流过Rankine椭圆形物体时涡脱落起始现象的研究

《Ocean Engineering》：Onset of vortex shedding in flow past Rankine ovals

　　徐照月|刘毅|姚华东|王世超|何国伟
中国科学院力学研究所非线性力学国家重点实验室，北京北四环西路15号，100190，中国

摘要
兰金椭圆是势流理论的基础，然而其在粘性流中的特性却鲜有研究。兰金椭圆的几何形状由参数Ua/m定义，其中U表示来流速度，a表示源与汇之间的半距离，m表示源强度。在本研究中，我们利用直接数值模拟方法研究了雷诺数（Re）从10到200以及Ua/m从0到1范围内的涡脱落现象及其相关的流体动力学行为。结果表明Ua/m与临界雷诺数Re之间存在线性关系。我们进一步分析了升力系数、阻力系数、斯特劳哈尔数（St）以及涡流形成机制。通过数据驱动的量纲分析，我们推导出了与Ua/m无关的斯特劳哈尔数和摩擦阻力系数的通用经验公式。我们还证明了当Ua/m足够大时，可以使用势流理论来预测压力阻力。这种方法无需进行模拟即可可靠地估算总水动力阻力。通过研究由物理有意义的参数Ua/m定义的各种几何形状下的兰金椭圆的行为，本研究提供了系统的水动力数据，并为钝体研究及相关工程应用提供了有益的指导。

引言
兰金椭圆由威廉·约翰·麦克科恩·兰金在19世纪首次提出，是势流理论中的一个经典解（Rankine, 1871; Wisniak, 2007）。该模型在流体力学教科书中被广泛引用（Batchelor, 1967; White, 1998），因为它通过将均匀流与源-汇对结合起来，优雅地阐释了叠加原理。由于其解析性质，兰金椭圆允许精确计算流场参数，如速度和压力分布，因此成为验证数值方法和探索守恒定律的宝贵工具。
除了经典理论之外，兰金椭圆在工程实践中也有广泛应用。其主要用途在于海洋水动力学，它是分析水下船体和水下物体的基础模型（Newman, 2018; Wang et al., 2020; Liu and Jin, 2017）。例如，研究人员研究了其在自由表面下的运动行为（Sahin and Hyman, 1993），分析了其从静止状态开始的运动（Shaffer, 1966），并在分层流中对其加速和减速进行了数值模拟（Yu and Hu, 2022）。除了开放水域航行外，兰金椭圆还用于研究限制性流体中的流动。值得注意的是，Suner等人（2015, 2015, 2018）利用其几何形状对隧道车辆（包括内部有孔的设计）进行了建模，这对于优化能效和功能性能至关重要。作为一种“基本模块”（Sahin and Hyman, 1993），这种基本形状被用来近似复杂船体几何形状并推导相应的流场。此外，该模型还在其他领域得到应用。在风能领域，Araya等人（2014）用它来表示垂直轴风力涡轮机；在声学领域，它被用来研究飞机周围的散射效应（Laik and Morris, 1998, 2000）。许多其他理论研究也继续将兰金椭圆作为标准的解析基准（Goel and Gang, 1995; Xu et al., 2006; Zubarev, 1984）。
尽管兰金椭圆在这些不同的工程领域有广泛的应用，但其粘性流动的基本流体动力学特性仍然很大程度上未被探索。相比之下，围绕其他典型物体（如圆形、椭圆和多边形）的非稳态不可压流动由于其尾流中的复杂物理现象而被 thoroughly研究了（Lekkala et al., 2022）。其中，圆柱体是最主要的基准；对其流动特性的研究可以追溯到Karman（1911）和Thom（1933）的经典工作。自此以后，大量的实验和数值研究将其确立为理解涡流动力学的标准（Roshko, 1961; Chorin, 1973; Chew et al., 1995; Chen et al., 1995; Norberg, 2003; Lehmkuhl et al., 2013; Wang et al., 2018）。类似的研究也针对其他几何形状进行，例如尖缘圆柱体（McLaren et al., 1969）和多边形（Xu et al., 2017, Lysenko and Ertesv?g, 2021, Lysenko et al., 2021），发现阻力系数和流动分离现象对几何形状和雷诺数（Re）非常敏感。
鉴于圆柱体和多边形圆柱体尾流拓扑的相似性，这些文献记录的流动转变为研究兰金椭圆提供了必要的框架。随着Re的增加，流动最初附着在物体表面，随后发生分离。在低Re值时，涡流保持对称且稳定。然而，超过一个临界雷诺数（Rec）后，尾流变得不稳定，导致交替出现的涡流周期性脱落，这种现象称为卡门涡街（Karman, 1911）。这种转变被正式描述为霍普夫分叉（Provansal et al., 1987; Noack and Eckelmann, 1994）。长期以来，人们一直致力于确定钝体的Rec值以更好地理解流动不稳定性。基础综述（Zdravkovich, 1981; Williamson, 1996, Zdravkovich, 1997）强调Rec对微小的几何变化和流动扰动非常敏感。这种众所周知的敏感性表明，对于兰金椭圆来说，控制其轮廓的特定参数——即源-汇强度和分离距离——可能对其尾流稳定性产生深远影响，但这种关系尚未被系统量化。
最近的研究进一步探讨了物体形状的逐渐改变如何影响其涡脱落特性，支持了这一假设。例如，在椭圆圆柱体的情况下，Thompson等人（2014）观察到当几何形状从平板变为圆柱体时（纵横比从0到1），Rec和临界斯特劳哈尔数（Stc）显著增加。对于从方形截面变为圆形截面的圆柱体，也观察到了类似的趋势。Zafar和Alam（2019）在Re=150时通过改变角半径进行了研究，发现随着半径比的增加，斯特劳哈尔数和努塞尔特数也增加。关于不稳定性的起始，Abdelhamid等人（2021）发现将方形圆柱体的角圆滑处理后，Rec从49.5略微降低到46.7。除了简单的角修改外，纵横比的变化也起着关键作用。Rastan等人（2022）确定了Re=40?100范围内从方形变为平板配置的矩形圆柱体的Rec值。更广泛地，Chiarini等人（2022）通过提出一个缩放律来预测包括椭圆、矩形、三角形和菱形在内的多种钝体的霍普夫不稳定性的起始。
与椭圆或矩形不同，兰金椭圆是由具有直接物理意义的参数定义的，即来流速度U∞、源-汇强度m和半距离a。虽然其势流解已知，但其在粘性流中的行为——特别是在不同几何参数下的涡脱落起始和演变——仍知之甚少。为了填补这一空白，本数值研究探讨了不同Re范围内的兰金椭圆的非稳态流动。本研究旨在探讨兰金椭球独有的形状变化如何影响Rec、St、水动力系数和整体尾流拓扑。此外，在已确定的定量趋势基础上，我们试图建立经验相关性以估算Rec和这些系数。本文的其余部分组织如下：第2节描述了数值方法和验证；第3节详细分析了结果；第4节总结了主要结论。

