 |
| 2.64 | 2.76 |
| 2.75 | 2.89 |
| 2.90 | 2.98 |
| 3.00 | 3.07 |
| 3.13 | 3.20 |
| 3.35 | 3.56 |
| 3.60 | 3.80 |
| 3.84 | 3.91 |
| 3.95 | 4.00 |
| 4.08 | 4.18 |
| 4.25 | 4.38 |
| 4.50 | 4.61 |
| 4.66 | 4.75 |
| 5.00 | 5.02 |
| 5.11 | 5.18 |
| 5.25 | 5.34 |
| 5.56 | 5.63 |
| 5.80 | 5.85 |
| 5.90 | 5.94 |
| 6.00 | 6.07 |
| 6.15 | 6.25 |
| 6.38 | 6.45 |
| 6.51 | 6.66 |
| 6.75 | 6.89 |
| 7.00 | 7.00 |我们已经指定参数θ的先验分布遵循独立的Gamma分布。选择Gamma分布是因为它在建模各种数据时具有灵活性，并且与XLindley分布的似然函数共轭。在贝叶斯框架中，θ被视为具有先验分布的随机变量，这里假设其遵循独立的Gamma概率密度函数（pdf）：π(θ) = θ^α ? 1 * e^(-βθ)，其中θ > 0，α > 0，β > 0。α和β被指定为超参数，用于表示未知参数的先验分布。对于XLND的参数θ，采用独立的Gamma先验分布是因为这种分布的灵活性。应用贝叶斯定理，θ的后验密度通过将似然函数与先验分布相乘得到，其形式如下：

π*(θ|x) = π(θ) * L(θ) * ∫_0^∞ π(θ) * L(θ) dθ。

因此，它可以表示为：

π*(θ|x) = θ^α ? 1 * e^(-βθ) * ∏_i=1^n [θ^2 * (2 + θ + xi) ^ (-θxi)^(1 + θ)^2]

为了提高贝叶斯推断的适用性，考虑对称和非对称的损失函数是很重要的。损失函数（如Lehmann & Casella, 1998中定义的）是一个实值函数，用于评估可能的参数值与其估计值之间的差异。虽然通常使用对称损失函数，例如平方误差损失（SEL），但在低估和高估的成本不等的情况下，结合非对称损失函数可以提供更大的灵活性。这确保了贝叶斯估计量在不同的实际场景中仍然稳健和相关。平方误差损失（SEL）函数定义为：

L(θ - θ?) = (θ - θ?)^2

这种损失函数是对称的，意味着它对高估和低估施加相同的惩罚。在SEL函数下，θ的贝叶斯估计量g(θ)表示为：

g?_(θ|x) = E[θ|x] * g(θ)

此外，我们使用了一种称为LINEX损失函数的非对称损失函数。它在许多方面被认为更为完整；参见Varian（Varian et al., 1975）。它的特征是：

L(ω) = e^((ω - θ?) / (hω - 1)，其中h ≠ 0，ω = θ? - θ

在LINEX函数下，θ的函数g(θ)的贝叶斯估计量表示为：

g?_(θ|x) = -1 / h * log[E[θ|x] * (e^(-hg(θ))]

方程（13）中的积分比不能以封闭形式表示，这使得对XLND的参数θ进行贝叶斯估计在分析上变得难以处理。由于XLND的复杂结构，也面临着类似的挑战。为了克服这一困难，我们采用了马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，这是一种在无法获得精确解时近似后验分布的强大计算方法。特别是，在Metropolis–Hastings（M-H）框架内实现Gibbs采样，以从方程（13）给出的联合后验密度中生成样本。这些模拟样本近似了参数的后验分布，并允许计算后验摘要，如平均值，这些摘要作为θ的贝叶斯估计。

鉴于XLindley分布的复杂性，θ的后验分布没有封闭形式的解。为了解决这个问题，我们采用了马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，特别是在Metropolis-Hastings框架内的Gibbs采样。MCMC方法允许我们在无法获得解析解时从后验分布中生成样本。在应用MCMC方法时，使用Metropolis框架内的Gibbs采样器来生成条件后验分布。方程（12）可以用来计算联合后验，直到一个比例常数：

