利用变分法最小化磁透镜的球面像差

《Ultramicroscopy》：Minimization of spherical aberration for a magnetic lens with the aid of calculus of variations

　　哈桑·N·阿尔-奥拜迪
玛斯坦西里亚大学，教育学院，物理系，巴格达，伊拉克

**摘要**
变分法被用来合成磁性透镜。通过使用余弦场方程，近似计算了所提出的透镜的轴向磁场。在仅考虑近轴光线方程作为约束条件的情况下，减少了近似场的球面像差。最小化过程衍生出了两个欧拉方程。这两个欧拉方程的解产生了两个二阶微分方程。结合近轴光线公式，这些方程构成了一套三个相互关联的微分方程组。利用这套方程组，得到了磁场及其轨迹的分布，从而实现了最小化的球面像差。随后，重构了能够产生最佳磁场的极片。结果表明，该算法能够有效减小特定磁场的球面像差，且重构的极片形状易于复制。

**引言**
电子透镜存在称为像差的固有缺陷，这些像差可以分为五类[1]。属于几何像差类型的球面像差是降低物镜质量的最重要因素[2]。遗憾的是，球面像差和色差与其他像差一样无法完全消除。谢尔泽尔在1936年就圆形透镜证明了这一点[3]。自电子透镜发明以来，人们一直在努力减少这类像差。实际上，这些努力发展成了现在所称的透镜优化技术。电子透镜优化主要分为分析和综合两种方法[4]。
分析方法基于试错，设计师从已知的几何和物理系统透镜出发，通过改变其几何尺寸和/或物理参数来改善性能，这一过程不断重复直至获得满意的结果。而综合方法则是从定义最优系统的标准开始，寻找满足这些标准的场分布[5,6]。综合方法的第二步是找到能够产生最优场分布的几何形状。
变分法属于合成优化的古老技术之一。特雷特纳于1954年首次将其应用于减少磁性和静电透镜的像差[7]。他找到了圆形磁性和静电透镜的球面像差及色差系数的最小可能值[8]。随后，特雷特纳通过一系列变量变换简化了这些关系[4,8]。他还以直观的方式绘制了磁场轴向像差系数与焦距的关系图[9]。
变分法的应用范围扩展到了计算磁性四极系统的最小球面像差和色差[10,11]。摩西在1973年首次引入物理约束，以降低计算复杂性[8]。该方法成功实现了无彗差、球面和色差最小的磁场分布。这种方法被用于优化由格拉泽场模型描述的磁性透镜[12]。在物体位于无场区域的情况下，也利用类似方法优化了多种磁场[8]。同时优化了磁场的球面和色差，以获得具有最大驱动潜能的优化透镜[13]。还有通过变分法优化的磁性和静电透镜组合[14,15]。
变分法速度快且准确，但计算过程复杂，需要大量的计算工作[16]。这可能是为什么与其他优化技术相比，关于变分法的文献较少。因此，本研究旨在探索通过减少操作约束来降低计算复杂性的方法。减少操作条件数量可以更灵活地应对限制数学计算的不必要因素。此外，本研究还旨在采用最实用有效的综合方法来完成优化的第二步。

**关键词**
球面像差；电子透镜；优化；变分法

**参考文献**
（略）