非正曲率共形平坦空间中f-双调和超曲面的分类与存在性 王泽平（Ze-Ping Wang）、 秦丽华（Li-Hua Qin）和 陈雪仪（Xue-Yi Chen）

《Axioms》：Classification and Existence of f-Biharmonic Hypersurfaces in Nonpositively Curved Conformally Flat Spaces Ze-Ping Wang, Li-Hua Qin and Xue-Yi Chen

　　摘要 我们首先研究了维数??≥3的黎曼流形中完全脐的超曲面的f-双调和性，并证明了在非正曲率流形中，任何没有边界的全完全脐的适当f-双和谐超曲面都必须是非紧致的。由于双调和子流形是f-双调和子流形的一种特殊情况，我们在非正曲率共形平坦空间中对f-双和谐超曲面的研究结果为广义陈猜想提供了一个自然的扩展。然后，我们研究了共形平坦空间中完全脐的超平面的f-双调和性。接下来，我们研究了共形平坦三维空间中的f-双和谐曲面，并且对于具有非零平均曲率（CMC）的那些曲面，我们在三维空间形式中提供了它们的完整分类。最后，我们研究了具有负截面曲率的共形平坦空间中的超曲面的f-双调和性。我们的结果推广了一些关于双调和超曲面的先前结论。

1. 引言和预备知识
本文研究的所有映射、流形和张量场都假设是光滑的，除非另有说明。
双调和映射是从m维黎曼流形到n维黎曼流形的映射，其双张力场恒等于零（见[1]），即（1）
这里，表示相对于黎曼度量g的迹运算。此外，表示由给出的曲率算子。
f-双调和映射是其f-张力场满足偏微分方程系统的映射（参见例如[2,3]）（2）
从变分的角度来看，双调和映射是双能量泛函的临界点，而f-双调和映射是f-双能量泛函的临界点。
这里，f作为一个权重函数，通过引入一个变量系数，使我们能够在保持自然变分结构的同时研究更大类别的映射和子流形。由于加权算子在共形几何、几何分析和曲率限制下的子流形理论中频繁出现，f-双调和条件为双调和性提供了一个自然且灵活的扩展。
众所周知，如果黎曼流形之间的映射的张力场恒等于零，则该映射称为调和映射（参见例如[4]）。显然，任何调和映射都是双调和映射，而任何双调和映射都是f-双调和映射。因此，我们看到f-双调和映射概括了调和映射和双调和映射的概念。它们之间有以下严格的包含关系：
我们称非双调和的f-双调和映射为适当的f-双调和映射。
回想一下，如果定义它的等距浸入是双调和映射（分别是f-双调和映射），则子流形称为双调和（分别是f-双调和）子流形。显然，每个双调和子流形都是f-双调和子流形，但是具有非恒定正值函数f的f-双调和子流形不是双调和的。根据[5]，在一般黎曼流形中的超曲面的双调和方程（由等距浸入定义）可以表述如下：
定理1（[5]）。设是一个具有平均曲率向量场的超曲面。那么，?是双调和的当且仅当
这里，A表示相对于单位法向量场ξ的超曲面的形状算子，是相应环境的Ricci算子。
如果我们采用定理1中的相同符号约定，那么在一般黎曼流形中的超曲面的f-双调和方程可以表述如下：
定理2（[3,6]）。具有平均曲率向量场的超曲面是f-双调和的当且仅当
（3）
这等价于
我们之前提到，f-双调和映射是双调和映射的推广。自然地，f-双调和子流形概括了双调和子流形的概念。
双调和子流形的研究集中在一个基本问题上：在某些模型空间中对双调和子流形进行分类，例如空间形式、共形平坦空间和齐次空间。尽管已经取得了显著进展，但以下猜想在一般情况下仍然是一个未解决的问题：
陈猜想（[7]）：任何欧几里得空间中的双调和子流形都是调和的（即最小的）。
