不均匀性和各向正交性对弹性介质动态响应的共同影响：当水平剪切（SH）波作用时，介质中存在圆形空洞

《Mechanics of Materials》：Coupled effects of inhomogeneity and orthotropy on the dynamic response of an elastic media with a circular cavity under shear horizontal (SH) wave incidence

　　林子洋|杨在霖|姜冠熙
南京工业大学土木工程学院，南京，中国

摘要
本研究通过分析圆形腔体在非均质各向异性介质中对剪切水平波的散射现象进行了研究。通过结合辅助函数方法和复函数方法，将非均质各向异性介质的控制方程进行归一化处理。随后，利用复变量表示波场及其对应的应力，并通过边界条件确定未知系数。计算并讨论了腔体表面的动态应力分布以及典型影响因素参数的作用。通过分析图表结果，进一步计算和讨论了波数、非均质参数和各向异性参数对动态应力集中的影响。

引言
多年来，不同领域（如材料科学、无损检测（NDT）、地质科学、地震工程等）都一直关注多相介质中波的传播问题。在波传播理论领域，人们对非均质各向同性介质和均质各向异性介质中的波传播进行了广泛研究，从而建立了成熟的理论框架。这一理论基础为相关的工程应用和实践奠定了坚实基础。然而，实际工程应用常常面临更为复杂的情况，需要在非均质各向异性介质中进行建设和操作活动。因此，对非均质各向异性介质中的波传播现象进行全面研究具有重要意义。
在均质各向同性介质中，随着方法的不断创新，解决SH波散射问题的能力不断突破界限。对于具有规则几何特征的理想化模型，复变量函数方法、共形映射方法和波函数展开方法等分析工具的强大组合可以揭示物理本质。为了解决现实中常见的复杂边界问题（如任意形状、多体系统或随机粗糙表面），计算力学方法显示出了不可替代的价值：间接边界积分方程方法（IBIEM）和有限元/边界元（FEM/BEM）混合方法提供了通用的高精度解决方案。而半解析方法（如加权残差方法和自洽逼近方法）则填补了分析与数值方法之间的空白，提高了复杂问题的可解性。正是这些从分析到数值的各种方法共同促进了该领域方法体系的形成。
非均质介质中SH波的散射问题是波动理论和弹性动力学中一个经典而具有挑战性的边值问题。这一挑战的根源主要来自于介质本身空间分布的非均匀性。介质的非均匀性导致控制方程具有变量系数，这对传统的解析求解方法带来了本质上的困难，催生了众多针对性的理论方法和数值技术。在解析和半解析理论领域，复变量函数方法结合共形映射方法和波函数展开方法构成了主流框架，将物理空间中的非均匀问题转化为复平面上的均匀问题，从而得到圆形、椭圆形腔体或夹杂物周围动态应力集中的解。在数值技术方面，间接边界元方法[17]、改进的有限元方法（如基于边缘的平滑有限元方法ES-FEM-T3）结合完美匹配层（PML）[18]以及基于分层格林函数的方法[19]为处理多层介质、任意地形和饱和多孔介质等更复杂问题提供了强大而灵活的工具。
在SH波散射问题的研究中，各向异性介质模型更接近真实岩石和土壤材料的物理本质，但同时也带来了复杂的控制方程和边界条件协调困难等问题。为了解决这些问题，研究人员开发了以复函数方法为中心的分析框架。对于圆柱体和椭圆等规则夹杂物，该方法结合共形映射方法、多极坐标系和复变换[20, 21, 22]，实现了各向异性波动方程的标准化和复平面上几何边界的精确描述。对于涉及裂纹或多个缺陷的更复杂情况，该方法进一步整合了波函数展开、格林函数和改进的镜像方法[23, 24]，有效地构建了满足半空间自由边界条件和缺陷表面条件的波场。这些方法系统地解决了各向异性、复杂几何形状和半空间边界耦合的问题，加深了对波场和动态应力集中机制的理解。
随着SH波在不同介质中散射的基础理论和方法论框架的不断改进，以及材料科学向功能化、智能化和微型化的快速发展，具有特殊物理性质的复合材料（如压电性或磁电弹性）中的波传播和散射逐渐成为连接基础波动问题与工程应用的关键研究方向。近年来，关于压电材料中波传播的研究不断深入。对于含有腔体和小孔等缺陷的结构，采用了波函数展开方法、复变量方法和共形映射方法等方法来研究圆形腔体散射[25]、非圆形腔体周围的动态应力集中[26]和半椭圆形缺口散射问题[27]。这些研究揭示了动态应力和电场强度的分布特征，并阐明了压电性和表面效应对散射行为的影响。在复杂结构中，WKB方法和变分离方法被用来系统分析功能梯度圆柱壳中的SH波截止频率[28]以及磁电弹性圆柱结构中Love波的传播[29, 30]，发现截止频率序列近似呈等差数列。在纳米尺度上，基于表面弹性理论和扩展的Stroh公式，研究了SH波的尺寸依赖效应和临界厚度[31, 32, 33]。
在方法论方面，扩展的勒让德正交多项式方法（LOPM）被引入用于研究微结构材料中的波传播[34]，同时各种粘弹性模型被用于分析复合材料中的Love波传播[35]。
现有研究对压电材料中波传播的多因素耦合机制进行了广泛调查，取得了一系列重要的阶段性成果。然而，由于参数简化的存在，非均质介质中SH波散射的研究仍存在明显局限性，导致模型假设与介质固有特性之间存在差异。对于非均质各向同性介质中的SH波问题，现有研究基于不同类型的非均质参数进行了系统探索，相关工作可分为三类。第一类关注密度非均匀性。对于典型的密度分布函数（如二次形式[10]、指数形式[12]和径向幂律形式[36]），研究人员开发了包括复函数变换和共形映射方法在内的方法，以实现腔体和夹杂物等结构中波散射问题的解析解。第二类关注剪切模量的非均匀性。对于二次形式[11]和径向幂律形式[37]的模量分布，研究采用了波函数展开方法和镜像方法等手段，揭示了非均质参数对波动响应的影响规律。第三类同时考虑密度和剪切模量的非均匀性。对于具有指数梯度[38]、二次形式（,）[39]的密度和模量非均匀性，完成了波散射和动态应力集中问题的求解。对于非均质各向异性介质，现有研究主要关注横向各向同性介质[40, 41]。但需要注意的是，横向各向同性介质的各向异性具有显著的方向依赖性。在拉伸-压缩主导模式下，这种介质可以表现为非均匀各向异性介质，但在剪切加载下则退化为非均质各向同性介质。目前关于非均质介质中SH波散射的研究缺乏对非均匀性和各向异性的同时考虑。大多数研究要么仅针对单一类型的非均匀介质，要么只能处理特定类型的各向异性（如横向各向异性）。从根本上说，这是由于解决控制方程的难度。当介质同时具有连续非均匀参数和各向异性特性时，波动方程将表现出高度耦合的变量系数特征。传统的解析方法无法推导出同时具有非均匀性和各向异性的介质中的波传播问题的解析解。为应对这一关键挑战，本研究构建了一个针对非均质各向异性介质中SH波散射的解析解框架，并提出了一种结合辅助函数方法和复函数方法的综合解决策略，有效突破了现有方法的适用性限制。

