原子力显微镜（AFM）是一种用于在微观和纳米尺度上检查和表征材料表面的成熟技术。它广泛应用于从材料科学和表面科学到能源研究和纳米技术等多个领域[1]，[2]。由于其卓越的空间分辨率和多功能性，AFM不断找到新的应用领域，尤其是在医学和生物科学领域[3]，[4]。
与传统材料科学应用不同，生物学和生命科学的研究通常涉及时间依赖性或瞬态样本。捕捉生物过程中的快速变化需要高速扫描，这促使了高速原子力显微镜（HS-AFM）的发展[5]。潜在的应用包括动态生化过程和生物分子过程的实时成像[6]，[7]，甚至扩展到单分子酶活性和膜动力学等更先进的领域。
对于HS-AFM而言，表面接触力学变得越来越重要，其中探针的耐用性至关重要。一种策略是使用高耐磨性的探针[8]，另一种策略是采用非接触式AFM（NC-AFM）操作。在这种模式下，探针在选定的频率附近振动，通过检测振荡幅度或频率的变化来反映悬臂梁与表面的距离关系。为了获得更高的信噪比（SNR），通常采用更大的振荡幅度，并在共振频率或接近共振频率处进行驱动，以利用-因子放大效应。
AFM的分辨率和带宽受到多种因素的限制。最近的进展解决了扫描仪和平台动态[9]，[10]、自适应控制方案的实施[11]以及基于模型的数据处理方法的发展[12]等问题。这些努力显著提高了HS-AFM的性能，但也揭示了新的瓶颈。其中一个关键限制是探针本身的动态特性，它限制了接触模式下的有效扫描带宽，或者非接触或敲击模式下的选定驱动频率。
为了避免这一限制，人们开发了具有更高基本共振频率的探针[13]，[14]。然而，这样的探针通常具有较小的横向尺寸和较低的振动幅度，这可能影响信噪比（SNR）和稳健性。也提出了非标准的HS-AFM探针来减轻这些缺点[15]，[16]，[17]。其中，主动压阻式悬臂梁（APiCs）集成了驱动和挠度检测功能，可以作为自感知和自驱动的探针[18]。根据设计，这类探针可以达到相对较高的共振频率，但其性能仍受到实际操作和信号传输所需有限横向尺寸的限制（图1）。
另一种提高时间响应的方法是利用悬臂梁的高阶固有模式，因为其特征响应时间与频率成反比。多项研究表明，使用悬臂梁的第二或第三横向固有模式可以进行非接触或动态模式下的AFM操作[19]，[20]。这种方法的主要缺点是较高模式下的振动幅度显著减小，这与挠度检测系统的固定灵敏度相结合，导致信噪比降低。
从工程角度来看，这些限制促使人们有目的地修改悬臂梁的几何形状，以调整固有频率和模式形状。在振动结构力学中，通常采用基于梯度的方法进行最优设计，这些方法利用形状敏感性，即通过边界变化来更新几何形状，同时保持拓扑结构不变，这一方法已在经典形状计算文献中得到发展[21]，[22]。对于拓扑优化，常用的方法包括均质化和密度方法。例如，固体各向同性材料惩罚（SIMP）方法将设计问题简化为材料分布问题，并有大量的理论和软件支持[23]，[24]。另一种拓扑策略是拓扑导数框架，该方法利用渐近灵敏度信息引入或移除孔洞[25]，[26]。最近，水平集方法特别受到关注，因为它们结合了形状敏感性和隐式边界跟踪，允许通过汉密尔顿-雅可比前沿传播实现较大的拓扑变化[27]，[28]，[29]。在电气工程领域，也有类似问题的研究[30]，[31]，[32]，其中考虑了受麦克斯韦特征值问题约束的确定性或多目标形状优化。
本研究的新颖之处在于将适合技术需求的模式选择性调优概念与数学上严格的方法相结合，以提高APiC对选定更高横向固有模式的灵敏度。在这项工作中，第二模式被选为最广泛适用的模式，尽管该方法也可以用于调整任何所需的固有模式。这种有针对性的修改能够调整局部弯曲刚度，并选择性地放大所需的模态响应。出于实验目的，使用聚焦离子束（FIB）加工出锐利的狭缝。否则，可以使用典型的CMOS工艺完全制造出优化后的形状。
为了继续优化狭缝形状，我们采用形状导数方法计算所需的灵敏度，并将其纳入多目标最速下降算法中。同时，我们使用FIB在悬臂梁上加工一系列槽口，并进行模态灵敏度表征。我们比较了实验结果和优化结果，发现对于某些狭缝尺寸范围，两者是一致的。
据我们所知，尚未有系统优化预制AFM悬臂梁的类似修改。在[33]中，通过桥-悬臂梁耦合系统限制振动节点的方法被提出，而不是修改振节点。尽管在技术上是可行的，但这种方法需要专门且更复杂的悬臂梁设计。相比之下，这里提出的方法可以应用于主动和被动的预制悬臂梁，正如最近在[34]中所展示的那样，因此与现有的AFM平台和工作流程兼容。
本文的结构如下。第2节描述了实验验证，包括测试的活性悬臂梁和横向FIB加工过程。第3节介绍了振动结构力学中的形状优化框架，包括分析模型、线性弹性特征值问题（EVP）的FE分析以及形状导数的概念。第4节报告和讨论了数值和实验结果。最后，第5节总结了主要发现。
