在光遗传学调控下，实现维生素介导的藻类-细菌共培养的最优控制

《Automatica》：Optimal control of vitamin-mediated algal–bacterial co-cultures under optogenetic regulation

　　兰德·阿斯瓦德（Rand Asswad）|瓦利德·杰玛（Walid Djema）|奥利维尔·伯纳德（Olivier Bernard）|让-吕克·古泽（Jean-Luc Gouzé）|尤金尼奥·钦凯马尼（Eugenio Cinquemani）
法国格勒诺布尔阿尔卑斯大学（Univ. Grenoble Alpes），INRIA，格勒诺布尔

**摘要**
我们研究了一种合成藻类-细菌联合体的最优控制问题，其中藻类所需的维生素由细菌合成，但这种合成过程会以细菌自身的生长为代价。我们的目标是在连续生物反应器中使用两种受限输入（稀释率和光遗传控制）来最大化微藻生物量的生产。我们将最大化微藻生物量的问题表述为静态优化问题和动态最优控制问题。我们证明了静态优化问题解的凸性和唯一性，并利用庞特里亚金最大原理（Pontryagin’s Maximum Principle）分析了动态最优控制问题的解。我们推导出了一阶奇异弧的解析表达式，并通过直接数值方法得到的结果验证了这些表达式的正确性。值得注意的是，尽管没有外部周期性驱动，动态最优控制解在两个控制输入中仍表现出耦合振荡模式——这些模式源自问题的内在结构。此外，我们发现与静态解相比，动态最优控制解具有超产效应；而静态解在生物工艺应用中仍然是一个有价值且易于实现的方案。

**引言**
人工设计的微生物群落因其能够在广泛的生物技术应用中超越单一物种培养而受到越来越多的关注（Lindemann等人，2016年；Sgobba和Wendisch，2020年）。受自然演化群落的启发（Sachs等人，2011年），可以利用不同微生物物种之间的相互作用来增强生物生产过程并降低成本，例如在联合体内合成昂贵的生长底物，如维生素和微量营养素（Rapp等人，2020年）。藻类-细菌联合体就是一个典型的例子。藻类是生产食品、饲料和药物化合物的宝贵资源（Rizwan等人，2018年），将其与益生菌细菌共同培养已在促进生长、提高培养韧性和降低运营成本方面显示出优势（Palacios等人，2022年）。对合成微生物联合体的兴趣不仅限于设计少数物种之间的有利互作。得益于光遗传学技术，现在可以通过光照以高度响应和可逆的方式调节微生物的生长和相互作用（Benisch等人，2024年；Pérez等人，2022年）。与传统输入（如稀释率或营养物供应）不同，光遗传控制可以在细胞内部层面发挥作用，从而实现对代谢和相互作用的精确、可逆的调节——这为生化过程的优化提供了新的视角。

我们研究的是一个由大肠杆菌（Escherichia coli）和Auxenochlorella protothecoides微藻组成的合成双物种联合体，其中细菌将其自身生长所需的维生素合成给藻类。细菌资源从自身生长向维生素合成的重新分配通过光遗传输入进行调节。基于描述连续生物反应器中联合体动态的常微分方程（ODE）模型，我们解决了最大化这一过程中共生体生物量的问题。这一设置在光遗传控制共生研究的背景下提供了具体的案例研究，并揭示了微生物群体控制所面临的分析和数值挑战。我们特别关注总收获的藻类生物量，并据此构建了目标函数。其他目标函数（例如量化过程产量，即每单位输入底物提取的藻类生物量）也可能具有相关性（Mauri等人，2020年），但本工作未考虑这些目标函数。我们考虑了两种具有生物技术意义的情景：（i）静态情景，系统必须在控制变量恒定的情况下达到稳态以最大化生产力；（ii）动态情景，需要在给定时间范围内通过最优时变控制函数最大化总藻类产量，这些函数取决于初始状态。这两种不同但密切相关的问题对应于两种不同的生物技术选择：（i）适用于可以在任意长时间范围内轻松实施的策略；（ii）虽然更复杂且实施成本更高，但能够实现更高生产力的最优策略，并且难以扩展到给定时间范围之外。根据标准术语（Djema等人，2021年；Porretta和Zuazua，2013年；Trélat和Zuazua，2015年），我们将（i）称为静态最优控制问题（SOCP），将（ii）称为动态最优控制问题（DOCP）。虽然SOCP本质上是一个参数优化问题，但DOCP严格意义上属于最优控制问题（OCP），并通过最优控制理论的方法得到解决。

