一种基于仿真的方法，用于在预测参数存在不确定性的情况下确定季节性产品的最佳订单数量

《Expert Systems with Applications》：A simulation-based approach to find the optimal order size for seasonal products under uncertainty on forecast parameters

　　大卫·费尔南多·穆尼奥斯
秘鲁拉莫利纳国立农业大学统计与信息学系，15076利马

摘要
我们讨论了如何应用一种通用的贝叶斯方法来确定季节性产品的最佳订购数量，以便使用不同的最优性标准来考虑需求预测参数的不确定性。通过两个相关标准来说明这种方法的应用：众所周知的新闻boy问题和Su与Pearn（2011年）提出的容量指数标准。实验使用了一个具有后验分布解析解的预测模型，并讨论了使用蒙特卡洛模拟估计最佳订购数量的结果。当预测模型的复杂性不允许我们通过解析解得到最佳订购数量或使用更高效的数值算法时，蒙特卡洛模拟是一个吸引人的选择。

引言
如图1所示，那些策略在于在正确的时间和地点提供产品的公司会设计其运营方式，以建立能够快速、经济且及时响应客户需求的能力供应链。其运营策略的成功基本上取决于四个因素（Fisher, 2009）：（1）来自销售点的可用且可靠的数据；（2）需求预测；（3）适当的库存和价格规划；（4）快速的供应链。Zara就是一个相关的案例，Caro等人（2010年）对此进行了报道，由于其重要性，该公司成为2009年由运筹学和管理科学研究所颁发的“Franz Edelman奖”的最终候选人（见图2）。对于销售服装或季节性产品的公司来说，通过改进预测来降低销售风险非常重要，这可以通过在不同商店进行接受度测试或利用早期销售数据来提高初始预测来实现。拥有可靠数据的第一步非常重要。尽管实际上公司使用了多种预测方法，但除了点预测之外，还需要衡量预测的准确性。理想情况下，预测应被理解为需求的概率分布，因为对于下一步（库存管理）来说，识别这一概率分布是至关重要的。
对于季节性产品的适当库存管理而言，确定订购数量是一个关键方面，为此已经开发出了诸如新闻boy问题（例如Nahmias和Olsen, 2020）或容量指数标准（Su和Pearn, 2011）之类的模型。在这些模型中，需求预测通过其累积分布函数（cdf）来表示，该函数通常依赖于一组参数（θ），其形式为：
FCy(θ) = ∫?^y F_c(y; θ) dz
因此，基于某种最优性标准（例如新闻boy问题中的预期利润），可以确定最佳订购数量。接下来，方程（1）中的cdf将被称为经典cdf。Lau（1980年）还讨论了其他用于确定最佳订购数量的最优性标准，包括获得大于或等于给定利润的概率作为最优性标准。据我们所知，现有文献中尚未提出一种通用方法（可以应用不同的最优性标准）来在参数向量θ的值存在不确定性的情况下确定最佳订购数量。然而，实际上必须根据可用信息（例如通过数据集x = x?, ?, x_n）使用某种参数估计方法来估计参数向量θ的值，并使用允许我们获得方程（1）中定义的cdf的模型。虽然有几种参数估计方法，但最常用的方法是找到最大化似然函数L_θ^x的（最大似然）估计量，该似然函数由定义FCy(θ)的模型得出（参见Myung, 2003）。尽管这种方法在运营管理书籍中被广泛使用（例如Nahmias和Olsen, 2020），但它有一个缺点，即假设参数等于点估计量（从而忽略了参数的不确定性）。在本文中，我们提出了一种贝叶斯方法来找到最佳订购数量，将参数估计过程中固有的不确定性纳入参数向量θ的值中。这种方法足够通用，可以应用于不同的最优性标准（包括新闻boy问题和Su与Pearn提出的容量指数标准）。因此，在频率主义方法下确定最佳订购数量时，假设对应于需求预测的cdf的参数向量θ是已知的，并且在估计过程中不考虑θ的任何先验知识；相反，在贝叶斯方法下，通过θ的先验概率分布将现有知识、专家意见或历史数据纳入估计过程。此外，在贝叶斯方法下，随着新数据的到来，可以进行迭代学习和后验分布的更新，从而实现模型的持续改进。由于频率主义方法忽略了参数的不确定性，因此在处理小规模、稀缺或稀疏的数据集时，贝叶斯方法通常更高效且更准确，因为这些数据集中的参数不确定性可能很显著。贝叶斯方法的另一个优点是能够全面考虑参数向量θ的不确定性，而无需对参数的值进行零假设检验。
自Scarf（1959年）的开创性工作以来，已经提出了将参数不确定性引入库存管理的贝叶斯方法，他讨论了贝叶斯更新规则在库存管理中的最优性。Silver（1965年）提出了使用贝叶斯方法纳入参数不确定性，并展示了如何通过将需求建模为多项式分布来计算定期检查库存的重订点。Mu?oz等人（2013年）使用贝叶斯方法和蒙特卡洛模拟将参数不确定性纳入定期检查产品的库存管理。贝叶斯方法还用于设计基于新需求信息的库存管理策略更新规则（参见Azouri, 1985；Eppen和Iyer, 1997；Lariviere和Porteus, 1999；Chen和Plambeck, 2008；Chen, 2010）。另一方面，也提出了一些对新闻boy问题的扩展；例如，Agrawal和Seshadri（2000）研究了价格和订购数量的不确定性，而Keren和Pliskin（2006）研究了风险厌恶的影响。据我们所知，这些工作以及相关文献中均未讨论在一般背景下将需求预测参数向量的不确定性纳入以找到季节性产品的最佳订购数量的问题，以便可以使用不同的最优性标准进行应用。同样，我们的提案将通过两个应用实例来说明，即新闻boy问题和容量指数标准。此外，我们还将展示如何使用蒙特卡洛模拟来估计不同最优性标准下的解。
在引言之后，下一节将描述我们的贝叶斯方法的基础，该方法允许我们考虑预测模型参数的不确定性。在第3节中，我们将该方法应用于新闻boy问题和容量指数标准，并展示如何使用蒙特卡洛模拟来计算最佳订购数量。在第4节中，我们使用一个具有后验分布解析解的简单模型来说明如何使用蒙特卡洛模拟来估计（在更复杂问题中的）最佳订购数量。我们还提供了使用经典方法和贝叶斯方法获得的结果之间的实证比较。最后，在最后一节中，我们提出我们的结论和建议。

