考虑随机因素和市场摩擦的稳健投资组合选择

《Automatica》：Robust portfolio choice with stochastic factors and market frictions

　　朱丹彤|马贵源|赵志忠|严尚志 | 香港中文大学统计与数据科学系，中国香港新界沙田摘要本文研究了一个连续时间下的鲁棒投资组合选择问题，其中资产回报受到随机因素的影响，并且受到临时性和永久性价格冲击的影响。投资者对资产回报和预测因素的估计误差表现出厌恶情绪，旨在最大化扣除价格冲击成本后的局部均值-方差偏好。我们将投资者的优化问题表述为一个风险敏感的控制问题，并通过矩阵Riccati微分方程的耦合系统来描述其解决方案。永久性价格冲击的加入使得耦合系统的求解变得复杂。尽管如此，我们仅依赖于基于模型参数的充分条件，就成功证明了该耦合系统在局部和全局上的适定性。最后，我们通过数值示例展示了价格冲击、厌恶模糊性和价格扭曲抗性对投资者鲁棒交易策略的影响，并通过模拟结果显示在各种情景下净夏普比率的提升。

引言自Merton在1969年和1971年的开创性工作以来，动态投资组合选择问题一直是近年来研究的活跃领域（参见例如Elliott和Siu（2011），Li等人（2023），Shen（2015），Yiu等人（2010），Zhu等人（2016）。一个活跃的研究方向是考虑资产回报估计误差的动态投资组合选择问题。当资产定价模型设定不正确时，对资产回报的错误估计会导致投资者低估投资风险，从而加剧他们的福利损失。正如Hansen和Sargent（2001）所强调的，资产回报的估计误差在实践中非常普遍，因为投资者通常没有足够的资源来持续处理关于资产回报及其回报预测因素的更新信息。因此，Hansen和Sargent（2001）以及Garlappi等人（2007）认为，资产定价模型应该足够灵活，以适应模型或参数的设定错误，并且投资者通常是对设定错误的资产回报持有风险厌恶的态度。考虑模型或参数设定错误的投资组合选择问题被称为鲁棒投资组合选择问题。在鲁棒投资组合选择问题中，资产定价模型的参数可以在某个预先指定的范围内变化，投资者选择资产组合权重以优化目标函数，同时考虑该范围内最坏情况下的资产回报。这种表述通常会导致最小化-最大化或最大化-最小化优化问题，并且在各种鲁棒投资组合选择问题上取得了显著进展（Wang等人，2024；Yam等人，2016）。为了发展动态鲁棒优化问题，先前的工作采用了Petersen等人（2000）引入的随机鲁棒性来建模几个鲁棒动态投资组合选择和消费问题（Anderson等人，2003；Hansen等人，2006）。随机鲁棒性使用相对熵来衡量基准模型与替代模型之间的偏差，然后将动态鲁棒优化问题表述为在相对熵约束下的优化问题。后续研究将这些结果的可处理性扩展到了具有幂效用（Maenhout，2004；Maenhout，2006）、时不一致效用（Pun，2018）和递归效用（Pu & Zhang，2021）的鲁棒投资组合选择/消费问题。研究人员还纳入了制度转换效应（Elliott & Siu，2009），探索了带有市场情绪的资产定价模型（Saito & Takahashi，2021），研究了最优支付控制问题（Feng等人，2024；Feng等人，2021），并研究了具有不同风险观点的均衡基多代理最优消费和投资组合问题（Kizaki等人，2024）。然而，这些先前的工作主要集中在无摩擦市场中的动态鲁棒投资组合选择和消费问题，其中交易不涉及摩擦。相比之下，交易摩擦可以通过交易成本（Constantinides，1986；Davis和Norman，1990；Guo等人，2021；Guo等人，2024；Guo等人，2023）或价格冲击（Almgren和Chriss，2001；Bertsimas和Lo，1998；Garleanu和Pedersen，2013；Garleanu和Pedersen，2016；Saito和Takahashi，2017；Saito和Takahashi，2019；Yang等人，2018）来广泛描述。当摩擦由线性价格冲击引起时，Garleanu和Pedersen（2013）及其连续时间扩展（Garleanu & Pedersen，2016）为动态投资组合选择问题提供了一个高度可行的框架，这吸引了众多扩展（Bensoussan等人，2022；Dombrovskii等人，2018；Glasserman和Xu，2013；Ma等人，2023；Ma等人，2019；Ma等人，2020；Zhang等人，2017）。为了推进鲁棒优化问题，Glasserman和Xu（2013）假设投资者对资产回报及其回报预测因素的设定错误持有厌恶情绪，并且交易仅产生临时性价格冲击，从而扩展了Garleanu和Pedersen（2013）的研究。他们表明，有限期和无限期鲁棒投资组合选择问题可以表示为矩阵Riccati微分方程系统。Zhang等人（2017）进一步通过区分对资产回报及其随机因素的设定错误的厌恶情绪，扩展了Glasserman和Xu（2013）的工作。在本文中，我们解决了连续时间下具有回报可预测性和摩擦的鲁棒投资组合选择问题。具体来说，我们考虑了Garleanu和Pedersen（2016）中连续时间投资组合选择模型的鲁棒扩展（以下简称GP模型），其中投资者对资产回报及其回报预测因素的估计误差持有厌恶情绪。因此，投资者考虑了一组从统计上难以与参考模型区分的替代模型。遵循Hansen和Sargent（2001）的方法，我们采用相对熵来衡量替代模型与参考模型之间的距离。重要的是，我们的框架与Glasserman和Xu（2013）以及Zhang等人（2017）的不同之处在于，投资者的交易既产生永久性价格冲击也产生临时性价格冲击，并且他寻求在从可接受的替代模型集合中选择的最坏情况下，最大化扣除价格冲击执行成本后的累积局部均值-方差偏好。我们将投资者的优化问题表述为一个风险敏感的随机控制问题。通过运用动态规划原理，我们得到了与我们的优化问题相关的Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs（HJBI）方程，并通过矩阵Riccati微分方程的耦合系统来描述鲁棒解决方案。永久性价格冲击的存在以及投资者的厌恶模糊性导致耦合Riccati系统成为非典型的系统。据我们所知，没有任何现有的矩阵Riccati微分/差分方程的一般理论可以直接用来证明耦合Riccati系统的适定性。受到Bensoussan等人（2022）解决方案哲学的启发，我们推导出一组仅依赖于模型参数的充分条件，在这些条件下，耦合Riccati系统具有唯一的全局解。我们的工作在三个主要方面推进了现有文献：从建模角度来看，本文提出了一个可行的解决方案，用于同时考虑连续时间下的回报可预测性、交易摩擦和厌恶模糊性的投资组合优化问题。虽然Glasserman和Xu（2013）以及Zhang等人（2017）研究了离散时间下具有临时性价格冲击的鲁棒投资组合选择，我们将他们的工作扩展到了包含永久性和临时性价格冲击的连续时间框架。此外，我们的优化框架展示了Hansen和Sargent（1995）引入的折现线性指数二次高斯控制，为其他风险敏感的线性-二次随机控制问题提供了更广泛的见解。在理论方面，我们对与我们的风险敏感随机控制问题相关的矩阵Riccati微分方程耦合系统进行了系统研究。我们证明了在仅基于模型参数的实际有用假设下，可以建立该系统的局部和全局适定性，包括Bensoussan等人（2022），Garleanu和Pedersen（2013），Ma等人（2023）中概述的假设。此外，我们推导出一个仅用模型参数表示的可行充分条件，以验证Novikov条件，这对于研究鲁棒控制问题至关重要。这一推导还澄清了在底层过程遵循多元Ornstein–Uhlenbeck过程的情况下，所需的可积性条件的验证，如Ma等人（2019）所研究的。此外，我们的数值分析揭示了永久性价格冲击、价格扭曲的抗性和厌恶模糊性如何影响交易策略的新见解。我们识别了具有不同永久性价格冲击和抗性率的股票之间的交易模式，说明了投资者如何根据市场条件和他们的厌恶模糊性水平调整策略。此外，我们的模拟实验定量证明了鲁棒交易策略在净夏普比率方面始终优于非鲁棒替代策略。结果表明，随着永久性价格冲击和厌恶模糊性的增加，性能得到提升，而随着抗性率的增加，性能则会下降。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了鲁棒连续时间投资组合选择问题。第3节通过耦合Riccati系统描述了鲁棒交易策略并证明了其适定性。第4节，我们数值研究了价格冲击、厌恶模糊性和价格扭曲抗性对投资者鲁棒交易策略的影响，并进行了模拟实验来评估鲁棒策略的交易性能。第5节总结了本文。本文的所有证明都放在附录A中，辅助结果（附录B）和额外数值结果（附录C）提供在在线补充材料中（Chu等人，2026）。