最优控制理论为生物技术应用中的最优生物工艺策略提供了严谨的框架。几何控制理论——特别是庞特里亚金最大原理（Pontryagin Maximum Principle，Pontryagin，2018年；Sch?ttler和Ledzewicz，2012年；Vinter，2010年）——为最优性提供了必要条件，并揭示了控制的结构特征，如突变弧和奇异阶段。这些理论结果通常通过直接和间接的数值方法得到补充（Caillau等人，2023年），并已应用于微生物生长模型（如Droop和Monod模型，Bayen和Mairet，2014年；Djema等人，2021年），以及更广泛的问题，如资源分配（Caillau等人，2022年；Innerarity Imizcoz等人，2024年）、废物处理（Cherkaoui-Dekkaki等人，2024年）、物种选择（Bayen和Mairet，2014年）以及光限制（Fierro U.等人，2023年）。最优策略通常涉及突变弧和奇异弧的串联——这些弧可能是第一阶或更高阶的——有时可以解析地表征（Djema等人，2022年；Innerarity Imizcoz等人，2024年）。虽然这些策略通常以开环形式计算，但它们为鲁棒反馈控制提供了基础，例如在Giordano等人（2016年）和Innerarity Imizcoz等人（2024年）的工作中得到了说明。然而，在高维非线性系统中，基于PMP的分析变得越来越复杂。

在这项工作中，我们研究了藻类-细菌系统的SOCP和DOCP，并比较了它们的解。该模型将Monod型细菌生长与Droop型藻类生长动态结合起来，受到两个受限输入的驱动。初步研究（Asswad等人，2024年）表明，DOCP解涉及突变弧和奇异弧的串联，并且在相同的时间范围内，DOCP解在总藻类生物量收获方面优于SOCP解。在这里，我们正式证明了SOCP的凸性和其解的唯一性（这比Asswad等人（2024年）发现的仅针对两个输入的凸性结果更强），并使用PMP推导出了DOCP解中外一阶奇异弧的解析表达式。对DOCP解的广泛数值分析证实了这些理论发现，并揭示了由于问题本身的内在属性，在两个控制变量中自发出现了准周期振荡。进一步扩展（Asswad等人，2024年）的研究还表明，振荡的幅度取决于工艺参数，并且在营养丰富的条件下振荡趋于消失。我们还展示了两个控制变量之间的耦合对于振荡的出现至关重要，并且在较大的优化时间范围内，振荡倾向于形成极限环。与SOCP解（其轨迹类似）的详细比较表明，DOCP解在一系列营养浓度范围内实现了更高的生产力——这是一个动态超产的案例（Bayen等人，2020a；Bayen等人，2020b）。尽管如此，SOCP解的适度增益仍突显了其实际应用价值，因为其实现方式简单。

第2节介绍了微生物联合体模型及其稳态。第3节构建了静态和动态最优控制问题（SOCP和DOCP）。第4节证明了SOCP的凸性和其解的唯一性。第5节通过Pontryagin最大原理（PMP）研究了DOCP，并进一步分析了其一阶奇异弧的显式表达式。第6节报告了数值模拟、控制结构分析和性能比较。第7节进行了详细讨论，特别是相对于Asswad等人（2024年）的新发现的重要性，并得出了结论。

**微生物联合体模型及其稳态**
我们考虑了Asswad等人（2024年）提出的模型，该模型描述了在连续搅拌罐生物反应器中大肠杆菌和Auxenochlorella protothecoides的共培养。细菌生长遵循Monod模型，以葡萄糖为限制底物（Bastin和Dochain，1990年；Smith和Waltman，1994年），并调整为考虑光遗传控制的维生素B1合成，这会牺牲细菌的生长速率（Benisch等人，2024年）。这种蛋白质组分配的权衡...

**最优控制问题（Optimal Control Problems，OCPs）**
我们的研究目标是通过两个控制变量（维生素生成激活α(t)和稀释率d(t)）来最大化光生物反应器系统中的微藻生物量收获。如引言中所解释的，我们考虑了两种不同的情景：作为SOCP表述的静态情景，以及作为DOCP表述的动态情景。我们现在根据第2节的模型具体表述这些问题，并对两者进行比较。

**SOCP分析**
设f0?(α,d)为控制值α和d时目标函数f0的值。根据先前的定义，可以将其写为f0?(α,d)=d?a?(α,d)。如第2节所述，当且仅当d< />
**docp分析**
在本节中，我们应用庞特里亚金最大原理（pontryagin maximum principle，pmp）来研究第3节中描述的docp，以推导出最优控制的必要条件。

**docp的数值研究及其与socp的比较**
在本节中，我们依赖数值优化来进一步研究docp的解，并将其与socp的解进行比较。虽然socp的解可以利用标准参数优化程序来解决（见第4.1节的示例），但docp的解决更具挑战性。为此，我们实施了第6.1节描述的直接优化方法。这种方法将用于数值解决docp问题。在第6.2节中...

