从史蒂文森形式复杂的超几何多项式到严格定义为实数的罗曼诺夫斯基-罗斯多项式的漫长探索 格雷戈里·纳坦森

《Axioms》：Long Journey from Stevenson’s Formally Complex Hypergeometric Polynomials to Real-by-Definition Romanovski-Routh Polynomials Gregory Natanson

　　摘要 本文将Stevenson形式上复杂的超几何多项式与实数定义的Romanovski-Routh（R-Routh）多项式联系起来。Stevenson的二阶正常常微分方程（NODE）的谱问题被构建得可以重新用于与有限区间上的“三角Rosen-Morse”（t-RM）势和直线上的隐式Milson势相关的两个Sturm-Liouville问题（SLPs），这两个问题都可以用R-Routh多项式求解。具体来说，所求的特征函数需要表示在负无穷大和正无穷大处的主Frobenius解。我们将这些边界条件称为“对偶PFS”问题。通过考虑Romanovski-Routh多项式的度数n必须恰好有n个实数零点以及所讨论的离散能量谱没有上界，证明了前者SLP可以精确求解。作为这一证明的直接结果，我们发现提到的d-PFS问题以及与直线上Milson势相关的第二个SLP可以通过由具有度数依赖指数的R-Routh多项式组成的拟有理解（q-RSs）精确求解。

1. 引言
尽管经典的Jacobi多项式是许多教科书的主题，但Askey发现了两个不太为人所知的有限正交超几何多项式序列，并将其与Romanovski的论文（在当时不太出名）合理地联系起来。遗憾的是，他在综述文章[3]以及随后关于可以用Romanovski多项式求解的势的众多研究中的贡献并没有得到适当的认可（这些研究甚至没有提到他的工作）。简而言之，Askey发现了一组与复Jacobi多项式正交的子集，并证明了其在实数域中的实现对应于Pearson IV型概率曲线相关的Romanovsky多项式家族。Askey还向读者介绍了与Pearson VI型概率曲线相关的另一组Romanovsky多项式。Askey的论文[1]发表几年后，Lesky[5,6]将这些两组Romanovsky多项式称为“Romanovski/pseudo-Jacobi”和“Romanovski/Jacobi”（R-Jacobi）多项式，并证明了它们涵盖了所有可能的复Jacobi多项式的有限正交实数域实现。

在继续这些介绍性评论之前，让我们澄清本系列出版物中采用的术语。正如[7]中所详细说明的，复Jacobi多项式有两种实数域简化形式：一种是具有任意选定指数的著名实Jacobi多项式；另一种是数学家们一个世纪以来忽略的、按定义是实数的Routh多项式[8]。实Jacobi多项式的流形有两种正交子集：由经典Jacobi多项式形成的Jacobi正交多项式系统（OPS）和由R-Jacobi多项式组成的有限正交序列。相比之下，Routh多项式的流形也有一个有限正交子集，这也是Romanovski[2]发现的，并被我们[9]称为“Romanovski-Routh”（R-Routh）多项式。我们使用这个术语来替代Lesky更复杂的术语“Romanovski/pseudo-Jacobi多项式”。从我们的角度来看，Lesky[5,6]之所以发明后者，仅仅是因为他不知道Routh的论文[8]。

文献中常出现的另一个术语“Routh-Romanovski多项式”是基于一个错误的观点，即Romanovski[2]重新发现了Routh多项式。虽然罗马诺夫斯基像当时的大多数数学家一样不知道Routh的工作[8]，但他应该因发现了Jacobi多项式和Routh多项式的有限正交子集而受到赞誉。Routh多项式可能无法构成任何OPS可能是它们在数学文献中受关注如此之少的原因。

如附录A所解释的，专著[10]中的两个超几何表达式（9.9.1）适用于参数N的任意实数值，因此构成了Routh多项式的另一种超几何表示。因此，我们使用“Routh”和“pseudo-Jacobi”这两个术语作为精确等价物，使我们的术语与Lesky[5,6]对Romanovski多项式的其他两个家族的命名完全一致。

虽然[10]中第一个公式（9.9.1）指定的实单项式多项式代表了在复共轭Jacobi指数和虚数参数下的适当缩放的复Jacobi多项式这一著名特例，但第二个公式（如下所述）可以追溯到Stevenson[11]关于球形空间中薛定谔“开普勒问题”的简略笔记[12]。上述[10]中的公式（9.9.1）因此成为了这两种形式上复杂的超几何多项式之间的鲜为人知的桥梁。在下面的第2.3节中，我们利用D. J. Fernandez的个人通信来验证Stevenson的推测，即他在复变量ξ中引入的超几何多项式必然是实数。

Routh（pseudo-Jacobi）多项式（9.9.1）在多项式度数不超过某个值时变为R-Jacobi多项式。同样，这些在限制条件下的公式提供了通过Rodriguez公式[1,3]定义的R-Jacobi多项式与其在[11]中的拟有理特征函数多项式组成部分之间的联系。附录B中汇集了两组不同的论文，这些论文只提到了其中一种超几何表示，而很少提到另一种。据我们所知，除了上述公式（9.9.1）之外，文献中从未讨论过这两种表示之间的相互关系，也没有提供任何证明或参考文献。

