具有紧半群的Hadamard分数半线性积分-微分方程的温和解的局部存在性与规律性 Ahmad Al-Omari 和 Mohammad H. M. Rashid

《Axioms》：Local Existence and Regularity of Mild Solutions for Hadamard Fractional Semilinear Integro-Differential Equations with Compact Semigroups Ahmad Al-Omari and Mohammad H. M. Rashid

　　摘要 我们研究了在带有Hadamard分数导数的Banach空间中半线性分数积分-微分方程的局部适定性。该方程为????????????(??)=??????(??)+???(??,???(??)),∫??1???(??,??)????(??,???(??))????，且???(1)=??0，其中A生成一个紧致的??0半群。利用Schauder不动点定理，在线性增长条件下证明了局部存在性。在Lipschitz假设下，通过Banach收敛原理证明了唯一性。主要贡献是一个针对满足Carathéodory条件和Osgood型增长的非Lipschitz非线性的详细定理，在该定理中我们证明了温和解的存在性和额外规则性。文中提供了一个具有Lipschitz非线性的示例。

1. 引言和预备知识
分数微积分最近取得了巨大的发展，已成为描述具有记忆和遗传特性的物理、生物和工程现象的强大数学工具。与仅依赖于局部行为的经典导数不同，分数导数能够捕捉系统过去状态的依赖性，使其非常适合描述异常扩散过程、粘弹性系统、异质材料中的热传递以及具有休息期的人口动态。在许多分数导数的定义中（如Riemann-Liouville、Caputo和Grünwald–Letnikov），Hadamard分数导数[1,2,3]因其独特对数核而脱颖而出。这种核使其特别适用于定义在区间上的问题，以及过去的影响缓慢衰减的系统，因为对数变换允许对具有不同时间尺度的现象进行建模。
分数积分-微分方程结合了分数微分方程和积分方程的特性，为描述瞬时速率取决于变量整个历史的系统提供了一个灵活的框架。本文重点讨论了方程(1)的局部存在性和规则性，当A生成一个紧致的??0半群时。在X上的紧致半群的无穷小生成元由表示；连续非线性函数为；连续核为；β阶的Hadamard分数导数表示为。当β=1时，方程(1)简化为Bahuguna和Srivastava[4]使用紧致半群理论研究的经典半线性积分-微分方程。然而，尽管Hadamard分数版本具有广泛的应用潜力，但它仍然相对较少被探索。主要难点在于对数核，这使得标准技术（例如Laplace变换）效果较差，以及在初始点的分数积分的奇异行为。一些工作使用不动点理论研究了分数微分方程的存在性和唯一性。例如，Li和Changpin[5]在H?lder空间中应用了Banach收敛原理。另一方面，Zhou、Li和Zhou[6]依靠Schauder定理证明了具有非局部边界条件的分数演化方程的温和解的存在性。然而，这些研究大多假设非线性函数满足Lipschitz条件，这在许多实际应用中是一个限制性要求，因为函数可能表现出非Lipschitz积分依赖性。这种情况下需要使用Carathéodory条件和Osgood型增长进行更细致的处理。
本文的主要贡献是提供了一个不需要假设非线性函数Lipschitz连续性的温和解的局部存在性和规则性定理。相反，我们使用了Carathéodory条件（见[7]，在常微分方程中是标准的）以及积分增长条件（见[8,9]），这些条件允许函数具有高阶。由A生成的半群的紧致性弥补了Lipschitz连续性的缺失，使得可以在连续函数空间中应用Schauder不动点定理。我们还证明了如果初始值属于生成元的定义域，则温和解获得了额外的规则性（属于H?lder空间）。

鉴于Hadamard分数积分-微分方程在工程和物理应用中的重要性（见[10,11,12,13]），这些结果为分析此类系统提供了新的理论工具。此外，第4节中提供的示例验证了所需条件，并展示了如何在实际背景下应用这些定理。当前的工作还展示了如何结合不同的技术：紧致半群理论、Hadamard分数积分、不动点定理（Schauder、Banach）、H?lder不等式和对数核估计。这种组合在之前的Hadamard积分-微分方程研究中尚未系统地使用。