**讨论与结论**
本研究解决了描述维生素介导的微生物联合体的静态优化和动态最优控制问题，目标是通过两个受限输入（稀释率和光遗传激活的细菌维生素生成）来最大化藻类生物量生产。遵循文献中的通用术语，我们将这两个相关问题称为静态最优控制问题（socp）和动态最优控制问题（docp）。我们证明了socp是一个...

**致谢**
我们感谢juan-carlos arceo（奥尔堡大学）在参数选择方面的贡献，以及mustafa khammash（苏黎世联邦理工学院）在光遗传控制方面的有益讨论。

兰德·阿斯瓦德（rand asswad）1996年出生于叙利亚大马士革。他于2021年在法国鲁昂诺曼底insa获得了应用数学的工程师学位（dipl?me d’ingénieur），并于2020年在同一所大学获得了计算机科学硕士学位（master’s degree）。他目前在格勒诺布尔阿尔卑斯大学inria攻读博士学位，专注于微生物联合体的分析和控制问题研究。 **docp分析** 在本节中，我们应用庞特里亚金最大原理（pontryagin maximum principle，pmp）来研究第3节中描述的docp，以推导出最优控制的必要条件。 **docp的数值研究及其与socp的比较** 在本节中，我们依赖数值优化来进一步研究docp的解，并将其与socp的解进行比较。虽然socp的解可以利用标准参数优化程序来解决（见第4.1节的示例），但docp的解决更具挑战性。为此，我们实施了第6.1节描述的直接优化方法。这种方法将用于数值解决docp问题。在第6.2节中... **讨论与结论** 本研究解决了描述维生素介导的微生物联合体的静态优化和动态最优控制问题，目标是通过两个受限输入（稀释率和光遗传激活的细菌维生素生成）来最大化藻类生物量生产。遵循文献中的通用术语，我们将这两个相关问题称为静态最优控制问题（socp）和动态最优控制问题（docp）。我们证明了socp是一个... **致谢** 我们感谢juan-carlos arceo（奥尔堡大学）在参数选择方面的贡献，以及mustafa khammash（苏黎世联邦理工学院）在光遗传控制方面的有益讨论。 兰德·阿斯瓦德（rand asswad）1996年出生于叙利亚大马士革。他于2021年在法国鲁昂诺曼底insa获得了应用数学的工程师学位（dipl?me d’ingénieur），并于2020年在同一所大学获得了计算机科学硕士学位（master’s>
**docp分析**
在本节中，我们应用庞特里亚金最大原理（pontryagin maximum principle，pmp）来研究第3节中描述的docp，以推导出最优控制的必要条件。

**docp的数值研究及其与socp的比较**
在本节中，我们依赖数值优化来进一步研究docp的解，并将其与socp的解进行比较。虽然socp的解可以利用标准参数优化程序来解决（见第4.1节的示例），但docp的解决更具挑战性。为此，我们实施了第6.1节描述的直接优化方法。这种方法将用于数值解决docp问题。在第6.2节中...

**讨论与结论**
本研究解决了描述维生素介导的微生物联合体的静态优化和动态最优控制问题，目标是通过两个受限输入（稀释率和光遗传激活的细菌维生素生成）来最大化藻类生物量生产。遵循文献中的通用术语，我们将这两个相关问题称为静态最优控制问题（socp）和动态最优控制问题（docp）。我们证明了socp是一个...

**致谢**
我们感谢juan-carlos arceo（奥尔堡大学）在参数选择方面的贡献，以及mustafa khammash（苏黎世联邦理工学院）在光遗传控制方面的有益讨论。

兰德·阿斯瓦德（rand asswad）1996年出生于叙利亚大马士革。他于2021年在法国鲁昂诺曼底insa获得了应用数学的工程师学位（dipl?me d’ingénieur），并于2020年在同一所大学获得了计算机科学硕士学位（master’s degree）。他目前在格勒诺布尔阿尔卑斯大学inria攻读博士学位，专注于微生物联合体的分析和控制问题研究。>