符号说明我们首先介绍一些符号。首先，我们将粗体符号用于表示向量和矩阵，非粗体符号用于表示标量。用λi(A)表示矩阵A的第i个特征值，并定义实矩阵的谱范数为A的最大奇异值，即?ρ(A)?maxiλi(A?A)。此外，我们用ρmin(A)表示A的最小奇异值，即?ρmin(A)?miniλi(A?A)。用Sn表示实对称n×n矩阵的空间。然后我们定义Sn中的一个偏序≤(<)。

解决方案在本节中，我们首先明确解决问题1，并通过耦合Riccati系统的解决方案来描述交易策略。然后，我们提供了一个验证定理，并通过提供一些充分条件来确保其适定性来结束本节。

永久性价格冲击、价格扭曲抗性和厌恶模糊性的影响在本小节中，我们考虑了一个包含两种风险资产的例子，每种资产都有自己的回报预测因素（nx=2，nf=2）。除非另有说明，本节中的模型参数设置如下：B=I2，Φ=I2，Σf=10?4I2，Σp=0.25I2，Λ=0.01I2，γ=0.4，β=0.01，r=0.01，T=1，f=(1,1)?，x=(8,8)?。其余参数C、R、θ在下面的图中指定。具体来说，选定的模型参数表明资产1和2是相同的，除了它们的C、R、θ值不同。

结论本文研究了一个具有回报可预测性和价格冲击的连续时间鲁棒投资组合选择问题。资产回报由一些随机的回报预测因素过程建模，投资者对资产和回报预测因素过程的估计误差表现出厌恶情绪。我们解决了投资者的鲁棒投资组合选择问题，并将其解决方案描述为Riccati微分方程耦合系统的解。此外，我们还...

致谢作者感谢编辑（Florian D?rfler教授）、副编辑以及三位匿名审稿人的宝贵评论和建议，这些评论和建议改善了我们的论文。所有作者都做出了平等的贡献，并按姓氏的字母顺序列出。朱丹彤感谢中国香港大学（CUHK）对他的博士研究的支持，这项工作构成了他的博士论文的一部分。马贵源于2019年在中国北京大学获得了药学学士学位和经济学学士学位，2023年在香港中文大学获得了统计学博士学位。他的研究兴趣包括金融数学、随机控制、平均场游戏和平均场类型控制以及学习理论。