第2节首先介绍了介质呈指数非均匀各向异性耦合的情况，给出了散射模型和本构关系，并解析推导了SH波的控制方程。对于此类介质，结合复函数方法和辅助函数方法来应对非均匀性和各向异性带来的双重数学复杂性。第3节构建了位移场，第4节构建了与位移对应的应力分量的解析表达式。第5节介绍了圆形腔体的边界条件和动态应力集中因子（DSCF）。随后，在第6节计算并讨论了非均质各向异性介质中腔体周围的DSCF。最后，第7节总结了本研究的主要结论。

问题模型
本文研究的二维解析模型如图1所示，该模型由一个位于非均质、各向异性、弹性且满空间介质（密度为ρ，弹性模量为和）中的圆形腔体组成。假定入射SH波以角度α传播。在圆形腔体中心建立了一个笛卡尔坐标系（x, y）。
根据广义胡克定律，位移场的形式为
通过求解控制方程（20），可以知道以角度α在非均质各向异性介质中入射的波的形式为
其中是入射波的振幅。
此外，由腔体引起的散射波可以用圆柱函数表示，其形式为
其中是未确定的参数，是n阶第一类汉克尔函数。因此，固体介质中的整个波场遵循

与位移对应的应力分量
位移和应力之间的关系可以在笛卡尔坐标系中表示为
随后，平面中的应力分量可以表示为
进一步，应力分量可以用极坐标表示为
将波场代入应力分量，可以得到与波场对应的环向和径向应力为

边界条件和动态应力集中
为了求解散射波中的未知参数，利用了腔体的应力边界条件
将方程（29）和（31）代入方程（33），边界条件可以简化为
基于傅里叶级数展开方法和三角函数的正交性，将方程两边同时乘以并对其进行积分，得到
其中，。
求解参数后，可以确定
其中，

验证声明
在讨论数值结果之前，先对所提出的方法进行验证。本节（第6节）和下一节（第7节）中使用的参数是无量纲的。由于通过将级数截断为有限项来求解未知参数，因此需要验证数值计算的收敛性和所得结果的有效性。图2展示了数值计算的收敛性测试。

结论
本研究解决了非均质各向异性介质中SH波的传播问题，并建立了一个结合辅助函数方法和各向异性控制方程变换的解框架。这种方法有效地克服了在复杂非均匀正交各向异性介质中求解波动方程的挑战，并相比以往的研究，扩大了可研究的SH波散射介质范围。根据所提出的方法，CRediT作者贡献声明如下：

杨在林：负责监督、资金获取、概念构思和验证工作。
林子陽：负责撰写初稿、软件开发及实验研究。
江冠熙：负责撰写、审稿和编辑工作，同时承担监督、方法论设计及资金获取的任务。

**伦理批准与参与同意**
本研究未涉及人类参与者、动物实验或生物材料，因此无需伦理批准或知情同意。

**出版同意**
所有作者均已阅读并批准修订后的手稿，并同意将其提交至《Mechanics of Materials》杂志发表。作者确认本研究未曾在其他地方发表，也不会同时被其他期刊考虑出版。

**数据与材料的可获得性**
所有支持本研究结果的数据均包含在文章中。

**资金支持**
本研究得到了国家自然科学基金地震科学项目（项目编号：U2239252）和中国地震局创新研究团队项目的共同资助。

**利益冲突声明**
作者声明不存在任何利益冲突。

**致谢**
本研究得到了国家自然科学基金地震科学项目（项目编号：U2239252）和中国地震局创新研究团队项目的共同资助。