第2节我们回顾了必要的定义和预备知识（Hadamard分数积分、导数、紧致半群、温和解和Hadamard–Gronwall不等式）。第3节致力于局部存在性结果：首先在线性增长条件下使用Schauder定理（定理1），然后在Lipschitz假设下使用Banach定理获得唯一性（定理2）。第4节包含主要的理论贡献（定理3），其中我们处理满足Carathéodory条件和积分增长的非Lipschitz非线性，并证明了存在性以及额外的规则性。第6节提出了一个关于具有Laplace算子和Dirichlet边界条件的详细示例，展示了如何满足Banach定理的条件。我们以对结果的讨论和未来研究方向的探讨结束本文。

分数微分方程已成为在科学和工程各个领域建模记忆和遗传现象的重要工具。设X是一个具有范数的Banach空间。对于，定义。让表示具有上确界范数的连续函数空间。

定义1 ([1])。对于和函数，β阶的Hadamard分数积分为，前提是积分存在。

定义2 ([1])。对于和，β阶的Hadamard分数导数为。

注1。Hadamard导数定义在区间上，因为核涉及，并且需要。在本文中，我们为了简便起见取。这种选择并不具有限制性：任何在上给出的初始值问题都可以通过平移转换为，这保持了常数延迟γ。因此，定义域是没有损失的。

定义3 (半群 [14])。如果一个族是半群，那么对于每个，都有；定义了无穷小生成元A。

定义4 ([14])。如果对于每个，是一个紧致算子，则称半群为紧致的。

注2。在本文中，我们假设生成一个紧致的半群。紧致性对于应用Schauder不动点定理和获得规则性是必要的。注意，半群是为定义的，而分数积分是从1开始的；这不是一个矛盾，因为我们对进行评估，所以。

定义5 (温和解)。如果一个函数满足积分方程，则称其为(1)的温和解。

引理1 (Hadamard–Gronwall [15])。设，并且让是在上非负且局部可积的函数。假设是非负的、非递减的，并且被常数m界定。如果，则。特别地，如果（常数），那么，其中是Mittag–Leffler函数。

2. 通过Schauder不动点定理的局部存在性
本节建立了半线性分数积分-微分问题(1)的温和解的许多局部存在性发现。由生成的半群的紧致性对我们的研究至关重要，因为它允许我们应用许多不动点定理。

定理1。设在X上生成一个紧致的半群，对于所有都满足。进一步假设：核是连续的，并且存在使得对于每个；映射是连续的；对于每个和每个，存在正常数，使得。那么，对于每个，可以找到使得(1)至少有一个温和解的最小值。

证明。证明分为几个步骤。步骤1：通过定义。步骤2：参数选择。设是一个稍后确定的常数。考虑闭球。我们将展示，对于足够小的和适当选择的R，将映射到自身。对于任何，我们估计。由于，我们有。现在估计的参数。使用上的增长条件和K的有界性，因此，使用上的增长条件，因此，使用上的增长条件，因此。计算积分：。因此，选择。然后，对于足够接近1的（以便和都足够小），第二项变得小于。因此，这表明。步骤3：的连续性。设是在中一致收敛的序列。由于是连续的，我们有逐点收敛：此外，从增长条件来看，是在n和s中一致有界的。因此，支配收敛理论意味着。因此是连续的。步骤4：的紧致性（完全连续性）。我们展示了在中的等距连续性和相对紧致性。等距连续性：设和。那么随着趋于0，因为是强连续的。两个积分的差可以分为三部分：使用在紧致区间上的核的一致连续性和的强连续性，每一部分都可以随着在中任意小。因此是等距连续的。对于固定的，考虑集合。我们可以将写为Riemann和的极限。由于对于是紧致的，并且系数是有界的，每个Riemann和都位于一个紧集中。因此极限（在u中一致）位于一个紧集的闭凸包中，所以是相对紧致的。从Arzelà–Ascoli定理，是在中相对紧致的。步骤5：Schauder定理的应用。我们展示了是连续的和完全连续的（将有界集映射到相对紧集）。Schauder不动点定理保证了存在一个固定点，使得。根据定义，这个u是(1)的温和解。这完成了证明。

我们使用Banach收敛性推导了以下局部存在性和唯一性的结果：

定理2。设在X上生成一个紧致的半群，对于所有都满足。假设满足以下条件：核是连续的，并且对于某个常数满足；函数是连续的；对于每个和每个，存在常数，使得。那么，对于每个初始值，存在使得(1)具有唯一的温和解。