我们注意到，原始猜想中的环境空间是欧几里得空间，这与本文考虑的曲率空间形成了对比。在双调和子流形的研究中另一个有趣的问题是以下猜想：
广义陈猜想（[8]）：任何具有非正截面曲率的中的双调和子流形都是最小的。
关于双调和子流形的更多例子，以及双调和映射的基本例子和性质，我们建议读者参考[2,3,6,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]及其中的参考文献。
我们想指出，广义陈猜想在[16]中被证明是错误的，通过在具有负截面曲率的五维共形平坦空间中构造适当的f-双和谐超平面。在那篇论文中，作者利用这个结果和乘积映射的双调和性构造了无数个在非正曲率黎曼流形中的适当双调和子流形的例子。作为双调和子流形的推广，遵循[16]中的想法，我们专注于研究共形平坦空间中的f-双和谐子流形，在那里可以选择合适的共形因子来确保它们的存在。然后，我们研究在非正曲率黎曼流形中是否存在适当的f-双调和子流形。
另一方面，从二维黎曼流形到黎曼流形的f-双调和性、双调和性和共形性之间存在一个有趣的关系（见[3]，定理2.3和推论3.6，详情）。鉴于这种关系，研究某些模型空间中的f-双调和子流形将是非常有趣的。关于f-双调和子流形的一些进展，以及f-双调和映射的基本例子和性质，我们建议读者参考[2,3,6,15,20,21,22,23,24]和书籍[17]及其中的参考文献。
我们称一个黎曼流形为共形平坦空间，如果对于该流形中的任何点都存在一个与欧几里得空间的开子集共形微分同胚的邻域。注意，所有二维黎曼流形、空间形式和都是共形平坦空间。
在本文中，我们将专注于在非正曲率共形平坦空间中f-双和谐超曲面的分类和存在性。
本文的组织结构如下：
在第2节中，我们首先研究了维数中的完全脐的f-双和谐超曲面在黎曼流形中的情况，然后我们研究了共形平坦空间中完全脐的f-双和谐超曲面的f-双调和性。在第3节中，我们利用f-双和谐曲面来构造双调和共形浸入，并且反过来从规定的共形浸入产生f-双和谐曲面。同时，我们建立了三维空间形式中具有非零平均曲率的f-双和谐曲面的完整分类。第4节专注于在非正曲率流形中构造适当的f-双和谐子流形的显式例子。遵循[12,16]中的研究思路，我们在具有严格负截面曲率的共形平坦空间中构造了完全脐的适当f-双和谐超曲面（），这为非正曲率流形中的适当f-双和谐子流形提供了具体的例子。最后，第5节总结了本文的主要几何结果，并提出了一些未来研究的前瞻性问题。

2. 完全脐的f-双和谐超曲面
在本节中，我们首先研究了黎曼流形中的完全脐的f-双和谐超曲面。然后，我们研究了共形平坦空间中的一组完全脐的f-双和谐超曲面的f-双调和性。这些超曲面是通过从一个欧几里得空间中的完全测地超平面开始，然后对欧几里得度量进行适当的共形变换得到共形平坦度量来构造的。更具体地说，遵循[12,16]，我们分析了一个完全脐的超平面在共形平坦空间中的f-双调和性，其中是常数。
我们现在准备提供一个在一般黎曼流形中完全脐的f-双和谐超曲面的特征描述。
定理3。一个具有平均曲率向量场的完全脐的超曲面是f-双和谐的当且仅当满足以下情况之一：
（i）该超曲面是完全测地的；
（ii）或者，这种情况下超曲面是双调和的。特别是，如果，那么；
（iii），，且H是满足以下偏微分方程的非恒定值：（4）在超曲面上，其中c是一个正常数。此外，由于超曲面的完全脐性质，（4）的第一个方程自然成立，此时超曲面是适当的f-双和谐的。