所提到的R-Routh多项式的超几何实现使作者能够证明通过Liouville变换[13]转换为具有一维薛定谔方程的两个Sturm-Liouville问题（SLPs）的精确可解性，这些方程分别对应于所谓的[14,15]“三角Rosen-Morse”（t-RM）势和直线上的四参数Milson势[16]。当前的分析纠正了我们之前的论点[9]，支持了通过R-Routh多项式可以精确求解第二个SLP的观点。对[11]的更彻底分析揭示了一些模糊之处，这使得我们最初尝试[9]证明Milson势[16]的精确可解性以及其平移形状不变（TSI）极限（由著名的“Gendenshtein”[17]势表示，即[18]中的“Scarf II”势）变得可疑，我们只需引导读者参考Stevenson的笔记[11]即可。

本文的一个主要成就是以这样的方式构建了Stevenson二阶“正常”[19]常微分方程（NODE）的谱问题，使其可以重新用于所考虑的两个SLPs。对于NODE及其由Sturm-Liouville方程（SLEs）表示的简化形式来说，关键是在给定奇异端点附近的主Frobenius解（PFS）是唯一确定的。我们通过要求所求解在两个奇异端点附近都表示PFS来引入所谓的“对偶PFS（d-PFS）问题，确保相同的边界条件适用于给定NODE及其相关SLEs的解。由于在任何线性分数变换（LFT）下PFS都是具有较大ChExp的解，我们可以轻松地将d-PFS边界条件扩展到用Stevenson的复变量表示的复数NODE（详见附录C）。

对所讨论的NODE的ChExp进行检查后发现，它们可以是正的，因此任何解都遵循给定奇异端点的DBC。因此，Dirichlet边界条件（DBCs）不能用来区分PFS和其Frobenius对应解。DBC明确指定了PFS，前提是NODE被转换为其“原始”形式[20]，使得ChExp具有相同的绝对值但符号相反。注意，后者的Dirichlet问题没有任何特殊的谱参数，即所有三个参数都是独立变化的。

如果选择λ作为谱参数，我们就得到了具有三角（“t-RM”）Liouville势的有理SLP（RSLP）。通常认为给定奇异SLP的第n个特征函数必须有恰好n个节点。作者在Gestesy等人的论文[21]中找到了这一断言的严格证明。证明了任何两个RCSLE的PFS的Wronskian在±∞处的值为零，这是[21]中定理2.1的充分前提。这证明了d-PFS问题的第n个解必须有恰好n-1个节点，假设特征值按单调递增顺序排列。由于t-RM势的能量谱没有上界，我们随后断言给定的RSLP可以通过具有度数依赖指数的R-Routh多项式组成的拟有理解（q-RSs）精确求解。然后我们回到了Stevenson的NODE的d-PFS问题，并确认了他的声明，即它可以通过具有度数依赖参数的形式上复杂的超几何多项式精确求解。

在证明了Stevenson的NODE的d-PFS问题的精确可解性之后，我们选择了谱参数l(l + 1)，而不是λ，这引出了[16]中开始的SLP。我们证明了为相应的“原始”[20] SLE（p-SLE）制定的任何特征函数必然构成给定d-PFS问题的q-RS，其多项式组成部分由R-Routh多项式表示。由于后者属于一个正交多项式序列，其度数明确决定了特征函数的节点数。

附录D中使用的Gendenshtein势的极限情况的代数能量谱和特征函数，作为所提出数学算法的简单示例。虽然[16]中开始的SLP被重新表述为在DBC下求解的p-SLE，但这些条件被证明与给定CSLE的特征函数必须与相应的密度函数完全可积的要求完全等价。这一证明确认了任何在直线上的Milson势的薛定谔方程[16]的完全可积解都具有[9]中的拟有理形式，其多项式组成部分由R-Routh多项式组成。如第3节所澄清的，这对于t-RM势并不成立，因为t-RM势在其参数的某些值处具有连续谱（物理意义上的）。

2. 使用DBC寻找d-PFSs
本节的主要目的是为Stevenson的NODE（2）[11]构建谱问题，我们将其重写为（1）
其中有理的“Stevenson”不变量（2）无非是Riemann P方程[22]的“正常”[19]形式，其极点位于±i和∞。无穷远处的极点的特征指数（ChExps）分别为?l和l + 1，正指数差（ExpDiff）为2l + 1，对于l > 。下标±表示分别是给定NODE在±∞处的PFS，即具有相同ChExp且满足边界条件（3）的FS。注意，如果l是非正数，包括物理上重要的情况l = 0，PFS在无穷远处不遵循DBC。

我们选择边界条件的前提是这些边界条件可以轻松扩展到引言中提到的两个SLPs。我们在第3节和第4节中通过要求参数λ和l分别指定两个其他参数在固定值下的能量来构建这些SLPs，利用了相应系数函数在实轴上为正的事实。

