对于K?hler流形上某些完全非线性方程的导数估计

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Derivative estimates for some fully non-linear equations on K?hler manifolds

　　陈洪宇|马莉|李盛
四川大学数学学院，成都，610065，四川，中国

摘要
在本文中，基于最近对紧K?hler流形上完全非线性方程的L∞估计结果，我们研究了这类方程的导数估计。在行列式最大化条件的作用下，我们建立了解的梯度估计。在对非线性 adicion 掺入凹性假设的情况下，我们进一步推导出了解的C2估计。本文的主要贡献是首次推导出了一阶和二阶估计。

引言
对于复Monge-Ampère方程，梯度估计具有特殊性质。根据Yau关于Calabi-Yau定理的里程碑式成果[17]，以及在负情况下Aubin的独立工作[1]，解的C2估计可以直接从C0估计得出。这种现象在完全非线性方程理论中较为罕见。通常，完全非线性方程解的C2估计是基于C0估计和C1估计的。Hanani[8][9]得出了复Monge-Ampère方程的梯度估计（也参见他最近的工作[10]）。关于Hermitian背景下复Monge-Ampère方程的早期研究，可以参考Cherrier[3]的工作。后续的贡献包括B?ocki[2]、Guan[5]、Guan和Li[4]、Phong和Sturm[14]、Tosatti和Weinkove[16]、Zhang[18]以及Guo、Phong和Tong[7]的研究。在最近的工作[7]中，利用ABP最大值原理得到了一个特别强的梯度估计。
最近，Guo、Phong和Tong[6]通过纯PDE方法为紧K?hler流形上的完全非线性方程建立了L∞估计，但尚未得到导数估计。在本文中，我们通过将最大值原理应用于辅助函数来推导这类方程的梯度估计；相关估计也可参见[2]。基于这个梯度估计，我们在对非线性 adicion 掺入凹性假设的情况下进一步建立了C2估计。在不附加这一条件的情况下是否能够得到二阶估计仍是一个未解决的问题。

设X是一个具有K?hler形式ω的复维数n的紧K?hler流形。如果φ是X上的一个实C2函数，我们可以得到一个新的实(1,1)形式ωφ=ω+?1??ˉφ，并假设ωφ>0在X上。那么φ被称为K?hler流形(X,ω)上的K?hler势函数。
在局部全纯坐标(zj)中，我们有ω=?1gjkˉdzj∧dzˉk，(gkˉj)=(gjkˉ)?1，ujkˉ=gjkˉ+φjkˉ。由度量ωφ提升一个指标得到的相关自同态hφ∈End(T1,0X)定义为(hφ)jk=ujmˉgmˉk。当改变局部全纯坐标时，矩阵[hφ]的变换是一个相似变换。因此，给定一个Rn上的锥体Γ，矩阵[hφ]在锥体Γ上的未排序特征值λ[hφ]=(λ1,?,λn)是坐标无关的。设f(λ[hφ])是特征值λ[hφ]的函数，并且在λ[hφ]的排列下保持不变。我们考虑以下非线性二阶偏微分方程：
f(λ[hφ])=ceF，∑X?φ=0，ωφ>0，其中F是X上的一个实值函数，并且满足∫XenFωn=V=∫Xωn，这里的常数c>0是由方程确定的。在[6]中已经建立了(1)解的L∞估计。在本文中，我们专注于(1)的导数估计，这在该论文中尚未得到。更具体地说，在以下结构条件下，我们证明了梯度估计；在附加假设(4)下，我们推导出了C2估计。
如[6]论文中所述，我们要求正函数f是一次的，并且方程(1)是椭圆的，即?f?λj(λ)>0，1≤j≤n，且λ∈Γ=Γn={λ|λj>0,1≤j≤n}。此外，固定θ>0，f满足行列式最大化条件：∏j=1n?f?λj(λ)≥θ，?λ∈Γ。通过将最大值原理应用于合适的辅助函数，我们得到了以下梯度估计；相关估计也可参见[2]。

定理1
考虑方程(1)，并假设函数f(λ)满足上述结构条件。那么对于任何解φ∈C3(X)，我们有估计|?φ|ω2≤C，其中C是一个仅依赖于OscXφ、F、|?(eF)|ω的上界，(X,ω)的双曲率下界，以及n、c和θ的常数。
为了得到(1)解的C2估计，我们需要 对非线性函数f做出额外的假设。我们定义Gkˉj,qˉp:=?2log?f(λ[hφ])?(hφ)jk?(hφ)pq。我们假设Gkˉj,qˉp在任何λ[hφ]处都是非正的，这意味着对于任何Hermitian矩阵(Vjkˉ)，我们有Gkˉj,qˉpVjkˉVpqˉ￣≤0。借助梯度估计，我们得到了定理2。

定理2
考虑带有假设(4)的方程(1)，并假设函数f(λ)满足上述结构条件。那么对于任何解φ∈C4(X)，我们有估计Δωφ≤C，其中C是一个仅依赖于OscXφ、F、|?(eF)|ω的上界，ΔωF的下界，(X,ω)的双曲率的双边界，以及n、c和θ的常数。
显然，利用ωφ，我们可以得到解的C2估计。我们的结果应被视为对[6]的补充：[6]建立了L∞估计，而本文推导出了梯度和C2估计。有许多几何PDE满足行列式最大化条件，包括Monge-Ampère方程、Hessian方程f(λ)=(σk(λ))1k，或者Harvey和Lawson[11][12]考虑的p-Monge-Ampère方程，其中f(λ)=(∏IλI)n!(n?p)!p!，这里的I遍历所有不同的多重指标1≤i10定义。Harvey和Lawson[13]的最新研究表明，行列式最大化条件适用于非常广泛类别的非线性算子，包括所有不变的G?rding-Dirichlet算子。

本文的结构如下：在第2节中，我们研究梯度估计并证明定理1。然后，基于定理1中的梯度估计，在第3节中证明定理2。

本节片段
在本节中，我们首先介绍一些基本符号和公式。我们定义算子log?f(λ[hφ])线性化的系数Gkˉj:=?log?f(λ[hφ])?(hφ)jk。回想一下，对于任何x∈X，在x附近存在一个光滑的强多项式subharmonic函数g满足ω=?1??ˉg以及一个全纯映射，其中gjkˉ(x)=δjk，gjkˉl(x)=0，(φjkˉ(x))是对角的，下标表示偏导数：vj=?v?zj，vjkˉ=(?2v?zj?zˉk)?。我们在x附近定义函数u:=g+φ。

在本节中我们证明定理2。首先我们提出一个基本引理。引理4
设aj, bj>0对于1≤j≤n满足∑jnajbj=1，∏jaj>C>0。那么我们有∑jnaj≥(n?1)C1n?1(∑jnbj)1n?1。
证明
设a1=min1≤j≤n?aj。那么1=∑jajbj≥a1，因此1a1≥∑jnbj。由此可得∏j≠1aj=∏jnaja1≥Ca1≥C，∑jnbj。利用算术平均数和几何平均数之间的不等式，我们得到∑j≠1aj≥(n?1)(∏j≠1aj)1n?1≥(n?1)(C∑jnbj)1n?1。因此，我们有∑jnaj=∑j≠1aj+a1≥(n?1)(C∑jnbj)1n?1。□

致谢
本工作的部分内容是在第二作者2025年春访问中国西南部的天元数学中心和中南大学陈数学院期间完成的。第三作者得到了国家自然科学基金（项目编号12271376）的支持。