证明。一个m维黎曼流形的正交标架适应到具有作为平均曲率向量的完全脐的超曲面上。由此可知，，，，并且直接计算得出Ricci曲率：
（5）
由于是具有主曲率H的主方向，可以验证
（6）
以及
（7）
其中B表示超曲面的第二基本形式，B的协变导数由定义。
从（6）中减去（7）并应用（5）以及超曲面的Codazzi方程，我们得到
（8）
这意味着对于完全脐的超曲面，（4）的第一个方程自然成立。
显然，意味着超曲面是完全测地的。
此后，我们假设。
将（9）代入（3）的第二个方程并简化结果得到
（10）在超曲面上，其中是一个常数。这表明要么，要么迫使f是常数。在这种情况下，定理2意味着超曲面是f-双和谐的当且仅当它是双调和的。此外，对于非零常数H，（3）得出。
现在，假设且H是非恒定的。将（10）代入（3）的第一个方程并简化结果得到
（11）
总结上述论点，定理得以证明。
□
注1. 在定理3的证明中，结合f-双调和条件、脐性质、非零平均曲率和Codazzi方程，我们推导出方程（10），它在超曲面上产生，其中c是一个正常数。这意味着对于，指数消失，这立即给出。因此，无论H如何，f必然是常数，f和H之间的耦合消失了，f-双调和条件对H没有额外的限制，除了脐假设之外。
作为定理3的直接结果，我们得到以下推论：
推论1。一个具有平均曲率向量场的完全脐的超曲面是适当的f-双和谐的当且仅当，且H是非恒定的，满足
（12）在超曲面上，其中是一个常数。
推论2（[6]）。在任何双曲空间或欧几里得空间中的完全脐的f-双和谐超曲面都是完全测地的；在球面中的完全脐的f-双和谐超曲面是小球面的一部分或大球面的一部分。
证明。设是一个具有常数截面曲率的空间形式中的完全脐的f-双和谐超曲面。因此，。根据定理3，该超曲面是一个完全脐的双调和超曲面。众所周知，这样的双调和超曲面在双曲空间和欧几里得空间中是完全测地的（参见例如[1,7]），且在中的完全脐的双和谐超曲面是小球面或大球面的一部分（[8,10]）。
□
注2. （i）推论2也在[6]中以不同的方式得到了证明。
（ii）根据定理3和推论1，可以得出在任何中，任何完全脐的四维超曲面都不能是适当的f-双和谐的，任何完全脐的适当f-双和谐超曲面都具有非恒定的平均曲率。注意，在中具有的完全脐的双和谐超曲面必须具有恒定的平均曲率（[10,25]）。
比较[16]中的引理3.1和[12]中的定理3.4很有趣，后者提供了许多在共形平坦5-空间中具有非恒定平均曲率的完全脐的适当四维双和谐超曲形的例子。
对于，我们的定理3恢复了[23]中的定理2.1。
应用推论1，我们得到以下命题：
命题1。在任何非正曲率流形中，没有边界的完全脐的适当f-双和谐超曲面必须是一个非紧致的m维流形，具有和。
证明。设是一个在非正曲率流形中的具有平均曲率向量场的完全脐的超曲面。这意味着。
我们展示了如果超曲面是适当的f-双和谐的，那么它必须是非紧致的。实际上，根据推论1，适当的f-双和谐性意味着（非恒定）和。结合这些条件，使用（12）进行直接计算得出
（13）在超曲面上。
对于，代入（13）得到，这是一个矛盾。对于，（13）意味着是在超曲面上严格次调和的函数。如果没有边界的超曲面是紧凑的，Hopf定理将迫使是常数；因此，H是常数，这与（非恒定）矛盾。因此，命题得以证明。
□