如果任何实数解（1）的NODE构成在?∞和+∞处都是PFS的解，我们将其称为“d-PDF”。本文的一个主要结果是第3节末尾的定理3，它保证了第2.1节中概述的d-PDF问题的任何解都具有拟有理形式，并且具有Stevenson[11]发现的超几何多项式组成部分。（定理3中提到的Dirichlet问题与d-PDF问题之间的相互联系在2.2节中进行了说明。）第2.5节将证明对于任何μ值和l > ，存在无限多的解序列。这些‘d-PDF解’在第3节中被重新处理为具有三角Liouville势的RSLP的特征函数。另一方面，如果给定参数λ和μ的值时存在，具有线上的Liouville势的RSLP的d-PDF解将形成一个有限序列（0 ≤ n ≤ nmax），这是由于Milson势[16]在两个量化端都具有指数渐近性的直接结果。尽管本文主要关注由R-Routh多项式组成的两个RSLP的特征函数，但第2.4节将读者的注意力引向了由Routh多项式形成的更一般的q-RSs问题。正如Quesne[23]首次注意到，并随后由作者[9]在更一般的背景下完善的那样，这些解可以用作‘有理’Darboux变换（RDTs）的变换函数（TFs），或者更准确地说，是用准有理TFs进行的Darboux变换（DTs）。如上所述，我们在寻找满足边界条件（4）的所有NODE（1）的解d-PFSs，其中τ表示枚举所有可能的d-PFSs的参数值。应该强调的是，d-PFSs构成了一个不可数的流形，其可数的特征函数SLPs（τ ≡ n）是其无限或有限子集。第2.5节将证明，对于任意值的μ和任何正的ExpDiff 2l + 1，存在一个无限的d-PFSs序列，因此（4）可以表示为（5）。第3节表明，边界条件（5）明确地决定了p-SLE（66）的Dirichlet问题的特征函数，或者等价地，决定了具有相同规范形式（55）的给定SLEs家族的所有可能的d-PFSs。Stevenson论文[11]中一个极其重要的结果尚未在文献中得到充分认可，那就是他证明了对于由复变量中的超几何多项式组成的q-RSs，条件（5）是成立的：（6）附录A明确证实了，这些多项式乘以幂函数（y-i）n后，当用y表示时变为实数（正如Stevenson所预期的），而且，结果q-RSs的多项式分量形成了由Compean和Kirchbach[14,15]最近引入的、具有度数依赖指数的R-Routh多项式的无限序列，用以产生具有t-RM势的Schr?dinger方程的准有理特征函数。2.2. 将d-PFS问题重新表述为p-ODE的Dirichlet问题如果l < 0，那么在NODE（1）的极点附近，两个Frobenius解的ChExps都是正的，因此不能再通过要求其在相应奇异端点遵循DBC来选择PFS。参数l的指定范围对于球面上的Kepler问题没有意义，因为它只允许取非负值。然而，在分析t-RM势的Darboux变换（DTs）[24,25]时，可以更加谨慎，因为RDT可能会在量子力学意义上简单地消除离散能量谱（违反了SUSY量子力学的常规规则[18]）。为了能够将PFSs的搜索重新表述为Dirichlet问题，我们将NODE转换为其‘原始’形式[20]，以便ChExps具有相同的绝对值和相反的符号。即，从NODE（1）通过规范变换（8）得到（定义上的）‘代数’p-ODE：（7），选择（8）的方式是使无穷远处的极点的ChExps仅相差符号，因此DBC明确地指定了PFS：（9）在许多情况下，验证p-ODE（7）的给定解在无穷远处消失要比证明它是d-PFSs容易得多。在[20]中显示，（10），其中（11）中的点表示对y的导数。可以很容易地验证[7]（12），结合（2），得到（13）2.3. NODE（1）在无穷远处极点附近的PFSs本小节的目的是使用Stevenson的复变量变换（6）来获得NODE（1）在?∞和+∞处每个极点附近的通用PFS的超几何表示。这个问题（虽然超出了本文的范围）值得单独关注，记住在最低特征值以下的PFSs必然是无节点的，因此至少在理论上可以用作t-RM和Milson势的DTs的TFs。我们建议读者参考Fernandez等人的论文[24,25]，其中详细讨论了t-RM势的这个问题。如附录C中提到的，我们只对二次方程（A47）的根感兴趣，（14），以便（15）这样的根的选择确保了（A52）右侧的超几何级数在单位圆上收敛，使得给定解能够在圆之外进行分析延伸。记住（16），可以找到（17），如果（17）中的第二个加数随着从0变化到?∞而单调增加。因此，这个和是随着从?∞变化到0的函数，从+∞变化到?∞。在‘边缘’情况下，函数（26）随着从0变化到?∞而从?1变化到+∞，因此我们感兴趣的解对于负值是不存在的。用y表示PFS（A52），我们得到了NODE（1）的以下解（18），其中我们利用了（A52）右侧的超几何级数在单位圆内绝对值|ξS|≤ 1这一事实。作为（A45）的直接结果，用（6）给出的ξS，可以找到（19）。将（6）和（20）代入（A52）右侧的ξS和1 ? ξS的幂函数，并结合（19），可以找到（21），其中我们设置了并且引入了复数乘数（22），以使解（21）在y?±∞的极限下为实数。推导出的表达式类似于[11]中的（3），这里的x代表y，只是我们用1+ i y和1 ? iy的明确复数幂替换了y ? i和y + i的复数幂。