兰金椭圆
兰金椭圆是由均匀流和源-汇对的叠加形成的闭合流线，如图1所示。坐标系的原点位于兰金椭圆的质心。x轴与来流方向（U∞）对齐，y轴垂直于它。强度为+m的源和强度为-m的汇分别位于x轴上的（?a,0）和（a,0）。因此，在x=±...处会出现停滞点。

结果与讨论
本节全面分析了兰金椭圆周围的流动特性，探讨了从稳态到非稳态的转变及其产生的水动力性能。

结论
本研究通过广泛的直接数值模拟系统研究了兰金椭圆的流体动力学。通过在Re和Ua/m定义的广泛参数空间内进行研究，我们探讨了流动状态的演变、涡流结构和力系数。本工作的一个主要发现是Rec与Ua/m之间的近似线性关系，这为界定这些流动中涡脱落的起始提供了明确的标准。此外，我们还探讨了CRedi...

作者贡献声明
徐照月：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析、数据整理、概念化。
刘毅：验证、软件。
姚华东：撰写——审稿与编辑、监督、资源、项目管理、资金获取。
王世超：撰写——审稿与编辑、监督、软件、资源、项目管理、概念化。
何国伟：撰写——审稿与编辑、监督、资源、项目管理、概念化。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能会影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家自然科学基金委员会非线性力学多尺度问题卓越研究群体项目（项目编号12588201）、瑞典交通管理局的SafeWinds项目（项目编号TRV2024/98491）、中国国家自然科学基金（项目编号12425207）以及中国科学院青年科学家基础研究项目的支持（项目编号YSBR-087）。计算和数据处理得益于提供的资源。