注3. 对于和，考虑在一个非正曲率流形中没有边界的完全脐的适当f-双和谐m维超曲面。在定理3的证明中，不等式在超曲面上成立，其中H是平均曲率。如果该不等式是无界的，那么它强制要求至少以多项式速度增长。我们需要以下技术性命题。命题2：对于常数a、b和c，设f(x)由x^3 + ax^2 + bx + c定义。由f(x)定义的超曲面是适当的f-双调和的当且仅当函数f(x)是非常数的，并且β满足以下偏微分方程（PDE）：Δf(x) + b* Δ^2f(x) + c* Δ^3f(x) = 0（在这里Δ是相对于度量g的拉普拉斯算子）。证明：很容易验证，由f(x)定义的超曲面是完全测地的，并且具有单位法向量场。因此，该超曲面是一个完全脐点的超曲面，具有单位法向量场和平均曲率H（参见例如[13,26]）。关于度量h，我们应用[16]中的声明II来计算Ricci曲率：Ricci.Documents(f(x), h) = -1/3 * Δ(f(x), h) * Δ(f(x), h) + 1/3 * [f(x)*g(x)^2 - g(x)*f(x)*Δ(f(x), h) + Δ(f(x), x]/h^3。通过取一个适应于超曲面的正交基，可以轻易地得出（由于H是常数，因此这个计算是简洁的）。对于完全脐点的超曲面，不等式自然成立。结合推论1和（15）以及（18），命题得以证明。□如果命题2中的f(x)仅依赖于变量z，那么以下定理提供了一种构造f-双调和超曲面的主要技术：定理4：由f(x)定义的超曲面是适当的f-双调和的当且仅当函数f(x)是非常数的，并且β满足以下常微分方程（ODE）：β(x) = ax^2 + bx + c x^(3/2)（在超曲面上）。这里a、b和c是常数。证明：根据命题2，由f(x)定义的超曲面是完全脐点的，并且具有单位法向量场和平均曲率H。对于a和b，简单的计算得出（由于H是常数，所以这个计算是直接的）。注意到对于f(x)，β(x) = ax^2 + bx + c x^(3/2)和β(x) = ax^2 + bx + c x^(5/2)成立。将这些代入（14）以及（20）并简化得到的方程可以得到（19）。结合这个结果和命题2，我们就得到了定理。□作为定理4的直接结果，我们得到以下推论：推论3：对于在共形平坦空间中由f(x)定义的曲面，如果函数f(x)是非常数的，并且β满足以下常微分方程：β(x) = ax^2 + bx^3，那么这个曲面是适当的f-双调和的。这里a、b和c是常数。注释4：值得注意的是，在定理4和推论3中至少存在一个非零常数c。如果命题2中的f(x)仅依赖于变量z，那么以下定理提供了另一种构造f-双调和超曲面的主要技术：定理5：在共形平坦空间中，由f(x)定义的超曲面是适当的f-双调和的当且仅当函数f(x)是非常数的，并且β满足以下偏微分方程：β(x) = ax^2 + bx + c x^(4/2)。这里a、b和c是常数。证明：如果命题2中的f(x)仅依赖于变量z，那么根据推论2，由f(x)定义的超曲面是完全脐点的，并且具有单位法向量场和平均曲率H。对于a和b，简单的计算得出（由于H是常数，所以这个计算是直接的）。将这些代入（14）并简化得到的方程可以得到（20）。结合这个结果和命题2，我们就得到了定理。□作为定理5的直接结果，我们得到以下推论：推论4：在共形平坦空间中，由f(x)定义的曲面是适当的f-双调和的当且仅当函数f(x)是非常数的，并且β满足以下常微分方程：β(x) = ax^3 + bx^4。这里a、b和c是常数。3. -双调和曲面和双调和共形浸没在本节中，我们使用f-双调和曲面来构造双调和共形浸没，并且反过来使用给定的曲面的共形浸没来构造f-双调和曲面。我们还获得了3-空间形式中f-双调和曲面的分类结果。根据[3]中的定理2.3，一个映射是f-双调和映射当且仅当它是双调和映射。双调和性、f-双调和性和2-流形的共形性之间的有趣联系可以如下陈述：引理1（[3]）：一个映射是f-双调和映射当且仅当它是双调和映射。