证明。定义如前一个证明中的算子。对于任何，我们估计差值。步骤1：F的Lipschitz估计。设。然后使用的Lipschitz性质。步骤2：的估计。步骤3：简化双重积分。设。然后对于双重积分，交换积分的顺序：步骤4：收敛条件。结合这些估计，我们得到选择足够小的，使得。因此，是在上的一个收敛。根据Banach不动点定理，上的唯一温和解是唯一的固定点。

3. 具有非Lipschitz非线性的存在性和规则性
我们使用以下估计（通过初等微积分证明）：为了完整性，我们回顾了标准结果（证明可以在[4]中找到）。在第2节的定理1和2中已经建立了线性增长条件（Schauder）和Lipschitz条件（Banach）下的经典局部存在性和唯一性结果。因此，在本节中，我们专注于更一般的情况，即具有Carathéodory条件和Osgood型非线性（下面的定理3）。

注3。的存在性取决于Lipschitz常数和通过选择R以及对的限制。收敛条件可以独立于初始数据的大小来满足，只需将足够接近1。这对于具有Lipschitz非线性的半线性演化方程是标准的。这是主要的理论贡献。我们现在考虑的情况是，不一定是Lipschitz的，但满足Carathéodory条件和允许非线性如的增长条件。

定理3。假设在X上生成一个紧致的半群，对于某些和满足。以下假设是必须满足的：(A)映射满足Carathéodory条件：对于每个固定的，函数是可测的；对于几乎每个，映射是连续的；存在一个连续的非递减和具有的函数；(B)映射是完全连续的（即，它将有界集映射到相对紧集）。此外：存在一个连续的非递减和具有的函数，且对于所有，ρ在的每个有界子集上是一致连续的。(C)核是有界的且连续的，即对于某些和所有。(D)满足后续的增长条件：那么，对于每个初始数据，可以找到使得(1)至少有一个温和解。此外，如果属于（生成元的定义域），温和解显示出额外的规则性：对于某些，它更强烈地满足方程。

证明。证明分为多个步骤。定义通过。步骤2：参数选择。设是一个稍后确定的常数。设置。我们展示对于足够小的和适当的R，和是完全连续的。首先，估计内部积分项。对于任何和，由于，H?lder不等式给出。对于小的情况，这是小的。现在，使用增长条件，在上表示为。然后利用指数p和（其中），应用H?lder不等式：当时，积分收敛，因为。选择，并注意意味着。直接代入得到。由于，在0处收敛，我们需要，即。这等价于（因为）。因此积分是有限的。对于，我们有。现在选择。值R被选择为初始半群项满足。条件（D）是Osgood型增长在R的定义中没有明确出现，但它被用来控制积分项。使用增长条件，我们得到，其中保持有界，因为和是连续的。然后，随着的增大，右侧趋向于0。因此我们可以选择非常接近1的值，使得这一项。因此，这证明了对于闭球。

步骤3：的完全连续性。我们证明是连续的，并将有界集映射到相对紧集。连续性：设在中。对于每个s，由于在第二和第三个论证中（几乎处处）的连续性和控制收敛定理（使用可积性界限），我们在X中得到。然后利用的有界性和核的可积性，我们得到一致地。

等连续性：对于和，第一项随着的增大而趋向于0，由于T的强连续性。第二项使用了核在上的均匀连续性和的强连续性。第三项被限制在，因为积分趋向于0（因为随着的增大积分区间缩小）。因此是等连续的。

相对紧致性：对于固定的，写出。由于对于是紧致的，并且系数是有界的，每个黎曼和都属于一个紧集（T的紧致性和的有界性）。这样的和的极限位于一个紧集的闭凸包内，因此是相对紧致的。根据Arzelá–Ascoli定理，在中是相对紧致的。

步骤4：由于是完全连续的并且连续的，Schauder的不动点定理给出了一个在上的解，这是一个温和的解决方案。

步骤5：的规则性。如果，那么是可微的，其导数是连续的。分数积分项从的紧致性和的连续性继承了规则性。标准论证（见[14]）表明对于某些，满足了几乎处处的Hadamard导数意义上的方程。这完成了证明。

注释4：定理3通过允许非Lipschitz非线性特性以及Carathéodory条件和Osgood型增长，显著扩展了先前的结果。半群的紧致性补偿了Lipschitz连续性的缺乏。