π*(θ|x) = θ^α ? 1 * e^(-βθ) * ∏_i=1^n [θ^2 * (2 + θ + xi) ^ (-θxi)^(1 + θ)^2]

由于方程（16）中θ的条件后验是非标准的，因此采用Metropolis–Hastings（M-H）算法进行MCMC实现，以及θ和CL的更新步骤。

5. 终身性能指数的测试程序

在本节中，我们介绍了一个统计测试，以验证终身性能指数（CL）是否达到目标值c*。这个程序有助于确定产品的终身性能是否满足所需的质量标准。它们旨在确定终身性能指数CL是否保持所需的水平L。设c*定义选定的目标值或期望值；因此，原假设H0与备择假设H1对比为：

H0: CL ≤ c*
H1: CL > c*

根据Wu等人（Wu et al., 2014）的研究，可以使用公式C?L > C0获得拒绝区域，基于C?L的C0临界值，C?L是一个渐近正态检验统计量，在指定的显著性水平下评估：

P(C?L - CL ≥ ρθ) = 1 - γ

其中C?L ? CL ∈ N(0,1)；则C0 ? c* = zγ，临界值为：

C0 = c* + zγρθ?

此外，CL的100(1 ? γ)%单侧置信区间为：

CL ≥ C?L ? zγρθ?

6. 仿真研究

在这项研究中，我们评估了不同样本量nnn的估计器的性能，并评估了这些估计器对XLND的有效性。评估是通过关注均方误差（MSEs）和平均偏差来进行的。使用R 4.5.0程序进行仿真。以下是使用反转方法从XLND获取随机样本的步骤：

• 本研究使用公式-F(x) - u = 0创建，其中u是XLND的一个观测值，F(x)是XLND的累积分布函数（cdf）。
• 随机样本的大小；n= 30, 60, 120, 和 200，从XLND构建，参数值考虑为θ = 0.8, 1.2, 1.6, 和 2。
• 该研究涉及计算在使用估计方法下的终身性能指数CL的点估计器的均方误差（MSEs）和平均偏差。
• 对于每个样本量和参数设置，使用相应的方法计算CL的点估计器。
• 同时评估区间估计，并计算与每种估计方法相关的置信区间的覆盖概率。

表2、表3、表4、表5、表6、表7、表8、表9显示，随着样本量的增加，估计的偏差减小，MSEs也减小。这表明了估计器的稳定性以及样本量越大准确性提高。仿真结果还突出了不同θ值如何影响估计器的性能，特别是对于较小的样本量，估计器对θ的选择更为敏感。

表2. 所有方法在θ=0.8时CL的点估计结果

| 方法 | MLE | MPS | SEL | INEX-h1 | h1 |
|-------------|---------|---------|---------|-----------|
| | 0.5 | 0.56 | 0.578 | -0.001 |
| | 0.5497 | 0.5479 | 0.5567 | -0.003 |
| | 0.0037 | 0.0039 | 0.0040 | 0.0036 |
| | 0.5543 | 0.5647 | 0.5488 | -0.006 |
| | 0.5523 | 0.5488 | -0.006 | 0.002 |
| | 0.0035 | 0.0039 | 0.0040 | 0.0036 |
| | 0.5540 | 0.5601 | 0.5506 | -0.006 |
| | 0.5523 | 0.5488 | -0.006 | 0.0001 |
| | 0.006 | 0.0044 | -0.0115 | -0.012 |
| | 0.0035 | 0.0105 | 0.0123 | -0.003 |
| | 0.0022 | 0.0021 | 0.0023 | 0.0021 |
| | 0.0023 | 0.0023 | 0.0021 | 120 |
| | 0.5540 | 0.5601 | 0.5506 | -0.006 |