特别地，一个曲面（即等距浸没）是f-双调和曲面当且仅当共形浸没是具有共形因子α的双调和映射。证明：引理的第一部分是[3]中的定理2.3。第二部分是基于第一部分以及诱导度量的关系得出的，这表明α = 1/H，因此β(x) = ax^2 + bx + c x^(3/2)。□应用推论3，我们得到以下命题，它在共形平坦的3-空间中提供了适当的f-双调和曲面。命题3：设a、b和c是正常数，让上半空间由U表示，让σ(x) = x^3 + ax^2 + bx表示函数。那么，对于函数f(x)，由σ(x)定义的曲面是适当的f-双调和的。证明：根据推论3，如果由σ(x)定义的曲面是适当的f-双调和的，那么f(x)满足方程σ(x) + b* Δ^2f(x) + c* Δ^3f(x) = 0在曲面上。这个方程的一般解是f(x) = ax^3/3 + (bx^2/3 + c*x^(1/3))，其中a、b和c是常数。为了满足命题的要求（即在U上f''(x) > 0），我们取a和b为适当的值。由此，命题得以证明。□注释5：如命题3的证明所示，函数β可以从常微分方程中完全确定。因此，对于命题3中给定的等距浸没（实际上是一个图），与周围空间的共形平坦度量相关的共形因子β可以被明确给出。根据推论4，我们也可以得到适当的f-双调和曲面。命题4：设a、b和c是正常数，并让上半空间由U表示。对于每个i属于Z，其中f_i(x) = x^(i/2)，那么在共形平坦空间中由f_i(x)定义的曲面是适当的f-双调和的。证明：我们将寻找在目标流形上非常数的特殊解的形式f_i(x) = ax^(i/2)。将这个表达式代入方程（23）并重新排列项，我们得到以下方程：通过引入一个分离常数，这个方程可以分解为两个独立的常微分方程。为了简化分析并获得明确的特殊解，我们设置a和b为适当的值，这将系统简化为（25）。解决（25），我们得到（26）。为了满足命题的要求（即在U上f''(x) > 0），我们取适当的值。结合这些结果并应用推论4，我们得到命题。□根据引理1和命题3，我们可以构造到共形平坦空间的适当的双调和共形浸没。推论5：使用与命题3中相同的符号，对于正函数f(x)，共形浸没是适当的f-双调和的。使用引理1和命题4，我们也可以得到到共形平坦空间的适当的双调和共形浸没。推论6：使用与命题4中相同的符号，对于a、b和c，共形浸没是适当的f-双调和的。另一方面，我们可以使用引理1来构造适当的f-双调和曲面。注意，[24]中定理2.6的陈述（iii）可以表述为：命题5：设a、b和c是常数，对于f(x)，共形浸没是适当的f-双调和的。使用引理1和命题5，我们得到到共形3-球面的适当f-双调和曲面的一个族。推论7：设a、b和c是常数，对于f(x)，曲面是适当的f-双调和的。在本节的最后，我们为3-空间形式中的f-双调和曲面提供了一个分类结果。定理6：在3-空间形式中，具有非零常数平均曲率的曲面是适当的f-双调和的当且仅当它是一个半径为R的圆柱体的一部分，其中H表示曲面的平均曲率。此外，在和中不存在适当的CMC f-双调和曲面。证明：假设在3-空间形式（具有常数截面曲率C）中具有非零常数平均曲率的曲面f是f-双调和的。根据定理2，我们得到（27）。为了解方程（27），我们选择在曲面上适应的正交基，使得对于每个方向的主要曲率分别为κ_i和κ_j。然后（27）的第二个方程简化为（28）。根据假设，我们有。不失一般性，假设κ_i > κ_j。由于，方程（28）得出（29）。另一方面，高斯方程给出（30）。结合这个，我们得到关键关系：（31）。