实际上，记住（23），我们可以将（21）重写为（24）。接下来，考虑到（25）对于任何实数，我们确认了形式上复杂的PFSs（26）和（27）在±1附近的实数定义，因此在±∞处消失。定理1. 函数（26）以及因此（27）是实数，因此构成了NODE（1）和相应的p-ODE（7）在±∞处的（定义上的）PFSs，对于任何实数y。定理1的证明。如附录B中更详细说明的，形式上复杂的解（26）实际上是实数这一点最近在[24,25]中得到了认可。这一断言的优雅证明是由D. J. Fernandez告知我的，他慷慨地允许我将它纳入当前的分析中。上述证明的创新之处在于使用了超几何表达式（15.3.4）在[26]：将其重写为（28）。结合（28）和（20），我们可以将（27）转换为其复共轭。最后，可以沿着有限的实轴对NODE（1）以及原始ODE（7）进行积分，从给定的对应解及其在|y| = 时的第一导数值开始，从而完成了证明。□超几何表达式（28）允许我们确认附录A中的形式上复杂的单项超几何多项式（A3）是实数，而不需要参考通过带有复共轭指数的Jacobi多项式[8]定义的实数单项Routh多项式的另一种表示。事实上，设置并考虑到，我们可以将（28）重写为。记住这一结果的基本重要性，遗憾的是Fernandez等人在[24,25]中忽略了提到的证明。2.4. 由Routh多项式形成的实数q-RS对正如Stevenson[11]指出的，如果（26）右侧的超几何级数在（29）终止，则（26）成立。设置（30）（31）（32）我们可以将这两个PFS表示为共同的准有理形式：（33），其中（34）是通过附录A中的（A3）定义的多项式分量的准有理函数。如上所述，所讨论的单项多项式是实数，这与等价关系（9.9.1）一致，这些关系（没有任何理由）仅在[10]中为非负整数N列出，没有任何证明或支持性参考文献。作者不知道有任何研究讨论了这两种形式上复杂的Routh多项式之间的联系（用我们的术语来说），这些多项式被转换为了单项形式。正如引言中提到的，并在附录A中进一步澄清的，我们使用这个术语作为‘伪Jacobi多项式’的精确等价物，这个术语在[10]中首次提出，对实数参数N没有限制。所讨论的单项Routh多项式变成了通过附录A中的（A14）定义的R-Routh多项式的单项形式。在下一小节中，我们将展示它们构成了第2.2节中制定的Dirichlet问题的q-RSs的多项式分量。重要的是，所有的q-RSs（34）都是成对的，因此每个特征函数都伴随着实数q-RS（35）。正如[7,9]中证明的，正如Quesne[23]最初推测的，存在由没有实数零点的Routh多项式组成的q-RSs（35），这些q-RSs可以作为构建新的完全可解有理CSLEs的TFs使用。下面第5节简要概述了这些解决方案，但这应该是另一篇独立出版物的主题。2.5. 可以用R-Routh多项式表示的无限序列的准有理d-PFSs通过对q-RSs（33）应用规范变换（8），其中参数的实部由（29）给出，我们发现p-SLE（7）的解：（36）在y??∞和y?+∞的两个极限处满足DBC，当且仅当l >。这意味着q-RSs代表了第2.1节中介绍的d-PFSs。正如Cryer[27]最初指出的，并且后来由Askey[1]详细利用的（尽管没有提到Cryer对这一主题的贡献），如果多项式的度数受到约束（38）的限制，则多项式（37）代表了Romansovsky多项式的三个家族之一[4]，其中代表[1]中的+ bi。在[3,14,15,23,28]中，我们[7,20]仅用字母R来表示通过（3.5）和（3.6）在[23]中定义的R-Routh多项式：（39）值得一提的是，Quesne[23]对R-Routh多项式的符号与[3,14,15,27]中的不同。另一方面，Askey[1]使用符号来表示R-Jacobi多项式，而不是R-Routh多项式。如附录A中证明的，单项R-Jacobi多项式可以表示为超几何形式（A8），假设它们的度数小于。检查不等式（40）可以看出，多项式（39）形成了具有度数依赖指数的R-Routh多项式的无限序列——这一惊人的事实在Compean和Kirchbach关于‘t-RM’势的特征函数的有启发性的研究[14]中得到了揭示。这些作者还概述了关于Romanovski[2]的正交多项式的数学基础的文献，这些多项式大多数物理学家并不了解。然后这个列表在[3]中得到了大幅扩展。令人困惑的是，‘伪Jacobi多项式’这一术语在[10]中仅通过（9.9.1）为非负整数N引入。后来，Koornwinder [29] 在他对专著 [10] 的补充中，将这个参数的定义范围扩展到了任何大于某个特定值的实数，并误导性地称这些多项式为‘伪雅可比’或‘Romanovski-Routh’多项式。正如Stevenson所断言的，他在 [11] 中的方程（3）的解在实轴上 y = 0 处是不连续的，除非将超几何级数截断为一个多项式。他声称这一结果是他利用给定解在单位圆外的解析延拓，并参考了Whittaker和Watson的论著 [23] 得出的。在附录C中，我们分析了由 (5.3.6)–(5.3.9) 在 [26] 中给出的四种可能的解析延拓对复变量的限制，并发现（至少根据我们对这个问题的理解）没有一种可以用来支持Stevenson的断言。