表3. 所有方法在θ=1.2时CL的点估计结果

| 方法 | MLE | MPS | SEL | INEX-h1 | h1 |
|-------------|---------|---------|---------|-----------|
| | 0.3722 | 0.3918 | 0.3634 | -0.0037 |
| | 0.3751 | 0.3634 | -0.0037 |
| | 0.0048 | 0.0050 | 0.0047 | -0.004 |
| | 0.3740 | 0.3859 | 0.3696 | -0.0018 |
| | 0.3756 | 0.3696 | -0.0018 |
| | 0.0018 | 0.0101 | -0.0063 | -0.007 |
| | 0.0023 | 0.0024 | 0.0023 | -0.002 |
| | 0.3776 | 0.3846 | 0.3752 | -0.0087 |
| | 0.3740 | 0.3859 | 0.3696 | -0.0018 |
| | 0.3752 | 0.3745 | 0.3783 | -0.0006 |
| | 0.0018 | 0.0006 | -0.0014 | -0.0006 |
| | 0.0011 | 0.0012 | 0.0011 | 0.0011 |
| | 0.3717 | 0.3762 | 0.3703 | -0.0042 |
| | 0.0004 | -0.0001 | -0.0002 | -0.0005 |
| | 0.0005 | 0.0006 | 0.0005 | 0.0005 |
| | 0.0005 | 0.0005 | 0.0005 | 0.0005 |

表4. 所有方法在θ=1.6时CL的点估计结果

| 方法 | MLE | MPS | SEL | INEX-h1 | h1 |
|-------------|---------|---------|---------|-----------|
| | 0.2516 | 0.2706 | 0.2470 | -0.0019 |
| | 0.2470 | 0.2432 | -0.0027 |
| | 0.2467 | 0.2581 | 0.2445 | -0.0030 |
| | 0.2445 | 0.2426 | -0.0030 |
| | 0.2430 | 0.2491 | -0.0031 |
| | 0.2466 | 0.2532 | -0.0035 |
| | 0.2452 | 0.2443 | -0.0035 |
| | 0.2491 | 0.2479 | -0.0009 |
| | 0.2479 | 0.2473 | -0.0009 |
| | 0.2488 | 0.2532 | -0.0008 |
| | 0.2532 | 0.2479 | -0.0009 |
| | 0.2480 | 0.2473 | -0.0006 |

表5. 所有方法在θ=2时CL的点估计结果

| 方法 | MLE | MPS | SEL | INEX-h1 | h1 |
|-------------|---------|---------|---------|-----------|
| | 0.1628 | 0.1794 | 0.1619 | -0.0026 |
| | 0.1619 | 0.1620 | -0.0035 |
| | 0.1618 | 0.1597 | -0.0036 |
| | 0.1618 | 0.1639 | -0.0011 |
| | 0.1643 | 0.1701 | -0.0047 |
| | 0.1655 | 0.1693 | -0.0007 |
| | 0.1653 | 0.1647 | -0.0007 |
| | 0.1679 | 0.1653 | -0.0001 |
| | 0.1643 | 0.1701 | -0.0025 |
| | 0.1693 | 0.1682 | -0.0001 |
| | 0.1655 | 0.1653 | -0.0001 |
| | 0.1643 | 0.1639 | -0.0007 |

表6. 所有方法在θ=0.8时CL的区间估计结果

| 方法 | 下限 | 上限 | CPAW30 | MPS | MLE |
|-------------|---------|---------|---------|-----------|
| | 0.4411 | 0.9467 | 0.4606 | 0.4330 |
| | 0.4606 | 0.6960 | 0.6687 | 0.4330 |
| | 0.4683 | 0.6403 | 0.9433 |
| | 0.4797 | 0.6497 | 0.9267 |
| | 0.4653 | 0.6343 | 0.9433 |
| | 0.4930 | 0.6150 | 0.9467 |
| | 0.4996 | 0.6207 | 0.9433 |
| | 0.4907 | 0.6122 | 0.9433 |
| | 0.5152 | 0.6090 | 0.9567 |
| | 0.5194 | 0.6128 | 0.9667 |
| | 0.5137 | 0.6072 | 0.9533 |
| | 0.5194 | 0.6128 | 0.9667 |