应用Codazzi方程，我们得到（32）。给定a和b（非零常数），这意味着（33）。现在我们使用曲面的曲率公式计算（34）。将（33）代入（34）并使用关系（31），我们发现目标空间必须是欧几里得空间。结合上述结果和[20]中的定理2.10，我们得出结论：在中的曲面是适当的f-双调和的当且仅当它是半径为R的圆柱体的一部分。这完成了定理的证明。□经典结果表明，在中，圆柱体既不是最小曲面也不是双调和曲面。然而，根据引理1和定理6，在欧几里得空间中这样的圆柱体可以是适当的f-双调和的。因此，我们得到以下推论：推论8：设是一个在3-空间形式中具有非零常数平均曲率的曲面。那么，具有正的非常数共形因子β的共形浸没是适当的f-双调和的当且仅当它是半径为R的圆柱体的一部分。注释6：在[20]中，作者证明了标准球体的任何部分都不能双调和地共形浸没到中，而具有非零常数平均曲率的曲面可以双调和地共形浸没到中当且仅当它是圆柱体的一部分——尽管是通过不同的方法。我们的推论8恢复了这些结果。注释7：根据推论1，具有单位法向量场的完全脐点适当f-双调和曲面满足β(x) = ax^2 + bx^3，这意味着不能是非正曲率流形。4. 适当的-f-双调和超曲面和双调和共形浸没在本节中，我们使用f-双调和曲面来构造双调和共形浸没，并且相反地使用给定的曲面的共形浸没来构造f-双调和曲面。我们还获得了3-空间形式中f-双调和曲面的分类结果。根据[3]中的定理2.3，一个映射是f-双调和映射当且仅当它是双调和映射。双调和性、f-双调和性和2-流形的共形性之间的有趣联系可以如下陈述：引理1（[3]）：一个映射是f-双调和映射当且仅当它是双调和映射。特别地，一个曲面（即等距浸没）是f-双调和曲面当且仅当共形浸没是具有共形因子α的双调和映射。证明：引理的第一部分是[3]中的定理2.3。第二部分是基于第一部分以及诱导度量的关系得出的，这意味着α = 1/H，因此β(x) = ax^2 + bx + c x^(3/2)。这是[3]中的推论3.6。□应用推论3，我们得到以下命题，它在共形平坦的3-空间中提供了适当的f-双调和曲面。命题3：设a、b和c是正常数，让上半空间由U表示。然后，对于函数f(x)，由f(x)定义的曲面是适当的f-双调和的。证明：根据推论3，如果由f(x)定义的曲面是适当的f-双调和的，那么f(x)满足方程f''(x) + b* Δ^2f(x) + c* Δ^3f(x) = 0在曲面上。这个方程的一般解是f(x) = ax^3/3 + (bx^2/3 + c*x^(1/3))，其中a和b是常数。为了满足命题的要求（即在U上f''(x) > 0），我们取a和b为适当的值。由此，命题得以证明。注释5：如命题3的证明所示，函数β可以从常微分方程中完全确定。因此，对于命题3中给定的等距浸没（实际上是一个图），与周围空间的共形平坦度量相关的共形因子β可以被明确给出。根据推论4，我们也可以得到适当的f-双调和曲面。命题4：设a、b和c是正常数，并让上半空间由U表示。对于每个i属于Z，其中f_i(x) = x^(i/2)，那么在共形平坦空间中由f_i(x)定义的曲面是适当的f-双调和的。证明：我们将寻找在目标流形上非常数的方程（23）的特殊解的形式f_i(x) = ax^(i/2)。将这个表达式代入方程（23）并重新排列项，我们得到以下方程：通过引入一个分离常数，这个方程可以分解为两个独立的常微分方程。为了简化分析并获得明确的特殊解，我们设置a和b为适当的值，这将系统简化为（25）。解决（25），我们得到（26）。