正如引言中提到的，我们将在将p-ODE (7) 的Dirichlet问题重新表述为SLP之后，证明所考虑的d-PFS问题的确切可解性，其中λ代表谱参数。然后我们利用Gesztesy等人 [21] 的结果来证明构造的拟有理特征函数能够穷尽所构建SLP的所有可能解。

目前，我们只需注意到超几何级数 (A54) 的截断给我们带来了单项伪雅可比多项式的新超几何实现：(41) 和 (42)，其中 (42) 代表上升阶乘 [30]。

3. t-RM势能的精确可解性

考虑到在NODE (1) 中的系数函数对于任何实数y都是正的，让我们将 (1) 重写为CSLE形式 (43)，使用参考多项式分数 (44) 和密度函数 (45)，以便附录B中的变量变换 (A17) 将其转换为带有t-RM势能的薛定谔方程 [31]。这里我们使用‘circle’作为下标，表示我们处理的是参考多项式分数（RefPF），而不是‘玻色不变量’ [16]。将证明q-RSs (46) 和特征值 (30) 构成了通过边界条件 (5) 选定的CSLE (47) 的所有可能的特征函数，边界条件 (5) 被重写为 (48)。我们分析的关键点是，以这种方式定义的两个特征函数的Wronskian在两个端点都消失：(49)，这恰好是两个连续特征函数零点相互交织定理的充分前提（参见 [21] 中的推论2.3，了解这一标准的更一般表述）。作为相互交织定理的直接结果，我们断言CSLE的第 (n + 1) 个特征函数必须恰好有n个节点。

此外，根据 [21] 中的定理2.1，我们断言特征函数 (46) 与权重 (45) 正交：(50)。但这里有一个问题：构成特征函数 (46) 的R-Routh多项式的索引依赖于多项式的度数。因此，附录A中列出的归一化条件 (A16)（其中n′ = n″）不能用来计算特征函数的归一化因子。

如附录B中所澄清的，为了构造具有t-RM势能的薛定谔方程的（物理意义上的）归一化特征函数，必须使用相同的权重 (45) 来对特征函数 (46) 进行归一化：(51)。换句话说，(52) 与附录A中通过 (A16) 对单项R-Routh多项式的归一化不同。

定理2. 通过q-RSs (46) 可以精确解决所构造的SLP。

定理2的证明：由于 (46) 右侧的单项R-Routh多项式的度数为n，因此它在n ? 1个实根之间没有解。考虑到给定的离散能量谱是没有上界的，我们断言q-RSs (46) 精确地穷尽了CSLE (43) 的所有可能的d-PFSs。

通过进行规范变换 (53) 和 (54)，我们得到了带有自由项和权重函数 (56) 以及 (57) 的p-SLE (55)。根据定义，其在±∞处的极点的ChExps具有相同的绝对值但符号相反，即PFSs由DBCs (58) 明确确定。

推论1. p-SLE (55) 的Dirichlet问题可以通过q-RSs (53) 精确解决。

我们终于准备好证明本文的一个主要结果了。

定理3. p-ODE (7) 的Dirichlet问题可以通过q-RSs (36) 精确解决。

定理3的证明：假设第2节中制定的Dirichlet问题有一个解，对于任何非负整数n，它必须是p-SLE (55) 的一个特征函数。这意味着（作为定理2的直接结果）它必须在指定的参数值下与特征值 (30) 中的一个相吻合。然而，这个结论与任何n ≥ 0时的假设相矛盾。

我们达到了本文的一个主要里程碑：

推论2. NODE (1) 的d-PFS问题可以通过q-RSs (53) 精确解决。

在下一节中，我们将利用定理3来证明Milson势在线 [16] 上可以通过NODE (1) 的d-PFSs来精确解决。

4. 具有有限数量特征函数的SLP族，这些特征函数可以通过具有度数依赖索引的R-Routh多项式来表示

考虑到在NODE (1) 中l(l + 1)的系数函数对于任何实数y都是正的，可以选择性地将 (1) 重写为Routh参考（RRef）CSLE [16] (59)，其中玻色不变量（60）由Routh RefPF (RRefPF) (61) ... (63) 和密度函数 (64) 组成。用来参数化RefPF (61) 的复参数及其复共轭指定了CSLE (59) 在?i和+i处的零能量ExpDiffs (65) 和 (66)。假设二次切线多项式（TP）(66) 在实轴上保持正值，其中 (66) 的参数被设定为1。由 (61) 中的最后一项指定的参考能量点使得CSLE在无穷远处的极点的ExpDiff在E = 0时消失。

在Milson的开创性工作 [16] 中，他深入研究了偶数TP (e-TP) 在实数（正数）情况下的极限情况。Lévai [32] 后来重新发现了e-TP版本的Milson势，他表明其特征函数可以用具有复共轭索引的雅可比多项式来表示，而能量谱由四次方程的一些实数根决定。这与 [16] 相比是一个重要的进步，因为Milson只能通过截断形式上的复数解来推导出给定SLP的特征值的隐式谱方程。他还提供了有界能级数量的显式公式。然而，没有尝试证明得到的q-RSs是实数。事实证明，[16] 中用于推导谱方程的截断超几何级数只不过是Askey [1] 对于具有虚数参数iy的雅可比多项式 (37) 提出的超几何表达式。