4. 说明性示例：Banach收缩原理的验证
在整个示例中，我们使用Banach空间作为空间变量，而时间域从1开始，因为使用了Hadamard导数。线性算子是。众所周知，在X上生成了一个紧致的半群。由傅里叶正弦级数提供。此外，对于所有。初始条件设在：（或一个移位版本）。使用了阶的Hadamard分数导数。

这个示例验证了定理2（Banach收缩原理）的条件。

示例1. 考察以下在上的分数积分-微分方程：
（3）
带有边界条件对于，并且初始条件对于。
定义非线性函数：
然后方程变为
假设的验证：
1. 半群属性：生成了一个紧致的半群。
2. φ的Lipschitz连续性：对于任何和，鉴于函数的导数被限制在1内。因此，
3. ρ的Lipschitz连续性：
因为。因此。
4. 核的有界性：对于所有，所以。
定理2的所有条件都得到了满足。因此，存在这样的，使得问题有一个唯一的温和解。
温和解由下式给出：

4.1. 数值说明
这项数值研究调查了带有边界条件和初始条件的分数积分-微分方程（3）。我们展示了不同分数阶的数值解，分析了收敛行为，并验证了理论存在性和唯一性结果。数值实验证明了温和解公式的有效性，并验证了理论分析中使用的Banach收缩原理。
分数积分-微分方程（1）在Banach空间中考虑，其中：
温和解由下式给出：

其中是由生成的半群：
对于数值实现：
空间离散化：在中的点；
时间离散化：在中有点的点；
傅里叶模式：用于半群近似的模式；
求积：复合Simpson规则用于积分；
不动点迭代：容差。

表1显示了在不同分数阶下，固定点迭代的收敛性。图1显示了在不同时间点的解的空间剖面。图2显示了在不同分数阶下，解的时间演变。由于是分段常数，每个子区间都有一个固定的记忆指数。较小的表示更强的记忆和较慢的松弛，而较大的对应于较弱的内存和更快的松弛。在处的突然变化捕捉了系统记忆属性的突然变化。这种行为与图2中显示的数值结果一致。

表2展示了在选定的空间和时间点的数值解。表3显示了在不同空间离散化下的误差分析。表4总结了在不同分数阶下，的解的行为。图3将数值解与Hadamard–Gronwall不等式的理论界限进行了比较。

4.2. 半群逼近的收敛性
表5显示了傅里叶级数逼近半群算子的收敛性。表5显示了半群逼近的收敛性（，）。固定点收敛：迭代在10次迭代内迅速收敛，与压缩映射定理一致。随着的增大，压缩常数减小。
分数阶效应：较小的（更强的记忆效应）导致更快的初始增长，但长时间值较小。这反映了分数导数的异常扩散性质。
空间剖面：解保持正弦形状，振幅向边界衰减，满足在和处的DIRICHLET条件。
数值收敛：在空间中的二阶收敛，傅里叶级数指数级收敛，验证了数值方案。
理论验证：所有数值解都位于Hadamard–Gronwall不等式预测的理论界限内，确认了分析估计。

5. 结论性评论
数值实验证实了：
- 定理2中证明的温和解的存在性和唯一性；
- 固定点迭代的快速收敛（）；
- 满足边界条件的平滑空间剖面；
- 对分数阶的强烈依赖性；
- 数值方案的二阶收敛。
这些结果提供了强有力的数值证据，支持了理论框架，并证明了温和解公式在Hadamard分数积分-微分方程中的实际适用性。

6. 结论
在本文中，我们全面研究了Banach空间中半线性Hadamard分数积分-微分方程的局部存在性和唯一性，其中算子A生成了一个紧致的半群。使用Schauder不动点定理，我们在线性增长条件下证明了局部存在性定理。在Lipschitz假设下，通过Banach收缩原理得到了唯一性。主要的理论贡献是处理满足Carathéodory条件和Osgood型增长的非Lipschitz非线性的定理（见[16]），在其中我们证明了当初始值属于生成器的域时解的存在性和额外的规则性。我们以一个示例来验证Banach定理的条件，并确认了理论结果。未来的研究可以面向研究长期行为（稳定性、爆炸性）、添加脉冲效应或无限延迟，或将这些结果应用于异质介质中的特定分数扩散方程。