为了满足命题的要求（即在U上f''(x) > 0），我们取适当的值。结合这些结果并应用推论4，我们得到命题。□根据引理1和命题3，我们可以构造到共形平坦空间的适当的双调和共形浸没。推论5：使用与命题3中相同的符号，对于正函数f(x)，共形浸没是适当的f-双调和的。使用引理1和命题4，我们也可以得到到共形平坦空间的适当的双调和共形浸没。推论6：使用与命题4中相同的符号，对于a、b和c，共形浸没是适当的f-双调和的。另一方面，我们可以使用引理1来构造适当的f-双调和曲面。注意，[24]中定理2.6的陈述（iii）可以表述为：命题5：设a、b和c是常数，对于f(x)，共形浸没是适当的f-双调和的。使用引理1和命题5，我们得到到共形3-球面的适当的f-双调和曲面的一个族。推论7：设a、b和c是常数，对于f(x)，曲面是适当的f-双调和的。在本节的最后，我们为3-空间形式中的f-双调和曲面提供了一个分类结果。定理6：在3-空间形式中，具有非零常数平均曲率的曲面是适当的f-双调和的当且仅当它是一个半径为R的圆柱体的一部分，其中H表示曲面的平均曲率。此外，在和中不存在适当的CMC f-双调和曲面。证明：假设在3-空间形式（具有常数截面曲率C）中具有非零常数平均曲率的曲面f是f-双调和的。根据定理2，我们得到（27）。为了解方程（27），我们选择在曲面上适应的正交基，使得对于每个方向的主要曲率分别为κ_i和κ_j。然后（27）的第二个方程简化为（28）。根据假设，我们有。不失一般性，假设κ_i > κ_j。由于，方程（28）得出（29）。另一方面，高斯方程给出（30）。结合这个，我们得出关键关系：（31）。应用Codazzi方程，我们得到（32）。给定a和b（非零常数），这意味着（33）。现在我们使用曲面的曲率公式计算（34）。将（33）代入（34）并使用关系（31），我们发现目标空间必须是欧几里得空间。结合上述结果和[20]中的定理2.10，我们得出结论：在中的曲面是适当的f-双调和的当且仅当它是半径为R的圆柱体的一部分。这完成了定理的证明。□经典结果表明，在中的圆柱体既不是最小曲面也不是双调和曲面。尽管如此，根据引理1和定理6，在欧几里得空间中的这样的圆柱体可以是适当的f-双调和的。因此，我们得到以下推论：推论8：设是一个在3-空间形式中具有非零常数平均曲率的曲面。那么，具有正的非常数共形因子β的共形浸没是适当的f-双调和的当且仅当它是半径为R的圆柱体的一部分。注释6：在[20]中，作者证明了标准球体的任何部分都不能双调和地共形浸没到中，而具有非零常数平均曲率的曲面可以双调和地共形浸没到中当且仅当它是圆柱体的一部分——尽管是通过不同的方法。我们的推论8恢复了这些结果。注释7：根据推论1，具有单位法向量场的完全脐点适当f-双调和曲面满足β(x) = ax^2 + bx^3，这意味着不能是非正曲率流形。4. 适当的-f-双调和超曲面和我们有之前指出，通过在五维共形平坦空间中构造适当的双调和超平面，并且在具有负截面曲率的空间中构造适当的双调和超平面，已经推翻了Chen的猜设 和 是任一点处任意平面截面上的一组正交归一基。类似于[16]中的引理3.2（或[12]中的引理3.3）中计算截面曲率的方法，这个共形平坦空间的截面曲率由下式给出：（38）其中， 和 对于。结合 或 ，该表达式简化为 或 。由于 和 ，上述两个表达式中的花括号部分都是负数。因此，引理得证。□为了总结这一节，我们提出了关于具有非正截面曲率的共形平坦空间中子流形的f-双调和性的结果。推论9：（i）在任何具有非正截面曲率的三维流形中，任何完全脐状的f-双调和曲面都是极小曲面。