表7. 所有方法在θ=1.2时CL的区间估计结果

| 方法 | 下限 | 上限 | CPAW30 | MPS | MLE |
|-------------|---------|---------|---------|-----------|
| | 0.2406 | 0.5038 | 0.2633 | 0.26此外，C?L= 0.6005 > c* + zγρθ?= 0.3 + 1.645 × 0.0554 ≈ 0.3911，这证实了拒绝原假设H1的判断。因此，我们接受H1，并得出结论：仅通过化疗达到的依从性水平符合并超过了预期的阈值。根据研究结果，单独使用化疗产生的依从性水平接近60%（C?L = 0.6），下限超过0.5。这一结果与医学文献中记载的范围一致，具有临床适用性和统计学意义（γ< 0.05），反映了化疗作为一种独立治疗方法的微小但显著的疗效。表12展示了在θ = 0.9532的估计值下，生命周期性能指数（CL）与相应的依从率Pr之间的关系。μ和σ的值是使用θ = 0.9532计算得出的，并应用CL和Pr的计算公式得到这些结果。计算针对不同的下限L值进行。R 4.5.0被用于模拟，以生成表12、表13和表14中的数据。

表12. CL与XLND分布下的Pr（θ? = 0.9532）。

表13. 生存时间数据的参数θ和CL的点估计值。
参数 MLE MPS LINEX
h1 -0.5 2 0.001
θ 0.9532 0.931 0.9554 0.9585
CL 0.236 0.256 0.234 0.2341

表14. 生存时间数据的θ和CL的95%渐近区间和可信区间。
参数 MLE MPS MCMC
θ (0.734294, 1.17202) (0.775281, 1.08691) (0.75205, 1.18655)
CL (0.031836, 0.440528) (0.1112729, 0.402297) (0.017865, 0.424673)

从表13和表14可以看出，θ的点估计值在各种方法中都非常稳定。虽然贝叶斯估计值与最大似然估计（MLE）非常接近，但MPS估计得到的θ值略小一些，表明方法的差异性较小。MPS得到的依从性水平CL估计值最大，而其余的贝叶斯和MLE估计值落在0.234–0.236的范围内。在不确定性方面，MPS的渐近区间相对于MLE和贝叶斯MCMC的可信区间最为狭窄。所有区间之间的广泛重叠证实了各估计方法的一致性。所有这些结果均表明，实际依从性水平低于规定的规格限，并支持了X-Lindley模型适用于生存时间数据的观点。

8. 结论
本研究强调了将过程能力指数与灵活的概率模型结合在一起，以评估产品质量和可靠性的重要性。虽然传统的统计过程控制图对于生产过程中的稳定性监控仍然至关重要，但它们对过程能力的实时洞察有限。相比之下，生命周期性能指数提供了一个强大的框架，用于评估过程和系统是否满足预定的质量标准。由于XLindley（XLND）分布具有数学上易于处理和适应性强等优点，它是建模寿命数据的宝贵工具。该分布能够捕捉数据的偏度和变异性，特别适用于医疗和可靠性分析领域，因为经典模型往往无法充分表现这些特征。通过将生命周期性能指数与XLND分布相结合，本研究展示了一种有效的方法来评估化疗患者的生存结果，从而为质量和可靠性研究中的理论发展和实际决策提供了支持。基于模拟研究可以得出结论：贝叶斯和MLE方法在偏差、均方误差（MSE）和覆盖概率方面优于CL和MPS方法，证明了它们在实际应用中的有效性和可靠性。未来的研究可以将这一框架扩展到其他广义Lindley型分布，并探讨其在更广泛的工业和临床环境中的适用性，同时利用先进的推断和计算技术。此外，进一步的研究还可以将这种方法与先进的机器学习技术结合，以提高可靠性分析的预测准确性。

作者贡献声明：
Hadeel AlQadi：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、方法论、形式分析、概念化。
Maysaa Elmahi Abd Elwahab：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、方法论、形式分析、概念化。
Haifa Alqahtani：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、软件、方法论、形式分析、概念化。
Alhanouf Alburaikan：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、软件、方法论、形式分析、概念化。
Ahmed Mohamed El Gazar：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、软件、方法论、形式分析、概念化。