方法论和符号
在贝叶斯框架下，参数向量Θ是一个具有先验密度函数p_θ的随机向量，因此根据贝叶斯定理，给定数据集x时的后验密度函数变为
p_θ^x = p_θ L_x(θ) ∫_{θ∈S} p_θ L_x(θ) dθ
其中x ∈ R^d，θ ∈ S，L_x(θ)是似然函数。根据（1）中的符号，由（2）可知，给定X = x时的需求cdf变为
FB(y; θ) = ∫_{S} F_c(y; θ) p_θ x dθ
对于y ≥ 0，其中FCy(θ)和p_θ^x分别在（1）和（2）中定义，S是参数集。

示例
在本节中，我们通过两个示例来说明前一节描述的方法论。第一个示例对应于众所周知的新闻boy问题，第二个示例对应于使用Su和Pearn（2011年）提出的容量指数来确定最佳订购数量。值得注意的是，尽管我们在Mu?oz等人（2016年）中报告了针对新闻boy问题的贝叶斯方法，但……

实验结果
在本节中，我们通过将提出的方法应用于一个简单的预测模型来说明我们的符号和结果，该模型可以轻松计算出最佳订购数量的解。在这个模型中，顾客到达是一个泊松过程；也就是说，连续顾客到达之间的时间是独立同分布（iid）的，具有指数密度函数：
f_y(θ) = θ e^(-θy)
其中y > 0；否则，θ ∈ S = {0, ∞}。我们假设每个顾客……

结论与建议
本文报告的理论和实验结果表明，贝叶斯方法可以用来确定季节性产品的最佳订购数量，目的是将不确定性纳入预测模型参数中，这种方法可以使用各种最优性标准进行应用，例如新闻boy问题中使用的预期利润标准，以及Su和Pearn（2011）提出的容量指数标准。无论是经典方法还是贝叶斯方法……

未引用的参考文献
Mu?oz, 2024；Patra和Jha, 2021。

利益冲突声明
作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：David Fernando Mu?oz报告指出获得了国家科学技术委员会的财政支持。如果有其他作者，他们声明没有已知的可能会影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

致谢
本工作得到了秘鲁国家科学技术委员会和墨西哥国家人文科学技术委员会的支持。