实际上，这样的曲面是完全测地的。（ii）在非正曲率流形中，存在无限多个适当的f-双调和m维子流形（满足 和 ）。证明（i）：根据定理3，如果一个完全脐状的曲面（具有单位法向量场）是f-双调和的，那么它要么是完全测地的，要么满足条件。现在，考虑一个在 中具有严格负截面曲率的完全脐状f-双调和曲面。由于具有严格负截面曲率的流形的里奇曲率不可能为正（因为里奇曲率是截面曲率的总和），因此情况 不可能成立。因此，该曲面必须是完全测地的。对于完全测地的曲面，平均曲率，所以该曲面是极小曲面。这证明了第一个结论。□证明（ii）：根据命题6（ii）、命题7（ii）和引理2，我们可以找到许多在具有严格负截面曲率的共形平坦空间中完全脐状适当f-双调和超曲面的例子。为了构造无限多个这样的子流形，我们按照以下步骤进行：1. 设 是命题6（ii）中给出的适当f-双调和超曲面。2. 设 是由 定义的完全测地嵌入，其中k是一个正整数， 是一个欧几里得空间。根据[23]中的注释3，复合体 （带有 ）是一个适当的f-双调和子流形。根据引理2，共形平坦空间 的截面曲率为负。欧几里得空间 的截面曲率为零，因此它们的乘积 的截面曲率是非正的。由于k可以是任何正整数，并且命题6（ii）中的常数 是任意的（受 限制），我们获得了无限多个这样的子流形。这证明了第二个结论。□注释8：（i）我们指出，推论9推翻了高维情况下f-双调和情况的广义Chen猜想，为此猜想的精神提供了一个反例。（ii）将推论9的证明与[23]中的注释3结合起来，并将乘积流形中的第二个因子设为具有非正截面曲率的流形，我们也可以在非正曲率流形中构造适当的f-双调和m维子流形（满足 和 ）。（iii）对于适当的双调和超曲面，它们在不同环境空间中的存在性如下：在n维欧几里得空间中，对于 ，不存在；在n维双曲空间中，对于 ，它们的存在性尚未证明；在球面空间中，可以构造适当的双调和超曲面。对于适当的f-双调和超曲面，它们在更广泛的环境空间中存在。一般来说，在欧几里得空间、球面空间、双曲空间和共形平坦空间中，通过解决函数f满足的方程相对容易构造适当的f-双调和超曲面，并且它们的存在性也相对容易证明。然而，当加入某些刚性条件时，情况会发生变化：例如，在三维球面空间和双曲空间中，不存在具有非零平均曲率的适当f-双调和超曲面，这样的超曲面仅存在于三维欧几里得空间中。5. 结论本文聚焦于共形平坦空间中的f-双调和超曲面。我们描述了通用黎曼流形中完全脐状f-双调和超曲面的性质，证明了在非正曲率流形中这样的适当超曲面（没有边界）是非紧致的，并研究了共形平坦空间中完全脐状超平面的f-双调和性。我们还分类了在三维空间形式中具有非零平均曲率（CMC）的适当f-双调和曲面，并探讨了在具有严格负截面曲率的共形平坦n空间中的f-双调和超曲面。特别是，定理6中的分类结果揭示了一种独特的刚性：即使引入了权重函数f的灵活性，具有非零CMC的适当f-双调和曲面也受到周围几何结构的强烈限制，仅存在于平坦的欧几里得空间中，而不是 或 中。推论9为高维情况下的f-双调和子流形情况提供了无限多个明显的反例，并对其在f-双调和推广下的有效性提供了见解。此外，将推论9的证明与相关结果结合起来，我们在非正曲率流形中构造了无限多个适当的f-双调和m维子流形（ 和 ）。我们的结果推广了Ou和Tang [13,16]的一些工作。我们指出，在[13,16]中，任何对广义Chen猜想的明确反例都必须是一个四维子流形。对于未来的研究方向，我们建议研究非平坦均匀空间中的f-双调和子流形，并探索与不同权重函数f类别相关的几何性质。