对于Milson势的e-TP版本 [16]，这个问题由作者 [9] 进行了详细研究（尽管遗憾的是没有提到Lévai [32] 对这一领域的贡献[33] 中对这两种方法之间关系的详细分析）。一般情况的彻底分析在 [7] 中提出。

通过引入能量依赖量 (67) 和 (68)，我们将玻色不变量 (60) 表示为 (69)，这引出了Stevenson不变量 (2) 和 (70) 以及 (71)。再次，我们选择复数e依赖量 (68) 的平方根：(72)，以便 (73)。作为定理1的直接结果，通过 (70) 定义的 λ, μ, 和 l 的解 (26) 表示了CSLE (59) 在±∞处极点附近的PFSs。

设 λ 是CSLE (59) 的第 (n + 1) 个特征值，q-RS (33), (75)，其中 (76) 构成了CSLE (59) 的（按定义是实数的）d-PFS，具有恰好n个节点，假设 (72) 的实部满足约束 (29)，即 (77)。将 (78) 代入E依赖量 (68) 的实部，得到以下关于 λ 的四次方程 (80)。由于TP (66) 没有实数根，如果给定的四次方程有负的自由项，则必然存在一个正根：(82)。如果 (83) 的二次多项式有正的首项系数和负的自由项，那么它的根必须有相反的符号，因此如果X位于根之间，则它是负的。由于X只能取正值，这意味着只要X小于正根，多项式 (83) 就是负的。

引理1的证明：我们再次利用 [21] 中的推论2.3，注意到两个特征函数的Wronskian在两个端点都消失：(88)。特别地，我们得出特征函数 (85) 必须与权重 (64) 正交：(90)。此外，我们断言CSLE的第 (n + 1) 个特征函数必须恰好有n个节点，因此不可能有任何特征值位于能量 (91) 以下，这就完成了证明。

我们的最后一步是证明在能量 (91) 以上不可能存在任何负特征值。为此，我们将RRef CSLE (59) 转换为其原始形式 (92)，其中括号中的第二个加数通过 (12) 定义，得到 (94)。关于p-SLE (92) 的权重函数，它以传统方式与密度函数 (64) 相关联：(95)，这给出了 (96)。可以直接验证每个q-RSs (97) 都满足DBCs (98)。

定理4. 通过q-RSs (97) 可以精确解决所制定的Dirichlet问题。

定理4的证明：由于第 (n + 1) 个特征函数 (108) 恰好有n个节点，因此所讨论的Dirichlet问题在两个连续特征值之间不可能有任何解。最具挑战性的是证明在区间 (99) 内不存在任何特征值。假设在DBCs下解决的p-SLE (92) 在能量范围内有一个解，该解的节点数N大于某个特定值。这个特征函数必须是p-ODE (7) 的一个解，具有 (100)。然而，根据定理3，这个问题的任何解都必须具有形式 (97)，如果N > 则这不一定是正确的。

可以直接验证特征函数 (97) 具有权重 (96) 是完全可积的：(101)，对于n被 (87) 界定。此外，任何具有权重 (96) 的p-SLE (92) 的解都必须满足两个端点的DBC。这意味着任何具有密度函数 (64) 的RRef CSLE (59) 的解必然与某个q-RSs (75) 相一致。

5. 讨论

定理4构成了我们分析的最终目标，它提供了严格的证明，表明通过有限数量的具有度数依赖索引的R-Routh多项式可以精确解决所制定的RRef CSLE (59) 的SLP。所提出的证明将Milson势[16]提升到了与作者发现的两个Jacobi参考（JRef）和Laguerre参考（LRef）势[35]相同的水平，这两个势的本征函数可以通过具有度数依赖指数的经典Jacobi多项式和经典Laguerre多项式来表示。在这方面，我们需要提醒读者，我们的论证的关键在于观察到所讨论的RCSLE的任意两个d-PFS的Wronskian在±∞时消失。我们证明的另一个共同点是，第n个准有理d-PFS恰好有n-1个节点。结合这两个结论，作者得以应用[21]中的定理2.1，从而排除了存在其他本征值的可能性，这些本征值可能位于构建的准有理本征函数的本征值之下或之间。所提出的结论涵盖了CSLEs（43）和（59）的（t-RM）和Gendenshtein TSI Liouville势。读者可能会反对，认为这些势一定可以精确求解，仅仅因为它们是TSI势，这是基于Gendenshtein的著名论文[17]。然而，从作者的观点[9]来看，Gendenshtein（与普遍的看法相反）从未证明任意TSI势的精确可解性。在他通过序列DTs删除受限本征态的过程中，他没有验证给定序列中最低本征值的本征函数的节点数，换句话说，他默认使用无节点本征函数作为变换函数（TF）的第一激发态的DT是没有节点的。尽管这个观点可能是正确的（至少到目前为止还没有发现例外），但要准确证明它需要对本征函数在量化端点附近的行为施加许多限制（例如这里提到的任意两个d-PFS的Wronskian在±∞时消失）。这些限制会大大削弱Gendenstein原始推测[17]的力量，而他的推测开启了可解量子力学势理论的新方向。

