基于空间频率响应的相干扫描干涉测量术地形细节恢复方法

《Optics and Lasers in Engineering》：Topography details restoration method for coherence scanning interferometry based on the spatial frequency response

　　侯润州 | 邱晓月 | 任明军 | 苏蓉
上海交通大学机械工程学院，上海200240，中国

**摘要**
使用低放大倍率物镜的相干扫描干涉测量（CSI）能够实现大视场测量并保持高轴向分辨率，但横向分辨率受限，导致关键的中频空间地形细节丢失。本文提出了一种基于空间频率响应（SFR）的地形细节恢复方法，用于频域中的CSI。SFR是根据校准的三维传递函数和相应的成像模型计算得出的。然后从SFR中得到的频率依赖性补偿因子被应用于测量光谱，以恢复衰减的成分。引入了一个噪声参考表面，以在测量信号接近噪声背景的频率处调节补偿，从而防止噪声驱动的伪影。在自开发的CSI系统上的仿真和实验表明，在有效带宽内，补偿后的20倍放大倍率结果与更高分辨率参考仪器的测量结果更加一致，同时在更高频率下仍保持稳定性能。

**引言**
近年来，光学技术的进步推动了对复杂光学组件需求的持续增长[1,2]。在制造这些组件的过程中，控制表面误差至关重要。切割、研磨和抛光等工艺中由制造设备引入的中频空间（MSF）误差会导致最终光学系统的分辨率和对比度下降[3,4]。为了抑制MSF误差，光学组件通常需要经过机械加工、测量和校正加工的迭代循环，在多次迭代中逐步减少表面偏差。在这个过程中，测量步骤的准确性和速度直接影响迭代效率，进而决定了整个生产周期的时间和成本。这迫切需要既快速又准确的地表误差测量技术[[5], [6], [7]]。
为了满足快速和精确测量的需求，相干扫描干涉测量（CSI）因其高精度、高测量效率和非接触式能力而被广泛使用[8,9]。因此，在过程检测中，通常选择低放大倍率物镜来提供大视场，同时保持高轴向精度[10,11]。然而，CSI系统的横向分辨率受衍射限制，并且显著受到显微镜物镜数值孔径（NA）的影响。在同一台仪器内，使用较低放大倍率的物镜增加视场通常会降低横向分辨率。当MSF误差的特征尺寸接近系统的横向分辨率极限时，这些误差会被系统传递函数衰减。这种衰减会导致误差幅值被低估和地形细节的丢失[12]。
为了在使用低放大倍率物镜的CSI测量中准确恢复表面地形，已经提出了几种方法。Perrin等人[13]将微球引入光路以辅助干涉测量并提高有效NA。这种方法显著提高了亚波长表面地形的测量精度。然而，它需要修改光学设置，并依赖于微球的精确放置和对准，从而增加了对准和整合的复杂性。Xin等人[14]应用快速超分辨率卷积神经网络对使用低放大倍率物镜获取的白光干涉条纹图像进行预处理。他们结合了质心法和五步相位移动算法来重建区域表面地形，实现了接近100倍放大倍率物镜的高度精度和细节质量。Zhu等人[15]进一步报告了一种基于仿真的机器学习方法，用于快速校正CSI中的坡度相关误差。这些基于学习的方法可以提供高效的数据驱动补偿，但通常需要大量的训练数据。此外，不同CSI系统之间的光学传递特性差异可能会限制其可移植性和泛化能力。作为一种实用的后处理方法，基于传递函数的校准可以在衍射极限内提高测量精度。Hirose等人[16]描述了使用仪器传递函数（ITF）对不同空间频率分量的CSI响应，并开发了一个傅里叶域恢复滤波器来补偿蚀刻云母样品的测量。然而，基于ITF的方法要求系统满足线性假设[17]，并且在复杂样品或非理想测量条件下的通用性仍然有限。
作为ITF的一种更通用形式，空间频率响应（SFR）能够表征不同时满足小高度和Kirchhoff近似的典型CSI测量中的横向地形分辨率[16]。它量化了仪器对特定空间频率下孤立正弦表面结构的高度-幅度响应[18]。因此，用SFR代替ITF进行地形细节恢复具有更广泛的适用性。
在这项工作中，我们提出了一种基于SFR的频域补偿方法，用于低放大倍率CSI测量。SFR是根据校准的三维传递函数（3D TF）和使用相应成像模型计算得出的。然后通过逐点反演来校正测量光谱。为了防止噪声放大，引入了一个噪声参考表面来限制补偿。该方法通过仿真进行了验证，并在比较实验中进一步评估，其中使用100倍CSI测量作为基准，以评估补偿后20倍结果中衰减细节的恢复情况。原子力显微镜（AFM）测量结果进一步用于验证和解释比较分析中观察到的残差差异。

**Snippets**
**SFR的计算**
SFR定义为孤立正弦表面结构的测量输出幅度与标称输入幅度的比值：
$$
fSFR(\nu, a_{\text{out}}, a_{\text{in}p} = \frac{a_{\text{out}}(\nu, a_{\text{in}p})}{a_{\text{in}p}
$$
其中$a_{\text{out}}$和$a_{\text{in}p}$分别表示空间频率$\nu$下孤立正弦地形成分的测量输出幅度和标称输入幅度。实际上，通常使用正弦波的最大斜率$\gamma_{\text{in}p}$代替$a_{\text{in}p}$作为输入条件，以获得完整连续的SFR表面。

**仿真**
为了验证所提出的方法在恢复地形细节方面的能力以及其在补偿过程中抑制噪声放大的效果，使用经过验证的虚拟相干扫描干涉仪（VCSI）[25]进行了仿真。VCSI模拟了真实CSI系统的测量输出。电子散粒噪声是CSI测量噪声的重要组成部分。在VCSI中，通过蒙特卡洛方法模拟其影响，以评估所提出方法的有效性。

**仪器和材料**
为了评估所提出补偿方法的实际性能，基于自开发的CSI系统进行了比较实验。该CSI系统的中心波长为0.57 μm，配备了20倍（NA 0.4）和100倍（NA 0.7）的Mirau干涉显微镜物镜。选择了两种通过不同工艺制造的样品来评估地形细节的恢复情况。第一个样品是图3(a)所示的圆形啁啾光栅。

**结论**
本文提出了一种基于SFR的CSI频域补偿方法，用于定量纠正由于横向分辨率限制而导致的低放大倍率测量中地形细节的衰减。该方法在频域中使用SFR进行逐点反演，并结合噪声参考表面来防止测量噪声的放大，从而提高补偿稳定性。仿真结果证明了所提出方法的可行性。

**资助**
本工作得到了国家自然科学基金（资助编号62303440）、中国科学院战略性先导科技专项（资助编号XDA0380000）和国家自然科学基金（资助编号U22A20176）的支持。

**作者贡献声明**
侯润州：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原始草案、验证、方法论、调查、正式分析、数据管理。
邱晓月：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原始草案、监督、概念化。
任明军：撰写 – 审稿与编辑、监督、资源准备、概念化。
苏蓉：撰写 – 审稿与编辑、监督、资源准备、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明以下可能的财务利益/个人关系：
邱晓月表示得到了国家自然科学基金的财务支持。
苏蓉表示得到了中国科学院的财务支持。
任明军表示得到了国家自然科学基金的财务支持。
如果还有其他作者，他们声明没有已知的财务冲突。

**致谢**
作者衷心感谢Opti-Cal GmbH的Dr. Matthias Eifler提供了本工作中使用的样品，以及ZKLY Instrument Technology提供了CSI仪器的使用权。