第3节和第4节中提出的证明为定理奠定了基础，这些定理表明CSLEs（43）和（59）的有理Rudjak-Zakhariev变换（RRZTs）[36]可以导致所有本征函数都能以准有理形式表示的精确可解SLEs。对于RRef CSLE（59）的详细分析，包括其与Gendenshtein势相关的TFI极限，在[7]中已有阐述。在我们之前的研究中（参见[20]及其中的参考文献），我们将这些变换称为规范Liouville-Darboux变换（CLDTs），以强调给定CSLE的任何Rudjak-Zakhariev变换（RZT）都会得到相应的Liouville势的DT。然而，应该强调的是，RZT的定义与给定CSLE到Schr?dinger方程的可能Liouville变换无关，而传统的DT只是RZT在规范本征方程下的一个特例。值得注意的是，附录D中定义的简单极点密度函数的RRef CSLE的有理Rudjak-Zakhariev变换（RDCTs）可以通过有限的异常正交多项式（EOPs）序列来精确求解，这是由于Odake和Sasaki[37,38]观察到Gendenshtein势属于TSI势的A组。相反，与TSI t-RM势相关的TFI CSLE（43）属于B组，因此其本征函数由所谓的[7]‘Routh-seed’（RS）Heine多项式组成，这些多项式的指数是度数依赖的。（我们在[20]中引入了这个术语，以强调所讨论的多项式满足Heine型微分方程[39]，其指数参数依赖于多项式的度数。）考虑到每个本征值由四次方程（81）的正根确定，该方程具有正的首项系数和负的自由项，作者[9]得出结论，第n个准有理本征函数必须伴随着另一个由n-1阶Routh多项式组成的q-RS。（在[9]中，这一结论仅限于e-TP，但在[7]中扩展到没有实根的任意TP。）

Quesne[23]激发了作者对这一主题的兴趣，他推测带有Gendenshtein势的Schr?dinger方程的q-RS由没有实零点的多项式组成。我们在[7]中直接证明了没有实零点的Routh多项式的存在，并在下面简要说明，仅用于 illustrative purposes。上述证明的关键元素是在[7]中推导出的单项Routh多项式表示为具有相同指数的连续单项R-Routh多项式的Wronskian的形式：（102），从一次多项式开始。由于R-Routh多项式在实轴上构成一组正交集，根据[40]中的著名定理1，右侧的Wronskian对于任何偶数m都不会有实零点。我们的下一步是使用由偶数阶Routh多项式组成的q-RSs（35）作为RRZTs的准有理TFs（103）。在不深入细节的情况下，对于本文的目的来说，只需提到每个RRZT都等价于具有相应Liouville势的Schr?dinger方程的RDT即可。下面我们将概述这个构建新的TSI t-RM势的精确可解RCSLEs的通用方案，并将读者引用到[7]以获取有关Milson势[16]及其TSI极限[17]的有理扩展的任何详细信息。

根据定理2，带有势（A23）的Schr?dinger方程（A18）可以通过R-Routh多项式精确求解。我们的目标是证明对于这种势的有理DT（RDT）（104）也是如此。对TF（104）的快速检查表明，所讨论的RDT在Schr?dinger方程的奇异端点χ = 0和χ = π处的ExpDiff减少了1，这一现象已在[24]中观察到。因此，所讨论的RDT生成了由无节点本征函数（105）描述的新束缚态，其能量（106）位于势（A23）的离散能量谱之下（107）：如果a > 0，则变换后的Schr?dinger方程的解（105）在奇异端点χ = 0和χ = π处消失，因此代表了无节点本征函数。假设这个Schr?dinger方程是在DBCs下求解的。注意，如果a < ，则Schr?dinger方程（A18）的极点是极限圆（LC）奇点，因此[25]中的解（44）和（45）都是可积的，而DBCs明确选择了两者中的第一个。变换后势中的激发态本征函数由传统公式[18]（108）描述。正如作者在[20]中对任意Gauss参考（GRef）势（即任何JRef、LRef或RRef势）所证明的，本征函数（108）具有准有理形式，其多项式部分由所谓的‘多项式行列式’（PDs）组成，这些行列式遵循上述的Heine型ODEs，其指数参数依赖于多项式的度数。将（108）表示为（109），其中ld代表对χ的一阶导数和对数导数，可以发现对于a > 0，q-RSs（108）在奇异端点χ = 0和χ = π处消失，因此构成了变换后Schr?dinger方程的本征函数，如上所述。注意，在[24,25]中使用的SUSY量子力学的传统规则[18]将这一结果视为理所当然。我们的最后一步是证明变换后的Schr?dinger方程不可能有除了本征函数（108）之外其他的激发束缚态。这一证明在Milson势[7]或这里的t-RM势的更一般情况下构成了这项研究的主要动机。

定理5：变换后Schr?dinger方程的任何激发态的本征函数都可以用准有理形式（108）表示。

定理5的证明：假设变换后的Schr?dinger方程有一个本征函数，其本征值为（110）。通过对该方程应用TF（105）的RDT，我们返回到Schr?dinger方程（A18）。让我们证明相应的本征函数的RDT（111）在奇异端点χ = 0和χ = π处消失当且仅当a > 1。实际上，考虑到（112），我们发现（113），因此（114）。因此，我们证明了q-RSs（111）在每个奇异端点附近消失，从而构成了具有本征值（110）的Schr?dinger方程（A18）的本征函数，这与定理2相矛盾。□

总结这次讨论，我们提到Routh多项式的Wronskian表示（102）也表明使用TF（103）的RDT等同于使用偶数个连续本征函数的合理Darboux-Crum变换（RDCT），这是Odake和Sasaki[38]证明的一般定理的最简单示例。特别是，使用由二次Routh多项式组成的TF时，会得到[41]中的势（14），这是通过使用第一和第二激发态的本征函数作为种子函数进行的二阶RDCT生成的。

6. 结论：本文的主要成果之一是d-PFS问题的概念，它关联了SLEs（43）和（59）的SLPs。另一个对两者都重要的创新是证明了每个SLE的两个d-PFS的Wronskian在两个奇异端点都消失，这确保了[21]中给出的SLE的第n个本征函数恰好有n-1个节点。考虑到带有三角（‘t-RM’）Liouville势的SLE（43）具有无限的离散能量谱（14,15），我们在定理2中声称，所讨论的SLP可以通过R-Routh多项式精确求解——这一结果在[14,15]中被视为理所当然。（如讨论中所强调的，这个势是TSI势并不自动排除了它可能是准精确可解的可能性。）接下来，我们利用SLE（43）的SLP的精确可解性，在第3节的最后部分（见推论2）证明了NODE（1）的d-PFS问题可以通过Stevenson[11]发现的q-RSs精确求解。最后，第3节中提出的定理4使作者能够完成长期寻求的证明[9]，即Milson势[16]可以通过R-Routh多项式精确求解。最初[9]，作者做出了这一断言，错误地假设读者可以直接参考Stevenson的笔记[11]来获取支持性论据。然而，对他论点的更彻底分析揭示了一些未经证明的陈述，我发现很难确认这些陈述，这是继续研究这一问题的主要动机。允许作者证明这一结果的重要创新要素是‘prime’[20] SLEs的概念，这些SLEs可以在DBCs下求解以找到所有可能的d-PFSs。这一创新之前已被作者[7,9,42,43]用来证明精确可解的RCSLEs的RRZTs的精确可解性。正如第5节开头所强调的，定理4将Milson势[16]提升到了与两个有理势[35]相同的水平，这些有理势的本征函数可以通过经典Jacobi和经典Laguerre多项式来表示，这些多项式的指数是度数依赖的。我们多年[9]的努力[9]旨在提出支持这一定理的严格论证，这是基于我们对Milson势的RDTs及其TSI极限（由Gendenshtein（Scarf II）势表示）的研究。我们在[42]中构建了所有可能的有理Darboux-Crum变换（RDCTs），这些变换可以通过EOPs求解，假设势本身可以通过R-Routh多项式精确求解，并且得到了Stevenson笔记[11]的可靠支持。然而，正如上文所提到的，对史蒂文森论证的更彻底分析揭示出其中存在一些隐藏的缺陷，而这些缺陷在本文中得到了有效的填补。正如讨论中已经强调的，Gendenshtein势和t-RM势之间的关键区别在于它们分别属于Odake和Sasaki在[35,37]中对TSI势进行的分类方案中的A组和B组。由于带有简单极点密度函数（A56）的RCSLE在其极点±∞处具有能量独立的ExpDiffs，因此构成准有理特征函数多项式分量（A58）的R-Routh多项式的指数并不依赖于多项式的次数。A组有理TSI势的这一显著特点使得作者能够利用[10]中的正交化条件（9.9.2）来解析计算带有Gendenshtein势的薛定谔方程的特征函数的归一化因子。相反，我们无法找到带有t-RM势的薛定谔方程的特征函数的归一化因子。在这方面，值得一提的是，[44]中首次列出了这些归一化因子的公式（在线访问见[45]），但并未提供任何关于其推导过程的说明。该公式后来在几篇出版物[46,47,48]中被重新介绍，但没有任何额外的评论。作者既无法确认[44]中归一化条件（21）的有效性，也无法证明其错误性。

作为本文的另一个新颖成果，我还可以提到[10]中两个形式上复杂的超几何表达式（9.9.1）之间的联系，据我们所知，这一联系在文献中从未被讨论过。附录A中的定理A2证明了它们的等价性，这一发现建立了史蒂文森的形式上复杂的超几何多项式（A3）与Romanovski多项式[2]之间的关系，而后者在数学界此前鲜为人知，直到Askey的突破性工作[1]引起了更多人对这一主题的兴趣。如附录B中所详细讨论的，现有两类研究：一类利用超几何表达式（A1）或（A2），而在许多情况下甚至没有提到另一表达式（或者最多只是隐含地提到了这两者之间的关联，但没有对这种分析方法如何相互关联进行任何说明）。在后续研究中，我们将讨论可以通过RS Heine多项式精确求解的Milson势的各种RDCTs。通用方法是逐一消除最低能量特征态来获得有理扩展的序列。另一个有前景的方向是，类似[43]中对JRef势的研究，为Adler定理[49]制定类似的证明方法。然后可以使用[50,51,52]中“并置”的特征函数对来构建Milson势的精确可解RDCT[43]。